2023年中考數(shù)學(xué)練習(xí)-二次函數(shù)與相似三角形綜合

2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——二次函數(shù)與相似三角形綜合

1.如圖，已知點(diǎn)A(0,4)和點(diǎn)B(3,0)都在拋物線y=∕nr2+2"u:+〃上.

(1)求mn；

(2)向右平移上述拋物線，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C,若四邊

形ABC。為菱形，求平移后拋物線的表達(dá)式；

(3)記平移后拋物線的對(duì)稱軸與直線AC的交點(diǎn)為點(diǎn)E,X軸上的點(diǎn)尸，使得以點(diǎn)C、E、

尸為頂點(diǎn)的三角形與AABE相似，請(qǐng)求出尸點(diǎn)坐標(biāo).

2.如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的拋物線y=-/(χ-2)2+2與X的正半軸交于點(diǎn)E,

直線y=-2Λ+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且交y軸于點(diǎn)8.

(1)直接寫出A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)設(shè)直線y--2x+6與拋物線y--A,χ2+2x的另一個(gè)交點(diǎn)為C,求tanZACO的值;

2

(3)設(shè)點(diǎn)。是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)O,C,Q為頂點(diǎn)的三角形與aABO相似，請(qǐng)

求出符合條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo).

備用圖

3.如圖，二次函數(shù)y=/+云的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-?,4)和點(diǎn)8(2,機(jī)).

(1)填空：b=；m=；

(2)過(guò)點(diǎn)A作AC〃尤軸，交拋物線于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是線段。。上的動(dòng)點(diǎn)(與0、。不重

合).

①若以。、B、C為頂點(diǎn)的三角形和以。、3、P為頂點(diǎn)的三角形相似，求它們的相似比;

②設(shè)點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，當(dāng)0尸為何值時(shí)，將48尸尸沿邊P尸翻折，使ABPF與ACPF

重疊部分的面積是48CP的面積的工？

4

4.如圖1,已知拋物線y=αχ2-2ax+4與X軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,且OB=

0C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)尸是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、8重合)，分別以AP、BP為一邊,在

直線AB的同側(cè)作等邊三角形APM和BPM求APMN的最大面積，并寫出此時(shí)點(diǎn)P的

坐標(biāo)；

(3)如圖2,若拋物線的對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)。，F(xiàn)是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，直線尸。與y軸交于點(diǎn)￡是否存在點(diǎn)凡使aOOE與AAOC相似？若存在，請(qǐng)

求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-彳-3與拋物線)，=/+,如+〃相交于兩個(gè)不同的

點(diǎn)A、B,其中點(diǎn)A在X軸上.

(1)則A點(diǎn)坐標(biāo)為;

(2)若點(diǎn)3為該拋物線的頂點(diǎn)，求〃?、"的值；

(3)在(2)條件下，設(shè)該拋物線與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,請(qǐng)你探索在平面內(nèi)是否存

在點(diǎn)使得ADAC與aOCO相似？如果存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

6.如圖，二次函數(shù)y=αx2+2x+c的圖象與X軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B,與)，軸交于點(diǎn)

C(0,3).

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)過(guò)點(diǎn)A的直線ABC且交拋物線于另一點(diǎn)求直線AD的函數(shù)表達(dá)式；

(3)在(2)的條件下，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

①在X軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以B、C、P為頂點(diǎn)的三角形與AABO相似？若存在,

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位的速度沿線段AO從點(diǎn)A向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N以每秒

巡_個(gè)單位的速度沿線段。8從點(diǎn)。向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間f

5

為何值時(shí)，的面積最大，并求出這個(gè)最大值.

7.如圖，已知拋物線y=α?-5av+2(α≠0)與y軸交于點(diǎn)C,與X軸交于點(diǎn)A(1,0)

和點(diǎn)B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求直線BC的解析式：

(3)若點(diǎn)N是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作N”,X軸，垂足為H,以B,N,，為頂點(diǎn)

的三角形是否能夠與AOBC相似(排除全等的情況)？若能，請(qǐng)求出所有符合條件的

點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系XOy中，拋物線y=-?l∕+?r+c過(guò)點(diǎn)A(0,4)和C(8,

6

O),P(Λ0)是X軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M是線段AP的中點(diǎn)，將線段MP繞點(diǎn)尸

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段P8,過(guò)點(diǎn)B作X軸的垂線，過(guò)點(diǎn)4作)，軸的垂線，兩直線交于

點(diǎn)。.

(1)求氏c的值；

(2)當(dāng)f為何值時(shí)，點(diǎn)。落在拋物線上；

(3)是否存在/,使得以A,B,。為頂點(diǎn)的三角形與AAOP相似？若存在，求此時(shí),

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.邊長(zhǎng)為2的正方形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)。是邊。4的中點(diǎn),

連接CZX點(diǎn)E在第一象限，且DEJ_OC,DE=DC.以直線AB為對(duì)稱軸的拋物線過(guò)C,

E兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.過(guò)

點(diǎn)P作PELC。于點(diǎn)F,當(dāng)f為何值時(shí)，以點(diǎn)P,F,。為頂點(diǎn)的三角形與ACOO相似?

(3)點(diǎn)M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M,N,使得以

點(diǎn)M,N,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.如圖，拋物線y=-L2+fev+c交X軸于點(diǎn)A,B,交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-1,

2

0),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,2).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)已知點(diǎn)尸是拋物線的上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在X軸上.

①若點(diǎn)P在X軸上方，且AAPN是等腰直角三角形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)P在X軸下方，且aANP與aBOC相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).

1?.如圖，已知拋物線y=Sχ2+fer+C經(jīng)過(guò)直線y=-工x+1與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B,點(diǎn)、

82

C為拋物線上的一點(diǎn)，且乙48C=90°.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求點(diǎn)C坐標(biāo)；

(3)直線y=-工+1上是否存在點(diǎn)P,使得ABC尸與AOAB相似？若存在，請(qǐng)直接寫

2

出尸點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.已知：如圖，拋物線Ci：y=α√+40x+c的圖象開(kāi)口向上，與X軸交于點(diǎn)A、B(A在B

的左邊)，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為P,AB=I,且。A=OC.

(1)求拋物線Ci的對(duì)稱軸和函數(shù)解析式；

(2)把拋物線Ci的圖象先向右平移3個(gè)單位，再向下平移m個(gè)單位得到拋物線C2,

記頂點(diǎn)為M,并與y軸交于點(diǎn)尸(0,-1),求拋物線C2的函數(shù)解析式；

(3)在(2)的基礎(chǔ)上，點(diǎn)G是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)AAPE與aFMG相似時(shí)，求點(diǎn)G的坐

標(biāo).

13.如圖1,已知二次函數(shù)y=χ2+bχ+?∣?b的圖象與X軸交于A、B兩點(diǎn)(B在A的左側(cè))，

頂點(diǎn)為C,點(diǎn)。(1,加)在此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上，過(guò)點(diǎn)。作y軸的垂線，交對(duì)稱

軸右側(cè)的拋物線于E點(diǎn).

(1)求此二次函數(shù)的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)Z)的坐標(biāo)為(1,1)時(shí)，連接80、BE.求證：BE平分NAB。；

(3)點(diǎn)G在拋物線的對(duì)稱軸上且位于第一象限，若以A、C、G為頂點(diǎn)的三角形與以G、

D、E為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo).

14.已知拋物線y=αr2+fex+c經(jīng)過(guò)A(3,0)、8(0,3)、C(1,0)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-1,0),在直線AB上有一點(diǎn)P,使AABO與AAOP相似，

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，在X軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)E,使△?!￡>￡的面積等于

四邊形APCE的面積？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.如圖①.直線y=χ-3與X軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A在X軸負(fù)半軸上，且

??=1.拋物線經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)P(a，〃)是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(其中

OC3

m>097?<0).

(1)求拋物線的解析式;

(2)連接PC、PB(如圖①)，APBC是否有最大面積？若有，求出APBC的最大面

積和此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由：

(3)。為線段AB中點(diǎn)，連接OP交Be于點(diǎn)瓦連接AC(如圖②)，若以B,D,E

為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似.直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

16.如圖，拋物線y=Zχ2/χ-8與X軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn).

?3

(1)求AAOB的外接圓的面積;

(2)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)，以每秒1個(gè)單位沿射線AC方向運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)B

出發(fā)，以每秒0.5個(gè)單位沿射線54方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸到點(diǎn)C處時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)

動(dòng).問(wèn)當(dāng)，為何值時(shí)，以A、P、。為頂點(diǎn)的三角形與AOAB相似？

(3)若M為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN平行于y軸交拋物線于點(diǎn)M問(wèn)：是

否存在這樣的點(diǎn)仞，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系XOy中，直線y=x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、

B兩點(diǎn)的拋物線為y=-/+云+c.點(diǎn)。為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作軸子點(diǎn)C,

交拋物線于點(diǎn)E.

(I)ZBAO=o,b=；

(2)當(dāng)。E=3時(shí)，求點(diǎn)C坐標(biāo)；

(3)連接8E,是否存在點(diǎn)￡>,使得ADBE和aZMC相似？若存在，求此點(diǎn)。坐標(biāo)；

若不存在，說(shuō)明理由.

18.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，拋物線y=∕+?r+c與X軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)3的

左側(cè))，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)為D

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)聯(lián)結(jié)AC,BC,求/ACB的正切值；

(3)點(diǎn)P拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)APBD與aC48相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

19.如圖，已知直線y=x與二次函數(shù).y=∕+6x+c的圖象交于點(diǎn)4、0,(。是坐標(biāo)原點(diǎn))，

點(diǎn)尸為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，OA=3AP的中點(diǎn)為股

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)求線段OB的長(zhǎng)；

(3)若射線OB上存在點(diǎn)Q,使得AAOQ與AAOP相似，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

20.如圖，拋物線與X軸交于A(1,0)、8(-3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3),

設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D.

(1)求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)。的坐標(biāo).

(2)試判斷aBCO的形狀，并說(shuō)明理由.

(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與aBCO相似？若

存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案：

1.【解答】解：(1)由于拋物線經(jīng)過(guò)A(0,4)和點(diǎn)B(3,0),則有(n=4

I9m+6m÷n=0

_4

解得j=

n=4

故m—--?-,n—4.

15

(2)由(1)得：y---?-x2--L>χ+4=--A.(x+l)2+.iΞ?;

15151515

由A(0,4)、B(3,0),可得AB=√32+42=5≡

若四邊形A8C。為菱形，則AB=BC=5,即C(8,0)；

故拋物線需向右平移5個(gè)單位，即：

y—--?(x+l-5)2+^.---?(X-4)2+-^?..

15151515

(3)如圖，由(2)得：平移后拋物線的對(duì)稱軸為：x=4；

VA(0,4),C(8,0),

，直線AC：y=--kx+4；

2

當(dāng)x=4時(shí)，y=2,故E(4,2)；

所以：Af=2√5,CE=2√5,BE=√5;

由(2)知：AB=BC=5,即NBAC=/BCA；

若以點(diǎn)C、E、尸為頂點(diǎn)的三角形與aABE相似，則：

ΦZCEF=ZABE,貝IJZ?CEFsAABE,可得:

,即a/?=CF,CF=4,

ABAE52√5

止匕時(shí)F(4,0)；

②NCFE=ZABE,則ACFES∕?ABE,可得：

空=生，即空=,CF=5,

ABAE52√5

此時(shí)F(3,0)(不合題意舍去).

綜上所述，存在符合條件的尸點(diǎn)，坐標(biāo)為：F(4,0).

2.【解答】解：(1)A(2,2)；B(0,6)；

'y=-2x+6(X=2(X2=6

(2)解方程組，I9,得I,

y=-yχ+2X[y1=2y2=^6

：.C(6,-6),

o22

ΛZCOfi=45；OC=√6+6=6√2?

TA為(2,2)；

ΛZAOE=45°；

OA=A/=2+(2=2衣;

ΛZAOC=450+45°=90°,

.?.在RtZ?AOC中，tan∕ACO=」；

tan乙A3°oAc3

(3)設(shè)M為y軸負(fù)半軸上任一點(diǎn)，由(2)得，ZBOA=ZEOA=ZEOC=ZMOC=

45°

當(dāng)NQoC=NBOA=45°時(shí)，因?yàn)镃在第四象限，所以Q只能在y軸負(fù)半軸，當(dāng)兩個(gè)

三角形有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等時(shí)，這兩個(gè)三角形相似，有以下兩種情況：

①當(dāng)毀=型時(shí)，XQoCSXA0B,此時(shí)，-QQJlχ2.,

OAOB2√26

解得。。=4,

Λ<2∣(0,-4)；

②當(dāng)毀=匹時(shí)，XQOCsMBOk此時(shí)，毀=殳②,

OBOA62√2

解得。Q=18,

：.Q1(0,-18)；

綜上所述，當(dāng)。為(0,-4)或(0,-18)時(shí)，ZXOCQ與AABO相似.

3.【解答】解：(1)Y二次函數(shù)y=∕+fov的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,4)和點(diǎn)B(2,M,

Λ4=(-1)2-?,

解得：b=-3,

則6=22-3X2=-2,

故答案為：-3,-2；

(2)過(guò)點(diǎn)A作AC〃入軸，交拋物線于點(diǎn)C,

即4=X2-3x,

解得：xι=-l,X2=4,

可得C(4,4),又TB(2,-2),

...NCOB=90°，

①若以。、B、C為頂點(diǎn)的三角形和以。、B、P為頂點(diǎn)的三角形相似,

只能是408CS

，AOBC與AOPB的相似比為：OC：QB=2：1；

②由①知C0=4&,BO=2√2,BF=FC=410-

1）若翻折后，點(diǎn)8'落在BC的右側(cè)，BC與PB，的交點(diǎn)為M,如圖1.

SAMFP=-SΔBCP—-S^CPF-—S^B?PF，

422

：.M為FC、PB'的中點(diǎn)

.?.四邊形夕FPC為平行四邊形，

ΛPC=√10.PO=4√2-√Tθ.

2）若翻折后，點(diǎn)8'落在BC上，則點(diǎn)8,。重合，

S/^MFP-—S^BCP＜不合題意，舍去.

2

3）若翻折后，點(diǎn)B落在OC的左側(cè)，

OC與尸夕的交點(diǎn)為M如圖2,

SdNPF=-SΛHCP=LS∕?BPF=-ISZiCPF=-S^B?PF,

4222

：.N為PC、FB'的中點(diǎn)，

...四邊形B'PFC為平行四邊形，

B'P=FC=Λ∕10,：.BP=B'P=√7U,

在直角三角形OPB中，

OP1+OBλ=BP1,

解得：PO=42,

綜上所述，PO=A近-瓜或PO=近.

4.【解答】解：(1)令X=O得，y=4,：.C(0,4)

'.OB=OC=4,：.B(4,0)

代入拋物線表達(dá)式得：

16(z-8α+4=0,解得“=，

2

.?.拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=Aχ2+χ+4

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)M作MG，尤軸于G,過(guò)點(diǎn)N作NHLX軸于，,

圖2

由拋物線y=^χ2+χ+4得：A(-2,0),

設(shè)尸(x,0),Z?PMN的面積為S,

貝IJPG=^!?,MG=^-(DQ,PH=^L,NH="β-(Λ-V}

22、'22'

β

..S=S梆形MGHN-SAPMG-SAPNH

=?(MG+NH)×GH-yPGXMG-yPH×NH

v4<θ?

.?.當(dāng)x=l時(shí)，S有最大值是生旦?

2

.?.△PMN的最大面積是生巨，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1,0）

2

（3）存在點(diǎn)凡使得ADOE與AAOC相似.有兩種可能情況：

Φ?DOE^?AOC:②XDOEsXCOA

由拋物線y=fχ2+χ+4得：A（-2,0）,對(duì)稱軸為直線X=1,

.?.OA=2,OC=4,OD=\

①若4QOEsA40C,貝IJ毀乂1

OAOC

?.??^1-二OE,

24

解得OE=2

點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0,2）或（0,-2）

若點(diǎn)E的坐標(biāo)是(0,2),

則直線OE為：y=-2x+2

y=-2x+2

解方程組［12

y=-yx+x+4

,

χ1=3+√13X9=3-√13

得:L(不合題意，舍去)

Yl=-4-2√13

y2=-4+2vl3

此時(shí)滿足條件的點(diǎn)Fl的坐標(biāo)為(3-√13--4-2√13)

若點(diǎn)E的坐標(biāo)是(0,-2),

同理可求得滿足條件的點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(-l+√iξ,-3+2√13)

②若AOOESacQ4,

同理也可求得滿足條件的點(diǎn)用的坐標(biāo)為(W+3,-西+1)

24

滿足條件的點(diǎn)尸4的坐標(biāo)為(應(yīng)±1,叵二1)

24

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)尸，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：

F?(3√13--4-2√13)?尸2(-1√13--3+2√13)>b(???li?,

2

_?7+1)或F4(FV+1,√37-l).

424

5.【解答】解：(1)令y=-X-3=0,解得：X=-3,

故A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,0)；

(2)Y拋物線y=x2+WX+〃經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0),

.?n=3m-9①，

4nm2

又拋物線y=/+松+〃的頂點(diǎn)坐標(biāo)為B(-a,-l)在直線y=-X-3上,

24

2皿-②，

...4n-m=3

42

由①、②可得：（m=4或Jm=6

In=3In=9

B是兩個(gè)不同的點(diǎn)，

，［m=6不合題意，舍去，

ln=9

（3）在（2）的條件下，該拋物線與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C（-1,0）,

假設(shè)存在這樣的點(diǎn)。，使得aD4C與aOCO相似，

,.?NACD=ZD0C+ZCDO,

：.ZACD>ZCDO,

要使得ADAC和aOCO相似，只能/48=NOCo=90°,即CZ）J_x軸,

VAC=2,CO=I,

.*.ZDOOZDAC,

：.ZDAC^ZCDO,此時(shí)/A00=90°,

由CZ）2=ACXC0得，CD=5

點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1,√2）或（-1，-√2）.

6.【解答】解：（1）由題意知：IO=a-2+c,

?3=c

解得卜=T,

1c=3

.?.二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-7+2x+3;

(2)在y=-X2+2x+3中，令y=0,則-JV2+2X+3=O,

解得：Xi=-LX2=3,

：.B(3,0),

由已知條件得直線BC的解析式為y=-1+3,

tJAD//BC,

???設(shè)直線AD的解析式為y=-x+?,

Λ0=l+?,

:?b=-1,

：,直線AD的解析式為y=-χ-l;

(3)?9：BC//AD,

：.ADAB=ACBA9

???只要當(dāng)：理_/?_或里里L(fēng)時(shí)，APBCs∕?ABD,

ADABABAD

f2

解(y=-χ+2x+3得。(4,-5),

y=-χ-1

.?.AO=5近,AB=4,BC=3√2.

設(shè)戶的坐標(biāo)為(X,0),

叩3加3-x或3&=3-x,

5√2445√2

解得X=?或X=-4.5,

5

.?.P(3,O)或p(-4.5,0),

5

②過(guò)點(diǎn)B作BFYAD于F,過(guò)點(diǎn)N作NELAD于E,

在RtZ?AFB中，ZBAF=45°,

?/BF

SinNBAFR,

.?.BF=4X券=2√^,BD-√26.

?./Ar._BF2√22√13

??sinZADB-=^=13

?"DM=5√2-t-r>∕v=2∕H-+,

51

又YsinNADB喘'^?f-??lv

,=yDM?NE~?(5√2-t),τ^t--^t2+V2t?-?(t2-δV2t)-

'?SΔMDN//?DD

...當(dāng)區(qū)時(shí)，SAMDN的最大值為”.

22

7.【解答】解：(1)；點(diǎn)A(1,0)在拋物線y=αx2-50r+2(αWO)上,

:?a-5Q+2=0,

.?.α=―,

2

.?.拋物線的解析式為y=Ix2--∣x+2;

(2)拋物線的對(duì)稱軸為直線X=S,

2

；.點(diǎn)B(4,O),C(0,2),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

二把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入線BC的解析式為y=fce?,得

∫4k+b=0

lb=2

解得k=--,b=2,

2

.?.直線BC的解析式y(tǒng)=-lx+2；

2

(3)

方法一：

設(shè)N(χ,?r2-SX+2),分三種情況討論:

22

①當(dāng)AOBCSZSHNB時(shí)，如圖ι,

OB=OCj

W麗’

解得Xi=5,X2=4（不合題意，舍去），

.?.點(diǎn)N坐標(biāo)（5,2）；

②當(dāng)408CSz?"BN時(shí)，如圖2,

0B=0C；

BHW'

即上=_-——4——,

4—Y125

萬(wàn)X-JX÷n2

解得Xl=2,X2=4（不合題意舍去），

.?.點(diǎn)N坐標(biāo)(2,-1)；

③當(dāng)N(x,-X2--∑x+2)在第二象限時(shí),

22

H(x,0)在X軸的負(fù)半軸上，

.".BH=4-χ,

'：∕?OBC^ΛHNB,

???O-B-二OC,

HNHB

得到X1-X-12=0

解得Xl=4(舍去)；X2=-3,

,N點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,14)

綜上所述，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,2)、(2,-1)或(-3,14).

方法二：

以8,N,H為頂點(diǎn)的三角形與AOBC相似，

.NH=OBNH=pc

,,0C^,I?0B^,

設(shè)N(2n,2/2-5"+2),H(2n,0),

9

①2n-5n+2∣=區(qū),

2n-42

.?.∣aIzLl=2,

2

.?.2m=5,2∏2=-3,

O

②2n-5n+2∣=1,

2n-42

.?.∣2∏zl,∣=A,

22

Λ2nι=2,2/12=0(舍)

綜上所述：存在M(5,2),M(2,-1),M(-3,14),

使得以點(diǎn)8、N、H為頂點(diǎn)的三角形與AOBC相似.

8.【解答】解：(1)；拋物線y=-1/+H+,過(guò)點(diǎn)A(0,4)和C(8,0),

6

'c=4

???1，

=^X64+8b÷c=0

6

解得.b節(jié).

c=4

故所求6的值為互，C的值為4；

6

（2）:NAoP=NPEB=9?！?NOAP=NEPB=90°-ZAPO,

XAOPsXPEB且相似比為歿="_=2,

PEPB

"：AO=4,

.?.PE=2,OE=OP+PE=t+2,

又?.?f>E=OA=4,

點(diǎn)。的坐標(biāo)為（什2,4）,

二點(diǎn)。落在拋物線上時(shí)，有--1C+2）2+且（f+2）+4=4,

66

解得r=3或，=-2,

Vr>O,

.?.r=3?

故當(dāng)，為3時(shí)，點(diǎn)。落在拋物線上；

（3）存在r,能夠使得以A、B、。為頂點(diǎn)的三角形與AAO尸相似，理由如下:

①當(dāng)0V/V8時(shí)，如圖1.

若APOASAAOB,則P。：AD=AO?.BD,

即f：（/+2）=4：（4-L）,

2

整理，得r2+16=0,

.1無(wú)解；

若l?pgsXBDk,同理，解得―-2±2遙（負(fù)值舍去）；

②當(dāng)r>8時(shí)，如圖2.

若貝IJPO：AD=AO:BD,

^POAS2?AOB,

即f：（Z+2）=4：（L-4）,

2

解得尸8±4遙（負(fù)值舍去）；

若l?P0ksXBDN,同理，解得f無(wú)解.

綜上可知，當(dāng)/=-2+2√m或8+4√m時(shí)，以A、B、。為頂點(diǎn)的三角形與aAOP相似.

9.【解答】解：（1）方法一:

過(guò)點(diǎn)E作EG，X軸于G點(diǎn).

；四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，。是04的中點(diǎn),

.?.0A=0C=2,OD=I,/AOC=NOGE=90°.

YNCDE=90°,

：.ZODC+ZGDE=Wo.

,：AODC+AOCD=W,

：./0CD=NGDE.

fZCOD=ZDGE

在AOCQ和aGED中，ZOCD=ZGDE-

DC=DE

.?.ΔΔGED(AA5),

；.EG=OD=I,DG=OC=2.

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,I).

：拋物線的對(duì)稱軸為直線AB即直線x=2,

可設(shè)拋物線的解析式為y=α（X-2）2+k,

將C、E點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，得

4a+k=2

a+k=l

1

a=7

解得《

k上

3

拋物線的解析式為），=［（X-2）2+2；

33

方法二:

過(guò)點(diǎn)E作EG,X軸于G點(diǎn).

DELDCnNCDO+NEDH=90°,

EGLX軸nNDEH+NEDH=90°,

"CDO=NDEH,DC=DE,

：.∕?ODC學(xué)AGEDnDG=OC=2,EG=OD=I,

：.E(3,1),

Λ9a+3?+2=l,

：--L=2,

2a

2

拋物線的解析式為y=工(χ-2)+.2i

33

(2)方法一:

①若△。/PSacθf(wàn)),則NPDF=∕OCO,

J.PD//OC,

：.ZPDO=ZOCP=ZAOC=90o,

.?.四邊形PDoC是矩形，

：.PC=OD=

?*?t—1；

②若APFDsACOD,則/。尸F(xiàn)=NOC。，型=更

CDOD

NPCF=90°-NDCo=90-4DPF=ZPDF.

.'.PC=PD,

DF=LCD.

2

,.?CD2=OD2+OC2=22+12=5,

ΛCD=√5.

.?.￡>F=遮.

2

???—PD—-D—F,

CDOD

J.PC=PD=^-×√5=.∑

22

r=5,

2

綜上所述：r=l或f=互時(shí)，以點(diǎn)P,F,。為頂點(diǎn)的三角形與aCOC相似;

2

方法二:

過(guò)點(diǎn)尸作X軸的垂線，分別交BC,OA于G,H,

PFl.CD^ZPFG+ZDFH=90",

GHl.OAnNFDH+NDFH=90°,

二NPFG=NFDHnAPFGsAFDHn型=

DFFH

?/PFLCDnKPFXKCD=-1,

ΛI(xiàn)CDZy=-2x+2,

：.F(機(jī)，-2m+2),P(t,2),

-2×-^=-ι

t-m

'.m=-,

5

-春+2),

0

t

.PFPG_一萬(wàn)二2t

'

'DF=PH2_2t5-t

*5

.?.以P,F,。為頂點(diǎn)的三角形與ACOO相似,

嚼帶卷勿?T,

②里=P5,.?.^L」，.?.z=ι,

DFOC5-t2

綜上所述：f=l或f=5時(shí)，以點(diǎn)P,F,。為頂點(diǎn)的三角形與ACOC相似;

2

方法三：

若以P,F,。為頂點(diǎn)的三角形與aCOO相似，

則ZOCD=NPDF或NODC=NPDF,

①)∕0CD=4PDF0PD〃0C,ICP=OD=T,.?t=?,

②NODC=NPDF,作。0，工CD交CD于H,

'.KooXKCD=-1,

Λ/CD：y=-2x+2,

:?H(m,-2m+2)，

..._2×-2m+2__1

m

5

：.H(生2),

55

,：H為00'中點(diǎn)，：.0'（旦，A）,

55

令y=2,.?.χ=5,

2

即P(5,2),

2

(3)存在，

四邊形MnEN是平行四邊形時(shí)，Mi(2,1),Nl(4,2)；

四邊形MNDE是平行四邊形時(shí)，Mz(2,3),Ni(0,2)；

四邊形NDWE是平行四邊形時(shí)，M3(2,A),M(2,2).

IffD

10.【解答】解：(1)；拋物線y=-L2+6x+C過(guò)點(diǎn)A(-1,0),C(0,2),

2

1

~b+C=0,解得

.??該拋物線的解析式是：y=-lχ2+lχ+2;

22

(2)①Y點(diǎn)P、4、8都在拋物線上，且A、8在X軸上,

，點(diǎn)A不可能是直角頂點(diǎn)，則∕PAN=45°.

如圖，作N8AP=45°,AP交拋物線于點(diǎn)P.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)是C,-Ju2+3/+2）.

22

I）當(dāng)點(diǎn)N是直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作PM軸于點(diǎn)M,則PM=AM,

即-J√+3f+2=f+l,

22

解得八=2,及=-1（不合題意舍去）,

所以M的坐標(biāo)是（2,0）；

II）當(dāng)點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PMJ_AP,PM交X軸于點(diǎn)N2,則AP=PM,

即MN2=ANI=2-（-1）=3,

則OM=2+3=5,

所以Λ?的坐標(biāo)是（5,0）；

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)是（2,0）或（5,0）；

②；y=-Jι∕+3χ+2,

22

.?.當(dāng)y=0時(shí)，-"kx2+3χ+2=0,解得X=-I或4,

22

VA（-1,0）,

：.B（4,0）,

...△BOC中，OB=4,OC=2,ZBOC=90°.

???△8。C是直角三角形，

.?.當(dāng)AANP與ABOC相似時(shí)，NP也是直角三角形，

VA點(diǎn)不可能是直角頂點(diǎn)，

二直角頂點(diǎn)可能是P點(diǎn)或N點(diǎn).

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)是Ct,-Lp+3r+2),則-A∕2+.2f+2<0.

2222

I)過(guò)A作BC的平行線，交拋物線于點(diǎn)P,則NPAB=/OBC.

過(guò)P作PMJ_x軸于點(diǎn)Ni,則MPSz?BOC,Nl(t,0).

,.?ZUMPs△BOC,

.AN1_NIP

"~BO~~~OC~)

.AN1_BO_4_O

N1POC2

.?.ANι=2NιP,即f+l=2(Λr2-?r-2),

22

解得n=5,/2=-1(不合題意舍去)，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5,-3),點(diǎn)M的坐標(biāo)是(5,0)；

過(guò)點(diǎn)尸作PMJ_AP,PM交X軸于點(diǎn)M,則4APN2SZ?B0C.

,.?LANIPS∕?PNιN2,

.AN1_PN1

-

PN7NJN2'

R2

,MM=工=1.5,

6

.?.CW2=OM+NIN2=5+L5=6.5,

.?.點(diǎn)N2的坐標(biāo)是(6.5,0)；

∏)在X軸下方作NBAP=NOC8,交拋物線于點(diǎn)P,過(guò)戶作PMLx軸于點(diǎn)M,則4

ANiP^ACOB,MQt,0).

?：4AN3PsdCOB,

.AN3=PN3

,'"cδ-^B0^,

.AN3-CO=2=1

,,PN7BO7^2,

.?.PN3=2AN3,即J√-3L2=2（/+I）,

22

解得n=8,/2=-1（不合題意舍去），

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（8,-18）,點(diǎn)M的坐標(biāo)是（8,0）；

過(guò)點(diǎn)P作PM_LAP,PM交X軸于點(diǎn)N4,則AAPMSACOB.

?；∕?AN3Ps∕?PN3N4,

.AN3,PN3

.西西，

,Λ?V4=A?i=36,

9

.?.ON4=ON3+N3N4≈8+36=44,

；?點(diǎn)M的坐標(biāo)是（44,0）；

綜上所述，所求點(diǎn)N的坐標(biāo)為M（5,0）,Nz（6.5,0），M（8,0）,M（44,0）.

11.【解答】解：(1)把X=O代入y=-工x+1得，y=l,

2

ΛA(0,1),

把y=0代入y=-Lv+1得，x—2,

2

：.B(2,0),

(l=cf7.

b-

把A(0,1),B(2,0)代入y=?∑∕+fcv+c.得，J5,解得，^4,

80=>r+2b+c

I2c=l1

.?.拋物線的解析式y(tǒng)=反/-工,

84

(2)如圖，作CC_LX軸于。，

VZABC=90°,

ΛZABO+ZCBD=90°,

,/OAB=NCBD,

：NAOB=NBDC,

：.∕?AOBsABDC,

?CD=OB=2：

**BDOA,

：.CD=IBD1

設(shè)BD=tnf

/.C(2+"i，2m),

代入y=&1χ+ι得，2m="(∕π+2)2-—(∕τt+2)+1,解得，機(jī)=2或m=0(舍

8484

去)，

：.C(4,4)；

(3)VOA=I,05=2,

ΛAβ=√5,

VB(2,0),C(4,4),

ΛBC=2√5,

①當(dāng)aAOBsaPBC時(shí)，則思=些

OAOB

二更=2:叵，解得，PB=√5,

12

作PEJ_x軸于E,則4408S∕?PEB,

?PE-PBβ∏PE_√5

OAAB1√5

.'.PE=l,

，尸的縱坐標(biāo)為±1,代入y=-』x+l得，X=O或x=4,

2

：.P(0,1)或(4,-1)；

②當(dāng)4408sA1C8P時(shí)，則里=毀，

OBOA

即思=的,解得，PB=4娓,

21

作PEYx軸于E,則∕?AOBS∕?PEB,

.PE-PBB0PE-4√δ'

OAAB1√5

.'.PE=4,

.?.P的縱坐標(biāo)為±4,代入y=-JLX+1得，X=-6或X=I0,

2

：.P（-6,4）或（10,-4）；

綜上，P的坐標(biāo)為（0,1）或（4,-1）或（-6,4）或（10,-4）.

12.【解答】解：(1)將拋物線Ci：y=0r2+4or+c配方，得y=a(x+2)2-4a+c,

拋物線的對(duì)稱軸是直線X=-2,

又48=2,點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于X=-2對(duì)稱，得

XB-X后2fx=-3

?XA+XB.解得.

―2—=-2xB^^1

點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)B(-1,0).

由OA=OC,得點(diǎn)C(0,3),

將A、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入。得，［-3a+c=0.

1c=3

解得八口

1c=3

拋物線函數(shù)解析式y(tǒng)=f+4x+3；

(2)又(1)拋物線Ci：y=f+4x+3配方，得y=(x+2)2-1,

拋物線。的圖象先向右平移3個(gè)單位，再向下平移機(jī)個(gè)單位得到拋物線C2,得

y=(Λ+2-3)2-1-m.C2與y軸交于點(diǎn)F(0,-1),得

1-1-ιn=-1.即m=l?

C2與的解析式為y=(X-I)2-2,

(3)如圖

由勾股定理，得AP=M,MF=心由兩點(diǎn)間的距離，得PF=2.

①當(dāng)PFS2?Λ∕FG時(shí)，AR=里，即絲=2.

MFFG√2FG

解得尸G=2,點(diǎn)GI的坐標(biāo)為(0,1)；

②當(dāng)Z?APFSAGFM,膽=更，g∣jχl,=2ι

FGMFFG√2

FG=I,點(diǎn)G2的坐標(biāo)（0,0）.

13.【解答】（1）解：：點(diǎn)。（1,M在y=χ2+bχ+∣?b圖象的對(duì)稱軸上，

：.b=-2.

二二次函數(shù)的解析式為y=7-2χ-3=(X-I)2-4,

.,.C(1,-4)；

(2)證明：?.?Q(1,1),且QE垂直于y軸，

點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1,DE平