湖南省株洲市平山中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

湖南省株洲市平山中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，弦AB過(guò)點(diǎn)F1，若的周長(zhǎng)為8，則橢圓C的離心率為A. B. C. D.參考答案：D【分析】由已知求得b，可得橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，再由隱含條件求得c，則橢圓離心率可求．【詳解】由已知可得，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，∵弦AB過(guò)點(diǎn)，∴的周長(zhǎng)為，解得：，，，則，則橢圓的離心率為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓定義的應(yīng)用及簡(jiǎn)單性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．2.若，則“”是方程“”表示雙曲線的（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件（C）充要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：A略3.對(duì)于變量x，y有以下四個(gè)數(shù)點(diǎn)圖，由這四個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷變量x與y成負(fù)相關(guān)的是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】散點(diǎn)圖．【分析】觀察散點(diǎn)圖可以知道，y隨x的增大而減小，各點(diǎn)整體呈下降趨勢(shì)，是負(fù)相關(guān)，y隨x的增大而增大，各點(diǎn)整體呈上升趨勢(shì)，是正相關(guān)．【解答】解：對(duì)于A，散點(diǎn)圖呈片狀分布，不具相關(guān)性；對(duì)于B，散點(diǎn)圖呈帶狀分布，且y隨x的增大而減小，是負(fù)相關(guān)；對(duì)于C，散點(diǎn)圖中y隨x的增大先增大再減小，不是負(fù)相關(guān)；對(duì)于D，散點(diǎn)圖呈帶狀分布，且y隨x的增大而增大，是正相關(guān)．故選：B．4.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C依次成等差數(shù)列，BC邊上的中線，則(

)A．3

B．

C．

D．參考答案：C5.若集合，，則A∩B=（

）A.[2,3] B.[－3,2] C.(3,+∞) D.[3,+∞)參考答案：A【分析】求出的定義域，化簡(jiǎn)集合，再利用交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榧希?，所以，故選A.【點(diǎn)睛】研究集合問(wèn)題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.6.若直線y=x+b與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A．（2，2） B．[2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2）參考答案：B考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．專題：計(jì)算題；直線與圓．分析：曲線y=表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，在x軸上邊的部分，結(jié)合圖形，即可求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．解答：解：曲線y=表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，在x軸上邊的部分，如圖所示，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，b=2，∴直線y=x+b與曲線y=有兩個(gè)交點(diǎn)，實(shí)數(shù)b的取值范圍是[2，2）．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．7.已知正項(xiàng)數(shù)列中，，，

，則等于（

）A．16

B．8

C．

D．4參考答案：D8.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)本市小學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)情況進(jìn)行了調(diào)查，設(shè)平均每人每天做作業(yè)的時(shí)間為分鐘.有1000名小學(xué)生參加了此項(xiàng)調(diào)查，調(diào)查所得數(shù)據(jù)用程序框圖處理，若輸出的結(jié)果是680，則平均每天做作業(yè)的時(shí)間在0～60分鐘內(nèi)的學(xué)生的頻率是 A．680 B．320

C．0.68 D．0.32參考答案：D9.已知F是拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|+|BF|=11，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（）A．3 B．4 C．5 D．7參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式，求得x1+x2=10，則線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即可求得線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離．【解答】解：∵F是拋物線y2=2x的焦點(diǎn)F（，0），準(zhǔn)線方程x=﹣，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1++x2+=11∴x1+x2=10，∴線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為=5，∴線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為5，故選：C．10.觀察下列各式：…，則的末四位數(shù)字（

）A.8125 B.5625 C.3125 D.0625參考答案：A【分析】計(jì)算出的值，由此找到規(guī)律，進(jìn)而求得的末四位數(shù)字.【詳解】由于，末四位為，末四位的周期為，故，末四位和一樣，為，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理，考查分析問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐恰好可以拼接成一個(gè)三棱柱.這個(gè)四棱錐的底面為正方形，且底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)相等，這個(gè)三棱錐的底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)也都相等．設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為，，，則_____________.參考答案：略12.已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．參考答案：【分析】函數(shù)f（x）可以看作是動(dòng)點(diǎn)M（x，ex）與動(dòng)點(diǎn)N（-a，-）之間距離的平方，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由y=ex得，y′=ex=，曲線上點(diǎn)M（-1，）到直線y=x的距離最小，要使f（x0）≤，則f（x0）=，然后求解a即可．【詳解】函數(shù)f（x）=（x+a）2+（ex+）2，函數(shù)f（x）可以看作是動(dòng)點(diǎn)M（x，ex）與動(dòng)點(diǎn)N（-a，-）之間距離的平方，動(dòng)點(diǎn)M在函數(shù)y=ex的圖象上，N在直線y=x的圖象上，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由y=ex得，y′=ex=，解得x=-1，所以曲線上點(diǎn)M（-1，）到直線y=x的距離最小，最小距離d=，則f（x）≥，根據(jù)題意，要使f（x0）≤，則f（x0）=，此時(shí)N恰好為垂足，由KMN=-e，解得a=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．13.已知函數(shù)f(x)=，則的值為

.參考答案：14.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，則A=．參考答案：30°【考點(diǎn)】正弦定理．【專題】解三角形．【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化簡(jiǎn)，代入第一個(gè)等式用b表示出a，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將表示出的c與a代入求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)．【解答】解：將sinC=2sinB利用正弦定理化簡(jiǎn)得：c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA===，∵A為三角形的內(nèi)角，∴A=30°．故答案為：30°【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．15.下面的程序輸出的結(jié)果=

參考答案：1716.若兩個(gè)非零向量,滿足,則與的夾角為▲

．參考答案：略17.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是___________．參考答案：【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求出函數(shù)的解析式，可得，可將對(duì)任意的均成立轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，即可求解.【詳解】由題意得：當(dāng)時(shí)，，所以是上的增函數(shù)且為奇函數(shù)，的解析式為.由題意得成立，從而原不等式等價(jià)于對(duì)任意的均成立，即對(duì)任意的恒成立∴對(duì)恒成立∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用奇函數(shù)求解析式的方法.解答本題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想，將對(duì)任意的均成立轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.求圓心為(1,1)，且與直線x＋y＝4相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．參考答案：解：

半徑為

＝，

∴圓的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2.略19.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=1﹣nan（n∈N*）．（1）計(jì)算a1，a2，a3，a4，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式成立．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法；F1：歸納推理．【分析】（1）利用已知條件通過(guò)n=1，2，3，4，分別求出a1，a2，a3，a4；然后猜想an的表達(dá)式．（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，證明猜想的正確性即可．【解答】解：（1）依題設(shè)Sn=1﹣nan可得a1=1﹣a1，即a1=，a2==，a3==，a4==；猜想an=．（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立．

②假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)，猜想成立，即ak=．

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=1﹣（k+1）ak+1，即Sk+ak+1=1﹣（k+1）ak+1．又Sk=1﹣kak=，所以+ak+1=1﹣（k+1）ak+1，從而ak+1==即n=k+1時(shí)，猜想也成立．

故由①和②，可知猜想成立．20.（本題滿分15分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為已知，（Ⅰ）求角的取值范圍；（Ⅱ）若的面積，為鈍角，求角的大小．參考答案：（Ⅰ）由得即因?yàn)樗?/p>

……………3分由正弦定理，得故必為銳角。

……………4分又,所以

……………6分因此角的取值范圍為

……………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）及得又因?yàn)?所以從而因?yàn)闉殁g角，故

……………11分由余弦定理，得故

……………13分由正弦定理，得

因此

……………15分21.(本題滿分12分）已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)求實(shí)數(shù)的值；（2）求在上的最大值；（3）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊的中點(diǎn)在軸上？參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，，由題意得，解得；-----3分

（2）由（1），知，①當(dāng)時(shí)，，由，得；由，得或；所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。因?yàn)椋?，，則在上的最大值為2.

②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；所以在上的最大值為.故當(dāng)時(shí)在上的最大值為；當(dāng)時(shí)在上的最大值為2.

----6分（3）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)，滿足題意，則，只能在軸兩側(cè)，因?yàn)槭且設(shè)為頂點(diǎn)的直角三角形，所以，

不妨設(shè)，則，且，即。（*）是否存在，等價(jià)于方程（*）是否有解。

若，則，代入方程的（*），得，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解。當(dāng)時(shí)，則，代入方程的（*），得，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，從而，則的值域?yàn)?。則當(dāng)時(shí)方程有解，即方程(*)有解。所以對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形的斜邊中點(diǎn)在軸上。

-----------12分略22.已知數(shù)列{an}滿足a1=，且anan+1+an+1﹣2an=0（n∈N）． （1）求a2，a3，a4的值； （2）猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸