吉林省長(zhǎng)春市九臺(tái)市二道溝中心學(xué)校高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

吉林省長(zhǎng)春市九臺(tái)市二道溝中心學(xué)校高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.底面為正方形的四棱錐S﹣ABCD，且SD⊥平面ABCD，SD=，AB=1，線段SB上一M點(diǎn)滿足=，N為線段CD的中點(diǎn)，P為四棱錐S﹣ABCD表面上一點(diǎn)，且DM⊥PN，則點(diǎn)P形成的軌跡的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．2參考答案：B【分析】取AD的中點(diǎn)E，則EN⊥DM，利用向量求出SD上一點(diǎn)F，使得EF⊥DM，故而P點(diǎn)軌跡為△EFN．【解答】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DS為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則B（1，1，0），S（0，0，），N（0，，0），D（0，0，0），M（，，），取AD的中點(diǎn)E，則E（，0，0），∴=（，，），=（﹣，，0），∴=0，即DM⊥EN，在SD上取一點(diǎn)F，設(shè)F（0，0，a），則=（﹣，0，a），設(shè)DM⊥EF，則，即﹣+=0，解得a=，∴DM⊥平面EFN，∴P點(diǎn)軌跡為△EFN．∵EF=FN==，EN=AC=，∴△EFN的周長(zhǎng)為=．故選：B．2.已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和兩點(diǎn)A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則m的最大值為(

)A．7 B．6 C．5 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】直線與圓．【分析】根據(jù)圓心C到O（0，0）的距離為5，可得圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)O的距離的最大值為6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，從而得到答案．【解答】解：圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圓心C（3，4），半徑為1，∵圓心C到O（0，0）的距離為5，∴圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)O的距離的最大值為6．再由∠APB=90°可得，以AB為直徑的圓和圓C有交點(diǎn)，可得PO=AB=m，故有m≤6，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要直線和圓的位置關(guān)系，求得圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)O的距離的最大值為6，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．3.在R上可導(dǎo)的函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得極大值，當(dāng)時(shí)取得極小值，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.一條直線的傾斜角的正弦值為，則此直線的斜率是A．

B．

C．

D．參考答案：D5.如果雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為（

）A.

B.2

C.

D.參考答案：A6.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（

）A.

B.C.

D.參考答案：B7.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則角B的范圍是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；正弦定理．【分析】由a，b，c成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，解出b，然后利用余弦定理表示出cosB，把b的式子代入后，合并化簡(jiǎn)，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根據(jù)B的范圍以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，再利用特殊角三角函數(shù)值即可求出B的取值范圍．【解答】解：由a，b，c成等差數(shù)列，得到2b=a+c，即b=，則cosB===≥=，因?yàn)锽∈（0，π），且余弦在（0，π）上為減函數(shù)，所以角B的范圍是：0＜B≤．故選B【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用余弦定理化簡(jiǎn)求值，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最值，是一道綜合題．8.一個(gè)人在打靶中連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶參考答案：C【考點(diǎn)】C4：互斥事件與對(duì)立事件．【分析】利用互斥事件的定義直接求解．【解答】解：一個(gè)人在打靶中連續(xù)射擊兩次，在A中，至多有一次中靶和事件“至少有一次中靶”能同時(shí)發(fā)生，二者不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；在B中，兩次都中靶和事件“至少有一次中靶”能同時(shí)發(fā)生，二者不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；在C中，兩次都不中靶和事件“至少有一次中靶”不能同時(shí)發(fā)生，二者是互斥事件，故C正確；在D中，只有一次中靶和事件“至少有一次中靶”能同時(shí)發(fā)生，二者不是互斥事件，故D錯(cuò)誤．故選：C．9.設(shè)表示不同的直線，表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題： ①若，且則；

②若，且，則； ③若，則； ④若且,則. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是（） A．

B．

C．

D．參考答案：D10.已知雙曲線與直線y=2x有交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A．（1，） B．（1，）∪（，+∞） C．（，+∞） D．[，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】KG：直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】如圖所示，雙曲線的漸近線方程為，若雙曲線與直線y=2x有交點(diǎn)，則應(yīng)滿足：，，即＞4，又b2=c2﹣a2，且=e，可得e的范圍．【解答】解：如圖所示，∵雙曲線的漸近線方程為，若雙曲線與直線y=2x有交點(diǎn)，則應(yīng)有，∴，解得．故答案選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，則的值

參考答案：12.過直線上一點(diǎn)M向圓作切線，則M到切點(diǎn)的最小距離為_

____．參考答案：13.已知直線l∥平面α，直線m?α，則直線l和m的位置關(guān)系是

．（平行、相交、異面三種位置關(guān)系中選）參考答案：平行或異面【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得到直線與平面α內(nèi)的所有直線沒有公共點(diǎn)，得到直線l與m的位置關(guān)系．【解答】解：因?yàn)橹本€l∥平面α，直線m?α，所以直線l與平面α內(nèi)的所有直線沒有公共點(diǎn)，則直線l和m的位置關(guān)系是：平行或異面；故答案為：平行或異面．14.已知，，若是的充分不必要條件，則a的取值范圍為______.參考答案：[0,5]【分析】由是的充分不必要條件，可得是的充分不必要條件，從而得且，列不等式求解即可.【詳解】，，由題意是的充分不必要條件，等價(jià)于是的充分不必要條件，即，于是且，得，經(jīng)檢驗(yàn).故答案為：.【點(diǎn)睛】邏輯聯(lián)結(jié)詞，且：全真為真，一假為假；或：一真為真，全假為假；非：真假相反.本題中是的充分不必要條件，也可以考慮逆否命題來(lái)解決.15.過（－1，2）作直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，能作幾條直線____________.參考答案：3條略16.實(shí)數(shù)x，y，θ有以下關(guān)系：，其中i是虛數(shù)單位，則的最大值為

．參考答案：10017.已知冪函數(shù)過點(diǎn)，則的值為

.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知⊙C：x2+（y﹣1）2=5，直線l：mx﹣y+1﹣m=0（1）求證：對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)A、B；（2）求弦AB中點(diǎn)M軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線？（3）若定點(diǎn)P（1，1）分弦AB為，求l方程．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式；直線的一般式方程；軌跡方程；直線和圓的方程的應(yīng)用．【分析】（1）利用圓心到直線的距離小于半徑，判定，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)A、B；（2）設(shè)出弦AB中點(diǎn)M，求出直線L，利用弦的中點(diǎn)與圓心連線與割線垂直，求出軌跡方程．（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理，以及定點(diǎn)P（1，1）分弦AB為，求出A的坐標(biāo)，代入圓的方程，求出m，即可求l方程．【解答】解：（1）圓心C（0，1），半徑r=，則圓心到直線L的距離d=，∴d＜r，∴對(duì)m∈R直線L與圓C總頭兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（或用直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，且這個(gè)定點(diǎn)在圓內(nèi)）（2）設(shè)中點(diǎn)M（x，y），因?yàn)長(zhǎng)：m（x﹣1）﹣（y﹣1）=0恒過定點(diǎn)P（1，1）斜率存在時(shí)則，又，kAB?KMC=﹣1，∴，整理得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0，即：=，表示圓心坐標(biāo)是（），半徑是的圓；斜率不存在時(shí)，也滿足題意，所以：=，表示圓心坐標(biāo)是（），半徑是的圓．（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）解方程組得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，∴，①又∴（x2﹣1，y2﹣1）=2（1﹣x1，1﹣y1），即：2x1+x2=3②聯(lián)立①②解得，則，即A（）將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程得：m=±1，∴直線方程為x﹣y=0和x+y﹣2=019.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在X軸上，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)

在直線上。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）求以線段OM為直徑且被直線截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線OM的垂線與以線段OM為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值。參考答案：解（1）又由點(diǎn)M在準(zhǔn)線上，得

ks5u………2分故，

從而

所以橢圓方程為

……………4分（2）以O(shè)M為直徑的圓的方程為即

其圓心為,半徑

……………6分因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)為2所以圓心到直線的距離

……………8分所以，解得所求圓的方程為

……………10分（3）方法一：設(shè)過點(diǎn)F作直線OM的垂線,垂足為K,由平幾知：直線OM：，直線FN：

……12分由得所以線段ON的長(zhǎng)為定值。

所以線段ON的長(zhǎng)為定值…………14分ks5u20.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)，的值；（2）若，求的單調(diào)減區(qū)間；（3）對(duì)一切實(shí)數(shù)a?(0,1)，求f(x)的極小值的最大值．參考答案：解：（1），

由，得a=5．

∴．則．

則（2，3）在直線上．∴b=-15．

（2）①若，，∴的單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）．

②若，則令，得．∴，或x>1．

∴的單調(diào)減區(qū)間為，（1，+∞）．

（3），0<a<1，列表：（-∞，1）1（1，）（，+∞）+0-0+↗極大值↘極小值↗

∴f(x)的極小值為．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的極小值f()取得最大值為．略21.（本小題滿分12分）有20件產(chǎn)品，其中5件是次品，其余都是合格品，現(xiàn)不放回的從中依次抽2件．求：⑴第一次抽到次品的概率；⑵第一次和第二次都抽到次品的概率；⑶在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率．參考答案：解：設(shè)第一次抽到次品為事件A，第二次都抽到次品為事件B．⑴第一次抽到次品的概率

…………4分

⑵