2023屆高考數(shù)學模擬試題匯編解三角形 含解析

2023屆優(yōu)質(zhì)模擬試題分類匯編(新高考卷)

解三角形

第一板塊：知識梳理

一.基本結(jié)論

L正弦定理：在ΔABC中，a、b、C分別為角A、B、C的對邊,，則有，_=上=_￡_=2R

sinAsinBsinC

(R為AABC的外接圓的半徑).

2.正弦定理的變形公式：

①a=2RsinA,Λ=27?sinB,c=27?sinC；

②SinA=a,SinB=2,SinC=工；③ɑ:b:e=SinA:sinB:SinC；④

2R2R2R

"+〃+C=IR

SinA+SinB+SinC

3、三角形面積公式：SΔΛBC=TbCSinA=gαλ>sinC=gαcsinB.

222

4、余弦定理：在AABC中，?β=b+c-2bccosA,

b+

推論：cosA=?~—；變形：b~+C2-a1-IbccosA-

2bc

5.解三角形所涉及的其它知識

(1)三角形內(nèi)角和定理

(2)三角形邊角不等關(guān)系：?>/?<=>ZA>ZB<≠>sinA>sinβ<=>cosA<cosB.

6.誘導公式在ΔA8C中的應用

(1)sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC；

A+BCA+B

(2)sin=COS-,cos-------

222

二.對邊對角

對邊對角模型是解三角形中最經(jīng)典的題型，在三角形中，倘若知道任意一邊與該邊所對角的大小，我們就

可分別利用正弦定理+三角函數(shù)或者余弦定理+均值不等式的方法找到相關(guān)范圍.

1.結(jié)合余弦定理：a2=b2+c2-IbccQSA變式可得：a2=(h+c)2-2?c(l+cosA)此公式在已知α,A的

情況下，可得到人+c和兒的等式，配合均值不等式，這樣就可實現(xiàn)周長或者面積的最值.

2.結(jié)合正弦定理構(gòu)建周長或者面積關(guān)于角的目標函數(shù)，利用三角函數(shù)處理最值或者范圍.

3.注意到其在焦點三角形中的應用.

三.射影定理與平方差公式

結(jié)論L正余弦平方差公式

sin2a-sin2β=sin(6z+∕?)?sin(cr-β),

cos2a—sin2β=cos(a+?cos(a-β).

a=AcosC+ccosB

結(jié)論2.射影定理：在ABC中，?b=acosC+ccosA

c=acosB+bcosA

注：上述作為解答題均需推導，當然也很簡單，第一個右邊展開化簡，第二個正弦定理邊角轉(zhuǎn)化.(請讀

者自行推導)

四.爪型三角形

L爪型三角形的基本幾何特征:如圖，ZAPB+ZAPC=π.

2.斯特瓦爾特定理：設P為ΔA6C的BC邊上異于民C的任一.點，

r?

則有AB'PC+AC?.BP=AP2?8C+BPPCCB./

證明：由余弦定理，可得：//

AC2AP1+PC2-2AP-PC-cosZAPC?B

AB2=AP2+PB2-2AP?PB?cos(τr-ZAPC)將上述兩式分別乘6P,CP后相加整理，可得.

注：可以看到，斯特瓦爾特定理的證明關(guān)鍵是利用爪型三角形中兩角互補，即：這個隱含條件，而這個

條件是處理爪型三角形的一個重要技巧.

推論1.當設P為AABC的BC邊中點時，AP2=^(AB2+AC2)-^BC2.

注：該結(jié)論還可由AP=5(AB+AC)證得.

推論2.當設P為NBAC的角平分線時，AP2=AB-AC-BP-PC.

推論3.當設P滿足8>=丸,Wc時，A∕j2=Λ(Λ-l)βC2+(1-λ)AB2+AAC2.

3.等面積思想.

設AM為44的平分線，則設N54M=NC4/=e,那么有等面積可得:

SΔABC-^bc-sm2θ-?^(b+c)-AM-sinθ,

進一步可得：2機??cos9=S+c)?AM,于是可以看到，倘若我們知道角。與角平分線AM的長度，則

可得到6c—匕+c的轉(zhuǎn)化關(guān)系，配合均值不等式就可得到一些范圍問題.

同時，該思想在處理高線問題時亦然有效，請讀者注意.

五：秦九韶公式與嵌入不等式

1.秦九韶公式出現(xiàn)在人教版必修二教材的55頁，作為中國古代數(shù)學中的優(yōu)秀成果之一介紹出來，它給出

了三角形的面積和邊長之間的定量關(guān)系，沒有角度形式出現(xiàn)，這樣的話，在我們的條件只有邊關(guān)系時，就

可考慮從這個角度入手解題.近年來，以這方面為背景的解三角形壓軸題目多次出現(xiàn)，應該引起各位讀者

的注意.

2.再將邊結(jié)構(gòu)推廣又可給出二次邊結(jié)構(gòu)和面積之間的不等關(guān)系，即嵌入不等式.

(嵌入不等式)若三角形的三邊為0,b,c,面積為S,x,y,z為給定的正實數(shù)，則有：

212222222

Xd+yb+zc≥4-S?yJxy+yz+zx,當且僅當χ?.y.z-(b+c-a)?.(c+a-b)

：(。~+力2—/)取等.

六.解三角形中的常見軌跡

1.阿氏圓

IPAI

定義：已知平面上兩點A8,則所有滿足「加=ZXWI的動點P的軌跡是一個以定比為“：〃內(nèi)分和

I

0

外分定線段的兩個分點的連線為直徑的圓.若則圓的半徑為團，圓心

ABAm,0),8S,0),IklwA

)2,1

E回。)為.

解析：設A(—c,0),B(c,0),P(X,y).因為AP=4BP(c>0,∕l>0且/l≠1)由兩點間距離公式得

22222

y∣(x+c)+y^λy](x-c)+y,化簡得x-^-^-c+y=(-^--c?.

/j2+]、?2

所以點P的軌跡是以——c,0為圓心，以々_c為半徑的圓.

{λ2-?)Λ2-l

2.米勒圓軌跡

米勒問題：已知點A,8是NMQN的邊ON上的兩個定點，點P是邊OM上的動點，則

當P在何處時，使得N4PB最大？

對米勒問題有如下重要結(jié)論稱之為米勒定理.

米勒定理：已知點AJB是NMQN的邊ON上的兩個定點，點P是邊OM上的動點，

則當且僅當ΔA8P的外接圓與邊OM相切于點P時，NAPB最大.

試題匯編

例1(2023屆武漢9月調(diào)研)在AfiCΦ,角4,8,C所對的邊分別為α,仇c,且滿足“cosC+χ∕5asinC=b+2c.

(1)求角A；

(2)D為BC邊上一點,DAYBA,且BD=4DC,求CoSC.

1

解析：(1)由“；="二=C八,得sinΛcosC+>/^SinASinC=Sin8+2sinC.由B=π-(4+C),故

SlrL4SinBSinC

si∏AcosC+GsinAsinC=sin(A+C)÷2sinC=sinAcosC+cosASinC+2SinC所以

百SirLASinC=CoSAsinC+2sinC,又因為C∈（0,π）,所以SinCW0,故GsinA-COSA=2.

即2sin（A、）=2,X0<A<π,所以A..

2CDb

（2）由（1）知：A=亭，所以NC4。=《~一彳=2.在-CA。中，；兀sin∕Af>C;在84￡>中，

?326SIn;

6

BD_c

TT=SinZAD8.又SinNAZJB=sin∕AZ）C,BD=48,代入得：C=次由余弦定理得：

sin—

2

22

a=.Ib+c-2?ccos-=y/lb9所以cosC="土"———=?’.

V3Iab7

例2（福建省部分地市2023屆高三第一次質(zhì)量檢測）記_ABC的內(nèi)角A,B9C的對邊分別為小b,C9且

3ABAC+4BA?BC=CA'CB?

(i)求2；

C

(2)已知3=3CC=1,求一ABC的面積.

z21111

解析：(1)3feccosA÷UzccosB=ahcosC,代入余弦定理，3(?+c?一片)+4(/+c-b~^=a+b-c9

化簡得：4C2=?2,所以2=2.

C

hQjnB

(2)由正弦定理知一=2;即Sin5=2SinC,又B=3C,故

cSinC

sinB=sin3C=sin(2C÷C)=sin2C?cosC+cos2C?sinC

=2sinC?ɑ-sin2C)+Q-2sin2C)sinC=3sinC-4sin3C=2sinC,BP3-4sin2C=2,得SinC=J,故C=.

(C=fπ?),此時，8=3C==,b=2c=2AB=2,BC=>∕3,

62

則，ABC的面積S.βc=?×1×y∣3=.

/I∕JC22

例3（福建省泉州市2023屆高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測一）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別是α,b,c.已

,2cosAcosBcosC

知FTFF

(1)求A；

（1）若α=√L求,ΛSC的周長的取值范圍.

me、2cosAcosBcosC-一,人工十心人?≡3

解析：(z1)一：---=——+-----,.t.2acosA4=CeosB+bcosC由正弦定理rt得:

beabac9

；,Ae(O,兀)

2sinAcosA=sinCcosB÷sinBcosC=sinA,又SinAW0,所以COSA二

所以A=?.

b_c_a_?/?_

(2)由正弦定理得：sinBsinCsinA?/?，

~2~

所以b+c=2sin8+2sinC=2sin8+2sin(B+2)=2sin8+sinB+GcosB=26sin(B+-)9BW(0,—),

36?

所以Sin(B+g)e0,l

??.B+[建,等),,所以HCe（62可

OOOo12

所以周長α+6+cw(2百,36].

例4（廣東省佛山市2023屆高三教學質(zhì)量檢測一）在銳角三角形一ABC中，角A,B,C的對邊分別為α,

b,c,Co為CA在CB方向上的投影向量，且滿足2csin8=后「4

(1)求CoSC的值;

(2)若。=G，a=3ccosB,求.,ABC的周長.

解析：(D由Co為CA在C8方向上的投影向量，則∣c4=8cosC,即2csinB=√?cosC,

根據(jù)正弦定理，2sinCsinB=#SinBcosC?在銳角一A3C中，B∈(°，5[,則SinB>0,即2sinC=?∣5cosC?

由Ce[O,g],則cos2C+si∕C=l,整理可得cos?C+^cos?C=1,解得CoSC=

I2；43

(2)由α=3ccos5,根據(jù)正弦定理，可得SinA=3sinCcos5,在.ASC中，A+B+C=π9貝Ij

sin(B+C)=3sinCcosB,sinBcosC+cosBsinC=3sinCcosB,sinBcosC=2sinCcosB,

由(1)可知COSC=sinC=√l-cos2C=-,貝!JsinB=GcosB,

33

由sin?B+cos?B=1,貝!Heos?3+cos?3=1,解得CoSB=SinB='羽，根據(jù)正弦定理，可得

66

=則C=型5匕=3,a=-c=?[39故ASC的周長CABC=α+人+c=2百+及.

sinBsinCSinB2

例5(廣東省深圳市2023屆高三第一次調(diào)研)記ABC的內(nèi)角48,。的對邊分別為〃力,0,已知

b+c=2asinfC+^.

(1)求A；

(2)設43的中點為。，若CD=a,且〃-c=l,求/BC的的面積.

解析：(1)由已知得，Z?+C=GaSinC+αcosC,由正弦定理可得，sin8+sinC=GsinAsinC+sinAcosC,因為

A+B÷C=π,

所以SinB=Sin(A+C)=SinAcosC+cosAsinC,

代入上式，整理得CoSASinC+sinC=√f3sinAsinC,又因為C￡(0,兀)，SinCH0,

所以GSinA-CoSA=1,即SinfA-舟二，又因為A∈(0,π),所以

ko√z6OO

所以A-/?解得A=》

663

(2)在AeD中，由余弦定理得，CD-=b2+--2b-cosA.而A=1,CD=a,^a2=b2+---,

42342

①在ABC中，由余弦定理得，〃242+c2—反，②由①@兩式消去。，得3。2=2歷，所以/2=,,又人C=I,

解得〃=3,c=2.所以.√WC的面積S=L力CSinA=.

22

例6(廣州市2023屆高三一模)在ABC中，內(nèi)角C的對邊分別為。也。，c=2?,2si∏Λ=3si∏2C.

(1)求SinC；

(2)若ABC的面積為辿，求A3邊上的中線CO的長.

2

解析：(1)因為2sinA=3sin2C,所以2sinA=6sinCcosC,所以2a=6ccosC,即a=3ccosC,

所以cosC=9由余弦定理及c=3得…C=%盧='言a2-3b2

Iab

所以M=八昉，即"斗。，

又COSC=F=4,A2

3c6b

3√2,_0,所以SinC=JI-COS°C=Jl-=~^~

—b

Ca2

cosC=—=———

6b6b

(2)由SMe=JaAsinC=Jfek//?~2~,所以。"=60，由(1)a=~~~^9

所以∕7=2,α=3√∑,因為Co為48邊上的中線，所以Co=g(C4+CB),所以

∣∣2∣∣211

^(CA+CB÷2CA?Cβ=—×+a1+-X4+18+2×2×3√2

44

=7,所以「4=4,所以A8邊上的中線C。的長為：√7.

例7(湖北省武漢市2023屆高三下學期二月調(diào)研)在ABC中，AB=2,。為AB中點，CD=O.

(1)若BC=夜，求AC的長；

(2)若ZBAC=2ZBCD,求AC的長.

BD2+CD2-BC21+2-2√2

解析：(1)在BQC中,cosNBDC=

2BDCD2×1×√2^4

則CoSNA。C=-COSNBOC=-走，在?ADC中，AC2=AD2+CD2-2ADCD-cosZADC

4

=1+2-2近χ(-J)=4,所以AC=2.

4

(2)設AC=X,8C=y,在AWC和.BDC中，由正弦定理得，

缶=嬴品'嬴無=占？'又SinWC=Sin/皿，得懈I=華，在-BDC

V2+2-1

中，CGS∕BCD=?O,由NBAC=2ZBCf>,WsinZBAC=2sinZBCDCOSZBCD,所以

冬=2?虛1,整理得：2yJχ(∕+l),①

l+2-x21+2-/

又由cosZADC=-cos/BDC,,,整理得：x2+∕=6,②

2√22√2

聯(lián)立(D@得，√-2X2-7Λ+12=0,BP(X-3)(X2+X-4)=0.,解得x=3或X=T翌

上叵，所以AC=土姮

X√2-1<Λ<√2+1.故X=

22

例8(江蘇省南通市2023屆高三下學期第一次調(diào)研測試)在ΛBC中，A8,C的對邊分別為

a,b,c,^cosB-2acosC=(2c-?)cosA.

1.3cTtTr

，因I為Bw,所以tan8e

例10(山東省濟南市2022?2023學年高三下學期開學考試)已知AfiC中，A9B9C所對的邊分別為

bfc9且(a+人)(SinA—SinB)=bsinC.

(1)證明：A=2b;

(2)若α=3,b=2,求.ABC的面積.

解析:(1)因為①+與(SinA—sin3)=8SinC,所以(〃+勿①一份=反，即/一從=兒,

cosB=a+(——生=婦上,2sinA∞sβ=sinβ+sinC,2sinAcosS=sinB÷sin(A÷β),

lac2a'7

Sin(A-B)=SinB,所以A-B+B=2Λπ÷π^Λ-β-B=2Λπ,keZ9XAB∈(θ,π),

所以A=23;

222

(2)由⑴.2—戶=機.，又”=3,。=2,所以。=：,由余弦定理可得a+b-c32+2j(j9,

2cosC=---------------=----------------=—

2ab2×3×216

因為C∈(0,π),所以Sine=川—cos?。=平,

所以ABC的面積S=，〃力SinC=Lχ3χ2χ?^=

221616

例U(溫州市2023屆高三一模)記銳角，ABC的內(nèi)角AdC的對邊分別為。也c,已知

sin(A-B)_Sin(A-C)

cosBcosC

(1)求證：B=C;

(2)若αsinC=l,求二+5的最大值.

.,-/＜、、十”sin(A-B)sin(A-C)

解τx析r：(1)證明：由題知==所以Sin(A-8)cosC=sin(A-C)cosB,

cosBcosC

所以SinAcosBcosC-cosAsinBcosC=sinAcosCcosB-cosAsinCcos5,所以

CoSASin8cosC=cosAsinCcos3因為A為銳角，即COSAWO，所以SinBCoSC=SinCCoS5,所以

tanB=tanC,所以8=C.

(2)在ΔA8C中，由正弦定理=，一=—L=-^=—也

sinAsinBsin28sinB

aba1n,冗冗、

=>----------------=-------=>h1=----------=----------------,B∈(―,—)

2sinBcosBsinβ2cosβ2sinBcosfi42

.?.-V+4=si∏2B+4sin2Bcos2B=Sin2B+4sin2B(l-sin2