內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市內(nèi)蒙古市錦山實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市內(nèi)蒙古市錦山實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是()A． B.C. D．參考答案：D2.不等式的解集不可能是

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A3.我校將對(duì)語(yǔ)、數(shù)、英、理、化、生六門學(xué)科進(jìn)行期末考試，其中數(shù)學(xué)不能安排在第一場(chǎng)考，且語(yǔ)文不能安排在最后一場(chǎng)考，那么不同的考試安排方法有（

）種．A.600 B.504 C.480 D.384參考答案：B【分析】分成兩種情況，分別為數(shù)學(xué)在最后一場(chǎng)考和數(shù)學(xué)不在最后一場(chǎng)考，分別計(jì)算兩種情況下的排法種數(shù)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】數(shù)學(xué)在最后一場(chǎng)考，共有：種排法；數(shù)學(xué)不在最后一場(chǎng)考，共有：種排法根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有：種排法本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查元素位置有限制的排列組合應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)分類的方式分別來(lái)進(jìn)行計(jì)算.4.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，σ2），若P（1＜X＜5）=3P（X≥5），則P（X≤1）等于（）A．0.2B．0.25C．0.3D．0.4參考答案：A考點(diǎn)：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．

專題：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，σ2），可得圖象關(guān)于x=3對(duì)稱，利用P（1＜X＜5）=3P（X≥5），P（1＜X＜5）+2P（X≥5）=1，即可得出結(jié)論．解答：解：∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，σ2），∴圖象關(guān)于x=3對(duì)稱，∵P（1＜X＜5）=3P（X≥5），P（1＜X＜5）+2P（X≥5）=1，∴P（X≤1）=P（X≥5）=0.2，故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，注意根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性解決問(wèn)題．5.拋物線上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略6.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F是分別是棱A1B1、A1D1的中點(diǎn)，則A1B與EF所成角的大小為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.設(shè)全集，則右圖中陰影部分表示的集合為(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D8.已知向量

A．30°B．60°C．120°

D．150°參考答案：C9.已知二面角的大小為，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在面內(nèi)，Q到的距離為，P到的距離為，則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為

（

）A．

B．2

C．

D．4參考答案：C10.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下面四個(gè)命題

①a，b均為負(fù)數(shù)，則

②

③

④

其中正確的是

（填命題序號(hào)）參考答案：①②④12.已知、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段為邊作正△，若邊的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率=

.參考答案：13.設(shè)斜率為2的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且和軸交于點(diǎn)A,若△（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則的值為_(kāi)▲_．參考答案：814.已知集合，則=

．參考答案：15.已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），則向量與的夾角等于．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【專題】計(jì)算題．【分析】利用兩個(gè)向量數(shù)量積公式求出=3，再由兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求出=6cosθ，故有3=6cosθ，解出cosθ的值，再由0≤θ≤π，可得θ的值．【解答】解：=（2，﹣2，4）﹣（2，﹣5，1）=（0，3，3），=（1，﹣4，1）﹣（2，﹣5，1）=（﹣1，1，0），∴=（0，3，3）?（﹣1，1，0）=0+3+0=3．再由||=3，||=，設(shè)向量與的夾角θ，則有=||?||cosθ=3?cosθ=6cosθ．故有3=6cosθ，∴cosθ=．再由0≤θ≤π，可得θ=．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．16.在△ABC中，已知AB=3，O為△ABC的外心，且=1，則AC=______．參考答案：【分析】利用外心的特征，表示向量,，結(jié)合可求.【詳解】取的中點(diǎn)D，則由外心性質(zhì)可得,,所以.因?yàn)?,所以,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積應(yīng)用，利用基底向量表示目標(biāo)向量是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).17.某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開(kāi)收信機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí)，則他等待的時(shí)間不超過(guò)分鐘的概率為_(kāi)_________________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.私家車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一，因此在生活中我們應(yīng)該提倡低碳生活，少開(kāi)私家車，盡量選擇綠色出行方式，為預(yù)防霧霾出一份力．為此，很多城市實(shí)施了機(jī)動(dòng)車車尾號(hào)限行，我市某報(bào)社為了解市區(qū)公眾對(duì)“車輛限行”的態(tài)度，隨機(jī)抽查了50人，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：年齡（歲）頻數(shù)510151055贊成人數(shù)469634

（1）完成被調(diào)查人員的頻率分布直方圖．（2）若從年齡在，的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，求恰有2人不贊成的概率．（3）在（2）在條件下，再記選中的4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：（1）見(jiàn)解析（2）（3）見(jiàn)解析試題分析：（1）根據(jù)頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)，再求頻率與組距之比得縱坐標(biāo)，畫出對(duì)應(yīng)頻率分布直方圖．（2）先根據(jù)2人分布分類，再對(duì)應(yīng)利用組合求概率，最后根據(jù)概率加法求概率，（3）先確定隨機(jī)變量，再根據(jù)組合求對(duì)應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.試題解析：（1）（2）由表知年齡在內(nèi)的有5人，不贊成的有1人，年齡在內(nèi)的有10人，不贊成的有4人，恰有2人不贊成的概率為：．（3）的所有可能取值為：，，，，，，，所以的分布列是：

所以的數(shù)學(xué)期望．19.（本小題滿分14分）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)是否存過(guò)點(diǎn)(2,1)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：(1)設(shè)橢圓的方程為，由題意得解得，故橢圓的方程為．…4分(2)若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得．因?yàn)橹本€與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，所以所以．又，因?yàn)?，即，所以．即．所以，解得．因?yàn)闉椴煌膬牲c(diǎn)，所以．于是存在直線滿足條件，其方程為．………………14分略20.（14）已知函數(shù)f（x）=ax（a∈R），g（x）=lnx﹣1．（1）若函數(shù)h（x）=g（x）+1﹣f（x）﹣2x存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，試討論這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．參考答案：（1）h（x）=lnx﹣﹣2x（x＞0），h′（x）=﹣ax﹣2．若使h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，則h′（x）=﹣ax﹣2＜0在（0，+∞）上有解．而當(dāng)x＞0時(shí)，﹣ax﹣2＜0?ax＞﹣2?a＞﹣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＞在（0，+∞）上有解，故a大于函數(shù)在（0，+∞）上的最小值．又=﹣1，在（0，+∞）上的最小值為﹣1，所以a＞﹣1．（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=ax﹣lnx+1（a＞0）函數(shù)f（x）=ax與g（x）=lnx﹣1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)F（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．F′（x）=a﹣（x＞0）令F（x）=a﹣=0解得x=．隨著x的變化，F(xiàn)（x），F(xiàn)（x）的變化情況如表：當(dāng)F（）=2+lna＞0，即a=e﹣2時(shí)，F(xiàn)（x）恒大于0，函數(shù)F（x）無(wú)零點(diǎn)．②當(dāng)F（）=2+lna=0，即a=e﹣2時(shí)，由上表，函數(shù)F（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．③F（）=2+lna＜0，即0＜a＜e﹣2時(shí)，顯然1＜F（1）=a+1＞0，所以F（1）F（）＜0?，又F（x）在（0，）內(nèi)單調(diào)遞減，所以F（x）在（0，）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x＞時(shí)，F(xiàn)（x）=ln由指數(shù)函數(shù)y=（ea）x（ea＞1）與冪函數(shù)y=x增長(zhǎng)速度的快慢，知存在x0＞使得從而F（x0）=ln因而F（）?F（x0＜0）又F（x）在（，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）在[，+∞）上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，所以F（x）在（，+∞）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．因此，0＜a＜e﹣2時(shí)，F(xiàn)（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，a＞e﹣2，f（x）與g（x）的圖象無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)a=e﹣2時(shí)，f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；0＜a＜e﹣2時(shí)，f（x）與g（x）的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．21.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量，又點(diǎn)(1)若且，求向量；(2)若向量與向量共線，當(dāng)時(shí)，且取最大值為4時(shí)，求參考答案：

又,得

或

與向量共線,,當(dāng)時(shí)，取最大值為

由，得，此時(shí)22.如圖，點(diǎn)A（-a，0），B（，）是橢圓上的兩點(diǎn)，直線AB與y軸交于點(diǎn)C（0，1）．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)C任意作一條直線PQ與橢圓相交于P，Q，求PQ的取值范圍．參考答案：解：（1）由B（，），C（0，1），得直線BC方程為． 令y=0，得x=-2，∴a=2．

將B（，）代入橢圓方程，得．∴b2=2． 橢圓方程為．

（2）①當(dāng)PQ與x軸垂直時(shí)，PQ=；

②當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，不妨設(shè)直線PQ：y=kx+1（k≥0），代入橢圓方程x2+2y2-4=0，得x2+2(kx+1)2-4=0．即(2k2+1)x2