2023年華師大版七年級下冊數(shù)學知識點總結

華師大版七年級數(shù)學下冊

第六章一元一次方程

一、根本概念

（一）方程的變形法則

法則1:方程兩邊都或同一個數(shù)或同一個，方

程的解不變。

例如：在方程7-3x=4左右兩邊都減去7,得到新方程：-

3x+3=4-7o

在方程6x=-2x-6左右兩邊都加上4x,得到新方程：

8x=-6o

移項：將方程中的某些項改變符號后，從方程的一邊移動到另

一邊，這樣的變形叫做移項，注意、移項要變號。

例如：⑴將方程x—5=7移項得：x=7+5即x=12

⑵將方程4x=3x—4移項得：4x—3x=-4即x=

—4

法貝tj2：方程兩邊都除以或同一個的數(shù)，方程

的解不變。

2

例如：（1）將方程-5x=2兩邊都除以-5得：x=-5

22

（2）將方程32x=13兩邊都乘以3得：x=9

這里的變形通常稱為“將未知數(shù)的系數(shù)化為1〃。

注意:

（1）如遇未知數(shù)的系數(shù)為整數(shù)，”系數(shù)化為1〃時，就要除

以這個整數(shù)；如遇到未知數(shù)的系數(shù)為分數(shù)，”系數(shù)化為1〃

時，就要乘以這個分數(shù)的倒數(shù)。

（2）不管上一乘以或除以數(shù)時，都要注意結果的符號。

方程的解的概念：能夠使方程左右兩邊都相等的未知數(shù)的

值，叫做方程的解。

求不方程的解的過程，叫做解方程。

（二）一元一次方程的概念及其解法

1.定義：只含有一個未知數(shù),并且含有未知數(shù)的式子都

是，未知數(shù)的次數(shù)是—，這樣的方程叫做一元一次方

程。

例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一■元一次方程。

而這些方程5x2—3x+l=0、2x+y=l—3y、lxT=5就不是一元

一次方程。

2.一元一次方程的一般式為：ax+b=0（其中a、b為常數(shù)，且

aWO）

一元一次方程的一般式為：ax=b（其中a、b為常數(shù)，且a

W0）

3.解一元一次方程的一般步驟

步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，未知數(shù)的系數(shù)化

為lo

注意：（1）方程中有多重括號時，一般應按先去小括號，再去

中括號，最后去大括號的方法去括號，每去一層括號合并同類

項一次，以簡便運算。

（2）“去分母〃指去掉方程兩邊各項系數(shù)的分母；去分母時，

要求各分母的最小公倍數(shù)，去掉分母后，注意添括號。去分母

時，不要忘記不等式兩邊的每一項都乘以最小公倍數(shù)（即公分

母）

（三）一元一次方程的應用

1.純數(shù)學上的應用：（1）一元一次方程定義的應用；（2）方

程解的概念的應用；［3）代數(shù)中的應用；（4）公式變形等。

2.實際生活上的應用：（1）調配問題；（2）行程問題；

（3）工程問題；（4）利息問題；（5）面積問題等。

3.探究性應用：這類問題與上面的幾類問題有聯(lián)系，但也有區(qū)

別，有時是一種沒有結論的問題，需要你給出結論并解答。

第七章二元一次方程組

一、根本概念

（一）二元一次方程組的有關概念

1.二元一次方程的定義：都含有一個未知數(shù)，并且

的次數(shù)都是1,像這樣的整式方程，叫做二元一次方

程。

一般形式為：ax+by=c（a、b、c為常數(shù)，且a、b均不為

0)

結合一元一次方程，二元一次方程對“元〃和”次〃作進

一步的理解；“元〃與“未知數(shù)〃相通，幾個元是指幾個未知

數(shù)，“次〃指未知數(shù)的最gao次數(shù)。

例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b、2m+3n=0、1-s+t=2s等都是

二元一次方程。

2

而6x2=-2y-6、4x+8y=-6z、m-n等都不是二元一次方

程。

2.二元一次方程組的定義：把兩個二元一次方程合在一起，就

組成了一個二元一次方程組。

3y=5#a+3b=-3和+n=2jks-1-2

例如：5+y=-8、*引力=1、*vn=l、等都是二

元一次方程組。

3y-5<a+3a-3暇+”=2

而&+z=?8、*a-2a=l、痂等都不是二元一次

方程組。

注意：(1)只要兩個方程一共含有兩個未知數(shù)，也是二元一次

￡x=5^s=2

方程組。如：X-8、*=，1］也是二元一次方程組。

3.二元一次方程和二元一次方程組的解

(1)二元一次方程的解：能夠使二元一次方程的左右兩邊都相

等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。

（2）二元一次方程組的解：使二元一次方程組的兩個方程左右

兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的

解。（即是兩個方程的公共解）

注意：寫二元一次方程或二元一次方程組的解時要用“聯(lián)立”

.

符號“學〃把方程中兩個未知數(shù)的值連接起來寫。

<r=a

二元方程解的寫法的標準形式是：（其中a、b為常

數(shù)）

〔二）二元一次方程組的解法

1.解二元一次方程組的根本思想：“消元〃，化二元一次方程

組為一元一次方程來解。

2.二元一次方程組的根本解法

（1）代入消元法（代入法）

定義：通過“代人〃消去一個未知數(shù)，將方程組轉化為一

元一次方程來解的這種解法叫做代人消元法，簡稱代入法。

步驟：①選取一個方程，將它寫成用一個未知數(shù)表示另一

個未知數(shù)，記作方程③。

②把③代人另一個方程，得一元一次方程。

③解這個一元一次方程，得一個未知數(shù)的值。

④把這個未知數(shù)的值代人③，求出另一個未知數(shù)

值，從而得到方程組的解。

（2）加減消元法（加減法）

定義：通過將兩個方程相加(或相減)，消去一個未知數(shù),

將方程組轉化為一元一次方程來解，這種解法叫加減消元法，

簡稱加減法。

步驟：①把兩個方程同一個未知數(shù)的系數(shù)乘以適當?shù)谋?/p>

數(shù)，使得這兩個未知數(shù)的絕對值相同。

②把未知數(shù)的絕對值相同的兩個方程相加或相減，

得一元一次方程。

③解這個一元一次方程，得一個未知數(shù)的值。

④把這個未知數(shù)的值代人原方程組中系數(shù)叫簡單的

一個方程，求出另一個未知數(shù)值，從而得到方程組的解。

注意：正確選用兩種根本解二元一次方程組

(1)假設二元一次方程組中有一個未知數(shù)系數(shù)的絕對值為

1,適宜用“代入法〃。

(2)用加減法解二元一次方程組，兩方程中假設有一個未

知數(shù)系數(shù)的絕對值相等，可直接加減消元；假設同一未知數(shù)的

系數(shù)絕對值不等，則應選一個或兩個方程變形，使一個未知數(shù)

的系數(shù)的絕對值相等，然后再直接用加減法求解；假設方程組

比擬復雜，應先化簡整理。

第8章一元一次不等式

一、根本概念

(一)不等式的有關概念和性質

1.不等式的定義：用表示不等關系的式子叫做不

等式。

常見不等號：>、V、2、W、W。

注：">〃、“<〃不僅表示左右兩邊不等關系，還明確表

示左右兩邊的大小；、"2"也表示不等，<span=〃〃>

前者表示“不大于〃(小于或等于)，后者表示“不小于〃(大于

或等于)，_"W〃表示左右兩邊不相等

例如：方程7y-3x>4、-3a+3W4-7a、2ni+3n#0等都是不等

式。

而-2y-6、4x+8y=-6z等都不是不等式。

2.不等式解的定義：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等

式的解。

例如:不等式120<5x中x=25,26,27,…等都是120<5x

的解，而x=24,23,22,21則都不是不等式的解。<

〃〃、

span=>

3.不等式的解集

(1)定義：一個不等式的全部解，組成這個不等式解的集合，

簡稱為這個不等式的廨菜。

(2)求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

(3)在數(shù)軸上表示不等式的解集：

沒有等號畫空心圓圈，有等號畫實心圓點?！按笥凇ㄏ蛴耶?，

“小于〃向左畫。

4.不等式的根本性質

不等式的根本性1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)

（或式子），不等號的方向。

即:如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c；

如果a<b,那么a+c<b+c,a-c<b-c.

不等式的根本性2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一

個—，不等號的方向不變。

即:如果aVb,c>0,那么acVbc,a/c<b/c

不等式的根本性3：不等式的兩邊都乘以［或除以）同一個負

數(shù)，不等號的。

即：如果a>b,c<0,那么acVbc,a/c<b/c

（二）解一元一次不等式

1.一元一次不等式的定義：只含有一個未知數(shù)，且含未知數(shù)的

式子是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1,像這樣的不等式叫做一元一

次不等式。

例如:方程7-3x>4、6xW-2x-6、3xW-2x+150都是一元一次

不等式。

而這些方程5x2—3x+l>0、2x+y<l—3y>lxTW5就不是一元

一次不等式。

2.一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步驟

步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，未知數(shù)的系數(shù)化

為lo

注意：（1）不等式中有多重括號時，一般應按先去小括號，再

去中括號，最后去大括號的方法去括號，每去一層括號合并同

類項一次，以簡便運算。

（2）“去分母〃指去掉不等式兩邊各項系數(shù)的分母；去分母

時，要求各分母的最小公倍數(shù)，去掉分母后，注意添括號。去

分母時，不要忘記不等式兩邊的每一項都乘以最小公倍數(shù)（即

公分母）。

不等式的解法與解一元一次方程類似，完全可以把解一元一次

方程的思想照搬過來。

（三）一元一次不等式組

1.一元一次不等式組的定義：幾個一元一次不等式合起來就組

成一元一次不等式組

與二元一次方程組不同的是，這里的“幾個〃可以兩個，也可

以三個，或更多個。

2.一元一次不等式組的解集：不等式組中幾個不等式的解集的

公共局部，叫做這個不等式組的解集。

3.一元一次不等式組的解集確實定規(guī)律

同“大〃取大，同“小〃取小，“大〃小”小〃大中間找，

“大〃大”小〃小無解了

4.一元一次不等式組的解法

求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

一般步驟：

(1)分別解不等式組中的每個不等式；

(2)把每個不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來；

(3)找出各個不等式解集的公共局部；

(4)再結合不等式組解集確實定規(guī)律，寫出不等式組的解集。

第九章多邊形

一、根本概念

(一)三角形有關概念

/\1.三角形定義：三角形是由三條不在同一條直線上的

線段首尾順次連結組成的平面圖形，這三條線段就是三角形的

邊。A

三角形專用符號：”△〃

(頂點)

2.三角形的頂點、邊組成三角形的線段如圖中的AB、BC、AC

是這個三角形的三龍兩邊的公共點叫三角形的灰點。(如點A

等)三角形頂點只能用大寫字

母表示，整個三角形表示為△ABCo

3.三角形的內(nèi)角，外角的概念:

(1)內(nèi)角：每兩條邊所組成的角叫做三角形的為南，如NBAC

等。每個三角形有三個內(nèi)角，

(2)外角：三角形中內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成

的角

叫做三角形的外角，如以下圖中NACD是NABC的

一個外角,

△它與內(nèi)角NACB相鄰。外角例如右圖中NACD是/

ABC的一個外角，它與內(nèi)角NACB相鄰。BCD

與AABC的內(nèi)角NACB相鄰的外角有幾個它們之間有什么關系

一個三角形共有幾個外角？

4.三角形的分類

cm

ImODDCDODomc

(i)三角形按角分類可分為：tmramooOODD

(2)三角形按邊分類可分為：

□DO

mcDDmo

5.三角形的中線、角平分線、高(記住這重要的三線)

三角形的中線：三角形的一個灰點與它的用遨聲點的連線叫三

角形的中線。

三角形的角平分線：三軾形內(nèi)角的平分線與對邊的交點巡運個

內(nèi)嗡龍點之間的線段叫三角形的角平分線。

三角形的高：過三角形頂點作對邊的垂線，垂足與頂點間的線

度叫三角形的高。

注意：

（1）一個三角形中三條中線（高、角平分線）之間的位置關系怎樣

三條中線交于一點，三條角平分線交于一點，三條高所在的直

線交于一點］

⑵一個三角形的三條中線（角平分線）的交點與三角形有怎樣的

位置關系

三條中線（角平分線）相交于一點，這一點在三角形內(nèi)部］

⑶直角三角形的三條高，它們有怎樣的位置關系鈍角三角形呢

直角三角形有一條高在三角形內(nèi)部，其它兩條就是直角三角形

的兩條直角邊，三條高的交點就是直角三角形的直角頂點，鈍

角三角形有一條高在形內(nèi)，兩條高在形外，三條高所在的直線

的交點在形

外。］

（4）以上三線都是線段。

（二）三角形外角的性質以及其外角的和

1.三角形外角的性質：

⑴三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和;

⑵三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

A

//\\如圖：D是4ABC邊BC上一點，則有NADC=NDAB+N

ABD；

ZADOZDAB,ZADOZ

ABDBDC

問：ZADB=Z()+N()

2.三角形外角的和。

三角形的外角與和它相鄰內(nèi)角有什么關系(互補)

(1)三角形外角和的定義：與三角形的每個內(nèi)角相鄰的外角分

別有兩個，這兩個外角是對頂角，從與每個內(nèi)角相等的兩個外

角中分別取一個相加，得到的和稱為三角形的外角和。

(2)三角形外角和定理：三角形的外角和是360°

(三)三角形的三邊關系

1.三角形三邊不等關系定理：三角形的任何兩邊的和大于第三

邊。

三角形的任何兩邊的差小于第三

邊。

即三角形第三邊的取值范圍是：

I任何兩邊的差IV第三邊V任何兩邊的和

以上定理主要用語推斷給出肯定長度的線段能否構成三角形和

求第三邊的取值范圍。

2.三角形具有穩(wěn)定性

這就是說三角形的三條邊固定，那么三角形的形狀和大小

就完全確定了。三角形的這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性。四邊

形就不具有這個性質。

［四)多邊形的內(nèi)角和與外角和

1.多邊形及其相關概念

定義：由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結組成的

平面圖形，記為n邊形，又稱多邊形。

一個n邊形有n個內(nèi)角，有2n個外角。

如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，則稱為正多

邊形，如正三角形、正四邊形(正方形)、正五邊形等等。

對角線：連結多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形

的對角線。

從n邊形的一個頂點引對角線，可以弓|(n-3)條，這(n-3)

條對角線把n邊形分成(n-2)個三角形。

n(。二3

從n邊形的全部頂點引對角線的總條數(shù)為：2條。

2.多邊形的內(nèi)角和公式

n邊形的內(nèi)角和=(n-2)?180°

3.多邊形的外角和I。

(1)多邊形的外角和定義：從與每個內(nèi)角相鄰的兩個外角中分

型取一個相加,得到的和稱為多邊形的外角和。

(2)多邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360°。

多邊形的外角和與多邊形的邊數(shù)無關。

(五)用正多邊形拼地板

1.用相同的正多邊形拼地板：能拼成既不魚空舞，又不重楚的

平面圖形的關鍵是圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角相加

恰好等于360。。

在正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形中能夠

拼出完整地面是________________

這就是說，當(360°+(n-2)-180°n)為正整數(shù)時

即2nn-2為正整數(shù)時，用這樣的正n邊形就可以鋪滿地面。

設正多邊形的個數(shù)為n,每個內(nèi)角為則要鋪滿地面，它

們滿足以下關系：an=360°

2.用多種正多邊形拼地板

鋪墊滿地面的標志：滿足圍繞一點的這幾個正多邊形的一個內(nèi)

角的和等于360°

設正多邊形甲的個數(shù)為n,每個內(nèi)角為。，正多邊形乙的

個數(shù)為m,每個內(nèi)角為￡,則它們滿足以下關系：an+￡m=360

第十章軸對稱、平移與旋轉

一、軸對稱：

1.軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線對折，對折后的兩局

部能，

那么這個圖形就是，這條直線就是它

的O

2.兩個圖形成軸對稱：如果一個圖形沿一條直線折疊后，它能

與另一個圖形

那么這兩個圖形成,這條直線就是它們

的，

折疊時重合的對應點就是

3.軸對稱的性質：軸對稱（成軸對稱的兩個）圖形的對應線

段,對應角

4.垂直平分線的定義：

5.對稱軸的畫法：先連結一對點，再作所連線段的

6.對稱點的畫法：過已知點作對稱軸的并

二、平移

圖形的平移：一個圖形沿著肯定的方向平行移動肯定的距離，

這樣的圖形運動稱

為，它是由移動的和所決定。

平移的特征：經(jīng)過平移后的圖形與原圖形對應線段（或在

同一直線上）且—，

對應角,圖形的—與都沒有發(fā)生變化，即平移

前后的兩個圖形—

連結每對對應點所得的線段（或在同一直線上）

且O

三、旋轉

圖形的旋轉：把一個圖形繞一個沿某個旋轉肯定

___________的變換，

叫做，這個定點叫做O

圖形的旋轉由、和

_____________所決定。

注意：①旋轉在旋轉過程中保持不動.②旋轉

分為時針

利口寸針。③旋轉一般小于360°o

旋轉的特征：圖形中每一點都繞著旋轉了

的角度，對應點到旋

轉中心的相等，對應