2023-2024學(xué)年安徽省合肥高二年級(jí)下冊(cè)開(kāi)學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年安徽省合肥高二下冊(cè)開(kāi)學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

3π

1.已知直線/的傾斜角為4,直線4經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（工2）和'（”,T）,且直線/與4垂直，。的

值為（）

A.1B.6C.0或6D.0

【正確答案】D

【分析】求出直線/與4的斜率，利用兩個(gè)斜率乘積等于-1即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€/的傾斜角為一，所以直線/的斜率為tan—=-1,且/與4垂直，

44

所以直線∕∣斜率存在，

由經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（3,2）和5（。,-1）,所以直線4斜率為土2,

a-3

所以土2=1,解得：α=0,

a-3

故選：D

"TM.>1，

,（）

2.已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足q=J5,all+l=J_n],（〃eN*）,則α2023=

1%

?-V2—1B.C.-y∕2D.yp2.+1

【正確答案】C

【分析】列舉法觀察規(guī)律，可以歸納出結(jié)果.

【詳解】已知4=√Σ,απ+1=]1a（〃eN*）,α,=√2-l,a,=√2+l,

1vi

——,0<α,l<1'-

α4=√2............?.觀察可得該數(shù)列是周期數(shù)列且周期為3,,02023=6=3.

故選：C.

3.已知點(diǎn)4（2,-1,2）在平面α內(nèi)，力=（3,1,2）是平面α的一個(gè)法向量，則下列點(diǎn)P中，在

平面a內(nèi)的是O

B?P過(guò)c

A.P(LTI)PLTlD.

【正確答案】B

【分析】利用平面法向量的性質(zhì)，通過(guò)選項(xiàng)逐一排除.

【詳解】設(shè)尸(x∕,z),則萬(wàn)二(X-2,y+l,z-2);由題意知，Zpi∏,則萬(wàn)?萬(wàn)=0,

3(x—2)+(y+1)+2(z—2)=0,化簡(jiǎn)得3x+y+2z=9.驗(yàn)證得，

在A中，3×1-1+2×1=4,不滿(mǎn)足條件；

3

在B中，3×l+3+2×-=9,滿(mǎn)足條件；

2

3

在C中，3×l-3+2×-=3,不滿(mǎn)足條件；

2

,(3、15

在D中，3×(-l)-3+2×--,不滿(mǎn)足條件.故A,C,D錯(cuò)誤.

?4JL

故選：B.

4.我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù)，也就是用內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，即圓

內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，其周長(zhǎng)就越逼近圓周長(zhǎng).這種用極限思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方

法是數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)重大成就，現(xiàn)作出圓/+/=2的一個(gè)內(nèi)接正八邊形，使該正八邊形

的其中4個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則下列4條直線中不是該正八邊形的一條邊所在直線的為O

A.ɑ-y∕2^X-y-}-y∣2=0B.(1-+y+=0

C.x-^y∕2,÷1jy÷y/2=0D.V2—1jx÷?÷V2=0

【正確答案】C

【分析】利用正八邊形和圓的性質(zhì)，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用直線方程求解.

如圖所示,由題可知z(0,θ),5(1,1),c(0,√2),O(-L1),JE(-√2,O),F(-l,-l),

G(0,-√2),H(LT),

所以直線8C的方程為V=(I-√∑)x+√∑,整理為一般式，即(1一JΣ)x-y+6^=0,

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，直線(l-J5)x+y+J5=O過(guò)點(diǎn)G(θ,-J5),77(1,-1),即為直線G"方

程，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，直線x-(√Σ+l)y+JΣ=O過(guò)點(diǎn)網(wǎng)一啦,0),但不經(jīng)過(guò)Z)(-l,l),F(-l,-l),

故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，直線(0—l)x+y+6=0經(jīng)過(guò)G僅J5),F(-l,-l),即為直線GF的

方程，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

22

5.拋物線/=2PX(P>0)的焦點(diǎn)為尸，其準(zhǔn)線與雙曲線二一￡=1的漸近線相交于4B

兩點(diǎn)，若AZB/7的周長(zhǎng)為4/，則P=()

A.2B.2√2C.8D.4

【正確答案】A

【分析】設(shè)/在X軸上方，根據(jù)雙曲線和拋物線的定義表示出|力耳，|E4|、IEB列出方程,

解之即可.

【詳解】雙曲線片—片=1的漸近線方程為J=±立X,

84,2

拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為X=/，

,,(p&?(p42}

設(shè)力在工軸上方，則/一~-P，B——P，

+

?^?H=y-P'?FA=?FB?=^P'與P=當(dāng)P?

又,：AZB/的周長(zhǎng)為40，

7

?*?∣∕^4∣÷∣7ff∣+∣24jS∣=3,P+3,P+P-4λ∕2,

：.p-2.

故選：A.

6.已知四面體O-ZBC,G是-BC的重心，尸是線段OG上的點(diǎn)，且OP=2PG,若

OP=xOA+yOB+zOC,則(Xj,z)為()

(\1∩(2221

?`〔I遍B?向司D.

(???)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】由題意知，

"?OP=2PG

2(、

—OP=-2O——G=-?-1O—A+-1O—B+-1O——C?=-2O—A+-2O—B-+-2—OC.

33(333J999

故選：B.

已知數(shù)列滿(mǎn)足n,+

7.｛α∕q=2,a2,,=Λ2Λ-I+3(π∈N*),a2,,+l=α2rt+(-l∕'(n∈N*),

則數(shù)列｛/｝第2023項(xiàng)為O

IO>23'O'2-1C3'O'3+3C

A.-3-------+---3B.-----------C.-----------D.

222

3'O'3-1

2

【正確答案】A

【分析】確定々“+1一4.T=3"+(-1)"“，利用累加法計(jì)算得到答案.

【詳解】由。2,用=%+(一1)”‘，4,,=41+3"

%用一的，，T=3n+(-l),,+'(Λ∈N*,W≥2),

,

所以%—%=3∣+(-1)"，%—%=3~+(—1)，O7—=3÷(—1)>L,

?-?=3'O1'+(-1Γ2>

將上式相加得:

341—3H)U)

a2023=6+(—1)-+(-iy+???(-l)'°'2+3+32+33+???+3∣°"=2+1+------------

I-J

3l012+3

2

故選：A

，r2

8.設(shè)尸,。分別為圓V+(y-6)=8和橢圓,+/=1上的點(diǎn)，貝IjP,。兩點(diǎn)間的最大距

離是O

A.5√2B.√46+2√2C.7+2√2D.7√2

【正確答案】D

【分析】P,。兩點(diǎn)間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點(diǎn)的最大距離再加上圓的半徑

2√2>設(shè)。(x∕),利用函數(shù)思想可求.

【詳解】依題意尸，。兩點(diǎn)間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點(diǎn)的最大距離再加上圓

的半徑2√Σ.設(shè)0(x,v).圓心到橢圓的最大距離

d=Jχ2+(尸6)2=J_9必_]2尸46=卜y+g)+50≤5√2.所以產(chǎn)，。兩點(diǎn)間

的最大距離是7√Σ?

故選：D.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0

分.

9.已知橢圓C：W+∕=i(α>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片，瑪焦距為2√L離心率

為趙，尸為橢圓左半邊上一點(diǎn)，連接PK交y軸于點(diǎn)MPF1LPFt,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

3

則下列說(shuō)法正確的是O

A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3

B.?FiF2?=4?0N?

C.若點(diǎn)。在橢圓C上，則|。耳|的最大值為3+指

D.點(diǎn)P到X軸的距離為逑

5

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)橢圓的焦距和離心率判斷選項(xiàng)A；由Pg，尸耳得到△尸耳g6公。叫，利

用相似比可判斷B；利用橢圓的性質(zhì)可判斷C；設(shè)P在X軸上的投影為G,得到

/\PF\GS“PG,結(jié)合勾股定理，進(jìn)而求解即可.

【詳解】焦距為2下，離心率為辛，得α=3"=2,因?yàn)镻K?LPK,勾股定理得IPKl=4,

I尸耳I=2,對(duì)于A選項(xiàng)，α=3,所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2α=6,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于B選項(xiàng)，由題意得比馬=2指，|0用=|。用=√?,

因?yàn)镻&J.PK，所以Az與乙Sf嘿.船

故IOM=半，陽(yáng)El=川。N∣,B選項(xiàng)正確;

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?在橢圓C上，則∣Q4L=α+c=3+√L故C選項(xiàng)正確;

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)尸在X軸上的投影為G,則△/與GSMPG,

則耨=耨=；，所以IPGl=2年］,又由Gf+∣PGf=附「=4,

解得IPGI=2歸￡|="，則尸到X軸的距離為竽，故D選項(xiàng)正確;

故選：BCD.

10.己知圓C:(x—3『+(y—4『=1和兩點(diǎn)4(一加,1),8(加l)(m>0).若以48為直

徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則〃?可能的取值為O

A.6B.5C.4D.3

【正確答案】BC

【分析】先找到以為直徑的圓的圓心和半徑，然后利用兩圓的位置關(guān)系求解即可.

【詳解】圓C：(x—3)2+(y-4)2=1的圓心C(3,4),半徑為1；

22

線段ZB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，AB=yJ(m+m)+(-l-l)=2j"∕+l

AβI-------

所以以48為直徑的圓的圓心為(0,0),半徑尸=工-=J/+1

22

所以圓心C至IJ(O,O)的距離為d=√3+4=5，

以NB為直徑的圓和圓C有交點(diǎn)，得Ji+/"一ι≤d≤Ji+”/+],

Jl+/W?—1≤5≤J1+/”2+]解得Jl5≤〃?5935結(jié)合選J貝可得，機(jī)的值可能取4和5.

故選：BC.

11.在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，

形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列，將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造,

第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；...；第〃(〃eN*)次得到數(shù)列

1,x∣,X2,七，…，Xd記。“=1+玉+9+…+工I+2，數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,

則O

A.α3=42B.%=34,,-3

??

c?a,=”2+3〃)D.凡=皇3%2〃一3)

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫(xiě)出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，再進(jìn)行推理運(yùn)算即可.

【詳解】解：由題意可知，第1次得到數(shù)列1,3,2,此時(shí)k=l,

第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2,此時(shí)左=3,

第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2,止匕時(shí)左=7,

第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此時(shí)左=15,

第∏次得到數(shù)列1,x∣,x2,xi,L,χk,2,此時(shí)k=2"-i>

由此可得α∣=3+3,%=3+3+9,%=3+3+9+27=42,故A正確；

%=3+3+9+27+81,…，a'+32+33+???+3"=3+-故

“=31+-332

C錯(cuò)誤；

3向÷33〃+2+3

由Z=J，可得必目=^——=3an-3,故B正確；

n2w+l2

由

234H+I+1

Sn=α1+a2+???+α,,=∣(3+3+3+???+3)+y=-×?—=^-(3"+2n-3

,故D正確.

故選：ABD.

12.已知正方體4?CZ)-小囪GAl的棱長(zhǎng)為4,Λ/為。。的中點(diǎn)，N為/8C。所在平面上一

動(dòng)點(diǎn)，M為小&GOi所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，且MVljL平面力8C。，則下列命題正確的是()

TT

A.若MN與平面NBCD所成的角為一，則點(diǎn)N的軌跡為圓

4

B.若三棱柱NAD-M小。I的表面積為定值，則點(diǎn)N的軌跡為橢圓

C.若點(diǎn)N到直線8田與直線。C的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線

D.若GN與Z8所成的角為則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線

【正確答案】ACD

【分析】A：根據(jù)線面角的定義，結(jié)合圓的定義進(jìn)行判斷即可；

B：根據(jù)棱柱的表面積公式，結(jié)合橢圓的定義進(jìn)行判斷即可；

C：根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合正方體的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；

D：建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面向量夾角公式，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A：連接ZW,因?yàn)槠矫?SCZ),所以NMNo是與平面48CO所成的

角，

TT?

即NMNO=勺，因?yàn)镸為。。的中點(diǎn)，所以M。=—?！?2,在直角三角形1WD中,

421

tanZMND="2=>1=二一nON=2,因此點(diǎn)N的軌跡為以D為圓心半徑為2的圓，

DNDN

所以本選項(xiàng)命題是真命題；

B：過(guò)N做ENL4。，設(shè)三棱柱N49-M4A的表面積為S,

所以S=2xgx4?NE+(4D+DN+4N)?4=4(4+DN+4N+NE)=定值,

顯然有N到/、D、直線NO的距離之和為定值，這與橢圓的定義不符合，故本選項(xiàng)命題

是假命題；

C：連接BN,因?yàn)槠矫?88,BNU平面/8Cr),所以BB∣J.BN,

即點(diǎn)N到直線BB?與NB相等，所以點(diǎn)N的軌跡為點(diǎn)N到點(diǎn)B與直線DC的距離相等的軌

跡，即拋物線，所以本選項(xiàng)命題是真命題；

D：以。為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，DA.DC、所在的直線分別為工、歹、z,

D(0,0,0)、/(4,0,0)、8(4,4,0)、N(XJ,0)、QI(0,0,4),

''一?___TT

則有/6=(0,4,0)、AN=(XJ,-4)，因?yàn)?。N與/8所成的角為

兀?AB-DyN?1∣4y∣22

所以cos_=J___[I=>一=——1—=>3y-X=16,所以點(diǎn)N的軌跡為雙

3網(wǎng)也M24?√√+P+16

曲線，故本選項(xiàng)命題是真命題，

故選：ACD

關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)圓錐曲線和圓的定義，結(jié)合正方體的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知向量。=(1,0,2J5),^=(-1,2,√2),則B在2方向上的投影向量為.

(12√2^∣<12廣、

【正確答案】-,θ,-?-##-,0,-√2

【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式計(jì)算即可.

【詳解】方在2方向上的投影向量為-P；,占=---二=—,0,---.

同同33133J

[1A2√Σ]

故答案為.：，0,y

\33/

14.己知數(shù)列｛α,J的前"項(xiàng)和為S“，且有S11-an=S,-?α,,+ι("≥2,〃∈N"),%=%=1.則

SK=______,數(shù)列一—?-一L的前〃項(xiàng)和為北，則(,=______.

μog25,,+l?log25π+2J

【正確答案】①.2"T②.—

?+1

【分析】利用4=S“—S“T(〃N2,〃eN"),化簡(jiǎn)求得數(shù)列｛S,,｝是等比數(shù)列，即可求得數(shù)

列｛S,｝的通項(xiàng)公式，以及利用列項(xiàng)消費(fèi)求和.

【詳解】由S,q=S,Tq+1(〃N2,〃eN)得S,⑹,一Sl)=S⑸用—S“)，化簡(jiǎn)得

=S,,.iSll+l,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得數(shù)列｛S,,｝是等比數(shù)列.易知B=1,S2=2,故｛S,｝的

公比為2,則Szι=2?τ,

]________111

得S,,M=2",S"+2=2"”，丁由裂項(xiàng)相消法得

l°g2^+rl°g2^+2"(〃+1)

I+++1_n

4)(Ξ4X∣4)???^~?,M+177+1

故2"T；------

n+?

15.如圖，在四棱錐尸一48CZ)中，四邊形/8CD是矩形，P4_L平面/8C￡>,PA=AB=2,

2。=6,點(diǎn)0是側(cè)棱尸。的中點(diǎn)，點(diǎn)/，N分別在邊AB,BCl.,當(dāng)空間四邊形PMM)

的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)Q到平面PMN的距離為.

P

Q

【正確答案】^##-76

33

【分析】平面融8沿/8展開(kāi)到與平面NBCO共面，當(dāng)點(diǎn)P,M,N和。C共線時(shí)周長(zhǎng)最小，

計(jì)算得到ZΛ∕=1,NC=4,BN=2,建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面PMN的法向量為

n=(2,-l,l),根據(jù)距離公式計(jì)算得到答案.

【詳解】要使得空間四邊形PMNZ)周長(zhǎng)最小，只需將平面以8沿ZB展開(kāi)到與平面48。

共面，

延長(zhǎng)OC至?！?使得Z)C=Cr>'=2,

p_4D

于是點(diǎn)N在線段0。'的垂直平分線上，所以ND=ND',

因?yàn)槭槎ㄖ?，故?dāng)點(diǎn)尸，M,N和。，共線時(shí)，空間四邊形尸MND的周長(zhǎng)最小,

所以ZΛ∕=1,NC=4,8N=6-4=2,

以“為坐標(biāo)原點(diǎn)，N8為X軸，為y軸，/尸為Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),P(0,0,2),Z)(0,6,0),由題意可得M(1,O,O),N(2,2,0),0(0,3,1),

則兩=(1,0,-2),麗=(2,2,-2),

r/、n-PM=Ox-2z=O

設(shè)”=(X,y,z)是平面PMN的一個(gè)法向量，則＜一.即得XCC八，

[五?尸N=O[2x+2y-2z^0

令z=l,得x=2,y=-?,n=(2,-1,1),P0=(O,3,-1),

1+1+43

故誓

16.己知片，B是橢圓。：0+、2=1伍＞1）的兩個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓上存在一點(diǎn)p,使得

277

ZFiPF2=—,若點(diǎn)M,N分別是圓。：χ2+3—3）2=3和橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)橢圓

C的離心率取得最小值時(shí)，I+1入閭的最大值是.

【正確答案】4+3√3

【分析】

根據(jù)題中條件，得到∕ξ”的最大值不小于與即可，由余弦定理，結(jié)合基本不等式，得到

點(diǎn)尸為短軸的頂點(diǎn)時(shí)，3P工最大;不妨設(shè)點(diǎn)P為短軸的上頂點(diǎn)，記NGPG=6,得出

離心率的最小值，連接ZW,得到（IMNl+1NKkK=G+（Irwl+1NEkJ根據(jù)橢圓

的定義，結(jié)合三角形的性質(zhì)，求出IONl+|9I的最大值，即可得出結(jié)果.

【詳解】若想滿(mǎn)足橢圓上存在一點(diǎn)尸，使得/耳時(shí)=g，只需4P￡的最大值不小于與

即可，

由余弦定理，可得

SSF一附『+陷『_牝2+陷M作I

2

'2|因附I2?PF↑?PF2?

二上__1＞空_______1=%

閥IIPgl（附|+IpglY/,當(dāng)且僅當(dāng)IP耳月尸/訃

即點(diǎn)尸為短軸的頂點(diǎn)時(shí)，夕產(chǎn)乙的余弦值最小，即4Pg最大；

2TT

如圖，不妨設(shè)點(diǎn)尸為短軸的上頂點(diǎn)，記NGp鳥(niǎo)=。，則θ≥-γ,

因此當(dāng)橢圓C的離心率取得最小值9時(shí)，/=4,則橢圓C：工+歹2=1；

24-

連接DN,根據(jù)圓的性質(zhì)可得：（WNl+∣N周L=√i+（∣ON∣+Wκkχ,

所以只需研究∣DN∣+∣MM的最大值即可；

連接NF、,DR,IZ）Nl+∣"∣=4+pN∣Tg∣≤4+p4∣=4+26,

當(dāng)且僅當(dāng)N,D,E三點(diǎn)共線（N點(diǎn)在線段。々的延長(zhǎng)線上）時(shí)，不等式取得等號(hào)，

所以∣ON∣+∣N用的最大值為4+2√3-

因此IMM+1ABl的最大值是4+3√L

故答案為.4+3

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)題中條件，得到橢圓離心率，求出橢圓方程，再由橢圓的定義，以

及圓的性質(zhì)，將動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)，以及到定點(diǎn)的距

離的最值問(wèn)題，即可求解.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.

17.已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)q=23,前”項(xiàng)和為S"，且數(shù)列是公差為—4的等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛|怎|｝的前〃項(xiàng)和（,?

【正確答案】(1)6Tz,=-8π+31

-An2+27;7,1≤n≤3

⑵τn=?其中〃￡N*.

4/72—27〃+90,〃≥4

【分析】(1)首先求出&=一4〃+27,則得至US“=-4/+27”。利用遞推公式求出％即

n

可；

(2)分1≤"≤3和〃24討論，當(dāng)1≤"≤3,n∈N*?Tn=Sκ,當(dāng)“≥4,〃eN*時(shí)，

Tn=2S3-Sn,求出S3和S”即可.

【小問(wèn)1詳解】

Sl02

;=4=23

所以2=23+(〃-I)X(T)=-4〃+27,

n

于是S“=-4/+27〃；

當(dāng)〃≥2,〃∈N*時(shí)，a.=S.-S,,.)=(-4W2+27∕?)-[-4(/7-1)2+27(?-1)]=-8?+31,

又α∣=1也適合，故%=-8〃+31.

【小問(wèn)2詳解】

①當(dāng)"eN*時(shí)，T=S="23—8〃+31)=_電I+?7.；

n"2

②當(dāng)“≥4,ZJ∈N*時(shí)，

Tn=1+%+%一%-。5一''"一%=2(q+%+%)—("ι+%+.%)

222

=253-5n=2×(-4×3+27×3)-(-4W+27W)=4Π-27W+90

故數(shù)列M∣｝的前〃項(xiàng)和為北=尸，+27〃'"'",其中〃eN*?

U"[4/-27〃+90,“N4

18.已知直線/：(l+3Λ)%+(l+2)j∕=2+4Λ(2為任意實(shí)數(shù))，圓C的圓心在夕軸上,

且經(jīng)過(guò)4(-2,1),8(4,3)兩點(diǎn).

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)的取值范圍，并求出弦長(zhǎng)最短時(shí)的直線/的方程.

【正確答案】(1)X2+(J；-5)2=20

(2)[2√3,4√5],x-4y+3=0

【分析】(1)求/8的中垂線與y軸交點(diǎn)即為圓心坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)距離求出半徑，即可得圓

方程；

(2)先求出直線所過(guò)的定點(diǎn)，當(dāng)定點(diǎn)為弦中點(diǎn)時(shí)弦長(zhǎng)最短，根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線方程，最

長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑.

【小問(wèn)1詳解】

3-11

由的中點(diǎn)為(1,2),k=則線段/B的中垂線為y—2=-3(x—1),

AB4—(—2)3

令X=O得圓心C(0,5),其半徑R=√(4-0)2+(3-5)2=2√5，

故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+(歹—5)2=20.

【小問(wèn)2詳解】

直線/：(l÷3Λ)x+(l+Λ)j/=2+4A,即(X+y-2)+(3x+y-4)%=0,

由+y-j=?解得[x=；'直線’過(guò)定點(diǎn)(1,1)；

[3x+y-4=0,U=L

直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為2,20—[(0-1)+(5-1)2-=26；

最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑4√5，故直線/被圓C截得的統(tǒng)長(zhǎng)的取值范圍為[2√I,4石]

弦長(zhǎng)最短時(shí)的直線/的方程為y—l=；(x—1),即x-4y+3=0

19.如圖，在直三棱柱ZBC-N￡G中，AC=AB=2,AA]=4√2,NC48=120°,

點(diǎn)、P,R分別是棱44，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)0為棱CG上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足西=3西.

(1)證明：(0JL平面/0?；

(2)求平面PQR與平面N0R夾角的正切值.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)—V14

7

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，得到向量，計(jì)算由函?而=0,

函?標(biāo)=0得到40J?2Q,ByQLAR,從而得證.

（2）先求得平面尸Q?的法向量為》=（8,12g,√Σ）,再由（1）得平面/0?的法向量為

函=（-3,√3,√2）,由此根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.

【小問(wèn)1詳解】

以/為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系孫Z,

則4(0,0,0),C(2,0,0),β(-l,√3,θ),5,(-1,√3,4√2),C1(2,0,4√2),

于是0(2,0,3夜)，R?,y,θ,

\/

從而而=(2,0,30),凝=［；,曰,θ1,05；=(-3,√3,√2),

(22J

由函.而=2x(-3)+0χ√J+√Σx3g^=0,

函.標(biāo)=gχ(-3)+*χ√J+√∑χO=O,

知BxQX.AR,又AQ,/7?<=平面/。/?,且40CZR=4,

故平面/Q?.

【小問(wèn)2詳解】

由㈤，知行=夸㈤，^ρ=f∣,-^,3√2

乙乙乙乙）

7

n?QP=--x-?———y+V∑z=O

r22

設(shè)平面PQ?的法向量為〃=（χ,y,z）,則有＜

令z=√∑,則x=8,y=12?√J,即萬(wàn)=(8,12j5,√∑);

平面AQR的法向量為函=(-3,√3,√2),

設(shè)求平面P0R與平面40及夾角的余弦值為。，0o<6><90o

則

"""H"國(guó)「相

∣8χ(-3)+i26χ6+^X閩ry

-F+(]2@2+/[「3)2+(6)2+(6j—檢

所以平面PQR與平面AQR夾角的正切值為9.

20.拋物線的弦與在弦兩端點(diǎn)處的切線所圍成的三角形被稱(chēng)為“阿基米德三角形”.對(duì)于拋物

線CJ=。/給出如下三個(gè)條件：①焦點(diǎn)為R（O,；）；②準(zhǔn)線為丁=—；；③與直線

2〉-I=O相交所得弦長(zhǎng)為2.

（1）從以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求拋物線C的方程；

（2）已知AZB。是（1）中拋物線的“阿基米德三角形”，點(diǎn)0是拋物線C在弦兩端點(diǎn)

處的兩條切線的交點(diǎn)，若點(diǎn)Q恰在此拋物線的準(zhǔn)線上，試判斷直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？如果是,

求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【正確答案】（1）X2=2y

（2）過(guò)定點(diǎn)

【分析】（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,止），準(zhǔn)線方程為y》結(jié)合條件

即可求解；

(2)設(shè)Z(Xl,弘)，B(x2,y2),0(工0,-g),切線乙°：y-yl=*(χ-χ∣),聯(lián)立拋物線方程,

由△=()得％=%，進(jìn)而求出切線方程，同理y+y2=x?x2,將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入兩切線

方程，得出直線48方程，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

,1

C：y=QX2即α。：X2=—?,

a

其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,」-],準(zhǔn)線方程為V=-L,

4aJ4a

若選①，焦點(diǎn)為尸(0,!),則―L=L,得α=’,

24a22

所以拋物線的方程為f=2y;

若選②，準(zhǔn)線為y=-L,則--L=-?L,得a=L

24a22

所以拋物線的方程為f=2y；

若選③，與直線2y-1=0相交所得的弦為2,

將y=L代入方程-=JLy中，得刀=±叵，

2a2a

即拋物線與直線2y-l=0相交所得的弦長(zhǎng)為2x叵=叵=2，

2aa

解得a=；,所以拋物線的方程為f=2?；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)/(x∣∕J,β(x2,y2),Q(Xo切線/孤：y-y,=∕c(x-x,),

將其與C：f=2N聯(lián)立得x~—2Ax—X；+2任I=0,

由A=(-24)2_4x(f：+2依)=0得左=不，

故切線/也：y-yl=∕c(x-xl),即y+Vι=x?χ;

同理牡：y+y2=x?x2

又點(diǎn)滿(mǎn)足切線/理，包的方程，

1

χχ

--+y↑=0?ι^

即有《

1

χχ

--+y2=0?2^

故弦48所在直線方程為y=x0?x+；,其過(guò)定點(diǎn)尸(0,I

21.己知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S”，對(duì)任意的正整數(shù)〃，都有S,,=%?(,+l)恒成立.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

13

(2)若4=(34+2)?3F,數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為北,試比較7；與亍的大小并加以證

明.

【正確答案】(1)an=ni

13

(2)(,<一,證明見(jiàn)解析.

"4

【分析】(1)根據(jù)S“與%的關(guān)系求解即可.

?.?

(2)首先根據(jù)題意得到4=1,再利用錯(cuò)位相減法求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，s∣=卬=解得q=l;

?(4τ+1)

當(dāng)〃22時(shí)，%=S,fτ

22

即(％+??-i)-(??--1)=°,由凡>0知%—?,-1-1=0：

故數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列,

所以通項(xiàng)公式為4=〃；

【小問(wèn)2詳解】

,.?

由⑴可知"=(3%+2)?3-%=\一，從而

58113/7-13/7+2

3'32333,,^'3"

158113〃-13〃+2

3η'^7+3τ+3rH—?H------------1----------