研究性課題與實習作業(yè)：線性規(guī)劃的實際應用教案及反思

教案系列爭論??性課題與實習作業(yè)：線性規(guī)劃的實際應用教案及反思爭論??性課題與實習作業(yè)：線性規(guī)劃的實際應用

教學目標

（1）了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念；

（2）了解線性規(guī)化問題的圖解法；

（3）培育同學搜集、分析和整理信息的力量，在活動中學會溝通與合作，培育探究爭論??的力量和所學學問解決實際問題的力量；

（4）引發(fā)同學學習和使用數(shù)學學問的愛好，進展創(chuàng)新精神，培育實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學態(tài)度和科學道德．

教學建議

一、重點難點分析

學以致用，培育同學“用數(shù)學”的意識是本節(jié)的重要目的。學習線性規(guī)劃的關(guān)于學問其最終目的就是運用它們?nèi)ソ鉀Q一些生產(chǎn)、生活中問題，因而本節(jié)的教學重點是：線性規(guī)劃在實際生活中的應用。困難大多是如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題（既數(shù)學建模），所以把一些生產(chǎn)、生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，就是本節(jié)課的教學難點。突破這個難點的關(guān)鍵就在于盡快熟識生活，了解實際狀況，并與所學學問緊密結(jié)合起來。

二、教法建議

（l）建議可適當采納電腦多媒體和投影儀等先進手段來關(guān)心教學，以增加課堂容量，增加直觀性，進而提高課堂效率．

（2）課堂上可以設(shè)計幾個實際讓同學分組爭論??解答，一方面是復習線性規(guī)劃問題的一般解法，為總結(jié)線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型和常見類型作鋪墊；另一方面，也為接下來到外面分組調(diào)查積累閱歷，讓同學在爭論、探究過程中初步學會溝通與合作，共同履行活動任務．

（3）確定爭論??課題，建議各小組以三個常見問題為主，或者依據(jù)本小組實際自擬課題．

（4）活動支配，建議要求各小組分式明確，團結(jié)協(xié)作，聽從指揮，留意平安．同學爭論??活動的成果，可以用爭論??報告或論文的形式體現(xiàn)．所有以同學自己的自主探究活動為主，老師未能越俎代庖．

（5）對同學在課余時間開展的爭論??性課題，建議作做好成果呈現(xiàn)、評估和溝通．呈現(xiàn)不僅可以讓全體同學來共享成果，享受勝利的喜悅，而且還可以熬煉同學的組織表達力量，增加同學的自信念．通過評估，可以使同學清晰地看到自己的優(yōu)點與不足．通過溝通爭論??，共享成果，進行思維碰撞，使熟悉和情感得到提升．

教學設(shè)計方案教學目標

（1）了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念；

（2）了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡潔的實際問題；

（3）培育同學觀看、聯(lián)想以及作圖的力量，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，提高同學“建?！焙徒鉀Q實際問題的力量；

（4）結(jié)合教學內(nèi)容，培育同學學習數(shù)學的愛好和“用數(shù)學”的意識，激勵同學勇于創(chuàng)新．

重點難點

理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學重點。

如何擾實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答是教學難點。

教學步驟

（一）引入新課

我們已爭論??過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題。那么是否有多個兩個變量的線性規(guī)劃問題呢？又什么樣的問題不用線性規(guī)劃學問來解決呢？

（二）線性規(guī)劃問題的教學模型

線性規(guī)劃爭論??的是線性目標函數(shù)在線性約束條件下取最大值或最小值問題，一般地，線性規(guī)劃問題的數(shù)字模型是

已知其中都是常數(shù)，是非負變量，求的最大值或最小值，這里是常量。

前面我們計論了兩個變量的線性規(guī)劃問題，這類問題可以用圖解法來求最優(yōu)解，涉及更多變量的線性規(guī)劃問題未能用圖解法求解。比如線性不等式未能用圖形來表示它，那么對四元線性規(guī)劃問題就未能用圖形來求解了，對這樣的線性規(guī)劃問題怎樣求解，同學們今后在高校學習中會得到解決。

線性規(guī)劃在實際中的應用

線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應用，一是在人力、物力、資金等資源肯定的條件下，如何使用它們來履行最多的任務；二是給定一項任務，如何合理支配和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來履行該項任務，常見問題有：

1．物調(diào)運問題

例如，已知兩煤礦每年的產(chǎn)量，煤需經(jīng)兩個車站運往外地，兩個車站的運輸力量是有限的，且已知兩煤礦運往兩個車站的運輸價格，煤礦應怎樣編制調(diào)運方案，能使總運費最小？

2．產(chǎn)品支配問題

例如，某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一個單位的甲種或乙種產(chǎn)品需要的A、B、C三種材料的數(shù)量，此廠每月所能供應的三種材料的限額都是已知的，這個工廠在每個月中應如何支配這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，能使每月取得的總利潤最大？

3．下料問題

例如，要把一批長鋼管截成兩種規(guī)格的鋼管，應怎樣下料能使損耗最??？

4．爭論??一個例子

下面的問題，能否用線性規(guī)劃求解？如能，請同學們解出來。

某家具廠有方木料，五合板，預備加工成書桌和書櫥出售，已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料、五合板，生產(chǎn)每個書櫥需要方木料、五合板，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元，假如只支配生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？如何只支配生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？怎樣支配生產(chǎn)時可使所得利潤最大？

A．老師指導同學們逐步解答：

（1）先將已知數(shù)據(jù)列成下表

（2）設(shè)生產(chǎn)書桌x張，生產(chǎn)書櫥y張，獲利潤為z元。

分析：明顯這是一個二元線性問題，可歸結(jié)于線性規(guī)劃問題，并可用圖解法求解。

（3）目標函數(shù)

①在第一個問題中，即只生產(chǎn)書桌，則，約束條件為

∴最多生產(chǎn)300張書桌，獲利潤元

這樣支配生產(chǎn)，五合板先用光，方木料只用了，還有沒派上用場。

②在第二個問題中，即只生產(chǎn)書櫥，則，約束條件是

∴最多生產(chǎn)600張書櫥，獲利潤元

這樣支配生產(chǎn)，五合板也全用光，方木料用去了，仍有沒派上用場，獲利潤比只生產(chǎn)書桌多了48000元。

③在第三個問題中，即怎樣支配生產(chǎn)，可獲利潤最大？

，約束條件為

對此，我們用圖解法求解，

先作出可行域，如圖陰影部分。

時得直線與平行的直線過可行域內(nèi)的點M（0，600）。因為與公平的過可行域內(nèi)的點的全部直線中，距原點最遠，所以最優(yōu)解為，即此時

因此，只生產(chǎn)書櫥600張可取得最大利潤，最大利潤是7元。

B．爭論

為什么會消逝只生產(chǎn)書櫥，可獲最大利潤的情形呢？第一，書櫥比書桌價格高，因此應當盡可能多生產(chǎn)書櫥；第二，生產(chǎn)一張書櫥只需要五合板，生產(chǎn)一張書桌卻需要五合板，按家具廠五合板的存有量，可生產(chǎn)書櫥600張，若同時又生產(chǎn)書桌，則生產(chǎn)一張書桌就要削減兩張書櫥，明顯這不合算；第三，生產(chǎn)書櫥的另種材料，即方木料是足夠供應的，家具廠方木料存有量為，而生產(chǎn)600張書櫥只需要方木料。

這是一個特殊的線性規(guī)劃問題，再來爭論??它的解法。

C．轉(zhuǎn)變這個例子的個別條件，再來爭論??它的解法。

將這個例子中方木料存有量改為，其他條件不變，則

作出可行域，如圖陰影部分，且過可行域內(nèi)點M（100，400）而平行于的直線離原點的距離最大，所以最優(yōu)解為（100，400），這時（元）。

故生產(chǎn)書桌100、書櫥400張，可獲最大利潤56000元。

總結(jié)、擴展

1．線性規(guī)劃問題的數(shù)字模型。

2．線性規(guī)劃在兩類問題中的應用

布置作業(yè)

到四周的工廠、鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)、商店、學校等作調(diào)查爭論??，了解線性規(guī)劃在實際中的應用，或提出能用線性規(guī)劃的學問提高生產(chǎn)效率的實際問題，并作出解答。把實習和爭論??活動的成果寫成實習報告、爭論??報告或小論文，并相互溝通。

探究活動

如何確定水電站的位置

小河同側(cè)有兩個村莊A，B，兩村莊方案于河上共建一水電站發(fā)電供兩村使用．已知A，B兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m，且兩村相距500m，問水電站建于何處，送電到兩村電線用料最省？

[解]視兩村莊為兩點A，B，小河為一條直線L，原問題便轉(zhuǎn)化成在直線上找一點P，使P點到A，B兩點距離之和為最小的問題．

以L所在直線為軸，軸通過A點建立直角坐標系，如圖所示．作A關(guān)于軸的對稱點，連，與軸交于點P．由平面幾何學問得，點P即為所求．據(jù)已