山東省煙臺市師范學院附屬中學高二數(shù)學理期末試題含解析

山東省煙臺市師范學院附屬中學高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等比數(shù)列an中，a1=2，q=2，Sn=126，則n=（）A．9 B．8 C．7 D．6參考答案：D【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由首項和公比的值，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式表示出Sn，讓其等于126列出關于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．【解答】解：由a1=2，q=2，得到Sn===126，化簡得：2n=64，解得：n=6．故選D【點評】此題考查學生靈活運用等比數(shù)列的前n項和公式化簡求值，是一道基礎題．2.已知a=，b=log2，c=，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a參考答案： C【考點】對數(shù)值大小的比較．【分析】判斷a、b、c與1，0的大小，即可得到結果．【解答】解：a=∈（0，1），b=log2＜0，c=log＞1．∴c＞a＞b．故選：C．3.設圓錐曲線r的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，若曲線r上存在點P滿足=4:3:2，則曲線r的離心率等于 A．

B．或2

C．2

D．參考答案：A略4.某一數(shù)學問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5位同學只會用綜合法證明，有3位同學只會用分析法證明，現(xiàn)任選1名同學證明這個問題，不同的選法種數(shù)有（）種．A.8 B.15 C.18 D.30參考答案：A【分析】本題是一個分類計數(shù)問題，解決問題分成兩個種類，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有3+5＝8種結果．【詳解】由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，解決問題分成兩個種類，一是可以用綜合法證明，有5種方法，一是可以用分析法來證明，有3種方法，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有3+5＝8種結果，故選：A．【點睛】本題考查分類計數(shù)問題，本題解題的關鍵是看清楚完成這個過程包含兩種方法，看出每一種方法所包含的基本事件數(shù)，相加得到結果．5.有200人參加了一次會議，為了了解這200人參加會議的體會，將這200人隨機號為001,002，003，…，200，用系統(tǒng)抽樣的方法(等距離)抽出20人，若編號為006,036,041,176,196的5個人中有1個沒有抽到，則這個編號是（

）A.006 B.041 C.176 D.196參考答案：B【分析】求得抽樣的間隔為10，得出若在第1組中抽取的數(shù)字為6，則抽取的號碼滿足，即可出判定，得到答案.【詳解】由題意，從200人中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取20人，所以抽樣的間隔為，若在第1組中抽取的數(shù)字為006，則抽取的號碼滿足，其中，其中當時，抽取的號碼為36；當時，抽取的號碼為176；當時，抽取的號碼為196，所以041這個編號不在抽取的號碼中，故選B.【點睛】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣的應用，其中解答中熟記系統(tǒng)抽樣的抽取方法是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.6.下表是某廠1—4月份用水量(單位：百噸)的一組數(shù)據(jù)：月份x1234用水量y4.5432.5由散點圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關關系，其線性回歸方程式＝－0.7x＋a，則a等于()

A．10.5

B．5.15

C．5.2

D．5.25參考答案：D7.一條直線若同時平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線的位置關系是()A．異面

B．平行

C．相交

D．不確定參考答案：B略8.“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：D取，則，但，故；取，則，但是，故，故“”是“”的既不充分也不必要條件，選D.9.設x、y、z＞0，，，，則a、b、c三數(shù)（

）A.都小于2 B.至少有一個不大于2C.都大于2 D.至少有一個不小于2參考答案：D【分析】利用基本不等式計算出，于此可得出結論.【詳解】由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，因此，若a、b、c三數(shù)都小于2，則與矛盾，即a、b、c三數(shù)至少有一個不小于2，故選D.【點睛】本題考查了基本不等式的應用，考查反證法的基本概念，解題的關鍵就是利用基本不等式求最值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10.已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（

）A.第6項 B.第7項 C.第19項 D.第11項參考答案：B解：數(shù)列即：，據(jù)此可得數(shù)列的通項公式為：，由解得：，即是這個數(shù)列的第項.本題選擇B選項.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.(文)函數(shù)f(x)=ax3-x在R上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是__________．參考答案：a≤0

略12..函數(shù)的最小值為________.參考答案：4略13.函數(shù)f（x）=x﹣3lnx的單調(diào)減區(qū)間為．參考答案：（0，3）【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先求函數(shù)f（x）的導數(shù)，然后令導函數(shù)小于0求x的范圍即可．【解答】解：∵f（x）=x﹣3lnx，x＞0，∴f'（x）=1﹣=，令＜0，則0＜x＜3，故答案為：（0，3）．【點評】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負情況之間的關系．屬基礎題．14.用數(shù)學歸納法證明：，當時，左邊為__________．參考答案：等式的左邊是以1為首項，為公比的等比數(shù)列的前項的和，觀察當時，等式左邊等于,故答案為.15.袋中有個球，其中有彩色球個．甲、乙、丙三人按甲、乙、丙、甲、乙、丙、的順序依次從袋中取球，每次取后都放回，規(guī)定先取出彩色球者為獲勝．則甲、乙、丙獲勝的概率比為

.（以整數(shù)比作答）參考答案：9:6:416.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程=bx+a必過點．參考答案：（1.5，4）【考點】線性回歸方程．【分析】要求y與x的線性回歸方程為y=bx+a必過的點，需要先求出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，根據(jù)所給的表格中的數(shù)據(jù)，求出橫標和縱標的平均值，得到樣本中心點，得到結果．【解答】解：∵，=4，∴本組數(shù)據(jù)的樣本中心點是（1.5，4），∴y與x的線性回歸方程為y=bx+a必過點（1.5，4）故答案為：（1.5，4）17.若y=alnx+bx2+x在x=1和x=2處有極值，則a=

，b=

．參考答案：﹣，﹣【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】函數(shù)的極值點處的導數(shù)值為0，列出方程，求出a，b的值．【解答】解：f′（x）=+2bx+1，由已知得：?，∴a=﹣，b=﹣，故答案為：﹣，﹣．【點評】本題考查了導數(shù)的應用，考查函數(shù)極值的意義，是一道基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)

袋中有1個白球和4個黑球，每次從中任取1個球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球為止，求取球次數(shù)X的分布列．參考答案：解：X的可能取值為1,2,3,4,5，則第1次取到白球的概率為P(X＝1)＝，第2次取到白球的概率為P(X＝2)＝×＝，第3次取到白球的概率為P(X＝3)＝××＝，第4次取到白球的概率為P(X＝4)＝×××＝，第5次取到白球的概率為P(X＝5)＝××××＝，所以X的分布列為X12345P

19.某醬油廠對新品種醬油進行了定價，在各超市得到售價與銷售量的數(shù)據(jù)如下表：單價x（元）55.25.45.65.86銷量y（瓶）9.08.48.38.07.56.8

（1）求售價與銷售量的回歸直線方程；（，）（2）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（1）中的關系，且該產(chǎn)品的成本是4元/瓶，為使工廠獲得最大利潤（利潤=銷售收入成本），該產(chǎn)品的單價應定為多少元？相關公式：，．參考答案：（1）．（2）6.75元【分析】（1）根據(jù)回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.（2）求得利潤的表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得為使工廠獲得最大利潤（利潤=銷售收入成本），該產(chǎn)品的單價.【詳解】解：（1）因為，，所以，，從而回歸直線方程為．

（2）設工廠獲得的利潤為元，依題意得當時，取得最大值故當單價定為6.75元時，工廠可獲得最大利潤．【點睛】本小題主要考查回歸直線方程的計算，考查實際應用問題，考查運算求解能力，屬于中檔題.20.已知拋物線C的方程為y2=2px（p＞0），拋物線的焦點到直線l：y=2x+2的距離為．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）設點R（x0，2）在拋物線C上，過點Q（1，1）作直線交拋物線C于不同于R的兩點A，B，若直線AR，BR分別交直線l于M，N兩點，求|MN|最小時直線AB的方程．參考答案：【考點】K8：拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）可以得到拋物線的焦點為，而根據(jù)點到直線的距離公式得到，而由p＞0即可得出p=2，從而得出拋物線方程為y2=4x；（Ⅱ）容易求出R點坐標為（1，2），可設AB：x=m（y﹣1）+1，，直線AB方程聯(lián)立拋物線方程消去x可得到y(tǒng)2﹣4my+4m﹣4=0，從而有y1+y2=4m，y1y2=4m﹣4．可寫出直線AR的方程，聯(lián)立y=2x+2即可得出，而同理可得到，這樣即可求出，從而看出m=﹣1時，|MN|取到最小值，并且可得出此時直線AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）拋物線的焦點為，，得p=2，或﹣6（舍去）；∴拋物線C的方程為y2=4x；（Ⅱ）點R（x0，2）在拋物線C上；∴x0=1，得R（1，2）；設直線AB為x=m（y﹣1）+1（m≠0），，；由得，y2﹣4my+4m﹣4=0；∴y1+y2=4m，y1y2=4m﹣4；AR：=；由，得，同理；∴=；∴當m=﹣1時，，此時直線AB方程：x+y﹣2=0．【點評】考查拋物線的標準方程，拋物線的焦點坐標，以及點到直線的距離公式，曲線上的點的坐標和曲線方程的關系，過定點的直線方程的設法，以及直線的點斜式方程，韋達定理，弦長公式，復合函數(shù)的單調(diào)性，要清楚函數(shù)的單調(diào)性．21.某大學開設甲、乙、丙三門選修課，學生是否選修哪門課互不影響．已知學生小張只選甲的概率為，只選修甲和乙的概率是，至少選修一門的概率是，用表示小張選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積．（Ⅰ）求學生小張選修甲的概率；（Ⅱ）記“函數(shù)

為上的偶函數(shù)”為事件，求事件的概率；（Ⅲ）求的分布列和數(shù)學期望參考答案：解：（Ⅰ）設學生小張選修甲、乙、丙的概率分別為、、；依題意得——4分，所以學生小張選修甲的概率為0.4——5分（Ⅱ）若函數(shù)為上的偶函數(shù)，則=0

…………6分（Ⅲ）依題意知，

————10分，則的分布列為02P∴的數(shù)學期望為

…………12分22.已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，過橢圓C上一點P（2，1）作x軸的垂線，垂足為Q．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點Q的直線l交橢圓C于點A，B，且3+=，求直線l的方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（Ⅰ）設橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），由題意得=，+=1，a2=b2+c2．解出即可得出；（Ⅱ）由題意得點Q（2，0），設直線方程為x=ty+2（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），將直線x=ty+2（t≠0），代入橢圓方程得到（2+t2）y2+4ty﹣2=0，利用向量的坐標運算性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）設橢圓C的方程為+=1（