第四章 離散量數(shù)

第四章差異量數(shù)李金德第一節(jié)全距與百分差第二節(jié)平均差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用第四節(jié)差異量數(shù)的選用例題500500500均數(shù)250025002500合計49048044054954904604500500500350551054025105205601丙乙甲編號例：設(shè)甲、乙、丙三人，做四級英語模擬試題5套得分結(jié)果如下：,500甲乙丙450550第四章差異量數(shù)差異量數(shù)：表示一組數(shù)據(jù)的差異情況或離散程度的量數(shù)；反映數(shù)據(jù)分布的離中趨勢；描述事物差異性的表現(xiàn)。差異量越小，平均數(shù)的代表性越好。差異量越大，平均數(shù)的代表性則差。第一節(jié)全距與百分位位差一、全距定義：是一列數(shù)據(jù)中最大數(shù)與最小數(shù)的差距，又稱極差。公式：R=Xmax-Xmin特點：1.是說明數(shù)據(jù)離散程度最簡單的統(tǒng)計量；2.不能充分利用數(shù)據(jù)信息；3.不穩(wěn)定，不可靠，也不靈敏。二、百分位差（一）百分位數(shù)（Percentile）百分位數(shù)是指量尺上的一個點，在此點以下，包括數(shù)據(jù)分布中全部數(shù)據(jù)個數(shù)的一定百分比，符號為Pp。如：P75=90，即百分位數(shù)為90，實際指的是在這組數(shù)據(jù)中90分以下的數(shù)據(jù)包含了整個數(shù)據(jù)的62%。又如：P25=60，即百分位數(shù)為60，實際指的是在這組數(shù)據(jù)中60分以下的數(shù)據(jù)包含了整個數(shù)據(jù)的25%。1.未分組數(shù)據(jù)百分位數(shù)的求法第一步：從小到達(dá)排列原始數(shù)據(jù)。第二步：計算位置指數(shù)i。i=（p/100）

n，n為項數(shù)，i為所求的百分位的位置。第三步：若i不是整數(shù)，將i向上取整；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)是第i項與第（i+1）項數(shù)據(jù)的平均值。例題有12個職員薪金的數(shù)據(jù)，求第85和第50百分位數(shù)。解：（1）先排序：

221022252350238023802390242024402450255026302825

（2）i=(p/100)

n=(85/100)

12=10.2。由于i=10.2不是整數(shù),向上取整,所以第85百分位數(shù)對應(yīng)的是第11項,其值為2630。（3）i=(50/100)

12=6，因是整數(shù)，第50百分位數(shù)是第6項和第7項的平均值,(2390+2420)/2=2405。2.分組數(shù)據(jù)計算公式：Pp—第p個百分位數(shù)Lb—百分位數(shù)所在組的精確下限f—百分位數(shù)所在組的次數(shù)Fb—小于Lb的各組次數(shù)的和N—總次數(shù)i—為組距例題4-1計算百分位差P90—P10組別

f向上累加次數(shù)65～115760～415655～615250～814645～1613840～2412235～349830～216425～164320～112715～91620～77解：（1）先確定P90，P10的位置：157*（90/100）=141.3;157*（10/100）=15.7

（2）確定P90，P10所在區(qū)間：P90在“50～”這組，P10在“15～”這組（3）確定公式中的符號：Lb=49.5，F(xiàn)b=138，i=5，f=8Lb=14.5，F(xiàn)b=7，i=5，f=9（4）代入公式計算P90

，P10

（5）計算P90-P10=51.56-19.33=32.23課堂練習(xí)計算上例中P75，P25二、四分位差1.四分位數(shù)可視為百分位數(shù)的特例，用Q來表示。2.P25,P50,

P75把數(shù)據(jù)分成四等份，所以稱為四分位數(shù)。P25（第一個四分位，Q1）；P50（第二個四分位，Q2）；P75（第三個四分位，Q3）；3.四分位差是百分位差特例:（P75-P25）/2=（Q3-Q1）/2。4.實質(zhì)：反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度。四分位差實質(zhì)反映中間50%數(shù)據(jù)的離散程度Q1Q2Q3Q1Q2Q3四分位差越小中間50%數(shù)據(jù)越集中四分位差越大中間50%數(shù)據(jù)越離散三、百分等級1.含義：是指某個數(shù)據(jù)在整個數(shù)據(jù)中所處的百分位置。2.作用：可以表示任何一個分?jǐn)?shù)在該團(tuán)體中的相對位置。例如：某人考試成績的百分等級PR=80，就意味著他的成績比約79%的人要好，比約19%的人要差。百分等級的編制過程精確登記實際累加相對累加上下限次數(shù)次

數(shù)次

數(shù)96---.9795.5—98.5||20.02100193---9492.5---95.5|||30.03980.9890---9189.5—92.5||||40.04950.9587---8886.5—89.5||||

|||80.08910.9184---8583.5—86.5||||||||

|110.11830.8381---8280.5—83.5||||||||||||

||170.17720.7278---7977.5—80.5||||||||||||

||||190.19550.5575---7674.5—77.5||||||||

||||140.14360.3672---7371.5—74.5||||||||100.1220.2269---7068.5—71.5||||

||70.07120.1266---6765.5—68.5|||30.0350.0563---6462.5—65.5|10.0120.0260---6159.5—62.5|10.0110.01∑f=1001上限以下的累加次數(shù)分組區(qū)間組中值Xc次數(shù)f頻數(shù)p/N0.01+0.01=0.023.百分等級的公式：可以通過百分位數(shù)公式推導(dǎo)而出課堂練習(xí)分?jǐn)?shù)分組次數(shù)累積次數(shù)累積百分?jǐn)?shù)90-85-80-75-70-65-60-55-50-45-40-35-30-25-20-15-10-5-0-1327517098134131125149136134126138139147151982671900188718601809173916411507137612511102966832706568429282131337100.0099.3297.8995.2191.5386.3779.3272.4265.8458.0050.8443.7937.1629.8922.5814.846.891.740.37第二節(jié)平均差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差一、平均差1.含義：原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)絕對離差的平均值。2.符號：A.D.或者M(jìn).D.3.特點：較好反映了數(shù)據(jù)分布的離散程度；平均差是絕對值，使用受到限制；屬于低效的差異量數(shù)。二、方差與標(biāo)準(zhǔn)差1.含義:（1）方差：是離均差平方的算術(shù)平均數(shù)，表示一列數(shù)據(jù)平均差距的平方。符號：樣本方差—s2

總體方差—σ2(2)標(biāo)準(zhǔn)差就是方差的算術(shù)平方根，表示一列數(shù)據(jù)的平均差距。符號：樣本標(biāo)準(zhǔn)差—s、總體標(biāo)準(zhǔn)差—σ

2.未分組數(shù)據(jù)計算公式利用原始數(shù)據(jù)計算例題4-2計算6、5、7、4、6、8這一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。解:（1）先計算平均數(shù)：（2）求離均差的平方和：（3）代入方差和標(biāo)準(zhǔn)差的公式，計算結(jié)果：課堂練習(xí)73878380777975787286

-6841-20-41-77

3664161401614949課堂練習(xí)：采用原始數(shù)據(jù)計算編號14162525374944165636686436226解：1.先對原始數(shù)據(jù)求和：2.再對原始數(shù)據(jù)平方求和：3.把結(jié)果帶入公式3.分組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差（了解）練習(xí)：學(xué)生創(chuàng)造性思維成績分布表，求標(biāo)準(zhǔn)差第1行

40-4435-3930-3425-2920-2415-19第2行人數(shù)f173118232第3行

Xc

423732272217—第4行fXc

422599629717634904第5行Xc-M13.758.753.75-1.25-6.25-11.250第6行(Xc-M)2189.06276.56214.0621.56239.062126.562—第7行f(Xc-M)2189.062535.9342.18717.187312.500253.1251350.00解：分組數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差計算的便捷式學(xué)生創(chuàng)造性思維成績分布表人數(shù)組中值第1行

40-4435-3930-3425-2920-2415-19第2行173118232第3行423732272217—第4行3210-1-2—第5行941014—第6行31430-8-48第7行928308856把結(jié)果帶入公式4.總標(biāo)準(zhǔn)差的合成例題4-4：在三個班級進(jìn)行某項能力研究，三個班測查結(jié)果的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別如下，求三個班的總標(biāo)準(zhǔn)差。班級人數(shù)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差14210316236110123509817計算過程班級

1421031660.00000423611012148.72043509817-425.200474————5.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)和意義（1）性質(zhì)每個觀測值加一個常數(shù)C，標(biāo)準(zhǔn)差不變。每個觀測值乘一個常數(shù)C，新數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差為原標(biāo)準(zhǔn)差乘此常數(shù)。（2）意義表示數(shù)據(jù)離散程度的最好指標(biāo)。第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用思考：已知某小學(xué)一年級學(xué)生的平均體重為25公斤,體重的標(biāo)準(zhǔn)差是3.7公斤,平均身高110厘米,標(biāo)準(zhǔn)差為6.2厘米,問體重與身高的離散程度哪個大?一、差異量數(shù)1.Coefficientofvariation也稱離散系數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比。例題4-5已知某小學(xué)一年級學(xué)生的平均體重為25公斤,體重的標(biāo)準(zhǔn)差是3.7公斤,平均身高110厘米,標(biāo)準(zhǔn)差為6.2厘米,問體重與身高的離散程度哪個大?解:CV體重=3.7/25100%=14.8%CV身高=6.2/110100%=5.64%

所以,體重的離散程度比身高的離散程度大。2.差異系數(shù)的評價：只能用于一般的相對差異量的描述，沒有有效的假設(shè)檢驗方法，不能進(jìn)行統(tǒng)計推論。

CV小于5%，表示離散程度太??；

CV大于35%，表示離散程度太大。二、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（一）概念和公式標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)：又稱基分?jǐn)?shù)或Z分?jǐn)?shù)，是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位的一種量數(shù)。表示的是一個原始分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中所處的相對位置。計算公式：例題4-7例:某班平均成績?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為3分，甲生得94.2分,乙生得89.1分,求甲乙二學(xué)生的Z分?jǐn)?shù)各是多少?解：Z甲=(94.2-90)/3=1.4Z乙=(89.1-90)/3=-0.3（二）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)1.Z分?jǐn)?shù)是一個相對量，以平均數(shù)為參照點，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位。2.一組原始數(shù)據(jù)的Z分?jǐn)?shù)分布：平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。3.如果原始數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布，則轉(zhuǎn)換所得的Z分?jǐn)?shù)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，且所有Z分?jǐn)?shù)的均值為0。（三）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用1.觀測值在數(shù)據(jù)分布中相對位置的高低例：某年高考理科數(shù)學(xué)全國平均成績65分，標(biāo)準(zhǔn)差是12.5分,考生A、B、C三人的數(shù)學(xué)原始分?jǐn)?shù)為50、65、85分，求他們的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)是多少？解：ZA=(50-65)/12.5=-1.2;ZB=(65-65)/12.5=0;ZC=(85-65)/12.5=1.62.當(dāng)已知各不同質(zhì)的觀測值的次數(shù)分布為正態(tài)時,可用Z分?jǐn)?shù)求不同的觀測值的總和或平均值,以表明在總體中的位置。例：求甲乙兩人的標(biāo)準(zhǔn)分之和?？荚嚳颇考滓移骄謽?biāo)準(zhǔn)差語文85897010政治7062655外語6872698數(shù)學(xué)5340506理化7287758計算過程考試科目甲乙平均分標(biāo)準(zhǔn)差Z甲Z乙語文858970101.5001.900政治70626551.000—0.6外語6872698—0.1250.375數(shù)學(xué)53405060.500—1.67理化7287758—0.3751.500總計3483502.501.505（3）表示標(biāo)準(zhǔn)測驗分?jǐn)?shù)經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化的測驗,如果其常模分?jǐn)?shù)分布接近正態(tài)分布,常常要轉(zhuǎn)換成正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。這是線性轉(zhuǎn)換。公式：Z’=aZ+bZ’為正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù),Z=(X-X)/,a,b為常數(shù),為測驗常模的標(biāo)準(zhǔn)差。常見標(biāo)準(zhǔn)測量分?jǐn)?shù)：韋氏常人智力量表（WAI