歷年高考數(shù)學（理）知識清單-專題07 三角恒等變換與解三角形（原卷+解析版）

專練θ-π1．設(shè)角θ的終邊過點(2,3)，則tan4θ-πA1B.-C．5D52．已知sin-α=cos+α,則cos2α=()3．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosCbcosA＋acosB＝2，則△ABC的外接圓面積為()4.△ABC中，absinB則符合條件的三角形有()θ-π4θ+7π5．已知cos6＋sinθ=5，則θ-π4θ+7πA.B.CDπ3π6．若sin2α=，sin(β-α)且α∈4，π,β∈π,2，則α+β的值是()π3πA.B.C.或D.或A.B.2C.D.8.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已A.或B.C.或D.9．在△ABC中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知4sin2－cos2C且a＋b＝5，c則△ABC的面積為()A.B.C.D.＋＝2b＝6，AB邊上的點M滿足AM＝2MB，過點M的直線與射線CA，CB分別交于P，Q兩點，則MP2＋MQ2的最小值是()11．已知sin+α=，那么cosα=()AB2D12．若tanα=，tan(α+β)則tanβ=()1B5D13．設(shè)cos(－80°)＝k，那么tan100°=()14．已知sinα+cosα=，α∈(0，π)，則tanα=()A1BC.D．115．若=，則sinαcosα=()-B4D ππ π2，sin2θ=，則tanθ=()πA43B17．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，則tanA·tanB等于()C4D3α-π18．已知α為第二象限角，sinα=5，則sin3α-πA4＋3A4－3B3－-4－3D19．若α是第四象限角，tan+α=-，則cos-α=()A.BC.D 20．已知sin-α=，則cos2+α的值是()A71B-21．已知α滿足sinα=，那么sin+α·sin-α的值為()BD22．已知向量a＝sinα+，1，b＝(4,4cosα-)，若a⊥b，則sinα+＝()AC.B1D2cos2x－sinx－123.已知tan(3π-x)＝2，則2＝.sinx＋cosx________24．若tanθ=2，則2sin2θ-3sinθcosθ=.7________25．已知α∈，π,tanα+＝1，則sinα+cosα=.7________26．已知<β<αcos(α-β)sin(α+β)則sinα+cosα的值為________. x-πx-πx27．已知函數(shù)f(x)＝sin6 x-πx-πx(1)若α是第一象限角，且f(α)求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.28．設(shè)f(x)＝sinxcosx－cos2x+.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； A(2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若f2＝0，a＝1，求△ABC面積的最大值. Aa＋cC+π29．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ba＋cC+π30．已知點P(，1)，Q(cosx，sinx)，O為坐標原點，函數(shù)f(x)＝OP·QP.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若A為△ABC的內(nèi)角，f(A)＝4，BC＝3，△ABC的面積為，求△ABC的周長.31．在△ABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對邊，且bcosA=sinA(acosC+ccosA).（1）求角A的大??；（2）若a=2，△ABC的面積為，求△ABC的周長.（1）求f()的值；（2）當xe[0,]時，不等式c<f(x)<c+2恒成立，求實數(shù)c的取值范圍.高考押題專練θ-π1．設(shè)角θ的終邊過點(2,3)，則tan4θ-πC．5D5【解析】由于角θ的終邊過點(2,3)，因此tanθ=，故tanθ-選A.【答案】Aπ-απ+α2．已知sin6＝cos6π-απ+α【解析】因為sin-α=cos+α,所以cosα-sinα=cosα-sinα,即－sinα=- －23cosα,所以tanα==-1，所以cos2α=cos2α-sin2α==＝0.【答案】D3．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosCbcosA＋acosB＝2，則△ABC的外接圓面積為()【解析】c＝bcosA＋acosB＝2，由cosC＝得sinC再由正弦定理可得2R6，所以△ABC【答案】C4.△ABC中，absinB則符合條件的三角形有()【解析】∵asinB∴sinB<b＝<a∴符合條件的三角形有2個.【答案】B5．已知cosθ-＋sinθ=，則sinθ+的值是()A.B.CD θ-π4【解析】因為cos6 θ-π4所以cosθ+sinθ=，1cosθ+sinθ41cosθ+sinθ4 θ+π4θ+π4 θ+π4θ+π4所以sinθ+sinθ+.故選C.【答案】Cπ3π6．若sin2α=，sin(β-α)且α∈4，π,β∈π,2，則α+β的值是()π3πA.B.C.或D.或3ππ5π-.又β∈π,2，故β-α∈2，4，于是cos(β-α)所以cos(α+β)＝cos[2α+(β-α)]=3ππ5π-35π2cos2αcos(β-α)－sin2αsin(β-α)×10－×且α+β∈4，π,故α+β=-35π2【答案】A8AB ABC.D.【解析】由bsinB－asinA＝asinC，且c＝2a，得b＝a，∵cosB 【答案】A8.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已A.或B.C.或D.【解析】cos(A－C)＋cosB＝1，故cos(A－C)－cos(A＋C)＝1,2sinAsinC＝1.又由已知a＝2c，根據(jù)正弦定理得，sinA＝2sinC，【答案】B9．在△ABC中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知4sin2－cos2C且a＋b＝5，c則△ABC的面積為()A.B.C.D.【解析】因為4sin2－cos2C所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋12＋2cosC－2cos2C＋1cos2C－cosC0，解得cosC由于0<C<π,故sinC＝.根據(jù)余弦定理有cosCab=＋b2－7，3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，ab＝6.所以S＝absinC＝×6×＝.【答案】A＋＝2b＝6，AB邊上的點M滿足＝2，過點M的直線與射線CA，CB分別交于P，Q兩點，則MP2＋MQ2的最9小值是()【解析】由正弦定理，知＋＝2c2，即2＝2sin2C，∴sinC＝1，C=，∴sinA(1－cosC)＝sinBsinC，即sinA＝sinB，∴A＝B=.以C為坐標原點建立如圖π所示的平面直角坐標系，則M(2,4)，設(shè)∠MPC=θ,θ∈0，2，則MP2＋MQ2＝+=(sin2θ+πcos2θ)+=20＋4tan2θ+≥36，當且僅當tanθ=時等號成立，即MP2＋MQ2的最小值為36.【答案】A11．已知sin+α=，那么cosα=()AB2D【答案】C 5π+απ+α1【解析】sin2＝ 5π+απ+α112．若tanα=，tan(α+β)則tanβ=()1B5D【答案】A【解析】tanβ=tan.[α+β.-α]=tanα+β.－tanα1＋tanα+β.tanα=－＝＝1，故選A.13．設(shè)cos(－80°)＝k，那么tan100°=()A.1－k2kC.k 1－k2B1－k2D【答案】B解18°1co，所以tan100°=-tan80°=-=-，故選B.14．已知sinα+cosα=，α∈(0，π)，則tanα=()A1BC.D．1【答案】D【解析】法一：由sinα+cosα=得(sinα+cosα)2＝1＋2sinαcosα=2，即2sinαcosα=1，又因為α∈(0，π)，則當cosα=0時，sinα=1，不符合題意，所以cosα≠0，所以ss=t1＝1，解得tanα=1，故選D.法二：由sinα+cosα=得： sinα+即sinα+＝1，∵0<α<π,∴<α∴α+=，即α=故tanα=1，故選D.15．若=，則sinαcosα=()-B4D【答案】B【解析】法一：由=，得2(sinα+cosα)＝sinα-cosα,即tanα=-3.又sinαcosα=siα=12α=-，故選B.法二：由題意得=，即4＋8sinαcosα=1－2sinαcosα∴10sinαcosα=-3即sinαcosα=-，故選B. ππ16．若θ∈4，2，sin2θ=，則tanθ=()ππA.B.【答案】C ππ【解析】法一：∵sin2θ=2sinθcosθ=，且sin2θ+cos2θ=1，θ∈4，2，∴sinθ+cosθ=，ππsinθ-cosθ=，∴sinθ=，cosθ=，∴tanθ=2，故選C.ππ法二：由θ∈4，2知tanθ≥1ππ∴sin2θ=，∴ssθ=∴＝解得tanθ=(舍)或tanθ=2.17．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，則tanA·tanB等于()C4D【答案】B【解析】由條件得3×＋5×＝4，即3cos(A－B)＋5cosC＝0，所以3cos(A－B)-5cos(A＋B)＝0，所以3cosAcosB＋3sinAsinB－5cosAcosB＋5sinAsinB＝0，即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanAtanB故選B.3α-π18．已知α為第二象限角，sinα=5，則sin3α-πA4＋3A4－3B3－-4－3D【答案】A34α-π3－414＋3【解析】∵α為第二象限角，sinα=5，所以cosα=-5，則34α-π3－414＋3A. π+α5π-α19．若α是第四象限角，tan3 π+α5π-αA.BC.D【答案】D π+α5π-απ-+απ+α5【解析】 π+α5π-απ-+απ+α5 20．已知sin-α=，則cos2+α的值是()A.B.CD【答案】D π+απ+α【解析】cos23 π+απ+α=2sin2-α-1＝2×－1.21．已知α滿足sinα=，那么sin+α·sin-α的值為()BD【答案】A【解析】原式＝sin+αcos+α=sin＋2α=cos2α=(1－2sin2α)故選A.α+πα+4π22．已知向量a＝sin6，1，b＝(4,4cosα-)，若a⊥b，α+πα+4πAC.B1D【答案】B α+π∴a·b＝4sin6＋4cosα α+π=2sinα+6cosα- α+π=4sin3－＝ α+π∴sinα+＝. α+4πα+π1 α+4πα+π12cos2x－sinx－123.已知tan(3π-x)＝2，則2＝.sinx＋cosx________【解析】tan(3π-x)＝tan(π-x)tanx＝2，故tanx2.故2cos2－sinx－1＝cosx－sinx＝1－tanx=sinx＋cosxsinx＋cosxtanx＋1-3.【答案】－324．若tanθ=2，則2sin2θ-3sinθcosθ=.【解析】法一：原式＝cos2θ(2tan2θ-3tanθ)＝(2tan2θ-3tanθ)＝×(2×22－3×2)＝.法二：原式＝2sisθ=2tanθ=2××2＝.【答案】 7________25．已知α∈2，tan4 7________【解析】依題意，=，解得tanα=-＝,因為sin2α+cos2α=1且α∈，π,解得sinα=，cosα=-，故sinα+cosα=－＝－.【答案】－24135________26．已知π<β<α＜3π,cos(α-β)＝12，sin(α+β)＝－3，則sinα24135________【解析】根據(jù)已知得sin(α-β)cos(α+β)所以sin2α=sin[(α+β)＋(α-β)]＝sin(α+β)cos(α-4-β)＋cos(α+β)sin(α-β)×＋5×所以(sinα+cosα)2＝1＋sin2α=1.因為<α-4所以sinα+cosα>0，所以sinα+cosα=.【答案】 x-πx-πx27．已知函數(shù)f(x)＝sin x-πx-πx(1)若α是第一象限角，且f(α)求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合. x-πx-π11【解析】f(x)＝sin6＋cos3＝2sinx－2cosx＋ x-πx-π11g(x)＝2sin2＝1－cosx.(1)由f(α)＝得sinα=.又α是第一象限角，所以cosα>0.從而g(α)＝1－cosα=1－=1.(2)f(x)≥g(x)等價于sinx≥1－cosx，即sinx＋cosx≥1. x+π1于是sin x+π1從而2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合為x|2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z.28．設(shè)f(x)＝sinxcosx－cos2x+.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； A(2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若f2＝0，a＝1，求△ABC面積的最大值. A【解析】(1)由題意知f(x)＝2x+π-2x+π2=－＝sin2x－.由-＋2kπ≤2x≤＋2kπ,k∈Z，可得-＋kπ≤x≤＋kπ,k∈Z；由＋2kπ≤2x≤＋2kπ,k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ,k∈Z.-π+kπ,π+kπ所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是4-π+kπ,π+kππ+kπ,3π+kπ單調(diào)遞減區(qū)間是44π+kπ,3π+kπ A(2)由f2＝sinA－＝0，得 A由題意知A為銳角，所以cosA＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，當且僅當b＝c時等號成立.因此bcsinA≤.所以△ABC面積的最大值為.b.29．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＋c＝2sinC+b. C+π【解析】(1)由已知得a＋c＝2bsin C+π