2023-2024學年泰安市重點中學九年級上冊數學期末聯(lián)考模擬試題含解析

2023-2024學年泰安市重點中學九上數學期末聯(lián)考模擬試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.如圖，點C在弧AC5上，若NoAB=20。，則NACB的度數為（）

A.50oB.60oC.70oD.80°

2.如圖，AB是:。的直徑，點C,D,E在。上，ZAED=20°.則NBCD的度數為（）

C.120°D.130°

3.若AABCSAOEF,且SAABC?:SAOEF=3：4,則AABC與aOE尸的周長比為

A.3：4B.4：3

C.√3:2D.2：√3

ab

4.如圖，函數y∣=一（α>0,x>0）,%=-3>0,x>0）,的圖像與平行于X軸的直線分別相交于AB兩點，且點A在

XX

點8的右側，點C在X軸上，且AABC的面積為1,則（）

A.a-b=2B.a-b=l

C.a+b=2D.a+b=?

5,若反比例函數的圖像在第二、四象限，則它的解析式可能是()

3332

A.y=——B.y=——xC.y=-D.y=-x^

X2X

6.如圖反比例函數y=q(GHO)與正比例函數y="/≠0)相交于兩點A,B.若點A(l,2),8坐標是()

X

H'

A.(-1,-2)B.(-2,-1)C.(-1,-3)D.(-2,-2)

7.如圖，在平面直角坐標系中，若干個半徑為2個單位長度，圓心角為60。的扇形組成一條連續(xù)的曲線，點P從原點

2TT

。出發(fā)，沿這條曲線向右上下起伏運動，點在直線上的速度為每秒2個單位長度，點在弧線上的速度為每秒」個單

3

位長度，則2019秒時，點P的坐標是()

A.(2019,0)B.(2019,-√3)C.(2018,0)D.(2017,√3)

8.已知111是方程*2一2006*+1=0的一個根，則代數式m2-2005/〃+磔3+3的值等于()

∕n^+1

A.2005B.2006C.2007D.2008

9.在AA6C中，AB=I2,3C=18,C4=24,另一個和它相似的三角形最長的邊是36,則這個三角形最短的邊是

()

A.14B.18C.20D.27

10.已知二次函數y=ax2+bx+3自變量X的部分取值和對應函數值)'如表:

X...-2-10123???

y??.-503430???

則在實數范圍內能使得y+5>（）成立的X取值范圍是（）

A.χ>-2B.χ<-2C.-2<x<4D.x>—2或x<4

11.如圖所示，二次函數y=α√+bχ+c的圖象開口向上，且對稱軸在（-1,0）的左邊，下列結論一定正確的是（）

A.abc>0B.2a-?<0C.b2-4αc<0D.a-b+c>-1

12.如圖所示，AB是。。的直徑，AM、BN是。。的兩條切線，。、C分別在AM、BN上,Z）C切。。于點E,連接

OD、OC、BE.AE,8E與。C相交于點P,4E與。。相交于點Q,已知AD=4,BC=9,以下結論：

??]82

①。。的半徑為二，@OD//BE,③PB=一√13,@tanZCEP=-

2133

其中正確結論有（）

二、填空題（每題4分，共24分）

13.如圖，。。的半徑為2,弦BC=2百，點A是優(yōu)弧BC上一動點（不包括端點），AABC的高BD,、CE相交于點

F,連結ED.下列四個結論：

①NA始終為60°；

②當NABC=45。時，AE=EF;

③當AABC為銳角三角形時，ED=6；

④線段ED的垂直平分線必平分弦BC.

其中正確的結論是.（把你認為正確結論的序號都填上）

E

14.已知一元二次方程2χ2-5x+l=0的兩根為m,n,則m2+n2=.

15.已知關于X的一元二次方程（a-l）χ2-χ+a2-l=0的一個根是0,那么a的值為

16.若關于X的一元二次方程x2-2x+m=0有實數根，則實數m的取值范圍是

17.拋物線y=（x+2）2—2的頂點坐標是

18.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧A8,點。是這段弧所在圓的圓心，43=40m,點C是AB的中點，且。

=IOm,則這段彎路所在圓的半徑為1

三、解答題（共78分）

19.（8分）如圖,在小山的東側A處有一一熱氣球,以每分鐘28米的速度沿著與垂直方向夾角為30。的方向飛行，半小

時后到達C處，這時氣球上的人發(fā)現,在A處的正西方向有一處著火點8,5分鐘后，在。處測得著火點8的俯角是

15。，求熱氣球升空點A與著火點3的距離.（結果保留根號,參考數據：

5°=m一步.Cosl5°="+立,5°=2—6,Cotl5°=2+6）

44

(I)χ2-4x-7=0(用公式法求解)

(2)3x(x—1)=2(x—1)

21.（8分）如圖，在4ABC中，已知AB=AC=5,BC=6,且4ABC^?DEF,將小DEF與4ABC重合在一起，△ABC

不動，ADEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經過點A,EF與AC交于M點.

(1)求證：AABEs1?ECM;

(2)探究：在ADEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；

(3)求當線段AM最短時的長度

22.(10分)某企業(yè)設計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，投放市場進行試銷.據市場調查，銷售

單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成

本.

(1)求出每天的銷售利潤M元)與銷售單價x(元)之間的函數關系式；

(2)求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

(3)如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，那么銷售單價應控制在什么范圍內？

23.(10分)如圖，正方形ABCD中，點F是BC邊上一點，連結AF,以AF為對角線作正方形AEFG,邊FG與正

方形ABCD的對角線AC相交于點H,連結DG

(1)填空：若NBAF=I8。，則NDAG=°.

(2)證明：?AFC^>?AGD;

24.(10分)如圖，在平面直角坐標系中，點B在X軸上，ZABO=90o,AB=BO,直線y=-3x-4與反比例函數

k

y=—(x<0)交于點A,交y軸于C點.

(1)求k的值；

(2)點D與點O關于AB對稱，連接AD、CD,證明AACD是直角三角形；

(3)在(2)的條件下，點E在反比例函數圖象上，若SAOCE=SAOCD,求點E的坐標.

25.（12分）（1）如圖1,O是等邊AABC內一點，連接OA、OB>OC,且OA=3,OB=4,OC=5,將aBAO繞點B

順時針旋轉后得到ABCD,連接OD.求：

①旋轉角的度數;線段OD的長為.

②求NBDC的度數；

（2）如圖2所示，O是等腰直角AABC（NABC=90。）內一點，連接OA、OB、OC,將aBAO繞點B順時針旋轉

后得到aBCD,連接OD.當OA、OB、OC滿足什么條件時，NoDC=90。？請給出證明.

26.如圖，AOAP是等腰直角三角形，NoAP=90。，點A在第四象限，點P坐標為（8,0）,拋物線y=ax?+bx+c

經過原點O和A、P兩點.

（1）求拋物線的函數關系式.

（2）點B是y軸正半軸上一點，連接AB,過點B作AB的垂線交拋物線于C、D兩點，且BC=AB,求點B坐標;

（3）在（2）的條件下，點M是線段BC上一點，過點M作X軸的垂線交拋物線于點N,求ACBN面積的最大值.

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、C

【分析】根據圓周角定理可得NACB=gNAOB,先求出NAoB即可求出NACB的度數.

2

【詳解】解：VZACB=?ZAOB,

2

而NAoB=I80°-2×20o=140",

.,.ZACB=?X140°=70°.

2

故選：C.

【點睛】

本題考查了圓周角定理.在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的

一半.

2,B

【分析】連接AC,根據圓周角定理，分別求出NACB=90。，NACD=2()。，即可求NBCD的度數.

【詳解】連接AC,

B

?.?AB為。O的直徑，

ΛZACB=90o,

?：ZAED=20o,

ΛZACD=ZAED=20o,

ΛZBCD=ZACB+ZACD=90°+20o=IlO0,

故選：B.

【點睛】

本題考查的是圓周角定理：①直徑所對的圓周角為直角；②在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于

這條弧所對的圓心角的一半.

3、C

【分析】根據相似三角形面積比等于相似比的平方，周長的比等于相似比解答.

【詳解】解：YZiABCsZ^DEF,且SAABc：SADEF=3：4,

???△ABC與aDEF的相似比為百：2,

.'.△ABC與aDEF的周長比為百：2.

故選C

【點睛】

本題考查的是相似三角形的性質，即相似三角形面積的比等于相似比的平方，周長的比等于相似比.

4、A

【解析】根據△ABC的面積=g?AB?y,?,先設A、B兩點坐標(其y坐標相同)，然后計算相應線段長度，用面積公式

即可求解.

【詳解】設A(g,M,8(2,nι),

mm

則：AABC的面積=g?A8?%=1[@-2].加=1,

22?mmJ

則a-b=l.

故選:A.

【點睛】

本題考查了反比例函數的性質、反比例函數系數k的幾何意義、反比例函數圖象上點的坐標特征，根據函數的特征設

A、B兩點的坐標是解題的關鍵.

5、A

【分析】根據反比例函數的定義及圖象經過第二、四象限時k<0,判斷即可.

3

【詳解】解：4、對于函數y=",是反比例函數，其左=—3<0,圖象位于第二、四象限；

X

3

B、對于函數y=-]%,是正比例函數，不是反比例函數；

C、對于函數y=2,是反比例函數，圖象位于一、三象限；

X

D、對于函數y=-/,是二次函數，不是反比例函數；

故選：A.

【點睛】

本題考查了反比例函數、反比例的圖象和性質，可以采用排除法，直接法得出答案.

6、A

【分析】先根據點A的坐標求出兩個函數解析式，然后聯(lián)立兩個解析式即可求出答案.

【詳解】將A(1,2)代入反比例函數y=3(αrθ),

X

得a=2,

2

???反比例函數解析式為：y=-,

X

將A(1,2)代入正比例函數y=履/≠0),

得k=2,

.?.正比例函數解析式為：y=2χ,

2

?=-

聯(lián)立兩個解析式X

y=2x

解得］;二;或'X=-I

[1，

二點B的坐標為(-1,-2),

故選：A.

【點睛】

本題考查了反比例函數和正比例函數，求出函數解析式是解題關鍵.

7、B

【分析】設第秒運動到為自然數)點,根據點的運動規(guī)律找出部分點的坐標，根據坐標的變化找出變化

nPII(nPPn

規(guī)律舄卜〃+依此規(guī)律即可得出結論.

∕>n+1（4π+l,√3）,“+2（4〃+2,0）,P4ll+33,-√3）,M（4〃+4,0）,

【詳解】解:

作匕4,X于點A.

60乃×22π

1803

2乃.2π

1秒

^T"T

.?.1秒時到達點6,2秒時到達點2,3秒時到達點八，

SinNAoE=%

'OPi，

AP1———X2=?/?.

2

cosZAOP=-,

'OPt，

OA=工X2=1.

2

.?.P,(1,√3),P2(2,0),PS(3,-Λ5),E(4,0),

設第n秒運動到Pn(n為自然數)點，

觀察，發(fā)現規(guī)律：Pl(l,√3),P,(2,0),P3(3,-√3),P1(4,0),P5(5,√3),

.?.P4n+1(4n+l,√3),P,n+2(4n+2,0),Etn+3(4n+3,-√3),E,n+4(4n+4,0),

Q2019=4x504+3,

P2019(2019,-√3),

故選：B.

【點睛】

本題考查了解直角三角形，弧長的計算及列代數式表示規(guī)律，先通過弧長的計算，算出每秒點P達到的位置，再表示

出開始幾個點的坐標，從而找出其中的規(guī)律.

8、D

【分析】由m是方程χ2.2006x+l=0的一個根，將x=m代入方程，得到關于m的等式，變形后代入所求式子中計算，

即可求出值.

【詳解】解：Tm是方程χ2.2006x+l=0的一個根，

Λm2-2006m+l=0,即m2+l=2006m,m2=2006m-l,

,22006.

貝r!)l7%2_2005777+—?——+3

m+1

=2006/〃-1-2005/77+2006+3

2006/7/

1C

=m+——F2

m

m

2006/77C

=---------+2

m

=2006+2

=2008

故選：D.

【點睛】

此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值.

9,B

【分析】設另一個三角形最短的一邊是X,根據相似三角形對應邊成比例即可得出結論.

【詳解】設另一個三角形最短的一邊是X,

「△ABC中，AB=12,BC=I,CA=24,另一個和它相似的三角形最長的一邊是36,

.X36

.?---....9

1224

解得x=l.

故選：C.

【點睛】

本題考查的是相似三角形的性質，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵.

10、C

【分析】根據y=0時的兩個X的值可得該二次函數的對稱軸，根據二次函數的對稱性可得X=4時，y=5,根據二次函數

的增減性即可得圖象的開口方向，進而可得答案.

【詳解】?.?y+5>0,

：.y>—5,

Ix=J時,y=0,x=3時，y=0,

.?.該二次函數的對稱軸為直線X=二9=1,

2

V1-3=-2,1+3=4,

???當x=—2時的函數值與當％=4時的函數值相等，

?.?工=—2時，y=-5,

；?X=4時，y=-5,

?.?χ>l時，y隨X的增大而減小，x<l時，y隨X的增大而增大,

.?.該二次函數的開口向下，

,當一2<x<4時，y>-5,即y+5>0,

故選：C.

【點睛】

本題考查二次函數的性質，正確提取表中信息并熟練掌握二次函數的性質是解題關鍵.

11、B

【分析】根據二次函數的圖象及性質與各項系數的關系即可判斷A；根據拋物線的對稱軸即可判斷B；根據拋物線與

X軸的交點個數即可判斷C5根據當X=-1時yVO,即可判斷D.

【詳解】4、如圖所示，拋物線經過原點，則c=0,所以“加=0,故不符合題意；

b

B、如圖所示，對稱軸在直線X=-1的左邊，則——<-1,又α>0,所以2α-5V0,故符合題意；

2a

G如圖所示，圖象與X軸有2個交點，依據根的判別式可知加-4αc>0,故不符合題意；

。、如圖所示，當X=-I時y<0,即α-HcVO,但無法判定α-Z>+c與-1的大小，故不符合題意.

故選：B.

【點睛】

此題考查的是二次函數的圖象及性質，掌握二次函數的圖象及性質與各項系數的關系是解決此題的關鍵.

12、C

【解析】試題解析：作OK_L8C于K,連接。E.

,：AD.BC是切線，NOAS=NABK=NOKB=90。，二四邊形ASKQ是矩形，：.DK=AB,AD=BK=4,TCD是切線,

：.DA=DE,CE=CB=9,在RTAOKC中，

?：DC=DE+CE=13,CK=BC-BK=5,ΛDK=?/?ɑ2-CK2=12?^AB=DK=12,半徑為L故①錯誤,

'：DA=DE,OA=OE,二。。垂直平分AE,同理OC垂直平分BE,：.AQ=QE,'：AO=OB,J.0D//BE,故②正確.

*?BCOB6x918/—

在RTA08C中，PB=----------=―,==—√13故③正確,

OC3√1313

18∕ττ

BP「13532

VCE=CB,：.NCEB=NCBE,tanNCEP=taιιZCBP=故④正確，.?.②③④正確，故選C.

PC一旦岳3

13

二、填空題(每題4分，共24分)

13、Φ(2X3X3)

【分析】①延長CO交。O于點G,如圖L在RtABGC中，運用三角函數就可解決問題；②只需證到ABEFgACEA

即可；③易證AAECSAADB,貝IJ=生，從而可證到AAEDSAACB,則有處=空.由NA=60?？傻玫?=

ADABBCACAC2

進而可得到ED=百；④取BC中點H,連接EH、DH,根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得

EH=DH=LBC,所以線段ED的垂直平分線必平分弦BC.

2

【詳解】解：①延長CO交。O于點G,如圖1.

圖1

貝!!有NBGC=NBAC.

TCG為。O的直徑，ΛZCBG=90o.

..外,、「BC2√3√3

..SinZBGC=-----=-------=-----?

CG42

/.ZBGC=60o.

.?ZBAC=60o.

故①正確.

②如圖2,

圖2

VZABC=250,CE±AB,即NBEC=90°,

.?.NECB=25。=NEBC.

ΛEB=EC.

VCE±AB,BD±AC,

：.NBEC=NBDC=90。.

ΛZEBF+ZEFB=90o,ZDFC+ZDCF=90o.

VZEFB=ZDFC,.?.ZEBF=ZDCF.

在ABEF和ACEA中，

NFBE=NACE

<BE=CE,

NBEb=NCE4=90。

Λ?BEF^ΔCEA.

二AE=EF.

故②正確.

③如圖3,

VZAEC=ZADB=90o,ZA=ZA,

Λ?AEC^?ADB.

.AE_AC

''^AD~~AB"

VNA=NA,

Λ?AED<^?ACB.

.EDAE

**BC-AC"

AE1

cosA=-----=cos60°=—,

AC2

.EDI

,,1BC~2'

ΛED=^BC=√3?

故③正確.

④取BC中點H,連接EH、DH,如圖3、圖2.

圖3圖4

VZBEC=ZCDB=90o,點H為BC的中點，

1

AEH=DH=-BC.

2

.?.點H在線段DE的垂直平分線上，

即線段ED的垂直平分線平分弦BC.

故④正確.

故答案為①②③④.

【點睛】

本題考查了圓周角定理、銳角三角函數的定義、特殊角的三角函數值、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定

與性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上等知識，綜

合性比較強，是一道好題.

一21

14、一

4

【分析】先由根與系數的關系得：兩根和與兩根積，再將m2+ι>2進行變形，化成和或積的形式，代入即可.

【詳解】由根與系數的關系得：m+n=2,mn??,

22

5121

.?m2+n2=(m+n)2-2mn=(—)2-2×—=—,

224

故答案、為弓21.

【點睛】

本題考查了利用根與系數的關系求代數式的值，先將一元二次方程化為一般形式，寫出兩根的和與積的值，再將所求

式子進行變形；如‘+'、X/+X22等等，本題是?？碱}型，利用完全平方公式進行轉化.

玉Z

15、-1

【解析】試題分析：把二=。代入方程y-】、：-、-1=0,即可得到關于a的方程，再結合二次項系數不能為0,

即可得到結果.

iτ?"-"=雨°==1

由題意得：’”，解得，則α=-L

∣?∣-lχ*H*2*1

F*

考點：本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義

點評：解答本題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數

的值.同時注意一元二次方程的二次項系數不能為0.

16、m<l

【分析】利用判別式的意義得到，=(-2)、4m20,然后解不等式即可.

【詳解】解：根據題意得=(-2)2-4m≥0,

解得m￡1.

故答案為：加￡1.

【點睛】

本題考查了根的判別式：一元二次方程aχ2+bx+c=0(a≠0)的根與△=bZ4ac有如下關系：當A>0時，方程有兩個不

相等的兩個實數根；當A=O時，方程有兩個相等的兩個實數根；當AVo時，方程無實數根.

17、(-2,-2)

【分析】由題意直接利用頂點式的特點，即可求出拋物線的頂點坐標.

【詳解】解：?.?y=(X+2)2-2是拋物線的頂點式，

.?.拋物線的頂點坐標為(-2,-2).

故答案為：(-2,-2).

【點睛】

本題主要考查的是二次函數的性質，掌握二次函數頂點式的特征是解題的關鍵.

18、25m

【分析】根據垂徑定理可得ABOD為直角三角形，且BD=LAB,之后利用勾股定理進一步求解即可.

2

【詳解】V點C是AB的中點，

ΛOC平分AB,

ΛZBOD=90o，BD=LAB=20m,

2

設OB=X,則:OD=(x-10)m,

222

.?.X=(Λ-10)+20,

解得：x=25,

ΛOB=25m,

故答案為：25m.

【點睛】

本題主要考查了垂徑定理與勾股定理的綜合運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵.

三、解答題（共78分）

19、980√3+980.

【分析】過D作DH_LBA于H,在RtaDAH中根據三角函數即可求得AH的長，然后在RtZkDBH中，求得BH的

長，進而求得BA的長.

【詳解】解：由題意可知AD=（30+5）X28=980,

過D作DH_LBA于H.

在Rt?DAH中,DH=AD?sin60o=980×—=490√3,

2

1

AH=ADXCoS60°=980X-=490,

2

DH

在RtZ?DBH中，BH=--------=490GX(2+6)=1470+980百，

tanl5o

/.BA=BH-AH=(1470+980百)-490=980(l+√3)(米).

答：熱氣球升空點A與著火點B的距離為980（l+√3）（米）.

【點睛】

本題主要考查了仰角和俯角的定義，一般三角形的計算可以通過作高線轉化為直角三角形的計算.

____2

20、（1）xl=2+VTT>X2=2—?∕H；（2）XI=1,x2-~?

【解析】（1）先確定a,b,c的值，計算判別式，利用求根公式求出方程的根.

（2）移項后，先提取公因式（X-I）即可得到（3x-2）（x-1）=0,再解兩個一元一次方程即可.

【詳解】解：(1)X2-Ax-J=O

a=l,b=-4,c=-7,

Δ=Z?2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44

.-b±?[b^-4ac_-(-4)±y/44_r-

??X=----------------------=;------=2±√11

2a2×1

?xl=2+Λ∕1T,J?=2—?/l?；

(2)3x(x-l)=2(x-l),

3x(x-l)-2(x-l)=0,

(x-l)(3x-2)=0,

.,.x-l=O或3x-2=0,

,2

??X]=1,%2=~?

【點睛】

本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根

據方程的特點靈活選用合適的方法.

21、(1)證明見解析；(2)BE=I或U；(3)—.

65

【解析】試題分析：(1)由AB=AC根據等邊對等角，可得NB=NC,又由△ABCgZ?DEF與三角形外角的性質，

易證得NCEM=NBAE,則可證得：△ABEs/^ECM；

(2)首先由NAEF=NB=NC,且NAME>NC,可得AE≠AM,然后分別從AE=EM與AM=EM去分析，注意利用

全等三角形與相似三角形的性質求解即可求得答案；

19

(3)先設BE=x,由AABES/^ECM,根據相似三角形的對應邊成比例，易得CM=-W(x-3)2+-,利用二次函數

的性質，繼而求得線段AM的最小值.

試題解析：(1)證明：TAB=AC

二NB=NC,

V?ABC^?DEF,

二NAEF=NB,

XVNAEF+NCEM=NAEC=NB+NBAE,

：.ZCEM=ZBAE,

Λ?ABE<×>?ECM;

(2)解：VZAEF=ZB=ZC,且NAME>/C,

.?.NAME>NAEF,

ΛAE≠AM;

當AE=EM時，JOlUABEdECM,

ΛCE=AB=5,

ΛBE=BC-EC=6-5=1,

當AM=EM時，則NMAE=NMEA,

：.NMAE+NBAE=NMEA+NCEM,

BPZCAB=ZCEA,

又：NC=NC,

Λ?CAE^?CBA,

.CEAC

ΛBE=1或一

6

(3)解：設BE=x,

XV?ABE^?ECM,

.CMCE

''~BE~~AB

CM6-x

即nπ：------=--------

X5

.%261/°、29

??CM=-------1—X=—(x-3)H—

5s55

ΛAM=-5-CM=∣(Λ-3)2+y

：.當x=3時，AM最短為g.

考點：相似形綜合題.

22、(1)y=-5x2+800x-27500(50≤x<100)；(2)當x=80時，y最大值=4500；(3)70≤x≤l.

【分析】(1)根據題目已知條件，可以判定銷量與售價之間的關系式為一次函數，并可以進一步寫出二者之間的關系式;

然后根據單位利潤等于單位售價減單位成本，以及銷售利潤等于單位利潤乘銷量，即可求出每天的銷售利潤與銷售單

價之間的關系式.

(2)根據開口向下的拋物線在對稱軸處取得最大值，即可計算出每天的銷售利潤及相應的銷售單價.

(3)根據開口向下的拋物線的圖象的性質,滿足要求的X的取值范圍應該在-5(X-80)2+4500=4000的兩根之間,即可

確定滿足題意的取值范圍.

【詳解】解：(1)y=(x-50)[50+5(K)O-x)]

=(x-50)(-5x+550)

=-5X2+800X-2750(),

.*.y=-5X2+800X-27500(50≤x≤100)；

(2)y=-5X2+800X-27500=-5(x-80)2+4500,

Va=-5V0,

.?.拋物線開口向下.

V50<x≤100,對稱軸是直線x=80,

：.當x=8()時,y最大值=4500；

(3)當y=4000時,-5(x-80)2+4500=4000,

解得xι=70,X2=l.

???當70≤x≤l時，每天的銷售利潤不低于4000元.

【點睛】

本題主要考查二次函數的應用.

23、(1)27；(2)證明見解析；(3)黑=2叵.

FH5

【分析】(1)由四邊形ABCD,AEFG是正方形，得到NBAC=NGAF=45。，于是得到NBAF+NFAC=NFAC+NGAC

=45°,推出NHAG=NBAF=I8。，由于NDAG+NGAH=NDAC=45。，于是得到結論；

(2)由四邊形ABCD,AEFG是正方形，推出g=也=①，得空=29,由于NDAG=NCAF,得到

ACAF2ACAF

AADGS^CAF,列比例式即可得到結果；

2222

⑶設BF=k,CF=2k,貝!|AB=BC=3k,根據勾股定理得到AF=√AB+BF=y∣(,3k)+k=√10k,AC=√2AB

=3√2k,由于NAFH=NACF,NFAH=NCAF,于是得到AAFHs2?ACF,得到比例式即可得到結論.

【詳解】解：(I)：四邊形ABCD,AEFG是正方形，

ΛZBAC=ZGAF=45o,

ΛZBAF+ZFAC=ZFAC+ZGAC=45o,

ΛZHAG=ZBAF=18o,

VZDAG+ZGAH=ZDAC=45o,

ΛZDAG=45o-18o=27o,

故答案為：27.

(2)：四邊形ABCD,AEFG是正方形，

?皿=立AG_√2

**AC^2^(AF~1'

?AD_AG

AC^AF,

?：ZDAG+ZGAC=ZFAC+ZGAC=45o,

ΛZDAG=ZCAF,

Λ?AFC<^?AGD;

設BF=k,

ΛCF=2k,貝IlAB=BC=3k,

：,AF=√AB2+BF2=J(3Z)2+/=√i(jk,AC=√2AB=3五k,

：四邊形ABCD,AEFG是正方形，

.?.ZAFH=ZACF,ZFAH=ZCAF,

Λ?AFH^?ACF,

.AFFH

,,AC^CF,

.FC_3√2_3√5

"FH-√10--Γ'

【點睛】

本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，找準相似三角形是解題的關鍵.

24、(1)-4；(2)見解析；(3)點E的坐標為(-4,1).

【分析】(I)根據一次函數圖象上點的坐標特征求出點A的坐標，利用待定系數法求出k；

(2)先求出點D的坐標，求出NADB=45。，NODC=45。，從而得解；

(3)設出點E的坐標，根據三角形的面積公式解答.

【詳解】(1)設點B的坐標為(a,0),

VZABO=90o,AB=BO,

，點A的坐標為(a,-a),

?.?點A在直線y=-3x-4上,

：?-a=-3a-4,

解得，a=-2,

即點A的坐標為（-2,2）,

?.?點A在反比例函數y='上，

X

Λk=-4；

（2）V點D與點O關于AB對稱，

二點D的坐標為（-4,0）

ΛOD=4,

ΛDB=BA=2,

則NADB=45。，

V直線y=-3x-4交y軸于C點，

二點C的坐標為（0,-4）,

二OD=OC,

AZODC=45°,

二ZADC=ZADB+ZODC=90o,

即AACD是直角三角形；

（3）設點E的坐標為（m,-?）,

m

,?,S?OCE-S?OCD>

—x4x4=—×4×（-m）,

22

解得，m=-4,

.?.點E的坐標為(-4,1).

【點睛】

本題考查的是反比例函數與幾何的綜合題，掌握待定系數法求反比例函數解析式是解題的關鍵.

25、(1)①60°,4；②150°；(2)OA2+2OB2=OC2，證明見解析.

【分析】(1)①根據等邊三角形的性質得BA=BC,ZABC=60o,再根據旋轉的性質得NoBD=NABC=60°,于

是可確定旋轉角的度數為60。；由旋轉的性質得Bo=BD,加上NoBD=60°,則可判斷aOBD為等邊三角形，所

以OD=OB=4；

②由ABOD為等邊三角形得到NBDO=60°,再利用旋轉的性質得CD=AO=3,然后根據勾股定理的逆定理可證明

△OCD為直角三角形，ZODC=90o,所以NBDC=NBDo+NODC=150°；

(2)根據旋轉的性質得NOBD=NABC=90°,BO=BD,CD=AO,則可判斷aOBD為等腰直角三角形，則OD

=√2OB,然后根據勾股定理的逆定理，當CD2+OD2=OC2時，ZXOCD為直角三角形，NODC=90°.

【詳解】解：(1)①?.?△ABC為等邊三角形，

.?.BA=BC,NABC=60°,

V?BAO繞點B順時針旋轉后得到ABCD,

ΛZOBD=ZABC=60o,

二旋轉角的度數為60°；

：ΔE4Q旋轉至ΔBCD,

工Bo=BD=4,NOBf)=ZABC=60，CD=AO=3,

.?.ABOO為等邊三角形

?ZBDO=60>OD=OB=4,

故答案為：60。；4

②在AOS中，CD=3,OD=Ar,OC=5,

V32+42=52

?'-CD2+OD2^OC2

.?.△08為直角三角形，NoDC=90，

：?ZBDC=ZBDO+ZODC=60+90=150

(2)OA2+2OB2=OC2?.NODC=9。，

理由如下：

VABAO繞點B順時針旋轉后得到Δ5