山西省運(yùn)城市景勝中學(xué)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)（文）試題

景勝中學(xué)20202021年度高三年級(jí)月考（10月）數(shù)學(xué)（文）試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的定義計(jì)算即可．【詳解】解：由已知，則．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查交集的運(yùn)算，考查對(duì)數(shù)不等式，是基礎(chǔ)題．2.如果，那么下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分別作出角的正弦線、余弦線和正切線，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】如圖所示，在單位圓中分別作出的正弦線、余弦線、正切線，很容易地觀察出，即.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)線的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的正弦線、余弦線和正切線，合理作出圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.要將函數(shù)變成，下列方法中可行的有（）①將函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮一半②將函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)一倍③將函數(shù)的圖象向下平移一個(gè)單位④將函數(shù)的圖象向上平移一個(gè)單位（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】B【解析】【分析】由于的解析式有和兩種形式，可知如何變換得到以上兩種形式，即可確定選項(xiàng)【詳解】由，其函數(shù)還可寫成：∴(1)變成：將函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮一半(2)變成：將函數(shù)的圖象向上平移一個(gè)單位故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了通過(guò)函數(shù)解析式判斷函數(shù)平移伸縮變換的方式，注意：自變量前有系數(shù)：a、大于1：橫向壓縮；b、小于1：橫向伸長(zhǎng)；系數(shù)為1的自變量后加上一個(gè)正數(shù)：向左平移；減去一個(gè)正數(shù)：向右平移；函數(shù)式前有系數(shù)：a、大于1：縱向伸長(zhǎng)；b、小于1：縱向壓縮；函數(shù)式后加上一個(gè)正數(shù)：向上平移；減去一個(gè)正數(shù)：向下平移4.1626年，阿貝爾特格洛德最早推出簡(jiǎn)寫的三角符號(hào)：、、（正割），1675年，英國(guó)人奧屈特最早推出余下的簡(jiǎn)寫三角符號(hào)：、、（余割），但直到1748年，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家歐拉的引用后，才逐漸通用起來(lái)，其中，.若，且，則（）.A. B. C.0 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，然后使用二倍角的正弦、余弦公式以及齊次化化簡(jiǎn)可得，進(jìn)一步求得，最后根據(jù)二倍角的正切公式計(jì)算即可.【詳解】∵，∴，∴，解得或.又∵，∴，∴，則，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查弦切互換以及齊次化化簡(jiǎn)，還考查二倍角公式的應(yīng)用，著重考查對(duì)公式的記憶，屬基礎(chǔ)題5.已知角和角終邊垂直，角的終邊在第一象限，且角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義求出，再根據(jù)誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】由已知得，，所以，所以由任意角的三角函數(shù)定義可知，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了任意角的三角函數(shù)定義，考查了誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)函數(shù)（e為自然底數(shù)），則使成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)，得到，解得，再根據(jù)充分不必要條件要求滿足真包含關(guān)系，從而求得結(jié)果.【詳解】，解得：，觀察選項(xiàng)，只有是的真子集，又“”可以推出“”所以“”是“”充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)充分不必要條件的判斷，在解題的過(guò)程中，要掌握利用集合間的真包含關(guān)系求得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.7.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)，求得，結(jié)合角的范圍，利用平方關(guān)系，求得，利用題的條件，求得，之后將角進(jìn)行配湊，使得，利用正弦的和角公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?因，，所以，所以，故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式，正弦函數(shù)的和角公式，在解題的過(guò)程中，注意時(shí)刻關(guān)注角的范圍.8.已知定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的周期為，求出的值即得解.【詳解】由題得，所以函數(shù)的周期為.由題得，，，所以，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的周期的判斷和應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9.已知函數(shù)，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.為偶函數(shù) B.的最小正周期為C.的最大值為2 D.在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】【分析】利用證得為偶函數(shù)，由此判斷A選項(xiàng)正確.利用求得的最小正周期，由此判斷B選項(xiàng)正確.利用的解析式，求得的最大值，由此判斷C選項(xiàng)錯(cuò)誤.利用三角函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，判斷D選項(xiàng)正確.【詳解】由題知，①，則A選項(xiàng)，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，所以的最小正周期為，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由①知，所以選項(xiàng)C不正確.D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由解得（），令可得，所以在上單調(diào)遞增，所以D選項(xiàng)正確.綜上所述，不正確的選項(xiàng)為C.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值等知識(shí)，屬于中檔題.10.已知函數(shù)，曲線在處的切線的方程為，則切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，由此可得，再根據(jù)切點(diǎn)即在曲線上，又在切線上，可得，可得，求出切線方程，再分別令，，求出切線在軸和軸上的截距，再根據(jù)面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】由得，則，得，由得加，即，∴切線的方程為，令，得到，令，得到，所求三角形面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.11.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值可能是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，，得到，得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)為偶函數(shù)，故，即，即，，對(duì)比選項(xiàng)知C滿足.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.12.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把不等式只有一個(gè)整數(shù)解，轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)整數(shù)解，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象，即可求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】因?yàn)橹挥幸粋€(gè)整數(shù)解，即只有一個(gè)整數(shù)解，令，則的圖象在直線的上方只有一個(gè)整數(shù)解，又由，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；且，作出的圖象，由圖象可知a的取值范圍為，即.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象及應(yīng)用，其中解答中把不等式的解轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)整數(shù)解，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.正弦函數(shù)在上的圖象與軸所圍成曲邊梯形的面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由題意可知，，再根據(jù)定積分的運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查定積分在求不規(guī)則圖形面積上的應(yīng)用，熟練掌握定積分的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.已知扇形的面積為，圓心角為，則該扇形半徑為_(kāi)_________．【答案】2【解析】【分析】將圓心角化為弧度制，再利用扇形面積得到答案.【詳解】圓心角為扇形的面積為故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式，屬于簡(jiǎn)單題.15.在處取得極值，則______.【答案】【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)，代入，使得，變形整理得到，利用三角函數(shù)的有界性，可得，再利用倍角公式可求．【詳解】解：由已知，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，，即，因，，，即，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考察三角公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì)的整理變形，考查了學(xué)生的因式分解的能力，是一道中檔題．16.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，再利用導(dǎo)數(shù)可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于恒成立，等價(jià)于在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了轉(zhuǎn)化劃歸思想，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)處理不等式恒成立問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中．（Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）首先利用公式，得到數(shù)列的遞推公式，即可得到是等比數(shù)列及的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用表示前項(xiàng)和，結(jié)合的值，建立方程可求得的值．試題解析：（Ⅰ）由題意得，故，，.由，得，即.由，得，所以.因此是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是.（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.解得.【考點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.【方法總結(jié)】等比數(shù)列的證明通常有兩種方法：（1）定義法，即證明（常數(shù)）；（2）中項(xiàng)法，即證明．根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)常常要將遞推關(guān)系變形，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列來(lái)求解．18.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可化簡(jiǎn)得，再根據(jù)，即可得到，利用正弦定理，可作出證明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.試題解析：（1）由題意知，，化簡(jiǎn)得：即，因，所以，從而，由正弦定理得.（2）由（1）知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.考點(diǎn)：三角恒等變換的應(yīng)用；正弦定理；余弦定理.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了三角恒等變換的應(yīng)用、正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，涉及到三角函數(shù)的基本關(guān)系式和三角形中的性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想和學(xué)生的推理與運(yùn)算能力，以及知識(shí)間的融合，屬于中檔試題，解答中熟記三角函數(shù)恒等變換的公式是解答問(wèn)題的關(guān)鍵.19.如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是菱形，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若平面平面，，，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）4【解析】【分析】（1）設(shè)，利用三角形中位線性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果；（2）取的中點(diǎn)，結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理得平面，再根據(jù)等體積法以及利用錐體體積公式求結(jié)果.【詳解】（1）連接，設(shè)，連接，則點(diǎn)是的中點(diǎn)．又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面所以平面．?）因?yàn)樗倪呅问橇庑危?，所以．又因?yàn)?，所以三角形是正三角形．取的中點(diǎn)，連接，則又平面⊥平面，平面，平面平面，所以平面．即是四棱錐的一條高而所以．綜上，三棱錐的體積為4.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理、面面垂直性質(zhì)定理以及錐體體積公式，考查綜合分析論證與求解能力，屬中檔基礎(chǔ)題.20.設(shè)函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）1.【解析】【分析】（1）直接求導(dǎo)，由得單調(diào)遞增區(qū)間即可；（2）判斷的單調(diào)性即可求出最值.【詳解】解：（1）定義域?yàn)?，，由得，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），由得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為.【點(diǎn)晴】此題考利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和最值，屬于簡(jiǎn)單題.21.函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），為常數(shù)，曲線在處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）證明：的最小值大于.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用切線的向量以及切線方程，列出方程，即可求實(shí)數(shù)的值；（2）通過(guò)兩次求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的最小值即可證明的最小值大于．【詳解】（1）對(duì)求導(dǎo)可得，所以（1）．由曲線在處的切線方程為可知，故．（2）證明：由（Ⅰ）知，得，又再次求導(dǎo)易知，所以在上單調(diào)遞增．又，由零點(diǎn)存在性定理可知存在，使得，即，即．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．于是，易知在上單調(diào)遞減，所以．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的最值的求法，二次導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時(shí)，請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上，將所選題號(hào)對(duì)應(yīng)的方框涂黑.選修44：極坐標(biāo)和參數(shù)方程選講22.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，已知直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)，），曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求的最小值.【答案】（1）（2）2【解析】試題分析：（1）本問(wèn)考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，根據(jù)可得，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為；（2）本問(wèn)考查直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式下的幾何意義，即將直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，代入到曲線C的直角坐標(biāo)方程，得到關(guān)于t的一元二次方程，設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，列出，，，于是可以求出的最小值.試題解析：（I）由由，得曲線的直角坐標(biāo)方程為（II）將直線的參數(shù)方程代入，得設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為則，，當(dāng)時(shí)，的最小值為2.考點(diǎn)：1.極坐標(biāo)方程；2.參數(shù)方程.選修45：不等式選講23.已知函數(shù)，為不等式的解集.（