2023-2024學(xué)年重慶市主城區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)期末考試質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（含解析）

2023-2024學(xué)年重慶市主城區(qū)高二上冊(cè)期末考試質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.已知等差數(shù)列｛"〃｝的前〃項(xiàng)和為S，，，且兀=10,$20=40,則$30=().

A.90B.80C.60D.30

【正確答案】A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的片斷和性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，知Ro，SR-'O，WO-%，

…成等差數(shù)列，即2(Szo—號(hào)0)=530—S20+B0,所以

530=3X(S20-510)=3X(40-10)=90.

故選：A.

2.若￡+1=(—2,—1,2),￡—5=(4,—3,—2),則等于()

A.5B.-5C.7D.—1

【正確答案】B

【分析】利用空間向量的四則運(yùn)算與數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】?.1+5=(一2,-1,2),a-6=(4,-3,-2),.,?兩式相加得22=(2,-4,0)，

二Z=(1,—2,0),：,b=a+b-a=(-3,1,2)，

.,i5=1x(-3)+(-2)x1+0x2=-5,

故選：B.

3.已知拋物線(xiàn)y=的焦點(diǎn)為R1)(-1,0),則為()

I-17

A.<6B.2C.—D.

16

【正確答案】D

【分析】確定焦點(diǎn)/(0』)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算得到答案.

【詳解】拋物線(xiàn)y=；?,即》2="，焦點(diǎn)尸(0,1),￡)(-1,0),-0|=疝？=后.

故選：D

22

4.己知點(diǎn)4民。在雙曲線(xiàn)+-與=1(4>0,6>0)上，若48兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，力C過(guò)右

ab

焦點(diǎn)F,且方?k=0,3|/P|=|W|,則雙曲線(xiàn)的離心率為()

A.叵B.V3C.V5D.1+72

2

【正確答案】A

【分析】設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為耳，連接4片,。耳，可知N4NC=90。，由

設(shè)|=加,|C尸|=3加，再由雙曲線(xiàn)的定義可得|/用=24+機(jī),16a=2a+3a,然后利

用勾股定理列方程可求得加=a,從而可求出。的關(guān)系，進(jìn)而可求出離心率

【詳解】解：設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為片，連接與，可知/片〃。=90。，

設(shè)|/尸|二九|FC\=3浜月|=2a+九出C|=2a+3加,(2a+加>+(4m)2=(2a+3m)2,

解得m=a,(3a)2+/=4c2,e=~~~,

故選：A.

5.等比數(shù)列｛a“｝為遞減數(shù)列，若%-64=6,%+%7=5,則%=()

。18

32〃1

A.—B.-C.-D.6

236

【正確答案】A

【分析】

47?4=%97=6,可得知與47為方程爐―5x+6=0的兩個(gè)根，又%>%+1，解得包，

a”，再利用通項(xiàng)公式即可得出.

【詳解】：等比數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，%，％4=6，%+《7=5，

%與%7為方程-—5x+6=0的兩個(gè)根，

解得。4=2，。［7=3或。4=3，%7=2,

>a〃+],t74=3,a]？=2,

.〃13_47一2

‘?g—一-7

a43

故選:4

6.已知各棱長(zhǎng)均為1的四面體力38中，￡是的中點(diǎn)，PG直線(xiàn)CE,則忸尸|+|。尸］

的最小值為（）

1+6

2

1+V3

【正確答案】B

【分析】將ACDE旋轉(zhuǎn)至與ABCE共面，連結(jié)8。，則它與CE的交點(diǎn)尸，即為使

忸可+|。耳取最小值的點(diǎn)，然后在A5DE中利用余弦定理求出60的值.

【詳解】如圖，將ACQE旋轉(zhuǎn)至與A3CE共面，連結(jié)30,則它與CE的交點(diǎn)P，即為使

忸。|+|?？扇∽钚≈档狞c(diǎn).

易知BE=CE=—,BC=I,DE--,ZDEC=90°，

22

BE+CEBC

在MCE中由余弦定理得cosNBEC=''-'=1,

2BECE

從而由平方關(guān)系得sinZ.BEC=----

3

在A5Z）E中由余弦定理得

BD1=DE2+BE2-IDE-BEcos(900+NBEC)

所以

【點(diǎn)晴】本題考查空間求線(xiàn)段和差的最值問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平面上處理，結(jié)合三角形

的正弦、余弦定理求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.

7.分形幾何學(xué)是一門(mén)以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，它的研究對(duì)象普遍存在于自

然界中，因此又被稱(chēng)為“大自然的幾何學(xué)”.按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的

一個(gè)樹(shù)形圖.若記圖2中第〃行黑圈的個(gè)數(shù)為4,則勺=（）

第1行

第2行

O?0??一一第3行

圖1圖2

A.110B.128C.144D.89

【正確答案】C

【分析】?！氨硎镜凇ㄐ兄械暮谌€(gè)數(shù)，設(shè)，表示第〃行中的白圈個(gè)數(shù)，由題意可得

a“+i=2a.+b“，bn+}=an+bn,根據(jù)初始值，由此遞推即可求得結(jié)果.

【詳解】己知見(jiàn),表示第〃行中的黑圈個(gè)數(shù)，設(shè)〃表示第〃行中的白圈個(gè)數(shù)，則由于每個(gè)白

圈產(chǎn)生下一行的一個(gè)白圈和一個(gè)黑圈，一個(gè)黑圈產(chǎn)生下一行的一個(gè)白圈和2個(gè)黑圈，

所以+"，bn+l=an+bn,

又因?yàn)椋?0,4=1,

所以。2=1，4=1;

所以%=2xl+l=3,=1+1=2；

a4=2x3+2=8,b4=3+2=5；

區(qū)=2x8+5=21,b5=8+5=13；

4=2x21+13=55,b6=21+13=34；

%=2x55+34=144.

故選：c.

22

8.設(shè)橢圓的方程為工+匕=1,斜率為％的直線(xiàn)/不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0,且與橢圓相交于4,B兩

點(diǎn)，加為線(xiàn)段的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

A.直線(xiàn)/與一定垂直

B.若直線(xiàn)/方程為y=2x+2,則以a=|6.

C.若直線(xiàn)/方程為y=x+l,則點(diǎn)M坐標(biāo)為

D.若點(diǎn)收坐標(biāo)為（1,1）,則直線(xiàn)/方程為2x—y—3=0

【正確答案】C

【分析】設(shè)"（々，九），利用點(diǎn)差法可得比，左=-2,判斷A正確;

逑，判斷B錯(cuò)誤;

3

]_2

利用點(diǎn)差法的結(jié)論可以求出〃,判斷C正確;

353

利用點(diǎn)差法的結(jié)論可以求出kAB=-2,進(jìn)而判斷D錯(cuò)誤.

【詳解】不妨設(shè)46坐標(biāo)為（內(nèi),必）,（吃，％），則曰+今=1，今=1兩式作差可得:

震x在7,設(shè)“伍，幾），則令％7

對(duì)A：kABxkOM=kx^=-2,故直線(xiàn)48,OM不垂直，則A錯(cuò)誤;

對(duì)B：若直線(xiàn)方程為J=2x+2,聯(lián)立橢圓方程2/+「=4,

42

可得：6A*2+8x=0>解得再=0,%2=一]，故乂=2/2二—§，

則|/同=居與=華，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：若直線(xiàn)方程為尸+1,故可得比X1=-2,即為=_2/，又乂）=/+1,

xo

解得/=-；,盟=即一H]，故C正確；

JJyOJy

對(duì)D：若點(diǎn)M坐標(biāo)為（1,1）,則;xA=-2,則左相=—2,

又Z8過(guò)點(diǎn)（1,1）,則直線(xiàn)的方程為y-l=-2（x-l）,即2x+y—3=0,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0

分）

9.已知?jiǎng)又本€(xiàn)/:丘一丁一人+1=0與圓4歹=0,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)（1,1）

B.圓C的圓心坐標(biāo)為（0，-2）

C.直線(xiàn)/與圓C的相交弦的最小值為2J5

D,直線(xiàn)/與圓C的相交弦的最大值為4

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)直線(xiàn)與圓的相關(guān)知識(shí)對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,直線(xiàn)/:而一F一女+1=0,即左（》一1）一丁+1=0,

x—1=0[x=1

令〈c，得《，，即直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)（1,1）,故A正確；

1-y=0[y=1

對(duì)于B,圓。：/+丁2一分=0,即*2+（歹一2）2=4,圓心坐標(biāo)為（0,2）,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)镕+?！?『=2V4,所以直線(xiàn)/所過(guò)定點(diǎn)（1,1）在圓的內(nèi)部，不妨設(shè)直線(xiàn)/過(guò)定

點(diǎn)為/。，1），

當(dāng)直線(xiàn)/與圓C的相交弦的最小時(shí)，AC與相交弦垂直,

又因?yàn)閨/C|=J（l_0）2+（_2）2=后,所以相交弦的最小為

=2正一疔=2后，故C正確；

對(duì)于D,直線(xiàn)/與圓C的相交弦的最大值為圓。直徑4,故D正確.

故選：ACD

10.已知橢圓。噂+與=1與雙曲線(xiàn)6：/_產(chǎn)'1=1（9〈左<16）,下列關(guān)于兩曲線(xiàn)

的說(shuō)法正確的是（）

A.G的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與G的實(shí)軸長(zhǎng)相等B.G的短軸長(zhǎng)與。2的虛軸長(zhǎng)相等

C.焦距相等D,離心率不相等

【正確答案】CD

【分析】利用橢圓、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】由題意可知，橢圓G的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2%=8,短軸長(zhǎng)為=6,焦距為

2cL2,16-9=2幣,

離心率為《］=」■=-^―,

Q14

當(dāng)9<%<16時(shí)，16—左>0,9—左<0,

雙曲線(xiàn)G的焦點(diǎn)在x軸上，其實(shí)軸長(zhǎng)為2a2=246，虛軸長(zhǎng)為24=2五二§,

焦距為2G=2a6—2+左—9=2",離心率為e2=幺=■/■.

一一a2《16-k

故G的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與G的實(shí)軸長(zhǎng)不相等，G的短軸長(zhǎng)與G的虛軸長(zhǎng)不相等，

G與。2的焦距相等，離心率不相等.

故選：CD.

"2"'

11.已知數(shù)列｛%｝的前?項(xiàng)和為Sn,a,=1,5?+1=Sn+2a?+1,數(shù)列《-----卜的前〃項(xiàng)

Uq+J

和為7；,那么下列選項(xiàng)正確的是（）

A.數(shù)列｛%+1｝是等比數(shù)列B.數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為

—

C.5?=2"-nD.7；＜1

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)題設(shè)%,S”的關(guān)系，可判斷。+1｝是否為等比數(shù)列，進(jìn)而可得缶“｝的通項(xiàng)公

‘2"'

式，應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列前〃項(xiàng)和得S〃，再寫(xiě)出〈-------卜通項(xiàng)，應(yīng)用裂項(xiàng)法求7；,

即可判斷各選項(xiàng)的正誤.

[詳解]由題設(shè)知:%=s?+l-sn=2a?+l,則(%+]+1)=2(%+1)且1=1,即他+1｝是

等比數(shù)列；

Aa=2n-l,且s,=q+。，+...+%—〃=2"|—2,

“nn1Ln12

「2"111

又-----------------------=--------------

n+ln,,+

an-an+l(2"-l)(2-1)2-l2'-1

故選：ABD.

12.已知—44G〃為正四棱柱，底面邊長(zhǎng)為2,高為4,E,E分別為8用的

中點(diǎn).則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.直線(xiàn)與平面OCGA所成角的正弦值為華

B.平面4BR±平面BDC]

C.直線(xiàn)EF被正四棱柱的外接球截得的弦長(zhǎng)為2指

27r

D.以。為球心，2為半徑的球與側(cè)面8cq4的交線(xiàn)長(zhǎng)為丁

【正確答案】ABD

【分析】4。。是直線(xiàn)Z"與平面ocqA所成角，計(jì)算A錯(cuò)誤，平面/月。平面

BDC],B錯(cuò)誤，R=網(wǎng),球心到E尸的距離為1,故弦長(zhǎng)為26，C正確，交線(xiàn)長(zhǎng)為兀，

D錯(cuò)誤，得到答案.

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：4D_L平面。CGA，故乙4〃。是直線(xiàn)與平面。CGR所成角,

sinN/，0=-4=="，錯(cuò)誤；

12A/55

對(duì)選項(xiàng)B：BD〃BQ、,80u平面8￡）G，平面BDC1,故BQ平面ADG，

同理平面8DG，故平面4用。平面BOG，錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C：外接球半徑為R=亞運(yùn)正=卡，球心到EF的距離為1,故弦長(zhǎng)為

2

2JF=1=2遙，正確；

對(duì)選項(xiàng)D：平面8CG用到球心的距離為2,交線(xiàn)為圓的;部分，如圖所示6/，圓半徑為

r=J8—4=2，交線(xiàn)長(zhǎng)為：x2口=冗，錯(cuò)誤.

故選：ABD

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.以（1,3）為圓心，且與直線(xiàn)x+2y+8=0相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

【正確答案】（》一1）2+（丁一3）2=45

【分析】由相切關(guān)系得圓的半徑，得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】圓心到切線(xiàn)的距離Q=1+/2x3+?=36,所以圓的半徑廠=3百，

2

VP+21

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—+（y—3）2=45.

故答案為.(x—1)2+(y—3)2=45

14.線(xiàn)段Z8,其中4(2,5),5(5,1),過(guò)定點(diǎn)尸(1,2)作直線(xiàn)/與線(xiàn)段相交，則直線(xiàn)/的斜

率的取值范圍是.

【正確答案】-!，3

_4_

【分析】計(jì)算《"=3,囁=_：,得到范圍.

【詳解】4(2,5),5(5,1),尸(1,2),故如=上匚=3,kBP=-=--,

48兩點(diǎn)之間橫坐標(biāo)不包含1，故直線(xiàn)/的斜率的取值范圍是-9，3.

_4_

故-：,3

_4_

15.數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足下列條件：。1=1,且V〃￡N*，恒有。2“=?！?〃-1，則。256=.

【正確答案】248

【分析】由條件V”￡N*，恒有。2〃=。"+”1，得出

767567

?256=?!28+(2-1)=+(2-1)+(2-1)=a32+(2-1)+(2-1)+(2-1)=-.?,按

照此規(guī)律計(jì)算到％,再分組求和即可得出答案.

【詳解】a2n=an+n-l9

二.a256=/28+(128-1)=628+⑵-1)

67

=?64+(2-1)+(2-1)

567

=?32+(2-1)+(2-1)+(2-1)

=???

=q+(2°-1)+⑵-1)+…+⑵-1)

=1+(2°-1)+(21-1)+-??+(27-1)

1+(20+2'+---+27)-8

lx（l-28）

=----------------7

1-2

=248,

故248.

16.圓錐曲線(xiàn)有良好的光學(xué)性質(zhì)，光線(xiàn)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過(guò)橢圓的

另一個(gè)焦點(diǎn)（如左圖）；光線(xiàn)從雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線(xiàn)反射后的反射光線(xiàn)等效于

22

從另一個(gè)焦點(diǎn)射出（如中圖）.封閉曲線(xiàn)E（如右圖）是由橢圓G：—+^-=1和雙曲線(xiàn)

84

c2：1在夕軸右側(cè)的一部分（實(shí)線(xiàn)）圍成.光線(xiàn)從橢圓G上一點(diǎn)兄出發(fā)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2,

然后在曲線(xiàn)E內(nèi)多次反射，反射點(diǎn)依次為《，P2,鳥(niǎo)，鳥(niǎo)，…若兄,A重合，則光線(xiàn)從4

【正確答案】16^/2-8-\/3

【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)，結(jié)合它們的定義列式計(jì)算作答.

222

【詳解】橢圓?+^=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4&，雙曲線(xiàn)事―丁=1的實(shí)軸長(zhǎng)為2百，

由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知|兄鳥(niǎo)|+|乙鳥(niǎo)|=4、5一有不，|+|巴鳥(niǎo)|=4層陰學(xué)

由雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)知14工|=|鳥(niǎo)月|—2石，|66|=|片6|—2JL而兄，4重合，

因此光線(xiàn)從po到4所經(jīng)過(guò)的路程：

\p0I]\+\f[p2\+\p2p3\+\p3p41=18罵1+1瑪耳1+1阜"+田瑪1+1瑪號(hào)+超旦|

=由田|+|月號(hào)+|月月|+出片|+|￡/|+|4巴|=（4冉"?。?（西吊-26

+(4&—|片片I)+(|片用—26)=8后一46,光線(xiàn)從P4到R所經(jīng)過(guò)的路徑重復(fù)光線(xiàn)從

4到《所經(jīng)過(guò)的路徑，

所以光線(xiàn)從《到與所經(jīng)過(guò)的路程為2[8后-4J可=16拒-86.

故16夜-86

關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)與焦點(diǎn)距離的問(wèn)題，認(rèn)真分析題意，正確運(yùn)用好橢圓、雙曲

線(xiàn)、拋物線(xiàn)的定義是關(guān)鍵.

四、解答題(本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟)

17.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知％=5,56=0.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求S.,并求S,,的最大值.

【正確答案】⑴=7-2/7

(2)5?=-(?-3)2+9,9

【分析】(1)根據(jù)§6=。得到2卬+54=0,計(jì)算d=—2,得到通項(xiàng)公式.

(2)確定5“=-(〃-3)2+9,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到答案.

【小問(wèn)1詳解】

5=0,6('+刈=0,從而％+以=0,即2q+54=0,

2

%=5,所以d=-2,故a”=5-2(〃-1)=7-2〃.

【小問(wèn)2詳解】

°+afl)〃(12-2〃)2,/八2c

Sn----------=---------=—n-+6n=—(n-3)-+9>

〃=3時(shí)5,,有最大值9.

18.已知點(diǎn)0(-2,2),直線(xiàn)/：ar—2>+3=0,圓C.犬+「-2x-6y+5=0

(1)若連接點(diǎn)。與圓心C的直線(xiàn)與直線(xiàn)/垂直，求實(shí)數(shù)。的值;

（2）若點(diǎn)P為X軸上一動(dòng)點(diǎn)，求+的最小值，并寫(xiě)出取得最小值時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【正確答案】（1）a=-6

（2）V34,P（-p0）.

【分析】（1）由圓的一般方程寫(xiě)出圓心、半徑，運(yùn)用兩直線(xiàn)垂直可求得。的值.

（2）求點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，進(jìn)而求得+的最小值，運(yùn)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程，再

求其與x軸交點(diǎn).

【小問(wèn)1詳解】

3一2]

圓C：（X—1）+（y—3）=5,C（l,3）,?,.后°=一二=U，

V/1CZ）,k.=-

12

,,1a[

???八八*K-j~*----1,

CD132

Q=-6.

【小問(wèn)2詳解】

點(diǎn)。（一2,2）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。'（一2,-2）,

則|PC|+|PD|=|PC]+|尸。[>\CD'\=J（l+2）2+（3+2）2=取，

當(dāng)且僅當(dāng)P、C、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立，

55/54

此時(shí)，kCD>=—>則直線(xiàn)方程為：y+2=§（x+2）,即=

44

令y=0,WX=--,所以尸（一《,0）.

故1Pq+歸口的最小值為扃，此時(shí)點(diǎn)p坐標(biāo)為（-g,o）.

19.在棱長(zhǎng)為2的正方體488—08'。'。'中，M,N,。，尸分別為BC,CC,CD,AA'

的中點(diǎn).

(1)求證：MO平面800'；

(2)求異面直線(xiàn)8N與尸8'所成角的余弦值.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)

5

【分析】(1)取8。中點(diǎn)。，連接M。，QD',BD',確定四邊形為平行四邊形,

得到V。//。。'，得到證明.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，得到麗=(-2,0,1),而=(0,2,1),根據(jù)向

量夾角公式計(jì)算得到答案.

【小問(wèn)1詳解】

取8。中點(diǎn)0,連接QD',BD',則=MQ//DC//OD',

又因?yàn)镺。'=L。'。'='C0,所以MQ//。0'且MQ=OD',

22一一

所以四邊形"。。'。為平行四邊形，所以"O//。。',

又因?yàn)椤！?u平面8。。，，MOu平面8。。，，所以MO//平面8。。'.

【小問(wèn)2詳解】

以。為原點(diǎn)，DA、DC、分別為小y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則8(2,2,0),*(2,2,2),尸(2,0,1),N(0,2,l),

所以麗=(—2,0,1),麗=(0,2,1),

設(shè)直線(xiàn)BN與PB'所成角為0,

\BN-PB'\11

所以cos0=?—..—=—7=~-/==—,

忸葉附[V5-V55

所以異面直線(xiàn)8N與尸8'所成角的余弦值為

20.己知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S,,滿(mǎn)足條件2s“+3=3勺，其中〃eN*.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足a=log”“3,又1)?+^%+…+b,b”+2<M,對(duì)一切“eN*恒成立，求

M的取值范圍.

【正確答案】⑴。"=3"

⑵4+8)

【分析】⑴計(jì)算得到2s“+3=3atl,2s+3=3。用，相減得到a?+1=3ali,計(jì)算q=3,

得到通項(xiàng)公式.

確定利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算和，確定取值范圍.

(2)“=2，6A+2=1|---1)，

n2\nn+2J

【小問(wèn)1詳解】

2S〃+3=3%,2s"I+3=3a“+],兩式相減得2an+i=3a用一3al:,an+t=3a?,

又2S]+3=3a],，=Q],%=3,

數(shù)列｛4｝是以首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，勺=3?3小=3".

【小問(wèn)2詳解】

,,,1-1If111

b“=log”,,3=一,bb==---------，

"nnn+2〃(〃+2)2〃+2J

設(shè)騫=*3+她+…+她+2,

2[\3)(24)【35)Z2+1JI”〃+2

33、

又7；</對(duì)一切〃cN*恒成立，M>~,〃的取值范圍為-9+ooI

4L4）

21.已知四棱錐尸一/BCZ）（如圖），四邊形/5CD為正方形，面尸/3_L面Z8CZ）,

PA=PB=AB=2,M為AD中點(diǎn).

（1）求證：PCIBM；

（2）求直線(xiàn)PC與平面尸8〃所成角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵叵

4

【分析】（1）運(yùn)用面面垂直性質(zhì)定理證得P0上面4BCD,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

運(yùn)用空間向量坐標(biāo)法證明線(xiàn)線(xiàn)垂直.

（2）運(yùn)用空間向量坐標(biāo)法求線(xiàn)面角的正弦值，再運(yùn)用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得其余弦

值.

【小問(wèn)1詳解】

證明：取中點(diǎn)0,連接。尸，并過(guò)點(diǎn)。作8C的平行線(xiàn)OE,交CD于E,則。EJ,N8,

,?PA=PB=AB,：.PAB為等邊三角形,又為中點(diǎn)，/.PO±AB,

又?.?面尸48_1_面/88,面P48c面力88=力8,POu面P4B,

:.PO上面4BCD,；.PO工OE,

以。為原點(diǎn)，OB,OE,。尸所在直線(xiàn)分別為x,門(mén)z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)镻/=A8=2.

則3(1,0,0),尸(0,0,G),陽(yáng)(一1,1,0),C(l,2,0),

PC=(1,2,-V3),(-2,1.0),

所以定.麗=1X(_2)+2X1+(—6)X0=0,

所以PC_L8M.

【小問(wèn)2詳解】

1,-V3),PC=(1,2,-73),

設(shè)平面P8W的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),則有

PM?方=0一X+y一VJz=0

<___，即1,

BM-n=01-2x+y=0

令x=l,則歹=2,z=①，所以3=(1,2,乂

3:

設(shè)直線(xiàn)PC與平面尸8M所成角為6