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文檔簡介
2023-2024學年重慶市主城區(qū)高二上冊期末考試質(zhì)量檢測數(shù)學
一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,
只有一項是符合題目要求的)
1.已知等差數(shù)列{"〃}的前〃項和為S,,,且兀=10,$20=40,則$30=().
A.90B.80C.60D.30
【正確答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項和的片斷和性質(zhì)可得結(jié)論.
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì),知Ro,SR-'O,WO-%,
…成等差數(shù)列,即2(Szo—號0)=530—S20+B0,所以
530=3X(S20-510)=3X(40-10)=90.
故選:A.
2.若£+1=(—2,—1,2),£—5=(4,—3,—2),則等于()
A.5B.-5C.7D.—1
【正確答案】B
【分析】利用空間向量的四則運算與數(shù)量積的坐標表示即可求解.
【詳解】?.1+5=(一2,-1,2),a-6=(4,-3,-2),.,?兩式相加得22=(2,-4,0),
二Z=(1,—2,0),:,b=a+b-a=(-3,1,2),
.,i5=1x(-3)+(-2)x1+0x2=-5,
故選:B.
3.已知拋物線y=的焦點為R1)(-1,0),則為()
I-17
A.<6B.2C.—D.
16
【正確答案】D
【分析】確定焦點/(0』),再利用兩點間距離公式計算得到答案.
【詳解】拋物線y=;?,即》2=",焦點尸(0,1),£)(-1,0),-0|=疝?=后.
故選:D
22
4.己知點4民。在雙曲線+-與=1(4>0,6>0)上,若48兩點關(guān)于原點對稱,力C過右
ab
焦點F,且方?k=0,3|/P|=|W|,則雙曲線的離心率為()
A.叵B.V3C.V5D.1+72
2
【正確答案】A
【分析】設(shè)雙曲線的左焦點為耳,連接4片,。耳,可知N4NC=90。,由
設(shè)|=加,|C尸|=3加,再由雙曲線的定義可得|/用=24+機,16a=2a+3a,然后利
用勾股定理列方程可求得加=a,從而可求出。的關(guān)系,進而可求出離心率
【詳解】解:設(shè)雙曲線的左焦點為片,連接與,可知/片〃。=90。,
設(shè)|/尸|二九|FC\=3浜月|=2a+九出C|=2a+3加,(2a+加>+(4m)2=(2a+3m)2,
解得m=a,(3a)2+/=4c2,e=~~~,
故選:A.
5.等比數(shù)列{a“}為遞減數(shù)列,若%-64=6,%+%7=5,則%=()
。18
32〃1
A.—B.-C.-D.6
236
【正確答案】A
【分析】
47?4=%97=6,可得知與47為方程爐―5x+6=0的兩個根,又%>%+1,解得包,
a”,再利用通項公式即可得出.
【詳解】:等比數(shù)列{4}為遞減數(shù)列,%,%4=6,%+《7=5,
%與%7為方程-—5x+6=0的兩個根,
解得。4=2,。[7=3或。4=3,%7=2,
>a〃+],t74=3,a]?=2,
.〃13_47一2
‘?g—一-7
a43
故選:4
6.已知各棱長均為1的四面體力38中,£是的中點,PG直線CE,則忸尸|+|。尸]
的最小值為()
1+6
2
1+V3
【正確答案】B
【分析】將ACDE旋轉(zhuǎn)至與ABCE共面,連結(jié)8。,則它與CE的交點尸,即為使
忸可+|。耳取最小值的點,然后在A5DE中利用余弦定理求出60的值.
【詳解】如圖,將ACQE旋轉(zhuǎn)至與A3CE共面,連結(jié)30,則它與CE的交點P,即為使
忸。|+|。可取最小值的點.
易知BE=CE=—,BC=I,DE--,ZDEC=90°,
22
BE+CEBC
在MCE中由余弦定理得cosNBEC=''-'=1,
2BECE
從而由平方關(guān)系得sinZ.BEC=----
3
在A5Z)E中由余弦定理得
BD1=DE2+BE2-IDE-BEcos(900+NBEC)
所以
【點晴】本題考查空間求線段和差的最值問題,一般轉(zhuǎn)化到同一個平面上處理,結(jié)合三角形
的正弦、余弦定理求解,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.
7.分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學,它的研究對象普遍存在于自
然界中,因此又被稱為“大自然的幾何學”.按照如圖1所示的分形規(guī)律,可得如圖2所示的
一個樹形圖.若記圖2中第〃行黑圈的個數(shù)為4,則勺=()
第1行
第2行
O?0??一一第3行
圖1圖2
A.110B.128C.144D.89
【正確答案】C
【分析】。“表示第〃行中的黑圈個數(shù),設(shè),表示第〃行中的白圈個數(shù),由題意可得
a“+i=2a.+b“,bn+}=an+bn,根據(jù)初始值,由此遞推即可求得結(jié)果.
【詳解】己知見,表示第〃行中的黑圈個數(shù),設(shè)〃表示第〃行中的白圈個數(shù),則由于每個白
圈產(chǎn)生下一行的一個白圈和一個黑圈,一個黑圈產(chǎn)生下一行的一個白圈和2個黑圈,
所以+",bn+l=an+bn,
又因為%=0,4=1,
所以。2=1,4=1;
所以%=2xl+l=3,=1+1=2;
a4=2x3+2=8,b4=3+2=5;
區(qū)=2x8+5=21,b5=8+5=13;
4=2x21+13=55,b6=21+13=34;
%=2x55+34=144.
故選:c.
22
8.設(shè)橢圓的方程為工+匕=1,斜率為%的直線/不經(jīng)過原點0,且與橢圓相交于4,B兩
點,加為線段的中點,下列結(jié)論正確的是()
A.直線/與一定垂直
B.若直線/方程為y=2x+2,則以a=|6.
C.若直線/方程為y=x+l,則點M坐標為
D.若點收坐標為(1,1),則直線/方程為2x—y—3=0
【正確答案】C
【分析】設(shè)"(々,九),利用點差法可得比,左=-2,判斷A正確;
逑,判斷B錯誤;
3
]_2
利用點差法的結(jié)論可以求出〃,判斷C正確;
353
利用點差法的結(jié)論可以求出kAB=-2,進而判斷D錯誤.
【詳解】不妨設(shè)46坐標為(內(nèi),必),(吃,%),則曰+今=1,今=1兩式作差可得:
震x在7,設(shè)“伍,幾),則令%7
對A:kABxkOM=kx^=-2,故直線48,OM不垂直,則A錯誤;
對B:若直線方程為J=2x+2,聯(lián)立橢圓方程2/+「=4,
42
可得:6A*2+8x=0>解得再=0,%2=一],故乂=2/2二—§,
則|/同=居與=華,故B錯誤;
對C:若直線方程為尸+1,故可得比X1=-2,即為=_2/,又乂)=/+1,
xo
解得/=-;,盟=即一H],故C正確;
JJyOJy
對D:若點M坐標為(1,1),則;xA=-2,則左相=—2,
又Z8過點(1,1),則直線的方程為y-l=-2(x-l),即2x+y—3=0,故D錯誤.
故選:C.
二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的選項中,
有多項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0
分)
9.已知動直線/:丘一丁一人+1=0與圓4歹=0,則下列說法正確的是()
A.直線/過定點(1,1)
B.圓C的圓心坐標為(0,-2)
C.直線/與圓C的相交弦的最小值為2J5
D,直線/與圓C的相交弦的最大值為4
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)直線與圓的相關(guān)知識對各選項逐一判斷即可.
【詳解】對于A,直線/:而一F一女+1=0,即左(》一1)一丁+1=0,
x—1=0[x=1
令〈c,得《,,即直線/過定點(1,1),故A正確;
1-y=0[y=1
對于B,圓。:/+丁2一分=0,即*2+(歹一2)2=4,圓心坐標為(0,2),故B錯誤;
對于C,因為F+?!?『=2V4,所以直線/所過定點(1,1)在圓的內(nèi)部,不妨設(shè)直線/過定
點為/。,1),
當直線/與圓C的相交弦的最小時,AC與相交弦垂直,
又因為|/C|=J(l_0)2+(_2)2=后,所以相交弦的最小為
=2正一疔=2后,故C正確;
對于D,直線/與圓C的相交弦的最大值為圓。直徑4,故D正確.
故選:ACD
10.已知橢圓。噂+與=1與雙曲線6:/_產(chǎn)'1=1(9〈左<16),下列關(guān)于兩曲線
的說法正確的是()
A.G的長軸長與G的實軸長相等B.G的短軸長與。2的虛軸長相等
C.焦距相等D,離心率不相等
【正確答案】CD
【分析】利用橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)逐項判斷可得出合適的選項.
【詳解】由題意可知,橢圓G的長軸長為2%=8,短軸長為=6,焦距為
2cL2,16-9=2幣,
離心率為《]=」■=-^―,
Q14
當9<%<16時,16—左>0,9—左<0,
雙曲線G的焦點在x軸上,其實軸長為2a2=246,虛軸長為24=2五二§,
焦距為2G=2a6—2+左—9=2",離心率為e2=幺=■/■.
一一a2《16-k
故G的長軸長與G的實軸長不相等,G的短軸長與G的虛軸長不相等,
G與。2的焦距相等,離心率不相等.
故選:CD.
"2"'
11.已知數(shù)列{%}的前?項和為Sn,a,=1,5?+1=Sn+2a?+1,數(shù)列《-----卜的前〃項
Uq+J
和為7;,那么下列選項正確的是()
A.數(shù)列{%+1}是等比數(shù)列B.數(shù)列{4}的通項公式為
—
C.5?=2"-nD.7;<1
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)題設(shè)%,S”的關(guān)系,可判斷。+1}是否為等比數(shù)列,進而可得缶“}的通項公
‘2"'
式,應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列前〃項和得S〃,再寫出〈-------卜通項,應(yīng)用裂項法求7;,
即可判斷各選項的正誤.
[詳解]由題設(shè)知:%=s?+l-sn=2a?+l,則(%+]+1)=2(%+1)且1=1,即他+1}是
等比數(shù)列;
Aa=2n-l,且s,=q+。,+...+%—〃=2"|—2,
“nn1Ln12
「2"111
又-----------------------=--------------
n+ln,,+
an-an+l(2"-l)(2-1)2-l2'-1
故選:ABD.
12.已知—44G〃為正四棱柱,底面邊長為2,高為4,E,E分別為8用的
中點.則下列說法錯誤的是()
A.直線與平面OCGA所成角的正弦值為華
B.平面4BR±平面BDC]
C.直線EF被正四棱柱的外接球截得的弦長為2指
27r
D.以。為球心,2為半徑的球與側(cè)面8cq4的交線長為丁
【正確答案】ABD
【分析】4。。是直線Z"與平面ocqA所成角,計算A錯誤,平面/月。平面
BDC],B錯誤,R=網(wǎng),球心到E尸的距離為1,故弦長為26,C正確,交線長為兀,
D錯誤,得到答案.
【詳解】對選項A:4D_L平面。CGA,故乙4〃。是直線與平面。CGR所成角,
sinN/,0=-4==",錯誤;
12A/55
對選項B:BD〃BQ、,80u平面8£)G,平面BDC1,故BQ平面ADG,
同理平面8DG,故平面4用。平面BOG,錯誤;
對選項C:外接球半徑為R=亞運正=卡,球心到EF的距離為1,故弦長為
2
2JF=1=2遙,正確;
對選項D:平面8CG用到球心的距離為2,交線為圓的;部分,如圖所示6/,圓半徑為
r=J8—4=2,交線長為:x2口=冗,錯誤.
故選:ABD
三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)
13.以(1,3)為圓心,且與直線x+2y+8=0相切的圓的標準方程是.
【正確答案】(》一1)2+(丁一3)2=45
【分析】由相切關(guān)系得圓的半徑,得圓的標準方程.
【詳解】圓心到切線的距離Q=1+/2x3+?=36,所以圓的半徑廠=3百,
2
VP+21
所以圓的標準方程為(x—+(y—3)2=45.
故答案為.(x—1)2+(y—3)2=45
14.線段Z8,其中4(2,5),5(5,1),過定點尸(1,2)作直線/與線段相交,則直線/的斜
率的取值范圍是.
【正確答案】-!,3
_4_
【分析】計算《"=3,囁=_:,得到范圍.
【詳解】4(2,5),5(5,1),尸(1,2),故如=上匚=3,kBP=-=--,
48兩點之間橫坐標不包含1,故直線/的斜率的取值范圍是-9,3.
_4_
故-:,3
_4_
15.數(shù)列{%}滿足下列條件:。1=1,且V〃£N*,恒有。2“=?!?〃-1,則。256=.
【正確答案】248
【分析】由條件V”£N*,恒有。2〃=。"+”1,得出
767567
?256=?!28+(2-1)=+(2-1)+(2-1)=a32+(2-1)+(2-1)+(2-1)=-.?,按
照此規(guī)律計算到%,再分組求和即可得出答案.
【詳解】a2n=an+n-l9
二.a256=/28+(128-1)=628+⑵-1)
67
=?64+(2-1)+(2-1)
567
=?32+(2-1)+(2-1)+(2-1)
=???
=q+(2°-1)+⑵-1)+…+⑵-1)
=1+(2°-1)+(21-1)+-??+(27-1)
1+(20+2'+---+27)-8
lx(l-28)
=----------------7
1-2
=248,
故248.
16.圓錐曲線有良好的光學性質(zhì),光線從橢圓的一個焦點發(fā)出,被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的
另一個焦點(如左圖);光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出,被雙曲線反射后的反射光線等效于
22
從另一個焦點射出(如中圖).封閉曲線E(如右圖)是由橢圓G:—+^-=1和雙曲線
84
c2:1在夕軸右側(cè)的一部分(實線)圍成.光線從橢圓G上一點兄出發(fā),經(jīng)過點F2,
然后在曲線E內(nèi)多次反射,反射點依次為《,P2,鳥,鳥,…若兄,A重合,則光線從4
【正確答案】16^/2-8-\/3
【分析】根據(jù)給定條件,利用橢圓、雙曲線的光學性質(zhì),結(jié)合它們的定義列式計算作答.
222
【詳解】橢圓?+^=1的長軸長為4&,雙曲線事―丁=1的實軸長為2百,
由橢圓的光學性質(zhì)知|兄鳥|+|乙鳥|=4、5一有不,|+|巴鳥|=4層陰學
由雙曲線的光學性質(zhì)知14工|=|鳥月|—2石,|66|=|片6|—2JL而兄,4重合,
因此光線從po到4所經(jīng)過的路程:
\p0I]\+\f[p2\+\p2p3\+\p3p41=18罵1+1瑪耳1+1阜"+田瑪1+1瑪號+超旦|
=由田|+|月號+|月月|+出片|+|£/|+|4巴|=(4冉"?。?(西吊-26
+(4&—|片片I)+(|片用—26)=8后一46,光線從P4到R所經(jīng)過的路徑重復(fù)光線從
4到《所經(jīng)過的路徑,
所以光線從《到與所經(jīng)過的路程為2[8后-4J可=16拒-86.
故16夜-86
關(guān)鍵點睛:涉及圓錐曲線上的點與焦點距離的問題,認真分析題意,正確運用好橢圓、雙曲
線、拋物線的定義是關(guān)鍵.
四、解答題(本題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算
步驟)
17.記S“為等差數(shù)列{4}的前〃項和,已知%=5,56=0.
(1)求{4}的通項公式;
(2)求S.,并求S,,的最大值.
【正確答案】⑴=7-2/7
(2)5?=-(?-3)2+9,9
【分析】(1)根據(jù)§6=。得到2卬+54=0,計算d=—2,得到通項公式.
(2)確定5“=-(〃-3)2+9,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到答案.
【小問1詳解】
5=0,6('+刈=0,從而%+以=0,即2q+54=0,
2
%=5,所以d=-2,故a”=5-2(〃-1)=7-2〃.
【小問2詳解】
°+afl)〃(12-2〃)2,/八2c
Sn----------=---------=—n-+6n=—(n-3)-+9>
〃=3時5,,有最大值9.
18.已知點0(-2,2),直線/:ar—2>+3=0,圓C.犬+「-2x-6y+5=0
(1)若連接點。與圓心C的直線與直線/垂直,求實數(shù)。的值;
(2)若點P為X軸上一動點,求+的最小值,并寫出取得最小值時點尸的坐標.
【正確答案】(1)a=-6
(2)V34,P(-p0).
【分析】(1)由圓的一般方程寫出圓心、半徑,運用兩直線垂直可求得。的值.
(2)求點關(guān)于線的對稱點,進而求得+的最小值,運用點斜式寫出直線方程,再
求其與x軸交點.
【小問1詳解】
3一2]
圓C:(X—1)+(y—3)=5,C(l,3),?,.后°=一二=U,
V/1CZ),k.=-
12
,,1a[
???八八*K-j~*----1,
CD132
Q=-6.
【小問2詳解】
點。(一2,2)關(guān)于x軸的對稱點為。'(一2,-2),
則|PC|+|PD|=|PC]+|尸。[>\CD'\=J(l+2)2+(3+2)2=取,
當且僅當P、C、三點共線時等號成立,
55/54
此時,kCD>=—>則直線方程為:y+2=§(x+2),即=
44
令y=0,WX=--,所以尸(一《,0).
故1Pq+歸口的最小值為扃,此時點p坐標為(-g,o).
19.在棱長為2的正方體488—08'。'。'中,M,N,。,尸分別為BC,CC,CD,AA'
的中點.
(1)求證:MO平面800';
(2)求異面直線8N與尸8'所成角的余弦值.
【正確答案】(1)證明見解析
(2)
5
【分析】(1)取8。中點。,連接M。,QD',BD',確定四邊形為平行四邊形,
得到V。//。。',得到證明.
(2)建立空間直角坐標系,計算各點坐標,得到麗=(-2,0,1),而=(0,2,1),根據(jù)向
量夾角公式計算得到答案.
【小問1詳解】
取8。中點0,連接QD',BD',則=MQ//DC//OD',
又因為O。'=L。'。'='C0,所以MQ//。0'且MQ=OD',
22一一
所以四邊形"。。'。為平行四邊形,所以"O//。。',
又因為。。'u平面8。。,,MOu平面8。。,,所以MO//平面8。。'.
【小問2詳解】
以。為原點,DA、DC、分別為小y、z軸,建立空間直角坐標系.
則8(2,2,0),*(2,2,2),尸(2,0,1),N(0,2,l),
所以麗=(—2,0,1),麗=(0,2,1),
設(shè)直線BN與PB'所成角為0,
\BN-PB'\11
所以cos0=?—..—=—7=~-/==—,
忸葉附[V5-V55
所以異面直線8N與尸8'所成角的余弦值為
20.己知數(shù)列{%}的前〃項和S,,滿足條件2s“+3=3勺,其中〃eN*.
(1)求{%}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列滿足a=log”“3,又1)?+^%+…+b,b”+2<M,對一切“eN*恒成立,求
M的取值范圍.
【正確答案】⑴。"=3"
⑵4+8)
【分析】⑴計算得到2s“+3=3atl,2s+3=3。用,相減得到a?+1=3ali,計算q=3,
得到通項公式.
確定利用裂項相消法計算和,確定取值范圍.
(2)“=2,6A+2=1|---1),
n2\nn+2J
【小問1詳解】
2S〃+3=3%,2s"I+3=3a“+],兩式相減得2an+i=3a用一3al:,an+t=3a?,
又2S]+3=3a],,=Q],%=3,
數(shù)列{4}是以首項為3,公比為3的等比數(shù)列,勺=3?3小=3".
【小問2詳解】
,,,1-1If111
b“=log”,,3=一,bb==---------,
"nnn+2〃(〃+2)2〃+2J
設(shè)騫=*3+她+…+她+2,
2[\3)(24)【35)Z2+1JI”〃+2
33、
又7;</對一切〃cN*恒成立,M>~,〃的取值范圍為-9+ooI
4L4)
21.已知四棱錐尸一/BCZ)(如圖),四邊形/5CD為正方形,面尸/3_L面Z8CZ),
PA=PB=AB=2,M為AD中點.
(1)求證:PCIBM;
(2)求直線PC與平面尸8〃所成角的余弦值.
【正確答案】(1)證明見解析
⑵叵
4
【分析】(1)運用面面垂直性質(zhì)定理證得P0上面4BCD,以O(shè)為原點建立空間直角坐標系,
運用空間向量坐標法證明線線垂直.
(2)運用空間向量坐標法求線面角的正弦值,再運用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得其余弦
值.
【小問1詳解】
證明:取中點0,連接。尸,并過點。作8C的平行線OE,交CD于E,則。EJ,N8,
,?PA=PB=AB,:.PAB為等邊三角形,又為中點,/.PO±AB,
又?.?面尸48_1_面/88,面P48c面力88=力8,POu面P4B,
:.PO上面4BCD,;.PO工OE,
以。為原點,OB,OE,。尸所在直線分別為x,門z軸建立如圖空間直角坐標系,
因為P/=A8=2.
則3(1,0,0),尸(0,0,G),陽(一1,1,0),C(l,2,0),
PC=(1,2,-V3),(-2,1.0),
所以定.麗=1X(_2)+2X1+(—6)X0=0,
所以PC_L8M.
【小問2詳解】
1,-V3),PC=(1,2,-73),
設(shè)平面P8W的一個法向量為〃=(x,y,z),則有
PM?方=0一X+y一VJz=0
<___,即1,
BM-n=01-2x+y=0
令x=l,則歹=2,z=①,所以3=(1,2,乂
3:
設(shè)直線PC與平面尸8M所成角為6
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