第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)（11大知識歸納+22大題型突破）（解析版）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)（知識歸納+題型突破）1.了解函數(shù)的概念、會求函數(shù)的定義域、解析式及值域．2.熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)，會利用函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性求解相關(guān)問題．3.理解函數(shù)的對稱性及周期性，并會函數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用．4.了解并掌握冪函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).5.掌握函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的概念設(shè)、是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系,使對于集合A中的任意一個數(shù),在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng),那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù),記作其中，叫做自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與值相對應(yīng)的叫做值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。顯然，值域是集合的子集。區(qū)間的概念定義符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}[a，b]{x|a＜x＜b}(a，b){x|a≤x＜b}[a，b){x|a＜x≤b}(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤a}(－∞，a]{x|x＜a}(－∞，a)R(－∞，＋∞)函數(shù)的三要素（定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系）在中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，仍然叫做函數(shù)值，的取值范圍叫做值域。其中表示的是自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，該對應(yīng)關(guān)系常體現(xiàn)在解析式中。定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系統(tǒng)稱函數(shù)的三要素。函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．(3)函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值單調(diào)性的常見運(yùn)算單調(diào)性的運(yùn)算①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘③為↗，則為↘，為↘④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導(dǎo)數(shù)）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性奇偶性①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對稱③奇偶性的運(yùn)算周期性（差為常數(shù)有周期）（拓展）①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問題）④若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問題）對稱性（和為常數(shù)有對稱軸）（拓展）軸對稱①若，則的對稱軸為②若，則的對稱軸為點(diǎn)對稱①若，則的對稱中心為②若，則的對稱中心為周期性對稱性綜合問題（拓展）①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對稱性綜合問題（拓展）①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：冪函數(shù)冪函數(shù)的定義及一般形式形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，為常數(shù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)①冪函數(shù)的單調(diào)性②冪函數(shù)的奇偶性題型一圖象法表示函數(shù)【例1】（1）（2023秋·廣東廣州·高一校聯(lián)考期末）下列四個圖象中，不是函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，可知因變量與自變量是一一對應(yīng)的，可以判斷出各個選項(xiàng)中的圖像是否是函數(shù)圖像，來進(jìn)行作答.【詳解】由函數(shù)的定義可知，選項(xiàng)B中的圖像不是函數(shù)圖像，出現(xiàn)了一對多的情況.故選：B（2）（2022秋·黑龍江黑河·高一校聯(lián)考期末）（多選）下列各圖中，不可表示函數(shù)的圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】函數(shù)圖像是函數(shù)的一種表示方法，根據(jù)函數(shù)的定義，可判斷各圖像是否可以表示函數(shù).【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義，對于定義域內(nèi)的任意一個自變量x，都有唯一的函數(shù)值y與它對應(yīng)，因此，只有選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)ABC都錯誤.故選：ABC鞏固訓(xùn)練：1．（2023春·遼寧鞍山·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義可以排除C選項(xiàng)，根據(jù)定義域與值域的概念排除A，D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，沒有對應(yīng)的圖像，不符合題意；對于B選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)的定義本選項(xiàng)符合題意；對于C選項(xiàng)，出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個元素對應(yīng)值域當(dāng)中的兩個元素的情況，不符合函數(shù)的定義，不符合題意；對于D選項(xiàng)，值域當(dāng)中有的元素在集合中沒有對應(yīng)的實(shí)數(shù)，不符合題意.故選：B．2．（2023秋·廣東河源·高一龍川縣第一中學(xué)統(tǒng)考期末）下列各曲線中，能表示y是x的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由函數(shù)的定義，函數(shù)必須滿足一一對應(yīng)，分別對選項(xiàng)判斷即可得到結(jié)果.【詳解】由圖像可知ACD選項(xiàng)的圖像滿足一一對應(yīng)，一個有唯一的與之對應(yīng)，選項(xiàng)B表示的是一個圓，不滿足一一對應(yīng)，除左右與軸的交點(diǎn)外，一個有兩個與之對應(yīng)，故選項(xiàng)B不能表示y是x的函數(shù).故選：ACD.題型二求函數(shù)值【例2】（1）（2023秋·遼寧丹東·高一丹東市第四中學(xué)?？计谀┒x在上的函數(shù)滿足（），，則等于A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【詳解】試題分析：法一、根據(jù)條件給賦值得：，所以.所以選法二、滿足題設(shè)條件.將代入即得.考點(diǎn)：抽象函數(shù).（2）（2023秋·上海浦東新·高一華師大二附中?？计谀┮阎瘮?shù)，且，那么=.【答案】-12【分析】代入，整體代換求值即可.【詳解】由題意，，即，故,故答案為：-12（3）（2023秋·海南儋州·高一?？计谀┮阎?，那么＝．【答案】/【分析】根據(jù)函數(shù)解析式代入即可求解.【詳解】由題意可得：，故.故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知，則的值為.【答案】18【分析】運(yùn)用賦值法，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】令，把代入中，得，故答案為：2．（2023秋·河北邯鄲·高一?？计谀┮阎瘮?shù)滿足，則.【答案】1【分析】在中，令即可得解.【詳解】因?yàn)?，令，可?故答案為：1.3．（2023秋·浙江臺州·高一統(tǒng)考期末）定義在上的函數(shù)滿足，，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，分別令，得到，在令，求得，進(jìn)而求得，即可求得的值.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，所以，又因?yàn)?，?dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得，由，，可得，又因?yàn)椋?，所?故答案為：題型三已知函數(shù)值求參數(shù)【例3】（1）（2023秋·甘肅天水·高一校聯(lián)考期末）已知＝2x＋3，f(m)＝6，則m等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，求出，進(jìn)而可得，由此可求出的值【詳解】解：設(shè)，則，所以，所以，解得故選：A【點(diǎn)睛】此題考查由函數(shù)值求自變量，考查了換元法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題（2）（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)4；(2)或.【分析】（1）將代入求解；（2）根據(jù)，求解即得.【詳解】（1）∵函數(shù)，∴當(dāng)時，；（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，即，解得或；所以?鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足：對任意的非零實(shí)數(shù)x，y，都成立，.若，，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【詳解】由題意可得，，又，所以，而，可得.故選：B2．（2023秋·海南儋州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，且.(1)求a的值；(2)當(dāng)x>1時，求函數(shù)f(x)的最小值．【答案】(1)4(2)5【分析】（1）根據(jù)題意代入運(yùn)算求解；（2）結(jié)合基本不等式求最小值.【詳解】（1）由題意可得：，解得.（2）由（1）可得：，∵，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，函數(shù)f(x)的最小值為5.題型四區(qū)間的概念及其表示【例4】（1）（2023秋·高一課時練習(xí)）下列區(qū)間與集合或相對應(yīng)的是（

）.A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)區(qū)間的概念判斷即可.【詳解】集合中的可以表示為區(qū)間，集合中的可以表示為區(qū)間，∵或是并集關(guān)系，∴集合表示為故選：C.（2）（2023秋·高一課時練習(xí)）把下列數(shù)集用區(qū)間表示．(1)；(2)；(3)；(4)或．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】由區(qū)間的概念求解即可.【詳解】（1）.（2）.（3）.（4）或.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·高一課時練習(xí)）將集合用區(qū)間表示正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用區(qū)間的定義判定即可.【詳解】因?yàn)榧螦為左開右閉區(qū)間，故可表示為.故選：B2．（2023秋·高一課時練習(xí)）把下列數(shù)集用區(qū)間表示：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)區(qū)間與集合的對應(yīng)關(guān)系即可寫出對應(yīng)的區(qū)間表示.【詳解】（1）（2）（3）（4）題型五求具體函數(shù)、復(fù)合函數(shù)及抽象函數(shù)的定義域【例5】（1）（2023秋·浙江臺州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得，求解即可.【詳解】依題意可得，解得，所以函數(shù)的定義域是.故選：B.（2）（2023秋·湖南婁底·高一校考期末）函數(shù)的定義域是（）A． B．C． D．R【答案】C【分析】由函數(shù)有意義的條件，求解函數(shù)定義域.【詳解】要使函數(shù)有意義，需滿足即且.所以函數(shù)定義域?yàn)楣蔬x：C.（3）（2023秋·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】∵函數(shù)的定義域?yàn)?，即，可得，∴函?shù)的定義域?yàn)?，令，解得，故函?shù)的定義域?yàn)?故選：B.（4）（2023秋·重慶九龍坡·高一重慶市鐵路中學(xué)校校考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可得的定義域?yàn)椋M(jìn)而可求解.【詳解】的定義域?yàn)?，所以，因此的定義域?yàn)?，所以的定義域滿足，即故選：B（5）（2023秋·遼寧本溪·高一?？计谀┤艉瘮?shù)的定義域是[1，2023]，則函數(shù)的定義域是（

）A．[0，2022] B．C．（1，2024] D．【答案】D【分析】由抽象函數(shù)定義域相關(guān)概念可得答案.【詳解】因的定義域是[1，2023]，則由可得：，則定義域?yàn)椋?故選：D鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·重慶·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)解析式可知,只需成立,解出不等式即可.【詳解】解:由題知,則有成立,解得.故選:B2．（2023秋·河北承德·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用抽象函數(shù)和分式函數(shù)的定義域求解.【詳解】解：由題意得解得且.故選：D3．（2023秋·重慶長壽·高一重慶市長壽中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)?【答案】【分析】先由題意求出函數(shù)的定義域?yàn)椋儆汕蠼?，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以；即函?shù)的定義域?yàn)?；由解得，因此的定義域?yàn)?故答案為：4．（2023秋·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可得，解不等式即可得出定義域.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，則，解得：或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：B5．（2023秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學(xué)校考期末）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A．[-4，1] B．[-3，1] C．[-3，1） D．[-4，1）【答案】D【分析】由復(fù)合函數(shù)的定義求定義域，同時注意分母不為0．【詳解】由解得，又，得.故選：D．題型六求函數(shù)解析式【例6】（1）（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？计谀┮阎瘮?shù)滿足，則解析式是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用換元法，求函數(shù)的解析式.【詳解】設(shè)，故，則，所以.故選：A（2）（2023秋·重慶江北·高一字水中學(xué)校考期末）（多選）已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】設(shè)，代入列方程組求解即可.【詳解】設(shè)，由題意可知，所以，解得或，所以或.故選：AD.（3）（2023秋·高一課時練習(xí)）（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知，求.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式；（2）通過配方得到含的解析式，即得的解析式；（3）利用方程組求函數(shù)解析式即可.【詳解】（1），令，則，，；（2），；（3），將原式中的x與互換，得.所以，解得.（4）（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求解析式；（2）已知，求的解析式.（3）若對任意實(shí)數(shù)x，均有，求的解析式.【答案】（1）；（2）．（3）【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得到解析式；（2）利用配湊法或換元法即可得到解析式；（3）利用方程組法即可得到解析式.【詳解】（1）令，因?yàn)椋?，則．由題意可知：，得，所以．所以.（2）法一：配湊法根據(jù)．可以得到．法二：換元法令，則，．.（3）因?yàn)棰伲寓?，由①②得：，解得?（5）（2023·全國·高一專題練習(xí)）回答下面問題(1)已知，求；(2)已知函數(shù)是一次函數(shù)，若，求.(3)已知，求的解析式；(4)已知是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式.【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】（1）根據(jù)配湊法或換元法求解即可；（2）設(shè)，再代入求解即可；（3）令換元求解即可；（4）設(shè)，再代入求解即可.【詳解】（1）方法一（配湊法）：∵，∴．方法二（換元法）：令，則，∴，即．（2）設(shè)，則．又，∴，，解得或，∴或．（3）令，則，，因?yàn)?，所以，所以；?）由題可設(shè)，則，，所以，所以，所以，所以.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高一?？计谀┮阎?，則.【答案】【分析】利用換元法求解即可【詳解】令，則，所以，即，故答案為：2．（2023秋·四川成都·高一成都七中?？计谀┮阎瘮?shù)是二次函數(shù)，，．(1)求的解析式；(2)解不等式．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)得對稱軸為，再結(jié)合頂點(diǎn)可求解;(2)由（1）得，然后直接解不等式即可.【詳解】（1）由，知此二次函數(shù)圖象的對稱軸為，又因?yàn)?，所以是的頂點(diǎn)，

所以設(shè)

因?yàn)?，?/p>

所以得

所以（2）因?yàn)樗曰癁椋椿虿坏仁降慕饧癁?．（2023秋·湖南永州·高一永州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）已知是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式；（2）已知，求的解析式；【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)出，根據(jù)題目條件得到方程組，求出，，得到函數(shù)解析式；（2）換元法求出函數(shù)解析式，注意自變量取值范圍.【詳解】（1）由題意，設(shè)函數(shù)為，，，即，由恒等式性質(zhì)，得，，，所求函數(shù)解析式為（2）令，則，，因?yàn)?，所以，所?4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；（4）已知，求的解析式．（5）已知是定義在R上的函數(shù)，，且對任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求函數(shù)的解析式．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【分析】（1）用代中的計算可得；（2）用換元法，設(shè)，解出后代入可得，注意的取值范圍；（3）設(shè)，代入已知條件解方程組可得；（4）用－x替換中的x，兩式組成方程組后解之可得；（5）在已知式中令代入求解．【詳解】（1）因?yàn)椋裕?）設(shè)，則，，即，所以，所以．（3）因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，所以設(shè)．由，得c＝1．由，得，整理得，所以，所以，所以．（4）用－x替換中的x，得，由，解得．（5）令，則，所以．5．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知一次函數(shù)滿足，．(1)求的解析式；(2)若，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，設(shè)，代入條件，得到方程組，解出參數(shù)即可；（2）將函數(shù)解析式代入即可轉(zhuǎn)化為一個不等式恒成立的問題.【詳解】（1）設(shè)，則．由得．因?yàn)?，所以．所以，的解析式為．?）將代入得（*）．即，．①當(dāng)時，不等式*變?yōu)?，滿足條件；②當(dāng)時，原問題等價于解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．題型七求函數(shù)的值域【例7】（1）（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)題意可得，可求出結(jié)果.【詳解】令，則，所以.故答案為：.（2）（2023秋·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若集合的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分離參數(shù)后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值，即可結(jié)合不等式的性質(zhì)求解.【詳解】由可得，由于函數(shù)，所以，故，故選：B（3）（2023·全國·高一課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）根據(jù)定義域即可求出函數(shù)的值域；【詳解】（1）由題意，在中，，，，，，，∴這個函數(shù)的值域?yàn)?（2）由題意，在中，，∵，∴這個函數(shù)的值域?yàn)?（4）（2023秋·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）完成下列各小題:(1)若正數(shù)，滿足，求的最小值.(2)已知，求的最小值.(3)已知定義在的函數(shù)，求函數(shù)的值域【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）用表示得，再利用基本不等式即可；（2）利用換元法和基本不等式即可；（3）利用基本不等式即可.【詳解】（1）由題得，正數(shù)，滿足，因?yàn)?，所以，所以；?dāng)且僅當(dāng)，得，即時，等號成立；所以的最小值為.（2）因?yàn)?，所以，令，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；所以時，的最小值為.（3）因?yàn)?所以所以因此當(dāng)且僅當(dāng)時,取等號,即時取等號，因?yàn)?，所以所以，即所以函?shù)的值域?yàn)椋?）（2023·全國·高一課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)．【分析】（1）可由觀察法求解；（2）函數(shù)是二次函數(shù)，可采用配方法結(jié)合圖像求解；（3）函數(shù)是一個分式型函數(shù)，可采用分離常數(shù)法將其整理為一個常數(shù)加一個分式，或用表示出，由求解；（4）利用變量的代換，即換元法求值域；（5）通過變形，利用基本不等式求最值；（6）通過變形，利用基本不等式求最值；（7）通過變形利用判別式法求解．【詳解】（1）（觀察法）由，分別代入求值，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?）（配方法），由，再結(jié)合函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

（3）（分離常數(shù)法）

，因?yàn)椋?，所以故函?shù)的值域?yàn)椋?）（換元法）

設(shè)，則，且，所以，由，再結(jié)合函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

（5）因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故函數(shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)椋?，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，，故函數(shù)的值域?yàn)椋?）由知，整理得．當(dāng)時，方程無解；當(dāng)時，，即．故所求函數(shù)的值域?yàn)椋军c(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查求函數(shù)得值域，常見的方法有：（1）觀察法，對解析式簡單變形觀察，利用熟知的初等函數(shù)的值域，求解；（2）配方法，函數(shù)是二次函數(shù)，可采用配方法結(jié)合圖像或單調(diào)性求解；（3）分離常數(shù)法，反解法，函數(shù)是一個分式型函數(shù)，可采用分離常數(shù)法將其整理為一個常數(shù)加一個分式，或用表示出，求解；（4）換元法，通過對函數(shù)解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化為幾個簡單的函數(shù)，從而求值域；（5）通過對解析式變形，利用基本不等式求最值；（6）通過對解析式變形，將看成自變量，看成常數(shù)，關(guān)于的方程有解，利用判別式法求解．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·浙江寧波·高一余姚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在上的值域是.【答案】【分析】將函數(shù)變形為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)可解.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時，，則，所以，當(dāng)時，，則，所以，綜上所述，函數(shù)在上的值域是.故答案為：2．（2023秋·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谀?）求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）【分析】（1）函數(shù)化成，結(jié)合均值不等式分別判斷、的最值，從而得出值域.（2）由換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)的值域問題.【詳解】（1），，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故函數(shù)值域?yàn)椋唬?）函數(shù)定義域?yàn)?，令，則，故函數(shù)值域?yàn)?3．（2023秋·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）采用分離常數(shù)法可知即可得其值域?yàn)?；?）利用換元法，將原函數(shù)表示為，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性可求得結(jié)果；（3）求得函數(shù)定義域?yàn)?，求出二次函?shù)最值即可求得其值域.【詳解】（1）由于，且；所以可得，因此函數(shù)的值域是．（2）令，所以，即，當(dāng)時，，即函數(shù)的值域?yàn)?（3）易知需滿足，即，即函數(shù)定義域?yàn)?；，由二次函?shù)性質(zhì)可得，所以的值域?yàn)椋?．（2023秋·高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)且(4)【分析】（1）由，進(jìn)而求得函數(shù)的值域；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，即可求解；（3）化簡函數(shù)，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（4）令，則，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，所以函?shù)的值域?yàn)?（2）解：由，可得其對稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)的最大值為，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?（3）解：由函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，則，即，所以函數(shù)的值域?yàn)榍?（4）解：令，則，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值為，當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域?yàn)?5．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)，；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）由可推導(dǎo)得到函數(shù)值域；（2）將的取值代入解析式即可求得結(jié)果；（3）采用分離常數(shù)法可求得函數(shù)值域；（4）采用換元法，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)的值域求解問題.【詳解】（1），，即，的值域?yàn)?（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；，的值域?yàn)?（3），，，的值域?yàn)?（4）令，則且，，則當(dāng)時，，的值域?yàn)?題型八函數(shù)相等【例8】（1）（2023秋·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．， D．，【答案】B【分析】由相同函數(shù)有相同定義域及相同解析式判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】相同函數(shù)有相同定義域及相同解析式.對于選項(xiàng)A：的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：函數(shù)與函數(shù)的定義域都是，又，則兩函數(shù)解析式也相同，則為同一函數(shù)，故B正確.對于選項(xiàng)C：的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)椋x域不同，不是同一函數(shù)，故D錯誤．故選：B（2）（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學(xué)校?？计谀ǘ噙x）下列各組函數(shù)中，兩個函數(shù)是同一函數(shù)的有（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】CD【分析】根據(jù)函數(shù)相等的兩要素：定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，進(jìn)行判斷.【詳解】對于A，，所以對應(yīng)關(guān)系不相同，不是同一函數(shù)，A錯誤；對于B，定義域?yàn)椋x域?yàn)?，定義域不相同，不是同一函數(shù)，B錯誤；對于C,當(dāng)時，當(dāng)時，所以，是同一函數(shù)，C正確；對于D，定義域都為，對應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)，D正確，故選:CD.（3）（2023秋·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）下列各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】CD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷，即判斷定義域與對應(yīng)法則是否相同．【詳解】選項(xiàng)A中兩個函數(shù)定義域都是R，但與的對應(yīng)法則不相同，不是同一函數(shù)；選項(xiàng)B中，定義域是，的定義域是，不是同一函數(shù)；選項(xiàng)C中，定義域都是，化簡后，，是同一函數(shù)；選項(xiàng)D中，兩個函數(shù)定義域都是，對應(yīng)法則也相同，是同一函數(shù)．故選：CD．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·山東泰安·高一統(tǒng)考期末）在下列函數(shù)中，函數(shù)表示同一函數(shù)的（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，判斷函數(shù)是否相等，需對比定義域和對應(yīng)關(guān)系，先求定義域，再整理解析式，可得答案.【詳解】由題意，函數(shù)，其定義域?yàn)?，其解析式為，對于A，函數(shù)，其定義域?yàn)?，故A錯誤；對于B，函數(shù)，其定義域?yàn)椋瑢?yīng)法則不同，故B錯誤；對于C，與題目中的函數(shù)一致，故C正確；對于D，函數(shù)，其定義域?yàn)椋蔇錯誤，故選：C.2．（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高一統(tǒng)考期末）下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】D【分析】分別判斷選項(xiàng)中函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系，即可得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A，因?yàn)槎x域?yàn)镽，定義域?yàn)镽，定義域相同，但，所以，不是同一函數(shù)，故A錯誤；對選項(xiàng)B，因?yàn)槎x域?yàn)镽，定義域?yàn)椋x域不同，所以，不是同一函數(shù)，故B錯誤；對選項(xiàng)C，因?yàn)槎x域?yàn)椋x域?yàn)?，定義域不同，所以，不是同一函數(shù)，故C錯誤；對選項(xiàng)D，因?yàn)槎x域?yàn)镽，定義域?yàn)镽，又，所以，是同一函數(shù)，故D正確.故選：D3．（2023秋·重慶九龍坡·高一統(tǒng)考期末）（多選）下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的一組是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)同一函數(shù)的定義域，對應(yīng)法則相同，依次判斷即可.【詳解】對于A：兩個函數(shù)定義域都為，且，對應(yīng)法則一樣，故為同一函數(shù)，故A正確；對于B：定義域?yàn)?，定義域?yàn)椋粸橥缓瘮?shù)，故B錯誤；對于C：兩個函數(shù)定義域都為，且，對應(yīng)法則一樣，故為同一函數(shù)，故C正確；對于D：定義域?yàn)椋x域?yàn)?，不為同一函?shù)，故D錯誤.故選：AC題型九分段函數(shù)【例9】（1）（2023秋·廣東廣州·高一廣東番禺中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】利用分段函數(shù)求函數(shù)值.【詳解】因?yàn)?，所以，故選:D.（2）（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則.【答案】2【分析】根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)可得，又，即可得.【詳解】由分段函數(shù)解析式可知，將代入可得，再將代入可得，即可計算出.故答案為：2（3）（2023秋·福建三明·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則.【答案】/【分析】對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，根據(jù)可得出關(guān)于的等式，即可得解.【詳解】當(dāng)時，即當(dāng)時，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)時，即當(dāng)時，由可得，整理可得，解得或（舍）；當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則.綜上所述，.故答案為：.（4）（2023秋·安徽六安·高一金寨縣青山中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)(1)求，，；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）將自變量代入對應(yīng)的解析式中求解即可；（2）分別在、和的情況下，構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）；；，.（2）當(dāng)時，，解得：，；當(dāng)時，，解得：，；當(dāng)時，，解得：，；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.（5）（2023秋·新疆昌吉·高一?？计谀┮阎瘮?shù).(1)求的值；(2)當(dāng)時，求m的取值范圍.【答案】(1)25(2)【分析】（1）根據(jù)自變量的范圍先求，再求即可；（2）分與兩種情況解不等式即可求解【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以；?）當(dāng)時，由得，解得，當(dāng)時，由得，解得，綜上所述，m的取值范圍為鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·山東聊城·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則．【答案】7【分析】根據(jù)的解析式求得正確答案.【詳解】.故答案為：2．（2023秋·吉林長春·高一長春市解放大路學(xué)校校考期末）已知函數(shù)，則f(2)=.【答案】1【分析】根據(jù)分段函數(shù)定義，由自變量的范圍選取相應(yīng)表達(dá)式計算．【詳解】由已知，故答案為：1.3．（2023秋·四川成都·高一校考期末）設(shè)若，則．【答案】【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的解析式解方程，可求得實(shí)數(shù)的值，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】若，則，由，得，即，解得：（舍去）或；若，由，得，該方程無解.綜上可知，，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)方程的求解，注意分類討論a的取值范圍，根據(jù)分段函數(shù)的解析式代入解方程即可，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4．（2023秋·云南怒江·高一?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)求，的值；(2)若，求實(shí)數(shù)a的值【答案】(1)，(2)1或【分析】（1）由解析式計算即可；（2）分類討論的值，結(jié)合解析式得出實(shí)數(shù)a的值.【詳解】（1）解：（2）①②③綜上，實(shí)數(shù)a的值為1或．5．（2023秋·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)(1)求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)，(2)或或【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)解析式直接代入求解；（2）令，分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，則，又因?yàn)?，所?（2）令，則，當(dāng)時，則，解得：，即，可得或，解得；當(dāng)時，則，解得：或2，即或，可得或或或，解得或；綜上所述：或或.題型十用定義法判斷或證明函數(shù)單調(diào)性【例10】（1）（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）已知，.(1)解不等式；(2)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)(2)減函數(shù)，證明見解析【分析】（1）先去分母，把分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式進(jìn)行求解；（2）利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明.【詳解】（1）由，，得，解得，即不等式解集為.（2）在為減函數(shù).證明如下：設(shè)，則，因?yàn)?，，，所以，?所以是上的減函數(shù).（2）（2023秋·江西吉安·高一江西省安福中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，且，．(1)求、的值；(2)試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明；(3)求函數(shù)在上的最大值和最小值．【答案】(1)，(2)函數(shù)在上為減函數(shù)，證明見解析(3)最大值為，最小值為【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的方程組，即可得解；（2）根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性可得出函數(shù)在上的單調(diào)性，然后任取、且，作差，通分、因式分解后判斷的符號，即可證得結(jié)論成立；（3）根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性可求得在上的最大值和最小值．【詳解】（1）解：由已知可得，解得.（2）解：由（1）可知，，函數(shù)在上為減函數(shù)，證明如下：任取、且，則，，，，，所以，函數(shù)在上為減函數(shù).（3）解：由（2）可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，.故函數(shù)在上的最大值為，最小值為.（3）（2023春·河南開封·高一?？计谀┮阎瘮?shù)是定義域上的奇函數(shù).（1）確定的解析式；（2）用定義證明：在區(qū)間上是減函數(shù)；（3）解不等式.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）利用奇函數(shù)的定義，經(jīng)過化簡計算可求得實(shí)數(shù)，進(jìn)而可得出函數(shù)的解析式；（2）任取、，且，作差，化簡變形后判斷的符號，即可證得結(jié)論；（3）利用奇函數(shù)的性質(zhì)將所求不等式變形為，再利用函數(shù)的定義域和單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由于函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，則，即，化簡得，因此，；（2）任取、，且，即，則，，，，，，，.，，因此，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；（3）由（2）可知，函數(shù)是定義域?yàn)榈臏p函數(shù)，且為奇函數(shù)，由得，所以，解得.因此，不等式的解集為.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)、利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)不等式的求解，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.（4）（2023秋·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的函數(shù),滿足,且當(dāng)時,.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由;(2)若,解不等式.【答案】(1)在上單調(diào)遞增,理由見解析(2)【分析】(1)取,利用單調(diào)性的定義,進(jìn)行取值,作差,變形,定號,結(jié)論即可得出結(jié)果;(2)先根據(jù),求得,再利用抽象函數(shù)的式子化為,根據(jù)(1)中的單調(diào)性結(jié)論,列出不等式,解出即可.【詳解】（1）解:在上單調(diào)遞增,理由如下:因?yàn)槎x域?yàn)?不妨取任意,且,則,由題意,即,所以在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)?令,由可得:,即,由,可得,令,,則,所以不等式,即,即,由(1)可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以只需,解得,所以不等式的解集為.（5）（2023秋·江西吉安·高一江西省峽江中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)?，對任意正?shí)數(shù)x，y都有，且當(dāng)時，．(1)求證：是上的增函數(shù)；(2)若，求x的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）已知抽象函數(shù)，利用，以及函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明；（2），即，利用函數(shù)的單調(diào)性和定義域列出不等式組，即可求x的取值范圍.【詳解】（1）證明：任取，且，則．因?yàn)?，所以，所以，即，所以是上的增函?shù)．（2）解：，即，由（1）可知是上的增函數(shù)，所以，解不等式組可得，故x的取值范圍為．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·四川資陽·高一四川省安岳實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，．(1)用定義證明函數(shù)在上為增函數(shù)；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）根據(jù)題意，由（1）中的結(jié)論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式，求解即可得到結(jié)果.【詳解】（1）任取，，且，則，因?yàn)?，所以，，所以，即，所以函?shù)在上為增函數(shù)．（2）由（1）知在上為增函數(shù)．又，所以解得即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．2．（2023秋·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性，并求函數(shù)在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減；最大值，最小值.【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求解計算即可；（2）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性即可證明函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.【詳解】（1）∵是奇函數(shù)，所以，檢驗(yàn)知，時，，是奇函數(shù)，所以；（2），且，有，∵，∴，即，又，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值；當(dāng)時，取得最小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，以及定義法證明函數(shù)單調(diào)性，最值的求法，屬于中檔題.3．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一期末）設(shè)函數(shù)．(1)證明：函數(shù)在上單調(diào)遞減；(2)求函數(shù)的值域．【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）由單調(diào)性定義法（任取、作差、變形、斷號、寫結(jié)論）可證明.（2）換元法轉(zhuǎn)化為求含參分式型函數(shù)的值域，對參數(shù)進(jìn)行分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性即可得值域.【詳解】（1）對任意的，，且，∵，∴，∴，即：∴函數(shù)在上單調(diào)遞減．（2）∴的定義域?yàn)?，令，則，①當(dāng)時，在單調(diào)遞減，又∵，所以的值域?yàn)?；②?dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，又∵，所以的值域?yàn)?；③?dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以的值域?yàn)椋裕C上可得：當(dāng)時，的值域?yàn)椋划?dāng)時，的值域?yàn)椋?．（2023秋·四川南充·高一四川省南充高級中學(xué)?？计谀┒x在上的函數(shù)，滿足，，當(dāng)時，(1)求的值；(2)證明在上單調(diào)遞減；(3)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)0(2)證明見解析(3)【分析】（1）取，計算即可.（2）取任意且，則，得到，得到證明.（3）計算，不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合定義域得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，則.（2）取任意且，則，則所以.又因?yàn)闀r，所以，所以在上單調(diào)遞減.（3）因?yàn)?，又，故?不等式可化為，即，因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，故，解得，故不等式的解集為.5．（2023秋·山東濱州·高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)?？计谀┮阎x在上的函數(shù)滿足:①對任意的,都有;②當(dāng)且僅當(dāng)時,成立.(1)求;(2)用定義證明的單調(diào)性;(3)若對使得不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】(1)令可得;(2)任取,且,根據(jù)定義可得,即可證明;(3)由(2)知函數(shù)在上是減函數(shù),當(dāng)在恒成立,令,轉(zhuǎn)化為當(dāng)時,恒成立且恒成立,分別求出其最值即可.【詳解】（1）對任意的,都有,令,則,.（2）任取,且,由,可知,則,,,,故函數(shù)在上是減函數(shù).（3）由(2)知函數(shù)在上是減函數(shù),當(dāng)時,恒成立,即.令，則,當(dāng)時,恒成立,即當(dāng)時,,設(shè),則函數(shù)在時為增函數(shù),,,又當(dāng)時,恒成立,,在時為減函數(shù),,,綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍為.題型十一求單調(diào)區(qū)間【例11】（1）（2023秋·四川遂寧·高一?？计谀┖瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)得解單調(diào)區(qū)間.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是反比例函數(shù)，函數(shù)圖像為一三象限雙曲線，定義域?yàn)?，函?shù)在和上單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和.故選：A（2）（2023秋·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）下列四個函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】逐項(xiàng)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】在上單調(diào)遞減，故A錯誤；在上單調(diào)遞增，故B正確；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯誤；在上單調(diào)遞減，故D錯誤.故選:B.（3）（2023秋·山東濟(jì)寧·高一校考期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．【答案】/【分析】由出定義域，然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得結(jié)論．【詳解】，或，是增函數(shù)，在上遞減，在上遞增，所以的增區(qū)間是．故答案為：．（4）（2023秋·廣東汕尾·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；故答案為：鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期末）（多選）下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷出各選項(xiàng)中的函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出正確選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，，該函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，錯誤.對于C選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，正確；對于D選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，錯誤；故選：AC.2．（2023秋·上海浦東新·高一校考期末）函數(shù)的增區(qū)間為.【答案】【分析】利用定義法進(jìn)行判斷即可得解.【詳解】任取，，因?yàn)?，，?dāng)時，，，此時，，為增函數(shù)，所以函數(shù)的增區(qū)間為.故答案為：3．（2023秋·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】【分析】分別求出內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可．【詳解】解：令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)函數(shù)同增異減的規(guī)律，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，由于內(nèi)外層函數(shù)均不復(fù)雜，故是基礎(chǔ)題4．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一期末）函數(shù)的遞減區(qū)間是.【答案】【分析】求出函數(shù)的定義域，并求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，利用復(fù)合函數(shù)法可得出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】對于函數(shù)，，即，解得.由于內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，外層函數(shù)在上為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)法可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，涉及復(fù)合函數(shù)法的應(yīng)用，在求單調(diào)區(qū)間時，還應(yīng)注意求出該函數(shù)的定義域，考查計算能力，屬于中等題.題型十二已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)值或范圍【例12】（1）（2023秋·湖北武漢·高一武漢市新洲區(qū)第一中學(xué)?？计谀┮阎艉瘮?shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出函數(shù)解析式，再求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，然后結(jié)合已知條件可求出的取值范圍.【詳解】令，則，所以，所以在上遞減，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，所以，得，故選：A（2）（2023秋·甘肅臨夏·高一?？计谀┖瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令二次函數(shù)對稱軸大于小于即可求解.【詳解】的對稱軸為：，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得.故選：B.（3）（2023秋·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學(xué)校考期末）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】已知是二次函數(shù)，其對稱軸為，開口向上，要使得函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則必須，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.（4）（2023秋·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值大小關(guān)系求解即可.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)在時為單調(diào)遞增，即，解得；易知，二次函數(shù)是開口向上且關(guān)于對稱的拋物線，所以為單調(diào)遞增；若滿足函數(shù)在上單調(diào)遞增，則分段端點(diǎn)處的函數(shù)值需滿足，如下圖所示：所以，解得；綜上可得.故選：A（5）（2023春·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知為增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)為增函數(shù)，根據(jù)每一段都是增函數(shù)，且注意節(jié)點(diǎn)處的取值，列出不等式組，解之即可.【詳解】因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，故，解得.故選：.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末）（多選）若二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則a可以是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】AB【分析】根據(jù)單調(diào)性得二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系，據(jù)此列不等式求解即可.【詳解】二次函數(shù)對稱軸為，因?yàn)槎魏瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，解得.故選：AB.2．（2023秋·吉林·高一吉林市田家炳高級中學(xué)校考期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為．【答案】【分析】由以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，再根據(jù)可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)椋缘淖钚≈禐?故答案為：.3．（2023秋·甘肅天水·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，故答案為：4．（2023秋·上海松江·高一?？计谀┤艉瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合定義法求實(shí)數(shù)的取值范圍，【詳解】函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則任取，都有，即，由，有，，所以，由，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：5．（2023秋·重慶江北·高一字水中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的兩段單調(diào)遞增和兩段的端點(diǎn)值之間的大小關(guān)系列式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的增函數(shù)，所以，解得.故答案為：題型十三利用函數(shù)單調(diào)性解不等式【例13】（1）（2023秋·山西大同·高一大同一中?？计谀┮阎瘮?shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的單調(diào)性，以及定義域，結(jié)合一元二次不等式的求解，直接計算即可.【詳解】對，且定義域?yàn)椋蓮?fù)合函數(shù)單調(diào)性可知其在定義域單調(diào)遞增，故，等價于，由，即，，解得；由，即，解得；故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.（2）（2023秋·河南信陽·高一信陽高中?？计谀┮阎嵌x在R上的增函數(shù)，且對任意，都有，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分析可得原不等式可以轉(zhuǎn)化為，由函數(shù)的單調(diào)性解不等式，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，滿足，則，則，又由是定義在上的增函數(shù)，則有，解可得，即不等式的解集為.故選：C.（3）（2023秋·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知得出函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，即可根據(jù)單調(diào)性解不等式得出答案.【詳解】函數(shù)中，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，且，則函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，，，解得：，即不等式的解集為.故選：D.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一期末）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)在單調(diào)遞減，且，則使得不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱公式可得關(guān)于對稱，從而判斷得在上單調(diào)遞減，再將不等式變形為，由此利用的單調(diào)性及解二次不等式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以關(guān)于對稱，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又，則，所以由可得，即，所以，即，解得或，所以的取值范圍為，故選：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若滿足，則關(guān)于中心對稱.2．（2023秋·安徽淮北·高一淮北一中?？计谀┮阎獎t滿足不等式的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分析的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性解不等式.【詳解】由解析式可知，在為常函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，故在R上連續(xù)，若，則，得；或，得；綜上，，故選：C.3．（2023秋·浙江湖州·高一期末）已知函數(shù)，則滿足不等式的x的取值范圍是．【答案】【分析】由函數(shù)在R上單調(diào)遞減，等價于，解不等式即可.【詳解】，函數(shù)定義域?yàn)镽，，由于，得，則，即，故在R上單調(diào)遞減，從而，有，得，即，由于恒成立，故，從而．故答案為：題型十四判斷或證明函數(shù)的奇偶性【例14】（1）（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若，判斷的奇偶性，并說明理由；(2)若，判斷在上的單調(diào)性，并加以證明.【答案】(1)是奇函數(shù)，理由見解析(2)在上的單調(diào)遞增，證明見解析【分析】（1）由求出，從而得，由函數(shù)奇偶性的定義求解即可；（2）由求出，從而得，由函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷證明即可.【詳解】（1）是奇函數(shù)，理由如下：∵，且，∴，解得∴，定義域?yàn)橛炙詾槠婧瘮?shù).（2）在上的單調(diào)遞增，理由如下：∵，且，∴，解得，∴設(shè)，則∵，∴，故，即所以在上的單調(diào)遞增.（2）（2023秋·甘肅天水·高一校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋⑶覞M足，且，當(dāng)時，．(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性；【答案】(1)(2)奇函數(shù)【分析】（1）令，即可得解；（2）令，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由，令，得，所以；（2）奇函數(shù)，理由如下：由，令，則，又的定義域?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù).（3）（2023秋·河北廊坊·高一校考期末）是定義在上的函數(shù)，對都有，當(dāng)時，，且．(1)求，的值；(2)猜測為奇函數(shù)還是偶函數(shù)并證明；(3)求在上的單調(diào)性并證明．【答案】(1)；(2)函數(shù)是奇函數(shù)，證明見解析(3)函數(shù)為減函數(shù)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，令，求得，結(jié)合，即可求得的值；（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，則，解得，因?yàn)椋?（2）解：猜測：函數(shù)是奇函數(shù).證明如下：由（1）知，令，則，所以，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù).（3）解：設(shè)，則，因?yàn)闀r，，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以函?shù)在上為減函數(shù)，（4）（2023秋·河北秦皇島·高一校考期末）已知函數(shù)在上有意義，且對任意滿足.(1)求的值；(2)判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)若在上單調(diào)遞減，且，請問是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，若存在，給出實(shí)數(shù)的一個取值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)奇函數(shù)，證明見解析(3)不存在，理由見解析【分析】（1）取，代入計算得到答案.（2）取，得到，得到在證明.（3）題目轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性得到，確定，得到，與定義域矛盾，得到答案.【詳解】（1）取得到，故.（2）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：取，，即，即，函數(shù)定義域?yàn)椋屎瘮?shù)為奇函數(shù).（3），即，即，函數(shù)單調(diào)遞減，故，整理得到：，，則，，，故，這與矛盾，故不存在鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)奇偶性，并說明理由；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性定義說明理由.【答案】(1)為奇函數(shù)，理由見解析(2)在上單調(diào)遞增，理由見解析【分析】（1）易知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足，所以為奇函數(shù)；（2）根據(jù)單調(diào)性定義按照取值、作差、變形、定號、得結(jié)論等步驟證明即可.【詳解】（1）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，，滿足奇函數(shù)定義；所以為奇函數(shù).（2）在上單調(diào)遞增，理由如下：在上任取，則因?yàn)椋?，故，即所以，所以在上單調(diào)遞增.2．（2023秋·吉林長春·高一汽車區(qū)第三中學(xué)校考期末）已知函數(shù)定義為，函數(shù)，且滿足:，，恒有.（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（2）求關(guān)于x的不等式的解集.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）.【解析】（1）計算與比較，即可判斷的奇偶性，利用奇偶函數(shù)的定義即可證明.（2）由題意可得是上的增函數(shù)，利用的單調(diào)性和奇偶性脫掉解不等式即可求解.【詳解】（1）是奇函數(shù)，證明如下：定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以是奇函數(shù)，（2）因?yàn)闈M足:，，恒有，所以是上的增函數(shù)，由可得，由的單調(diào)性可得，即，所以，解得：或，所以原不等式的解集為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是由已知條件判斷的奇偶性和單調(diào)性，利用單調(diào)性和奇偶性解不等式.3．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)對任意的x，，都有，且當(dāng)時．(1)求的值，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；(3)解不等式．【答案】(1)，是奇函數(shù)，證明見解析(2)在上單調(diào)遞減，證明見解析(3)【分析】（1）利用賦值法求得，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷并證明函數(shù)的奇偶性.（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性.（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求得不等式的解集.【詳解】（1）依題意，函數(shù)對任意的x，，都有，令，得，是奇函數(shù)，證明如下：用代替，得，則，所以是奇函數(shù).（2）在上單調(diào)遞減，證明如下：任取，，由于，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減.（3），，由于在上單調(diào)遞減，所以，所以不等式的解集是.4．（2023秋·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)?，且對任意x，，都有；(1)求的值；(2)判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論：(3)若時，，求證：在單調(diào)遞減.【答案】(1)(2)奇函數(shù)，證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用賦值法令即可得到結(jié)論．（2）利用函數(shù)奇偶性的定義，令，可證明為奇函數(shù)；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）令，得，即．（2）函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，證明如下：令,則，即，∴函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)．（3）設(shè)，則，∵，∴，則，∴，即，即函數(shù)在單調(diào)遞減．題型十五利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)值和參數(shù)值【例15】（1）（2023秋·海南儋州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)為偶函數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，整理得，故，解得.故選：B.（2）（2023秋·吉林長春·高一長春市解放大路學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)分別求得與，從而得解.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，解得，又，即，則，所以.故選：B.（3）（2023秋·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則＝（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可得的值，從而確定函數(shù)解析式，即可求得的值.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即，且，故，所以，所以，則.故選：B.（4）（2023秋·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（結(jié)果用數(shù)字表示）.【答案】【分析】先由函數(shù)為奇函數(shù)可得，求出，再將代入即可得解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以，所以.故答案為：.（5）（2023春·云南文山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，則【答案】6【分析】由函數(shù)的奇偶性，對稱性，周期性求解即可.【詳解】∵為偶函數(shù)，∴，即關(guān)于x＝1對稱，則，由，得函數(shù)關(guān)于對稱，令x＝0，得，得，則，即，即，得，即是周期為4的周期函數(shù)，令x＝0，由得，，即，∴．故答案為：6.鞏固訓(xùn)練1．（2023春·云南大理·高一統(tǒng)考期末）若為奇函數(shù)，則（

）A．1或 B．1 C．0 D．【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性定義得出參數(shù)值.【詳解】為奇函數(shù)，，.故選：D2．（2023秋·上海普陀·高一校考期末）函數(shù)，其中??是常數(shù)，且，則．【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】依題意，，，所以，所以.故答案為：3．（2023秋·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則.【答案】3【分析】由定義域關(guān)于0對稱得，由奇函數(shù)的定義求得，從而可得結(jié)論．【詳解】由題意，，是奇函數(shù)，則恒成立，即，恒成立，，，所以．故答案為：3.4．（2023秋·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則.【答案】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性可求得的值.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且滿足，則，所以，，即，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且當(dāng)時，，則.故答案為：.5．（2023秋·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則．【答案】2【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，求得，代入求解即可．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在，上的偶函數(shù)，所以，解得，所以，所以．故答案為：2．題型十六利用函數(shù)奇偶性求解析式【例16】（1）（2023秋·上海浦東新·高一校考期末）已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，．【答案】【解析】設(shè)，則，代入解析式得；再由定義在上的奇函數(shù)，即可求得答案.【詳解】不妨設(shè)，則，所以，又因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)，所以，所以，即.故答案為：.（2）（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中?？计谀┮阎瘮?shù)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，．【答案】【分析】根據(jù)是奇函數(shù)，并且x＜0時，，可設(shè)x＞0，從而得出，從而得出x＞0時f（x）的解析式．【詳解】∵y=f（x）是R上的奇函數(shù),且x＜0時,，∴設(shè)x＞0，,則：，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】考查奇函數(shù)的定義，考查了求奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的函數(shù)解析式的方法．（3）（2023秋·湖北襄陽·高一襄陽四中?？计谀┤羰嵌x在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，(為常數(shù))，則當(dāng)時，.【答案】【解析】根據(jù)得到，再取時，，根據(jù)函數(shù)奇偶性得到表達(dá)式.【詳解】是定義在R上的奇函數(shù)，則，故，時，，則.故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·遼寧丹東·高一丹東市第四中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)在R上的解析式為．【答案】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則有，設(shè)，有，則，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則，則．故答案為：2．（2023秋·廣東佛山·高一南海中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)為R上奇函數(shù)，當(dāng)時，，則時，．【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為R上奇函數(shù)，所以；當(dāng)時，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)為R上奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，，綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)，故答案為：.3．（2023秋·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，的解析式是．【答案】【分析】利用奇函數(shù)的定義計算即可得答案.【詳解】函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，，故答案為：.題型十七利用函數(shù)奇偶性解不等式【例17】（1）（2023秋·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末）若定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則滿足的的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，再根據(jù)兩個數(shù)的乘積大于零，分類轉(zhuǎn)化為對應(yīng)自變量不等式組，最后求并集得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以在上也是單調(diào)遞增，且，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以由，可得或解得或，即，故選：C.（2）（2023秋·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）若偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合分類討論思想進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以由，當(dāng)時，由，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，或，而，所以；當(dāng)時，由，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以或，而，所以，故選：A（3）（2023秋·浙江杭州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，若，且，都有成立，則不等式的解集為．【答案】【分析】設(shè)函數(shù)，由條件可知函數(shù)是偶函數(shù)，并且在單調(diào)遞減，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解抽象不等式即得.【詳解】令，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，故為定義在R上偶函數(shù)，由，得在為減函數(shù)，由，可得，即，故，所以，即，解得或，所以不等式的解集是.故答案為：.（4）（2023秋·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域是，函數(shù)的圖象的對稱中心是，若對任意的，，且，都有成立，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的圖象的對稱中心是可得是上的奇函數(shù)，由可得，故可得在上單調(diào)遞增，然后分，和三種情況進(jìn)行求范圍即可【詳解】因?yàn)槭窍蜃笃揭?個單位長度得到，且函數(shù)的圖象的對稱中心是，所以的圖象的對稱中心是，故是上的奇函數(shù)，所以，對任意的，，且，都有成立，所以，令，所以根據(jù)單調(diào)性的定義可得在上單調(diào)遞增，由是上的奇函數(shù)可得是上的偶函數(shù)所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，不等式得到，矛盾；當(dāng)時，轉(zhuǎn)化成即，所以；當(dāng)時，轉(zhuǎn)化成，，所以，綜上所述，不等式的解集為故選：D鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·河南鄭州·高一鄭州市第四十七高級中學(xué)?？计谀┮阎己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解.【詳解】由于是偶函數(shù)，又因?yàn)闀r，為增函數(shù)，所以，有，即；故選：D.2．（2023秋·浙江杭州·高一杭州市長河高級中學(xué)?？计谀┤羰瞧婧瘮?shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)求得且在上是增函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)得出且或且，最后取并集．【詳解】解：函數(shù)為奇函數(shù)，，，函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當(dāng)或時，當(dāng)或時，對于，則或，解得或的取值范圍是．故選：D．3．（2023秋·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)?？计谀┤舳x在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到的單調(diào)性及，再結(jié)合不等式，分類討論，即可得出答案.【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以由可得：或或,解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：B.4．（2023秋·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在R上的減函數(shù)，并且滿足，.(1)求的值；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）令，可得的值;（2）依題意，可轉(zhuǎn)化為，再利用是定義在上的減函數(shù)，脫去““可得答案.【詳解】（1）是定義在上的減函數(shù)，并且滿足，令，得，.（2）由（1）知，令，得，，為上的奇函數(shù)，又，令，，，，解得，的取值范圍為.題型十八單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性綜合【例18】（1）（2023秋·山東泰安·高一?？计谀┮阎瘮?shù)關(guān)于直線對稱,且當(dāng)時,恒成立,則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)關(guān)于直線對稱,可得為偶函數(shù),根據(jù),恒成立,可得在時單調(diào)遞增,將根據(jù)奇偶性化為區(qū)間內(nèi),再根據(jù)單調(diào)性解得范圍即可.【詳解】解:由題知關(guān)于直線對稱,故為偶函數(shù),,當(dāng)時,恒成立,則在上單調(diào)遞增,,,,即,解得:.故選：C（2）（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且是上的嚴(yán)格減函數(shù)，若，則滿足不等式的x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將等價于和，根據(jù)奇函數(shù)以及單調(diào)性即可求解.【詳解】由是R上的奇函數(shù)，且是上的嚴(yán)格減函數(shù)，若可知：且在也嚴(yán)格單調(diào)遞減，故當(dāng)和時，，當(dāng)和時，，故等價于和，解得，故選：B（3）（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知偶函數(shù)的定義域?yàn)椋以谏蠟樵龊瘮?shù)，則（

）①；②；③；④在上為減函數(shù)．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】由函數(shù)的奇偶性的定義即可判定的關(guān)系，奇偶性與部分單調(diào)性的綜合運(yùn)用，可以推斷整個函數(shù)的單調(diào)性，繼而可以比較函數(shù)值的大小.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，即，則①正確，②錯誤；因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域?yàn)?，且在上為增函?shù)，所以在上為減函數(shù)，繼而，則③錯誤，④正確.故選：B.（4）（2023春·山西晉城·高一晉城市第一中學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，若，則（

）A．116 B．115 C．114 D．113【答案】C【分析】由可得函數(shù)的周期為，再結(jié)合為偶函數(shù)，可得也為偶函數(shù)，通過周期性與對稱性即可求解.【詳解】由，得，即，所以，所以函數(shù)的周期為，又為偶函數(shù)，則，所以，所以函數(shù)也為偶函數(shù)，又，所以，，所以，又，即，所以，又，，，所以故選：.（5）（2023秋·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）若定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析可知偶函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得出，解之即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，且該函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，，即，即，解得或.故選：A.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，（），都有，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)奇偶性和單調(diào)性作出函數(shù)草圖，借助圖形分段討論可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足對任意的，（），都有，所以在上單調(diào)遞減，又是定義在R上的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，作函數(shù)的草圖如圖，所以，當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，，則；當(dāng)或或時，.綜上，不等式的解集為.故選：C．

2．（2023秋·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時，．若，則t的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由時，，利用得到，，且，在求得時的解析式，由求解.【詳解】解：當(dāng)時，，則在上遞增，在上遞減，且，由知：時，，時，，且在上遞增，在上遞減，因?yàn)椋?dāng)時，，因?yàn)?，所以，令，解得，所以滿足，的t的最大值是，故選：C3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于對稱．若，則（

）A．3 B．2 C．0 D．50【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到和，再結(jié)合函數(shù)對稱性得到，賦值求出、；推導(dǎo)出函數(shù)的周期為4，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，且，又的圖象關(guān)于對稱，則，即①，則，，在①中，令，得，則，所以函數(shù)的周期為，即，則有，所以，故選：C.4．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，可知當(dāng)時，，可得出，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則該函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，恒成立，則，所以，，即，即，、因?yàn)椋?，，則.故選：A.5．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列命題正確的個數(shù)是（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)的周期性、對稱性，然后逐一分析即可.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，故，，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則，，所以，，所以，即函數(shù)的周期為8，由可得，由可得，對于①，，正確；對于②，，正確；對于③，，正確；對于④，，正確；故選：D.題型十九求冪函數(shù)值和解析式【例19】（1）（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)冪函數(shù),將代入，求得，即得答案.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，由于的圖象過點(diǎn)，故，即，故選：A（2）（2023秋·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期末）若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，代入點(diǎn)求得解析式，進(jìn)而求值即可．【詳解】設(shè)冪函數(shù)，由題意得，解得，所以．所以．故選：C．（3）（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則.【答案】【分析】設(shè)冪函數(shù)，根據(jù)題意，冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，代入計算即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)，又因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，解得：，所以函數(shù)，故答案為：.鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·貴州貴陽·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．4 B．2 C． D．【答案】C【分析】設(shè)冪函數(shù)，將點(diǎn)代入求出的解析式，從而可求得.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，則，解得，故，所以.故選：C.2．（2023秋·江