河南省開(kāi)封市信陽(yáng)第四高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

河南省開(kāi)封市信陽(yáng)第四高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.2018年某地區(qū)空氣質(zhì)量的記錄表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為0.8，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為0.6，若今天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則明天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A.0.48 B.0.6 C.0.75 D.0.8參考答案：C【分析】設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是p，利用條件概率公式能求出結(jié)果。【詳解】一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為0.8，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為0.6，設(shè)隨后一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為p，若今天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則明天空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則有，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題。2.節(jié)日前夕，小李在家門(mén)前的樹(shù)上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)候相差不超過(guò)2秒的概率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】設(shè)兩串彩燈第一次閃亮的時(shí)刻分別為x，y，由題意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要滿足條件須|x﹣y|≤2，作出其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由幾何概型可得答案．【解答】解：設(shè)兩串彩燈第一次閃亮的時(shí)刻分別為x，y，由題意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它們第一次閃亮的時(shí)候相差不超過(guò)2秒，則|x﹣y|≤2，由幾何概型可得所求概率為上述兩平面區(qū)域的面積之比，由圖可知所求的概率為：=故選C3.下列四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④，其中在處取得極值的是（

）A.①② B.②③ C.③④ D.①③參考答案：B【分析】分別判斷四個(gè)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性，利用極值的定義可判斷在處是否取得極值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)都在上遞增，所以函數(shù)與函數(shù)都沒(méi)有極值，①④不合題意；函數(shù)與函數(shù)都在上遞減，在上遞增，所以函數(shù)與函數(shù)都在處取得極小值，②③符合題意，故選B.

4.已知集合，，則如圖中陰影部分所表示的集合為（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】由圖象可知陰影部分對(duì)應(yīng)的集合為，然后根據(jù)集合的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】由Venn圖可知陰影部分對(duì)應(yīng)的集合為，或，，，即，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的計(jì)算，利用圖象確定集合關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知且、，則連接、兩點(diǎn)的直線與單位圓的位置關(guān)系是（

）

A．相交

B．相切

C．相離

D．不能確定參考答案：B略6.以下四個(gè)命題中，正確的是（

）A.若，則三點(diǎn)共線B.若{a,b,c}為空間的一個(gè)基底，則{a+b,b+c,c+a}構(gòu)成空間的另一個(gè)基底C.|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|D.為直角三角形的充要條件是

參考答案：B略7.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，則的值為(

)A．79

B．69C．5

D．-5參考答案：D8.復(fù)數(shù)（1＋i）（1－ai）R，則實(shí)數(shù)a等于A、1B、－1C、0D、±1參考答案：A9.設(shè)四棱錐

的底面不是平行四邊形,用平面

去截此四棱錐,使得截面四邊形是平行四邊形,則這樣的平面A.不存在

B.只有1個(gè)

C.恰有4個(gè)

D.有無(wú)數(shù)多個(gè)參考答案：解析：設(shè)四棱錐的兩組不相鄰的側(cè)面的交線為、,直線、

確定了一個(gè)平面.作與

平行的平面,與四棱錐的各個(gè)側(cè)面相截，則截得的四邊形必為平行四邊形．而這樣的平面

有無(wú)數(shù)多個(gè)．故選D．10.已知?jiǎng)又本€y=k（x+1）與橢圓C：x2+3y2=5相交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)M(﹣，0)，則的值是（）A．﹣B． C．﹣D．參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得答案．【解答】解：聯(lián)立，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0，△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，，，∴=====．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復(fù)數(shù)的值＝＿＿＿.參考答案：12.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，若，則的最小值為

．參考答案：略13.兩個(gè)球的半徑相差1，表面積之差為28π，則它們的體積和為_(kāi)_______.參考答案：【分析】設(shè)兩球的半徑分別為，根據(jù)列出關(guān)于，的方程組，解出方程組，根據(jù)球的體積公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)兩球的半徑分別為，∵兩個(gè)球的半徑相差1，表面積之差為，∴，，解得，，∴它們的體積和為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的體積公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.某校高中生共有900人,其中高一年級(jí)300人,高二年級(jí)200人,高三年級(jí)400人,現(xiàn)采取分層抽樣抽取容量為45的樣本,那么高一?高二?高三各年級(jí)抽取的人數(shù)分別為_(kāi)_______.參考答案：15

10

2015.從一副去掉大小王的52張撲克中隨機(jī)取出一張，用A表示取出的牌是“Q”，用B表示取出的牌是紅桃，則

.參考答案：16.非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值_________.參考答案：略17.有4名司機(jī)、4名售票員分配到4輛汽車上，使每輛汽車上有一名司機(jī)和一名售票員，則可能的分配方案有________

參考答案：576種

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：（m＞0）的離心率為，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)是其右焦點(diǎn)，P是橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)．（1）求m的值及橢圓的準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)B且與x軸的垂直的直線交AP于點(diǎn)D，當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．

參考答案：解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為．所以，解得．所以橢圓的方程為 ……3分準(zhǔn)線方程為 ……5分（2）由題可知，設(shè)．由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)①若，則，方程為，AP方程為，以BD為直徑的圓的圓心(5,1)，半徑為1與直線PF相切； ……8分②若，則AP方程為令，得，則以BD為直徑的圓的圓心，半徑為……11分直線PF方程為，即圓心M到直線PF的距離……13分＝＝所以圓M與直線PF相切 ……15分綜上所述，當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以BD為直徑的圓與直線PF相切．…………16分

19.(本題滿分12分).函數(shù)，

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；參考答案：解：（1）.此時(shí)，滿足x=2是取得極值-------5分（2）由已知，恒成立，或恒成立.若恒成立，即在恒成立，即若恒成立，即在恒成立，即令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，

或

-------12分略20.“”汶川大地震是華人心中永遠(yuǎn)的痛！在災(zāi)后重建中擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一矩形的汶川人民紀(jì)念廣場(chǎng)（如圖），另外內(nèi)部有一廢墟作為文物保護(hù)區(qū)不能占用。經(jīng)測(cè)量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,如何設(shè)計(jì)才能使廣場(chǎng)面積最大？

參考答案：解析：

以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則E（30，0），F(xiàn)（0，20）?！嗑€段的方程是在線段上取點(diǎn)，作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥CD于點(diǎn)R，設(shè)矩形PQCR的面積為s，則s＝|PQ|·|PR|＝（100－）（80－）又∵，∴，∴。∴當(dāng)＝5m時(shí)，s有最大值，此時(shí).

21.已知函數(shù)f（x）=loga（）（0＜a＜1，b＞0）為奇函數(shù)，當(dāng)x∈（﹣1，a]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的值域是（﹣∞，1]．（1）確定b的值；（2）證明函數(shù)y=f（x）在定義域上單調(diào)遞增，并求a的值；（3）若對(duì)于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，求k的取值范圍．參考答案：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，建立方程關(guān)系即可求出b；（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義，可得g（x）==﹣1+在（﹣1，1）遞減，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）在（﹣1，1）遞增；由題意可得f（a）=1，解方程可得a的值；（3）由f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），f（x）在（﹣1，1）遞增，可得t2﹣2t＞k﹣2t2，且﹣1＜t2﹣2t＜1，﹣1＜k﹣2t2＜1，可得k＜3t2﹣2t的最小值，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法，可得最小值，即可得到k的范圍．解：（1）∵函數(shù)f（x）=loga（）（0＜a＜1，b＞0）為奇函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴l(xiāng)oga+loga=loga（?）=0，即?=1，∴1﹣x2=b2﹣x2，即b2=1，解得b=1（﹣1舍去），當(dāng)b=1時(shí)，函數(shù)f（x）=loga為奇函數(shù)，滿足條件．（2）證明：設(shè)x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，由g（x）==﹣1+，g（x1）﹣g（x2）=﹣=，x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，可得x2﹣x1＞0，（1+x1）（1+x2）＞0，則g（x1）﹣g（x2）＞0，即有g(shù)（x）在（﹣1，1）遞減，由f（x）=logag（x），0＜a＜1可得，f（x）在（﹣1，1）遞增；∴函數(shù)f（x）=loga在x∈（﹣1，a）上單調(diào)遞增，∵當(dāng)x∈（﹣1，a]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（﹣∞，1]，∴f（a）=1，即f（a）=loga=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1+；（3）對(duì)于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，即有f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），由f（x）在（﹣1，1）遞增，可得t2﹣2t＞k﹣2t2，且﹣1＜t2﹣2t＜1，﹣1＜k﹣2t2＜1，可得k＜3t2﹣2t的最小值，由3t2﹣2t=3（t﹣）2﹣，可得t=，取得最小值﹣，可得k＜﹣．檢驗(yàn)成立．則k的取值范圍是（﹣∞，﹣）．22.（本題滿分12分）

已知函數(shù)

(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.參考答案：（12分）

解:(1)函數(shù)定義域?yàn)镽,

……1分令解得x<-1或x>3

……3分所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1),(3,+∞).

……5分(2)因?yàn)樵?-1,2)上,所以f(x)在[-1,2]上單調(diào)遞增,由（1）可知f(x)在[-2,-1]上單調(diào)遞減,則函數(shù)f(x)在x=-1處有極小值f(-1)=-5+a，

……