中考數(shù)學(xué)幾何模型13平行線之豬腳模型（M模型）（老師版）知識(shí)點(diǎn)+例題

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題13平行線之豬腳模型

題策略

_______________________________Z

豬腳模型基檄型:

類型一：由角推線

已知：ZB+ZD=ZE,求證：AB//CD.

證皿E作?N∕∕AB,

證法二：延長BE交CD于點(diǎn)F,

證法三：連接BD,

（證法一圖）（證法二圖）（證法三圖）

類型二）由線推角

已知：AB//CD,求證：NB七D=N氏

證法一：過點(diǎn)E作?N∕∕AB.

證法二：延長BE交CD于點(diǎn)F.

證法三：連接BD.

典例題

[例1]（2022春?桐城市期末）【問題背景】同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟悉的幾何圖形,

我們就把這個(gè)圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系.

【問題解決】（1）如圖1，AB//CD,E為AB、Cz）之間一點(diǎn)，連接AE、CE.若∕A=42°,NC=28°.則

ZAEC=70°

【問題探究】（2）如圖2,AB//CD,線段4。與線段BC交于點(diǎn)E,NA=36°,ZC=54o,EF平分

NBED,求NBEF的度數(shù).

【問題拓展】（3）如圖3.AB//CD,線段AQ與線段8C相交于點(diǎn)G,NBCD=56°,ZGDfi=20°,

過點(diǎn)。作。尸〃CB交直線AB于點(diǎn)凡AE平分N84O,DG平分NeDR求/4E。的度數(shù).

【分析】（1）延長CE交A8于點(diǎn)凡利用平行線的性質(zhì)可得NAFC=28°,然后再利用三角形的外角

可得NAEC=NA+NC,進(jìn)行計(jì)算即可解答；

（2）利用豬蹄模型可得：/AEC=NA+NC=90°,再利用對頂角相等可得/8項(xiàng)）=90°,然后利用角

平分線的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答：

（3）利用平行線的性質(zhì)可求出/CDF的度數(shù)，從而利用角平分線的定義求出NCZ）G的度數(shù)，進(jìn)而利用

平行線的性質(zhì)可求出/84。的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求出NBAE的度數(shù)，再利用平角定義求出

NEQ，的度數(shù)，最后根據(jù)豬蹄模型可得∕4EQ=∕A4E+NED”,進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）延長CE交AB于點(diǎn)?

?,AB∕∕CD,

ZΛFC=ZC=28°，

,：ZAEC是AAEF的一個(gè)外角，

.?.∕AEC=NA+N4FC=∕A+NC=70°,

故答案為：70°：

（2）利用（1）的結(jié)論可得:

ZAEC=ZA+ZC=36o+54°=90°,

ΛZAEC^ZBED^9O°,

；EF平分/BED,

：.ZBEF=AZBED=45o,

2

.?.∕8E尸的度數(shù)為45°；

(3)'：BC//DF,

ΛZCDF=I80o-NBCO=I24°,

:DG平分NCDF,

ZCDG=-ZCDF=62°,

2

?"AB//CD,

：.ZBAG=ZCDG=62a,

YAE平分NBA。，

.,.ZBAE=^ZBAD=3?°,

2

VZGDE=20o,

/EOH=180°-ZCDG-ZGDS=98o,

利用(1)的結(jié)論可得：

NAED=NBAE+NEDH=31°+98°=129°,

NAEZJ的度數(shù)為129°.

【例2】(2022春?南京期中)已知直線A8〃C。，點(diǎn)E,尸分別在AB,CDl.,。是平面內(nèi)一點(diǎn)(不在直

線48、CD、EF上)，OGZEOF,射線OH〃AB,交EF于點(diǎn)、H.

(1)如圖①，若NAEO=45°,NCFO=75°,則NLOG=15°,

(2)如圖②，若NAEo=I50°,ZHOG=20o,則NeFo=110°；

(3)直接寫出點(diǎn)。在不同位置時(shí)/AEO、NCFo和/HOG三個(gè)角之間滿足的數(shù)量關(guān)系.

【分析】（1）由AB//CD,OH//AB可得A8〃。”〃8,利用平行線的性質(zhì)可得N4E0=NE0”,Z

CFO=ZFOHf由NEOF=NEOH+NFOH,等量代換可得NAEO+NCFO=/EOR根據(jù)己知條件和角

平分線的定義求出NEoG=60°,即可得到NHOG的度數(shù);

（2）同（1）類似，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義計(jì)算可以得出NCF。的度數(shù);

（3）由（1）和（2）的計(jì)算方法可以得出結(jié)論.

【解答】解：(1),：AB//CD,OH//AB,

J.AB//0H//CD,

ΛZAEO=ZEOH,ZCFO=ZFOH,

：.ZAEO+ZCFO=/EOHMFOH,

BPZAEO+ZCFO=/EOF,

VZAE0=45o,NCrO=75°,

：.ZEOF=UOa，

YOG平分NEOb,

：.ZEOG=GOo，

ΛZHOG=ZEOG-ZEOH=\5°，

故答案為：15。；

(2)AB//CD,OH//AB,

.?AB∕∕OH∕∕CDf

：.ZAEO+ZEOH=?SO°,Nbo+NFO"=180°，

ΛZAEO+ZCFO+ZEOH+ZFOH=360o,

BPZAEO+ZCFO+ZEOF=360°,

`:AB//OH,

ΛZAEO÷ZEO∕∕=180o,

VZAEO=150°,

.,.ZEOH=3Qa,

VZWOG=20o,

：.NEoG=NEoH+∕HOG=30°+20o=50°,

；OG平分NEo幾

.?.NE0F=2NEoG=I00°,

,.?ZAEO+ZCFO+ZEOF=360a,NAEo=I50°,

ΛZCFO=360o-150o-100°=110°,

故答案為：110°；

（3）①若點(diǎn)O在直線AB與CQ之間，則有INAEo-NCFoT=2/H0G；

②若點(diǎn)O在直線AB與CD之外，且在直線EF的左側(cè)，則有∕AEO+NCFo=2N40G;

若點(diǎn)。在直線AB與CD之外，且在直線EF的右側(cè)，則有360o-AAEO-ZCF0=2ZH0G.

【例3】（2022春?上城區(qū)校級(jí)期中）如圖，一副三角板，其中NEZ）F=NACB=90°,NE=45°,NA=

30°.

（1）若這副三角板如圖擺放，EF//CD,求NABF的度數(shù).

（2）將一副三角板如圖1所示擺放，直線G”〃MN,保持三角板A8C不動(dòng)，現(xiàn)將三角板OEF繞點(diǎn)。

以每秒2。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2,設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為1秒，且OWrWI80,若邊BC與三角板的一條直角

邊（邊DE,DF）平行時(shí)，求所有滿足條件的r的值.

（3）將一副三角板如圖3所示擺放，直線G，〃MN,現(xiàn)將三角板ABC繞點(diǎn)A以每秒1°的速度順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)，同時(shí)三角板OEF繞點(diǎn)。以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn).設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)何為f秒，如圖4,NBAH=t°,

AFDM=If,且0≤f≤150,若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE,DF）平行時(shí)，請直接寫出滿足

條件的t的

A

【分析】(1)由題意得，ZffiF=90o,Z￡=45o,ZABC=GOo,利用平行線的性質(zhì)可得NCnE=

NE=45°,即可求得答案；

(2)①當(dāng)￡>E〃8C時(shí)，延長AC交MN于點(diǎn)P,分兩種情況：當(dāng)。E在MN上方時(shí)或當(dāng)OE在MN下方

時(shí)，分別運(yùn)用平行線的性質(zhì)即可；②當(dāng)8C〃。F時(shí)，延長BC交MN于點(diǎn)T,分兩種情況：當(dāng)DF在MN

上方時(shí)或當(dāng)DF在MN下方時(shí),分別運(yùn)用平行線的性質(zhì)即可；

(3)當(dāng)。E〃BC時(shí)，延長AC交MW于點(diǎn)P,分兩種情況討論：①力E在MN上方時(shí)，②DE在MN下方

時(shí)，ZFDP=2ta-180°,列式求解即可；(2)當(dāng)BC〃。F時(shí)，延長AC交MN于點(diǎn)/,①Q(mào)F在MN

上方時(shí)，ZFD∕V=180o-2ro,②。F在MN下方時(shí)，NFQN=I80°-2to,列式求解即可.

【解答】解：(1)如圖，由題意得，NEB尸=90°,∕E=45°,ZABC=60o,

；./CCE=NE=45°,

：.ZABE=ZABC-ZCDE=60O-45o=15o,

ΛZABF=ZEBF-ZABE=90o-15o=75o；

(2)如圖，①當(dāng)DE〃3C時(shí)，延長AC交MN于點(diǎn)P,

當(dāng)QE在MN上方時(shí)，

，：DE〃BC,DE±DFfAC-LBC9

J.AP//DF.

：.ZFDM=ZMPA9

YMN//GH,

：.ZMPA=ZHACf

：?NFDM=NHAC,即2/=30°,

Λ∕=15;

當(dāng)QE在MN下方時(shí)，NFDP=2to-180°,

Λ,f,

?DE/∕BCfDELDF,AClBC,

.?AP∕∕DF,,

.'.ZF,DP=ZMPA,

u

：MN//GHt

/.ZMPA=ZHACf

.?ZF,DP=/HAC,即2『-180°=30°,

Λr=105;

②當(dāng)BC//DF

當(dāng)QF在MN上方時(shí)，BC//DFf如圖，延長BC交MN于點(diǎn)T,

根據(jù)題意得：ZFD∕V=180o-2to,

VDF〃BC,

"FDN=NBTN,

,.?GH〃MN,

：.ZBTN=ZABC=60o,

,NFDN=60°,

即180o-2to=60°,

Λr=60;

當(dāng)。尸在MN下方時(shí)，如圖，延長3C交MN于點(diǎn)T,

?：DF〃BC,

：./FDN=NBTM,

?/GH//MN,

：?/BTN=NABC=60°,

.".ZBTM=180o-ZBTTV=120°,

.?ZiVDF=120°,

即2t0-180°=120°,

.1=150,

綜上所述：所有滿足條件的t的值為15或60或105或150；

(3)由題意得，NHAC=NBAH+NBAC=廣+30o,NFDM=,

①如圖，當(dāng)OE〃3。時(shí)，延長4。交MN于點(diǎn)P,

A

當(dāng)DE在MN上方時(shí)，

'：DE//BCfDELDF,AC±BCf

.'.AP//DF,

.'.ZFDM=ZMPA,

、：MN〃GH,

：.ZMPA=AHAC,

工NFDM=NHAC,即2r=to+30°,

.*./=30,

當(dāng)DE'在MN下方時(shí)，ZF'DP=2to-180°,

`:DE`//BC,DE,LDF',ACLBC,

.?AP∕∕DF',

ΛZF,DP=ΛMPA,

'：MN//GH,

：.AMPA=ZHAC,

：.ZF,DP=NHAC,即2/-180°=t°+30°,

.1=210(不符合題意，舍去)，

②當(dāng)8C〃。/時(shí)，延長AC交MN于點(diǎn)/,

當(dāng)。尸在MN上方時(shí)，BC//DF,如圖，

根據(jù)題意得：ZFD∕V=180°-If,

?'DF∕∕BC,ACYBC,

：.CI±DF,

：.ZFDN+ZMIC=90°,

即180°-2ta+t°+30°=90°,

Λr=120,

.?.2r=240°>180°,此時(shí)OB應(yīng)該在MN下方，不符合題意，舍去;

當(dāng)QF在MN下方時(shí)，如圖，

根據(jù)題意可知：ZFDN=2to-180°,

,JDF//BC,

：.NMIC=NNDF,

：.ZNDF=ZAQI=t+30a-90o=L60°,

即2f°-180°=Zo-60°,

.”120,

綜上所述：所有滿足條件的t的值為30或120.

【例4】（2021春?梅江區(qū)期末）如圖（1）,AB//CD,點(diǎn)E在A8、CQ之間，連接EA、EC；如圖（2）,

AB//CD.點(diǎn)M、N分別在AB、CO上，連接MM

（1）在圖（1）中，若NA=30°,∕C=50°,則乙AEC=80。；若NA=25°,NC=40°,則/

AEC=65°.

（2）圖（1）的條件下，猜想NEA8、ZECD,NAEC的關(guān)系，并說明你的結(jié)論.

（3）如圖（2）,點(diǎn)E是四邊形ACQB內(nèi)（不含邊界和MN）任意一點(diǎn)，請說明NEM8、NEND、ZMEN

【分析】（1）過點(diǎn)E作E尸〃A8,如圖1,根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NAEG=

ZA,ZCEG=ZC,由NAEC=NAEG+NCEG,可得NAEC=/A+NC,代入計(jì)算即可得出答案；

（2）過點(diǎn)E作E/〃A8,如圖I,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，NAEG=/EAB,/CEG=NECD.由/AEC

=NAEG+NCEG,即可得出答案；

（3）根據(jù)題意畫圖，如圖2,過點(diǎn)E作EF〃AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，

NEMB+NMEF=180°,NNEF+NEND=180°,由NEMB+/MEF+NNEF+NEND=360°,根據(jù)/

MEN=NMEF+NNEF,即可得出答案.

【解答】解：（1）過點(diǎn)E作EF〃AB,如圖1,

?'AB∕∕CD,

.?.GF∕∕CD,

ΛZAEG=ZA,NCEG=NC,

：./AEC=ZAEG+ZCEG,

：.NAEC=Z4+ZC,

若NA=30°,ZC=50o,則NAEC=30°+50°=80°,

若∕A=25°,NC=40°,則∕AEC=25°+40°=65°；

故答案為：80°,65°；

（2）NAEC=NEAB+NECD.

理由如下:

過點(diǎn)E作E/〃A8,如圖I,

?9AB∕∕CD,

:?GF〃CD,

：?NAEG=/EAB,/CEG=/ECD.

,.?ZAEC=NAEG+NCEG,

.?.ZAEC=NEAB+NECD；

(3)ZENB+ZNEN+ZEND=360°.理由如下:

根據(jù)題意畫圖，如圖2,

過點(diǎn)E作E/〃A3,

,NEM8+NMEF=I80°,

9JAB//CD,

.?GF∕∕CD,

工NNEF+NEND=180°,

：?NEMB+/MEF+/NEF+NEND=360°,

??ZMEN=NMEF+NNEF,

：?/ENBMNENMEND=360°.

圖2

一.選擇題

1.（2022?黔東南州）一塊直角三角板按如圖所示方式放置在一張長方形紙條上，若Nl=28°,則N2的

度數(shù)為（）

A.28°B.56oC.36oD.62o

【分析】過直角的頂點(diǎn)E作利用平行線的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：如下圖所示，

過直角的頂點(diǎn)E作MN〃/W,交AD于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)、N,

???四邊形A8C。是矩形，

：.AB//CD,

:?MN∕∕CD,

.?.Z4=Zl=28o,

VZ3+Z4=90o,

ΛZ3=90o-Z4=62o.

ΛZ2=Z3=62o.

故選：D.

2.（2022?臨清市二模）如圖，箱AB"CD,CD//EF9那么NBCE=（)

A.1800-Z2+Z1B.180o-Zl-Z2C.Z2=2Z1D.Zl+Z2

【分析】先利用平行線的性質(zhì)說明/3、/1、N4、/2間關(guān)系，再利用角的和差關(guān)系求出NBC￡

【解答】解：,：AB//CD,CD//EF,

ΛZ1=Z3,Z2+Z4=180o.

ΛZBCE=Z3+Z4

=/1+180°-Z2.

故選：A.

3.（2021春?僑口區(qū)月考）如圖，AB與HN交于點(diǎn)E,點(diǎn)G在直線CD上，GF交AB于點(diǎn)、M,NFMA=

ZFGC,NFEN=2NNEB,NFGH=2NHGC,下列四個(gè)結(jié)論：（1）AB//CD；②NEHG=2NEFM；③/

EHG+NEFM=90°；ZEHG-ZEFM=ISOo.其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③B.②④C.①②④D.①④

【分析】過點(diǎn)F作FP//AB,HQ//AB,設(shè)NNEB=κ,ZHGC=y,利用豬腳模型、鋸齒模型表示出NE”G、

NEFM,即可分析出答案.

【解答】解：；/FMA=NFGC

.?AB∕∕CD

①正確；

過點(diǎn)尸作HQ//AB,

'：AB//CD,

J.FP∕∕AB∕∕HQ∕∕CD,

設(shè)NNEB=x,NHGC=y,則NFEN=2x,∕FGH=2y

：.NEHG=ZEHQ+ZGHQ=ΛAEH+ZHGC=ZNEB+ZHGC=x+y,

NEFM=NBEF-NFME=ZBEF-ZAMG=ZBEF-(180°-ZFGC^>=x+2x-(180o--y)=3x+3y

-180°,

.?.2∕EfM=6x+6y-360°,

.?.ZEHG≠2ZEFM

.?.②錯(cuò)誤；

ZEHG+ZEFM^x+y+3x+3y-180"=4x+4y-18(Γ#90°,

③錯(cuò)誤；

：.3ZEHG-NEFM=3(x+y)-(3x+3y-180°)=180°,

.?.④正確.

綜上所述，正確答案為①④.

故選：D.

A.30oB.45oC.50oD.60°

【分析】作輔助線，過點(diǎn)。做。尸〃A8〃CZX再結(jié)合兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，即可得出N3的度

數(shù).

【解答】解：過點(diǎn)。做。?〃A8〃CQ,

.?.∕A=NAOP=30°,ND=NPOC,

VZ2=90o,

即/AOC=90°,

ΛZPOC=60°,

.?.∕3=60°.

故選：D.

5.(2018春?沂源縣期末)如圖，AB//CD,ZABF^^ZABE,ZCDF^^-ZCDE,則/E：NF=()

33

A.2：1B.3：1C.3：2D.4：3

【分析】本題主要利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等作答.

【解答】解：過點(diǎn)E、尸分別作48的平行線EG、FH,由平行線的傳遞性可得A8〃EG〃/7/〃C￡),

"JAB∕∕FH,：.ZABF=ZBFH,

?"FH∕/CD,；.ZCDF=NDFH,

NBFD=NDFH+NBFH=NCDF+NABF；

同理可得NBED=ZDEG+ZBEG=ZABE+ZCDE；

VZABF^—ZABE,NCDF=&NCDE,

33

：.NBFD=NDFH+NBFH=NCDF+∕ABF=2(NABE+NCDE)=2∕BED,

33

ΛZBED：NBFD=3：2.

故選：C.

6.（2022春?諸暨市期末）從汽車燈的點(diǎn)。處發(fā)出的一束光線經(jīng)燈的反光罩反射后沿Co方向平行射出,

已知入射光線OA的反射光線為A8,/OAB=/COA=72°.在如圖中所示的截面內(nèi)，若入射光線OO

經(jīng)反光罩反射后沿OE射出，且∕OOE=27°.則/AO。的度數(shù)是45°或99°

O

CF

【分析】分兩種情況：如果/40。是銳角，ZAOD=ZCOA-ZCOD；如果乙4。。是鈍角，ZAOD=

ZCOA+ZCOD,由平行線的性質(zhì)求出NCOA,ZCOD,從而求出NAO。的度數(shù).

【解答】解：：OE〃CF,

：.ZC0D=Z0DE.（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

?'ZODE=22°,

ΛZCOO=22°.

在圖1的情況下，ZAOD^ZCOA-ZCOD^12a-27°=45°.

在圖2的情況下，ZAOD=ZC0A+ZC0D=12°+27°=99°.

NAOo的度數(shù)為45°或99°.

故答案為：45°或99°.

圖1圖2

7.（2022春?潛山市月考）如圖，AB〃CO,點(diǎn)E,尸分別是48,CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M位于AB與C。之間且

在EF的右側(cè).

（1）若∕M=90°,則∕AEM+NCfAf=270°；

（2）若NΛ7="°,NBEM與NDFM的角平分線交于點(diǎn)N,則NN的度數(shù)為E.（用含”的式

子表示）

【分析】（1）過點(diǎn)用作MP〃A3,則AB〃C0〃MP,根據(jù)兩宜線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得答案；

（2）過點(diǎn)N作M2〃A8,則A8〃CO〃NQ,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等和角平分線的定義可得答案.

【解答】解：（1）過點(diǎn)M作MP〃A8,

9JAB//CD,

：.AB//CD//MP,

.'.Zi=ZMEBfN2=∕MFD,

VZM=Zl+Z2=90o,

，NMEB+NMFD=90°,

VZAEM+ZMEB+ZCFM+ZMFD=?^)°+180°=360o，

：.ZAEM+ZCFM=360o-90o=270o.

故答案為：270°；

(2)過點(diǎn)N作M2〃A8,

'：AB//CD,

.?AB∕∕CD∕∕NQ,

：.Z3=ZNEBfZA=∕NFD,

：.NNEB+/NFD=Z3÷Z4=NENF,

:/BEM與/DFM的角平分找交于點(diǎn)N,

?：NNEB=工NMEB,NDFN=L∕MFD,

22

ΛZ3+Z4=ZBEN+ZDFN=-（NMEB+NMFD）,

2

由（1）得，NMEB+NMFD=/EMF,

：.ZENF=-ZEMF=-n.

22

故答案為：上〃°.

2

8.（2019?大豐區(qū)一模）如圖，已知：AB//CD,Zl=50o,/2=113°,則/3=63度.

【分析】如圖，作E/〃A8.證明基本結(jié)論；NAEC=NI+N3即可解決問題.

【解答】解：如圖，作E尸〃AB.

J.EF//CD,

AZl=ZAEF,Z3=ZCEF,

.,.ZΛEC=Z1+Z3,

Λ113o=50o+N3,

.?.N3=63°.

故答案為63；

9.（2019秋?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB//CD,NBED=Il0°,B尸平分/ABE,DF平分NCDE,則/

BFD=125°.

【分析】首先過點(diǎn)E作EM〃A8,過點(diǎn)尸作由A8〃CD,即可得EM〃AB〃CD〃FN,然后根

據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由NB￡0=110°,即可求得NABE+/Cz)E=250°,又由8尸平分/ABE,

DFACDE,根據(jù)角平分線的定義，即可求得/48F+/CQF的度數(shù)，乂由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，

即可求得/8F。的度數(shù).

【解答】解：過點(diǎn)￡作￡加〃43,過點(diǎn)F作FN〃AB,

?'AB∕∕CD,

.,.EM//AB//CD//FN,

.?.NABE+NBEM=180°,ZCZ)E+ZD￡M=180°,

二NABE+ZBED+ZCDE=360o,

VZBED=110o,

NABE+/COE=250°,

'：BF5YZABE,DF平分NCDE,

：.ZABF=I-ZABE,NCDF=工NCDE,

22

ΛZABF+ZCDF=-(ZAβE+ZCDE)=125°,

2

?；NDFN=ZCDF,NBFN=ZABF,

：.NBFD=NBFN+NDFN=NA8尸+NCOF=125°.

故答案為125°

10.(2022春?交城縣期中)如圖，已知A8〃C。，AE和CF分別平分N8A尸和NZ)CE,若NAEC=57°,

NAFC=63°,則NBAF的度數(shù)為46°.

【分析】延長AE交CD于點(diǎn)H,延長NF交CD于點(diǎn)G,設(shè)NBAE=x,AFCG^y,根據(jù)角平分線的定

義可得∕BAF=2x,NECG=2y,然后利用平行線的性質(zhì)可得∕AGC=2Λ,∕AHC=x,,再利用三角形

的外角性質(zhì)可得NAEC=X+2y,ZAFC=2x+y,最后列出關(guān)于x,y的方程組，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：延長AE交C。于點(diǎn)H,延長AF交CQ于點(diǎn)G,

設(shè)/8AE=X,ZFCG=y,

"：AEVACF分別平分/BAF和/QCE,

：.NBAF=2NBAE=2x,NECG=2NFCG=2y,

,JAB∕∕CD,

.".ZBAF=ZAGC=Ix,NBAH=NAHC=x,

；/AEC是AEHC的一個(gè)外角,

NAEC=ZAHC+ZECG=x+2y,

,：ZAFC是AGCF的一個(gè)外角，

/AFC=ZAGC+ZFCG=2x+y,

AEC=57°,ZAFC=63",

.∫x+2y=57o

I2x+y=63o

x=23

解得:

y=17

ΛZfiAF=46°,

11.（2022春?濠江區(qū)期末）已知直線AB〃CD,直線EF分別截A3、Cf）于點(diǎn)G、，，點(diǎn)M在直線48、

CD之間，連接MG,MH.

(1)如圖1,求證：ZM=ZAGM+ZMHC;

(2)如圖2,若HM平分/GHC,在HM上取點(diǎn)Q,使得NHGQ=/AGM,求證：ZM+ZGQH=180o；

(3)如圖3,若GH平分NMGB,N在為”力上一點(diǎn)，連接GN,ELNGNH=NM,NHGN=2NMHC,

求NMHG的度數(shù).

EEE

FFF

圖1圖2圖3

【分析】（1）過點(diǎn)M作MN〃A8,利用平行線的豬腳模型，即可解答；

（2）根據(jù)角平分線的定義可得/MHG=∕C4Λ∕,再利用（1）的結(jié)論可得NGMH=NAGM+NMHC,

從而可得NGMH=NHGQ+NMHG,然后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；

（3）設(shè)乙4GM=2α,NC"M=β,從而可得∕HGN=2β,再利用（1）的結(jié)論可得NGM"=2a+β,從

而可得NGNH=2a+β,然后利用角平分線的定義可得/例G4=90°-a,再利用三角形的外角可得N

CHG=3β+2a,最后利用平行線的性質(zhì)可得∕AGH+NCHG=I80°,從而可得a+β=30°,再利用角的

和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】（1）證明：過點(diǎn)M作MMyA8,

，ZAGM=ZGMN,

"AB//CD,

.?MN∕∕CD,

：.ZNMH=ZCHM,

,.?ZGMH=ZGMN+ZNMH,

：.NGMH=ZAGM+ZMHC；

(2)證明：；HM平分NGHC,

."MHG=NCHM,

由（1）得:

/GMH=NAGM+NΛ∕"C,

?：NHGQ=NAGM,

.*.ZGMH=/HGQ+/MHG,

VZGQH+ZHGQ+ZMHG=?S0o,

：.ZGMH+ZGQH=?S0o；

(3)解：設(shè)NAGM=2α,ZCHM=β,

由(1)可得:

ZGMH=NAGM+/MHC,

ΛZGM∕7=2α+β,

?：4GNH=4M,

.?.NGM∕=2a+β,

?：/HGN=2/MHC,

???/〃GN=2β,

,：GH平分/MG8,

JNMGH=工NBGM=工(180。-NAGM)=90。-a,

22

YZCHG是AGHN的一個(gè)外角，

???NCHG=N"GN+NGN"=2β+2a+β=3β+2a,

λ

:AB//CDf

：.ZAGH+ZC∕7G=180°,

工NAGM+NMGH+NCHG=180°,

.?2a+90o-a+3β÷2a=180o,

.?a+β=30o,

：,ZMHG=ZCHG-ZCHM

=3β+2a-β

=2β÷2a

=60°,

.?.NM"G的度數(shù)為60°.

12.（2022春?沂源縣期末）在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含30°的直角三角尺和兩條平行線”為

背景開展數(shù)學(xué)活動(dòng)如圖，己知兩直線mb且?！ㄈ撕椭苯侨切?3C,ZBCA=90o,ZBAC=30o,

ZABC=60o.

圖1圖2

操作發(fā)現(xiàn)：

(1)在圖1中，Z1=46°,求N2的度數(shù).

(2)某同學(xué)把直線〃向上平移，并把N2的位置改變，如圖2,發(fā)現(xiàn)N2-Nl=I20°,說明理由.

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出N3,根據(jù)平行線的性質(zhì)解答；

(2)過點(diǎn)B作8。〃〃，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NABO=I80。-Z2,NDBC=Nl,結(jié)合圖形計(jì)算，證

明結(jié)論.

【解答】解：(1)??ZBCA=90o,

ΛZ3=90o-Zl=44o,

Va∕∕b,

ΛZ2=Z3=44o.

(2)理由如下：過點(diǎn)8作4?！ㄐ?/p>

圖2?

則NA8。=180°-Z2,

,：a"b,BD∕∕at

.?BD∕∕b,

.'.ZDBC=Zit

?IZABC=60o

.β.180o-Z2+Zl=60o,

.?Z2-Zl=120°.

13.(2022春?無棣縣期末)如圖1,已知NBAE=NAEC-NECQ,點(diǎn)E在直線AB,CO之間.

(1)求證：AB//CD；

(2)若47平分NBAE,FG//CE.

①如圖2,若/AEC=84°,尸”平分/OFG,求NAHF的度數(shù)；

②如圖3,若尸H平分NCFG,試判斷NA4F與/AEC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

【分析】(1)過￡：作硒〃48,可得NAAE=/AEM/8AE=NAEC-/ECZX證得NjECZ)=/CEM

故E尸〃CO〃A8；

(2)①，尸平分/OFG,設(shè)NGFH=NDFH=X,根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到NA”F的度數(shù)；

②設(shè)NGFD=2x,NBAH=NEAH=y,根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得到NAH尸與N4EC

的數(shù)量關(guān)系.

【解答】解：(1)如圖I,過點(diǎn)E作直線EN〃A8,

圖1

：.NBAE=NAEN,

?'/BAE=ZAEC-ZECD,

：.NBAE+NECD=ZAEC,

'：NAENtNCEN=NAEC,

：.NECD=NCEN,

：.EN//CD,

.?CD∕∕AB,

(2)，平分/BAE,

；.NBAH=NEAH,

①?.?"F平分NIDFG,設(shè)乙GFH=NDFH=x,

又CE〃尸G,

：?NECD=NGFD=2x,

又/AEC=∕BAE+NECD,ZAEC=Mo,

.?ZBAH=ZEAH=42o-x,

如圖2,過點(diǎn)〃作”例〃Ab

圖2

ΛZBAH=/AHM,

?：HM〃AB,

：,HM〃CD,

：.ZDFH=ZMHFf

：.ZAHF=ZBAH^ZDFH=42o-x+x=420；

②設(shè)NGFo=2‰NBAH=NEAH=y,

???”/平分NCFG,

INGFH=/CFH=900-JG

由(1)知NAEC=NBAE+NECO=2x+2y,

如圖3,過點(diǎn)H作〃K〃Ab

圖3

INBAH=ZAHK.

'：HK//AB,

：,HK〃CD,

：?NKHF+NCFH=18O0,

ΛZAHF-y÷ZCFH=180°,

即NAH尸-y+90°-X=I80°,ZA∕∕F=90o+(x+y)

ΛZAHF=90o÷AZΛEC.

2

14.（2022春?墨玉縣期末）問題情景：

（1）如圖①，已知AB//DE.試/8、NE、NBCE有什么關(guān)系？小明添加了一條輔助線.解決了這道

題.得到的結(jié)果是N8+∕E=N8CE.

請你幫他完善證明過程：

如圖②，過點(diǎn)C作CF〃AB

NB=/1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

?'AB∕∕DE,AB//CF

：.DE//CF.

：.NE=/2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

ΛZB+Zf=Zl+Z2

即∕B+NE=NBCE.

（2）在圖①中.若8cLeE,且NB=52°,請你計(jì)算NE的度數(shù)等于38。.

（3）問題遷移：如圖③.AD//BC.當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，ZADP=Za,ZBCP=Zβ

請你猜想Na、NB與NCPO之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

（2）由（1）可知N8+∕E=90°,即可求解；

（3）由三角形外角性質(zhì)可得∕CPC+NeOP=NOCP,從而可得NCPO+Na+∕ADO=N0+N8CO,由

AD〃8C可得/ADO=NBCO,即可得出∕CPD+Na=Z0.

【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CF〃A8,

.?.∕B=N1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

?'AB∕∕DE,AB//CF,

.?DE∕∕CF,

.?.ZE=Z2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

ΛZβ+ZE=Z1+Z2,

即∕8+NE=∕BCE,

故答案為：NB=/1；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；DE；CF;N2；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

(2)由(1)可知N8+NE=∕8CE,

,：ZBCE=90o,ZB=52o,

INE=NBCE-NB=38°,

故答案為：38°；

(3)ZCPD+Za=Zβ,理由如下：

；ZCPD+ZCDP=ZOCP,

.".ZCPD+Za+ZADO^Zβ+ZBCO,

?"AD∕∕BC,

：.ZADO=NBCO,

.?.∕CPf>+∕α=∕B?

15.(2022春?撫遠(yuǎn)市期末)如圖，已知AD〃BC,AB〃C。，點(diǎn)E在線段BC的延長線上，4E平分NBA。,

連接QE,NADC=2NCDE,ZAED=60o.

(1)求證NA8C=NADC；

(2)求NCCE的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案.

(2)根據(jù)NAf)E=3NCDE,設(shè)∕CZ)E=x,ZADE=3x,ZADC^2x,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出方程90°

-X+60°+3x=180°,求出X即可.

【解答】(1)證明：?.?AB"CO,

NABC=NDCE,

^JAD∕∕BC,

NAOC=ZDCE,

：./ABC=ZADC.

(2)解：設(shè)NCoE=X,則NAQC=2x,

'：AB//CD,

ΛZθAD=180o-2x,

平分∕8AD,

ΛZEAD=AZBAD=90o-χ,

2

,∕AD∕∕BC,

.?.N8EA=NEAD=9O°-x,

.?.NBE。+NAOE=180°,

Λ90o-x+60o+3x=180°,

Λx=15o,

；.NCDE=15°.

16.（2022春?來賓期末）如圖，直線PQ〃MN,直角三角尺ABC的N8AC=30°,NACB=90°.

（1）若把三角尺按圖甲方式放置，貝?I∕M4C+NP8C=90°；

（2）若把三角尺按圖乙方式放置，點(diǎn)￡>,E,F是三角尺的邊與平行線的交點(diǎn)，若NAEN=NA,求NBDF

的值；

（3）如圖丙，三角尺的直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段CZ）上，連接EG,適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)三

角尺，使得CE恰好平分NMEG,求孕邸■的值.

ZBDF

圖內(nèi)

圖甲圖乙

【分析】（1）延長8C交MN丁點(diǎn)。，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NPBC=NAOC,再利用三角形的外角可

得/ACB=ZADC+ZMAC,然后利用等量代換即可解答;

（2）根據(jù)已知可得/AEN=∕A=30°,再利用對頂角相等可得NCEM=30°,然后利用（1）的結(jié)論可

得：∕PDC=60°,最后利用對頂角相等即可解答:

（3）利用角平分線的定義設(shè)NCEM=NCEG=X,從而利用平角定義可得/GEN=180°-2x,再利用（1）

的結(jié)論可得：NpoC=90°-Λ,然后利用對頂角相等可得N8。尸=90°-x,進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）延長BC交MN于點(diǎn)D,

,

.,PQ//MNf

：.ZPBC=ZADCf

???NACB是AACD的一個(gè)外角，

：.ZACB=NAoC+/MAC,

ΛZACB=ZPBC+ZMAC=Wo,

故答案為：90：

(2)VZAEN=ZA,NAAC=30°,

ΛZAEN=ZA=30o,

,NCEM=NAEV=30°,

利用(1)的結(jié)論可得：

ZACB=ZPDC+ZMEC,

"PDC=NACB-NMEC=60°,

：.ZBDF=ZPDC=60Q,

.二NB。尸的度數(shù)為60°；

(3)TCE平分NMEG,

：,/CEM=ZCEG,

設(shè)NCEM=∕CEG=x,

：.ZGEN=?^0o-ZCEM-ZCEG=180o-Zr,

利用(1)的結(jié)論可得：

NACB=NPDC+NMEC,

/.ZPDC=ZACB-/例EC=90°-x,

：.ZBDF=ZPDC=90o-x,

Φ

?ZGEN-180-2X_2

*,ZBDF900-X

.?.孕現(xiàn)的值為2.

ZBDF

PB

17.(2022春?咸安區(qū)期末)(1)如圖1,已知A8〃C。，ZAEP=AOQ,ZPFD=IlOo,求NEP尸的度

數(shù).

(2)如圖2,AB〃CD,點(diǎn)P在AB的上方，問NPE4,ZPFC,NEP尸之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，已知NEPF=60°,/PE4的平分線和NPFC的平分線交于點(diǎn)G,求

/G的度數(shù).

【分析】(1)延長EP交CO于點(diǎn)G,利用平行線的性質(zhì)可得NPG尸=40°,再利用平角定義可得NPFG

=70°,然后利用三角形的外角進(jìn)行計(jì)算即可解答：

(2)設(shè)AB與尸尸交于點(diǎn)M,先利用三角形的外角可得NpMA=/PE4+/EPF,再利用平行線的性質(zhì)可

得NPMA=NPFC,然后利用等量代換可得N∕Y?C=NFEA+NEPF,即可解答；

(3)利用(2)的結(jié)論可得/EPF=/PFC-/PEA=60°,再利用角平分線的性質(zhì)可得/GEA=」/AEP,

2

ZGFC=-ZPFC,然后利用(2)的結(jié)論可得NG=∕GFC-NGEA=工(ZPFC-ZAEP),進(jìn)行計(jì)

22

算即可解答.

【解答】解：(1)延長“交CQ于點(diǎn)G,

VAB//CD,

ZAEG=ZPGF=40°,

,：ZPFD=HOo,

ΛZPFG=180o-∕PH>=70°,

??NEPF是APFG的一個(gè)外角，

ΛZEPF=ZPGF+ZPFG=?10°,

.?.NEP尸的度數(shù)為110°；

(2)NPFC=NPEA+NEPF,

理由：如圖：設(shè)AB與P尸交于點(diǎn)M,

,.?NPMA是APME的一個(gè)外角，

.?.ZPMA=ZPEA+ZEPF,

?,AB∕∕CD,

.?.∕PM4=∕PFC,

NPFC=NPEA+NEPF；

(3)由(2)可得：

NPFC=NPEA+NEPF,

：.NEPF=NPFC-NPEA=60°,

YEG平分NAEP,FG平分NPFC,

.'.ZGEA=-ZAEP,NGFC=±NPFC,

22

由(2)得：

NGFC=NG+NGEA,

.'.ZG=ZGFC-ZGEA

=?i∕PFC-1?NAEP

22

=?1CZPFC-ZAEP)

2

=Ax60°

2

=30°,

.?.∕G的度數(shù)為30°.

P

C

18.（2022春?上虞區(qū)期末）如圖1,已知點(diǎn)E,F分別是直線AB,CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M在AB與CZ）之間，

且4B〃CD

（1）若∕EΛ∕F=80°,則NAEM+NCFM=80°.

（2）如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，作射線EMFN交于點(diǎn)、N,使/AEN=工∕AEM,NCFN=?∕CFM,

33

設(shè)NEMF=a,猜想/ENF的度數(shù)（用α表示），并說明理由.

（3）如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上，分別作射線EP,FP交于點(diǎn)、P,作射線EQ,EQ交于點(diǎn)Q,若NAEP=L

m

ZAEM,NCFP=L∕CFM,∕BEQ=工