2024年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納（全國(guó)通用）專題24 最值模型之將軍飲馬模型（原卷版）

專題24最值模型之將軍飲馬模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩(shī)人李頎《古從軍行》里的一句詩(shī)，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問(wèn)題從本質(zhì)上來(lái)看是由軸對(duì)稱衍生而來(lái)，同時(shí)還需掌握平移型將軍飲馬，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就將軍飲馬問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決將軍飲馬模型主要依據(jù)是：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短；涉及的基本方法有：利用軸對(duì)稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最??；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。上圖中A’是A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。例1．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)為高上的動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長(zhǎng)的最小值是．

例2．（2023·廣東廣州·?？家荒＃┤鐖D，在C中，的面積為，，平分，E、F分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C．2 D．例3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊上，且，F(xiàn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為．

例4．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形，點(diǎn)、、、均在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．例5．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），連接．點(diǎn)M，N分別是的中點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)E在邊上，，則的最小值是（

）

A． B．3 C． D．例6．（2023·山東濟(jì)寧·九年級(jí)校考期末）如圖，是的直徑，點(diǎn)C、D是上的點(diǎn)．且，分別與、相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．若的半徑為5，，點(diǎn)P是線段上任意一點(diǎn)，則的最小值是．

例7．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，且，則的最小值是___．例8．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與軸交于點(diǎn)D．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求的最小值；模型2.求多條線段和（周長(zhǎng)）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）臺(tái)球兩次碰壁模型1）已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.2）已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問(wèn)題提出】(1)如圖1，，在內(nèi)部有一點(diǎn)P，M、N分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于邊、的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，與、相交于M、N，則此時(shí)的周長(zhǎng)最小，且順次連接O，，后的形狀是等腰直角三角形．理由如下：∵點(diǎn)P關(guān)于邊、的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，∴，，，，∴即周長(zhǎng)的的最小值為∵，∴∴是等腰直角三角形．學(xué)以致用：若，在內(nèi)部有一點(diǎn)P，分別作點(diǎn)P關(guān)于邊、的對(duì)稱點(diǎn)，，順次連接O，，，則的形狀是__________三角形．(2)【問(wèn)題探究】如圖2，在中，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，若，請(qǐng)用含有h的代數(shù)式表示的面積．(3)【問(wèn)題解決】如圖3，在四邊形內(nèi)有一點(diǎn)P，點(diǎn)P到頂點(diǎn)B的距離為10，，點(diǎn)M、N分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，順次連接P、M、N，使在周長(zhǎng)最小的情況下，面積最大，問(wèn)：是否存在使在周長(zhǎng)最小的條件下，面積最大這種情況？若存在，請(qǐng)求出的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例2．（2023下·四川達(dá)州·八年級(jí)校考期末）如圖，，點(diǎn)M、N分別在射線上，，的面積為12，P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積最小值為．

例3．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，，點(diǎn)M、N分別在邊上，且，點(diǎn)P、Q分別在邊上，則的最小值是（

）A． B． C． D．例4．（2023春·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，、分別是和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（1）的最小值是________；（2）若，則的最小值為________．模型3.求兩條線段差最大值【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最大；（1）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：延長(zhǎng)AB交直線m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：過(guò)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB’，PA-PB最大值為AB’【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。例1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，對(duì)角線交于點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最大值為________．

例2．（2023春·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊上，且，點(diǎn)Q在邊上，連接與，則的最大值為____________，的最小值為__________．例3．（2022·河南南陽(yáng)·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA－PB|的最大值為____．例4．（2022·湖北·武漢八年級(jí)期末）如圖，，為上一動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)作交直線于，過(guò)作交直線于點(diǎn)，若，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，則________．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）如圖，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線上一動(dòng)點(diǎn)．若，則的最小值是(

)A． B． C． D．2．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．23．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，是線段上一點(diǎn)，和是位于直線同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．的最小值為 B．的最小值為C．周長(zhǎng)的最小值為6 D．四邊形面積的最小值為4．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是正方形內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，，則的最小值為（

）

A． B． C． D．5．（2023春·福建廈門·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點(diǎn)P、Q分別是AC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，PB+PQ的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．46．（2023·安徽合肥·二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，若四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．57．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在邊上且，點(diǎn)P，Q分別是邊，的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形的面積是（

）A． B． C． D．8．（2022·江蘇·九年級(jí)月考）如圖，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．1309．（2023上·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，是的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．910．（2023上·江蘇連云港·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是的直徑，，點(diǎn)在上，，為的中點(diǎn)，是直徑上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．

11．（2023下·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，，在的同側(cè)，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則的最大值是．

12．（2023上·山東德州·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，，，是的平分線．若P，Q分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．13．（2022·重慶大渡口·九年級(jí)期中）如圖，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面內(nèi)直線BC的左側(cè)有一點(diǎn)P，連接BP，CP，，將沿BC翻折至同一平面得到，連接．若取得最大值時(shí)，則______．14．（2023秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）中，，，點(diǎn)P為高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將射線繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交過(guò)點(diǎn)P與垂直的直線于點(diǎn)Q，連接，則周長(zhǎng)的最小值是______．15．（2023·山東日照·?？级＃┤鐖D，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，E為邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），以為直角邊在直線上方作等腰直角三角形，，連接，則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，周長(zhǎng)的最小值是______．

16．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，己知長(zhǎng)方體，是棱上任意一點(diǎn)，是側(cè)面對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最小值是________．

17．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，點(diǎn)為矩形的對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，若，，則的最小值為________．18．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，AH是的平分線，于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．19．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△CDE沿CE翻折得△CME，點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi)．點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NP//EM交MC于點(diǎn)P，則MN+NP的最小值為________．20．（2022·廣西賀州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，的平分線交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為__________．21．（2023·江西南昌·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)，，在拋物線上．（1）求拋物線解析式；（2）在直線上方的拋物線上求一點(diǎn)，使的面積為；（3）若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；22．（2023·廣東深圳·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）已知，如圖，函數(shù)y＝，的圖象交于點(diǎn)A、B．(1)直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)：A，B；(2)觀察圖象，直接寫出不等式的解集：；(3)點(diǎn)P是坐標(biāo)軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

23．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，四邊形為平行四邊形，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，且．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)、、分別在線段、、上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．24．（2022·海南·中考真題）如圖1，矩形中，，點(diǎn)P在邊上，且不與點(diǎn)B、C重合，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．(1)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)將沿直線折疊得到，點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)F．①證明，并求出在（1）條件下的值；②連接，求周長(zhǎng)的最小值；③如圖2，交于點(diǎn)H，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．25．（2023上·廣西桂林·八年級(jí)校聯(lián)考期中）數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)與應(yīng)用：白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．——《古從軍行》唐李欣模型學(xué)習(xí)：詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們稱之為“將軍飲馬”問(wèn)題．關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱變換，把直線同側(cè)兩點(diǎn)的折線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線兩側(cè)的