【數(shù)學(xué)】三角函數(shù)、平面向量及其應(yīng)用與復(fù)數(shù)綜合練習(xí)（二）-2023-2024學(xué)年高一下人教A版（2019）必修第二冊(cè)

三角函數(shù)、平面向量及其應(yīng)用與復(fù)數(shù)綜合練習(xí)（二）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.若復(fù)數(shù)A.22 B.2 C.12 2.已知是半徑為1的圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則的夾角的余弦值為（

）A. B. C.D.3.在中，若，則角C等于（

）A. B. C.D.4.如圖是函數(shù)的部分圖像，則（）．A.B.C. D.5.已知平面向量，，若是直角三角形，則的可能取值是（）A.2B.C.5D.6.已知函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減 B.的最小正周期為C.圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng) D.的最小正周期為．7.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足．若為銳角三角形，且a=3，則當(dāng)面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓面積為（

）A. B. C. D.8.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，再將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來(lái)的，得到的圖象，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）①函數(shù)的最小正周期為；②是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；③函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸方程為；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增A.1 B.2 C.3 D.4二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知平面向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A.若，則 B.若，則C.若，則向量在上的投影向量為 D.若，則向量與的夾角為銳角10.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，下列說(shuō)法正確的是A.若acosA＝bcosB，則△ABC一定是等腰三角形B.若AB＝，∠B＝45°，AC＝3，則滿足條件的三角形有且只有一個(gè)C.若△ABC不是直角三角形，則tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanCD.若，則△ABC為鈍角三角形11.已知函數(shù)，下列關(guān)于該函數(shù)結(jié)論正確的是（

）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) B.的一個(gè)周期是C.的最小值是 D.在區(qū)間是減函數(shù)三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.黃金分割比是指將整體一分為二，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值，該比值為，這是公認(rèn)的最能引起美感的比例．黃金分割比的值還可以近似地表示為，則的近似值等于________．13.已知為的外心，且.若向量在向量上的投影向量為，其中，則的取值范圍為_(kāi)_________.14.窗，古時(shí)亦稱(chēng)為牅，它伴隨著建筑的起源而出現(xiàn)，在中國(guó)建筑文化中是一種獨(dú)具文化意蘊(yùn)和審美魅力的重要建筑構(gòu)件.如圖，是某古代建筑群的窗戶設(shè)計(jì)圖，窗戶的輪廓是邊長(zhǎng)為1米的正方形，內(nèi)嵌一個(gè)小正方形，且E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點(diǎn)，則的值為_(kāi)_________.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.（13分）在銳角中，角所對(duì)的邊分別是，滿足.(1)求證：；(2)求的取值范圍.16.（15分）一年之計(jì)在于春，春天正是播種的好季節(jié)．小林的爺爺對(duì)自己的一塊正方形菜園做了一些計(jì)劃．如圖，是邊長(zhǎng)為米的正方形菜園，扇形區(qū)域計(jì)劃種植花生，矩形區(qū)域計(jì)劃種植蔬菜，其余區(qū)域計(jì)劃種植西瓜．分別在上，在弧上，米，設(shè)矩形的面積為（單位：平方米）．（1）若，請(qǐng)寫(xiě)出（單位：平方米）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）求的最小值．

17.（15分）已知函數(shù)f(x)=2sin(12ωx)cos(12ωx+φ)，ω>0，|φ|≤π2．

(1)當(dāng)ω=2，φ=π3時(shí)，

?①求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;?②當(dāng)x∈[0,π2]時(shí)，關(guān)于x的方程10[f(x)]2?(10m+1)f(x)+m=0恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．

18.（17分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足．(1)求角A；(2)若，求面積的最大值；(3)求的取值范19.（17分）已知是定在上的函數(shù)，且滿足.（1）設(shè)，若，求的值域；（2）設(shè)，討論（為常數(shù)，）在上所有零點(diǎn)的和.參考答案：1.B

2.C3.A4.B解析：有圖可知：；，且，附近函數(shù)是遞減的；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，，附近函數(shù)是遞減的；；；，故選B.5.A解析：，，則，當(dāng)是直角頂點(diǎn)時(shí)：，；當(dāng)是直角頂點(diǎn)時(shí)：，無(wú)解；當(dāng)是直角頂點(diǎn)時(shí)：，；綜上所述：或.故選A6.C解析：，作出函數(shù)圖象：可得，該函數(shù)的最小正周期為，選項(xiàng)B正確；圖像不關(guān)于對(duì)稱(chēng)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在區(qū)間上單調(diào)遞減，選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以是函?shù)的周期，選項(xiàng)D正確；故選C7.D解析：∵，則，整理得，則，∵為銳角三角形，則，故，由面積為，可得當(dāng)面積取到最大值，即為取到最大值，∵，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即為等邊三角形時(shí)等號(hào)成立，故當(dāng)為等邊三角形時(shí)，面積取到最大值，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，解得，故內(nèi)切圓面積為.故選D.8.B解析：函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得到的圖象,再將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來(lái)的,得到的函數(shù)關(guān)系式對(duì)于①函數(shù)的最小正周期為,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②當(dāng)時(shí),,故是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故②正確;對(duì)于③令,整理得,函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程不為,故③錯(cuò)誤；對(duì)于④由于,所以,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故④正確.故選B.9.AB解析：若，根據(jù)平面向量共線性質(zhì)可得，即，所以A正確；若，可得，即，解得，所以B正確；若，，由投影向量定義可知向量在上的投影向量為，即C錯(cuò)誤；若，則，所以；但當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)向量與的夾角為零角，所以D錯(cuò)誤.故選AB10.BC解析：若acosA＝bcosB，則sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，∴A＝B或A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，∴滿足條件的三角形有且只有一個(gè)，∴B正確；tanA＋tanB＋tanC＝＝tanAtanBtanC，故C正確；∵，∴B是銳角，故無(wú)法判斷△ABC是否為鈍角三角形，故D錯(cuò)誤．11.BD解析：對(duì)于A，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，若f(x)最小值為－2，則此時(shí)﹒∵－1≤cosx≤1，∴，也即，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上是減函數(shù)，且，，，∴在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且，，，∴在區(qū)間上是減函數(shù)，故選項(xiàng)D正確．故選BD．12.1解析：由題可得，.故答案為1.13.解析：因?yàn)?，所?又因?yàn)闉榈耐庑模詾橹苯侨切吻覟樾边叺闹悬c(diǎn)，過(guò)作的垂線，垂足為.因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以在上的投影向量為，而，所以，因?yàn)?，所以，即的取值范圍?14.0解析：如圖所示，以A為原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.延長(zhǎng)與交于點(diǎn)I，，故I為中點(diǎn).直線，同理可得：直線，直線；解得：，，，，故，，.故答案為0.15.解析：（1）由及余弦定理得，由正弦定理得：，又，，，，都是銳角，，即.（2）令，由（1）得，在銳角三角形中，，即，解得，，令，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故的取值范圍是.16.解析：（1）延長(zhǎng)交于，則米，米，則米，米，.（2）由（1）得：，令，則，，，，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，矩形面積的最小值為平方米．解析：(1)?①f(x)=2sinxcos(x+π3)=2sinx(12cosx?32sinx)=12sin2x+32cos2x?32

=sin(2x+π3)?32．

令2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ?5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z.

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?5π12,kπ+π12](k∈Z)．

?②當(dāng)x∈[0,π2]時(shí)，f(x)在[0,π12]上單調(diào)遞增，在[π12,π2]上單調(diào)遞減，

f(0)=0，f(π12)=1?32，f(π因?yàn)間(x)在(π18,5π36)上單調(diào)，則5π36?π18=π12≤T2，即T=2πω≥π6，解得ω≤12．

當(dāng)ω=11時(shí)，?11π4+φ=kπ，k∈Z.

因?yàn)閨φ|≤π2，所以φ=?π4，此時(shí)g(x)=sin(11x?π4).

當(dāng)x∈(π18,5π36)時(shí)，(11x?π4)∈(18.解析：（1）由，根據(jù)正弦定理得：，又，代入上式得：，又，所以，又，所以；（2）由余弦定理得：代入得：根據(jù)基本不等式得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的面積為：故面積的最大值為.（3）根據(jù)正弦定理得：,令，得：，，，，令，則將原式化為：，根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)得到，當(dāng)時(shí)，原式取得最小值，當(dāng)時(shí)，原式取得最大值，故的取值范圍為19.解析：（1）由題意，，，所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，則；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，則.綜上，時(shí)，的值域?yàn)?（2）由題意，，所以，，因?yàn)?，所以函?shù)是以為周期的周期函數(shù).設(shè)化為.由于必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)為，，由得無(wú)解，即至少一個(gè)在內(nèi).①當(dāng)只有一個(gè)在內(nèi)時(shí)，，解得或.若，則，得，在內(nèi)，有兩個(gè)根，且