2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)函數(shù)典型例題 第1講 函數(shù)的定義 含解析

第1講函數(shù)的定義

典型例題

【例1】求下列函數(shù)的定義域.

(1)y=?J-x2+3x-2(2)y=立+：

x-1

【答案】⑴[1,2];⑵[―3,l)u(l,+e)?

【解析】(1)因?yàn)閥=，一/+3x—2,所以-f+3x—2..O,解得1頸k2,

所以函數(shù)3=[-"+3%-2的定義域?yàn)閇1,2].

故答案為[1,2].

-iJx+3X+3..0,

(2)因?yàn)閥=?~所以ιC解得-3,,x<l或x>l,

?-l[x-l≠0,

所以函數(shù)y=立學(xué)的定義域?yàn)閇-3,l)u(l,+e).

X-I

故答案為[一3,1)=(1,+“).

【例2]求解下列各題.

⑴已知函數(shù)y=f(χ)的定義域?yàn)閇0,1],求函數(shù)y=y(V+ι)的定義域;

(2)己知函數(shù)y=r(2x—1)的定義域?yàn)閇0,1],求函數(shù)y=∕(x)的定義域;

⑶已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇0,2],求函數(shù)g(x)=O的定義域.

【答案】(1){0};(2)[-1,1];；(3)θ?jul?1

【解析】⑴因?yàn)閥=/卜2+1)中的/+1的取值范圍與y=/(χ)中的X的取值范圍相同,

所以0領(lǐng)F+lI,得X=O,即y=/(/+])的定義域?yàn)閧0}.

(2)由題意知y=∕(2x-l)的定義域?yàn)閇0,1],所以一掇心:一11.

又y=/(2x-l)中2x—1的取值范圍與y=/(x)中的X的取值范圍相同,

所以y=∕(χ)的定義域?yàn)閇τ,ι]?

(3)因?yàn)閥=/(X)的定義域?yàn)閇0,2],?2x∈[0,2],=??1,

所以y=∕(2x)的定義域?yàn)閇0』.

又2x—1≠0,BPX≠—,

2

所以g(χ)的定義域?yàn)?,g)ug,ι.

【例3】(多選題)下列各組函數(shù)中，/(x)與g(x)是同一函數(shù)的是()

A./(x)=X2—2x-1與g(s)=s~-2s—1

B./(無)=λ∕^p^與g(x)=xj^

c?“X)=：與g(x)=3

D.F(X)=X與g(χ)=4r

【答案】AC

【解析】對(duì)于AJ(X)=X2—2x—1的定義域?yàn)镽,g⑸=$2-2s-1的定義域?yàn)镽,定義域相同,對(duì)應(yīng)關(guān)

系也相同,是同一函數(shù).

對(duì)于BJ(X)=√≡?=-x口的定義域?yàn)楹危?0},g(x)=XQ的定義域?yàn)閧x?x,,0),定義域相同,

對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,不是同一函數(shù).

Y1

對(duì)于CJ(X)=—=1的定義域?yàn)閧χ∣X。0},g⑴=F=1的定義域?yàn)閧x∣x≠0},定義域相同,對(duì)應(yīng)關(guān)系

XX

也相同,是同一函數(shù).

對(duì)于Dj(X)=X的定義域?yàn)镽,g(x)=J?=忖的定義域?yàn)镽,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,不是同一函數(shù).

故選AC.

【例4】根據(jù)所給條件求下列各函數(shù)的解析式.

⑴己知對(duì)任意非零實(shí)數(shù)X,均有/(葉口=f+3,求/(χ)的解析式;

(2)已知〃力是一次函數(shù)，且滿足3∕(X+1)-2∕(X-1)=2Λ÷17,求〃力的解析式;

(J=3x,求/(x)的解析式.

(3)已知對(duì)任意非零實(shí)數(shù)X,均有2∕(x)+f

【答案】⑴/(x)=f-2(x??2或％,-2);

(2)f(x)=2X+7;(3)/(X)=2x--(x≠0).

X

【解析】(I)因?yàn)?無+，]=√+4+2,

?XJX

√+1,r+∩?2

XIX)

所以/(xH—)=(xH-2,

令，=*+」,由雙勾函數(shù)的性質(zhì)得&-2或2,

尤

所以/?)=產(chǎn)_2,

因此"(x)=χ2-2(不，-2或X..2).

(2)設(shè)/(x)="+。(左H0),

則3∕(x+l)-2∕(x-l)=3[k(x+l)+b]-2pl(x-l)+b[=6+6+5Z=2x+17,

k=2,k=2,

所以"5-7解得

b=7,

因此,J.(x)=2x+7.

2∕(x)+/=3x,

(3)將?代人等式2/(力+/G)=3x得2/+/(x)3

=士,聯(lián)立(a變形得

X

“x)+2∕

解得/(x)=2X-L(X≠0)

【例5】(多選題)己知函數(shù)/(x)=∣I0g2X的值域是[0,2],則其定義域可能是()

A.4B.-AC.2D.-,2

F4Γ2

【答案】BC

【解析】由/'(X)=2得log?》=±2,即X=4或;,從而X在4,；中至少取一個(gè),定義域?yàn)椋?4的子集,且

定義域內(nèi)必須包含x=l,則A不可以,B可以,C可以,D不可以,故選BC.

【例6】已知集合〃={-1,1,2,4},N={1,2,4},給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系⑴y=d,(2)y=JH-1,(3)y—x-1,

⑷>=|乂，其中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)的是

A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)

【答案】D

【解析】對(duì)應(yīng)關(guān)系若能構(gòu)成從M到N的函數(shù),應(yīng)滿足:對(duì)M中的任意一個(gè)數(shù),通過對(duì)應(yīng)關(guān)系在N中都有唯

一的數(shù)與之對(duì)應(yīng).

⑴中,當(dāng)X=4時(shí),y=42=16eN,故⑴不能構(gòu)成函數(shù);(2)中,當(dāng)X=—1時(shí),y=T+1=0eN,故(2)不能構(gòu)

成函數(shù);(3)中,當(dāng)X=T時(shí),y=-1-1=一2￡N,故(3)不能構(gòu)成函數(shù);⑷中,當(dāng)X=±1時(shí),y=W=1eN,當(dāng)

》=2時(shí),丁=忖=2￡77,當(dāng)》=4時(shí),丁=忖=4￡乂故(4)能構(gòu)成函數(shù).

故選D.

QrTχ<Za

【例7】己知函數(shù)/(%)=<''如果函數(shù)/(x)滿足對(duì)任意的m∈(τo,α),都存在

[-x~+2a,x..a.

ne(a,+“)，使得/(m)=/(〃)，則稱實(shí)數(shù)4為函數(shù)/(x)的“包容數(shù)”.在⑴一；，⑵；，(3)1，⑷

3

√2,(5)5中，函數(shù)/(九)的“包容數(shù)”是.(填序號(hào))

【答案】(2)(3)

【解析】當(dāng)X<α?xí)r,/(x)=2?v^l為增函數(shù),則/(X)=2?t^'∈(0,2o^').

設(shè)函數(shù)“X)在區(qū)間(α,+⑹上的值域?yàn)椤?由題意可得(0,2"TkD

分以下兩種情況討論.

①當(dāng)“<O時(shí),函數(shù)/(x)=2α-Y在區(qū)間(a,0)上單調(diào)遞增,在[0,+巧上單調(diào)遞減,此時(shí)，

D=(-8,2a],(0,20^')<z(-∞,2a],不合題意.

(ii)當(dāng)a.0時(shí),函數(shù)/(x)=2α-d在區(qū)間(q+8)上單調(diào)遞減,此時(shí)。=(yθ,2α-α2),由(0,2"T)三。，

可得2"T,,2α-q2.

Ij3

a=——不合題意,a=-,a=?滿足不等式21?2a-a2,a=42,a=-不滿足不等式2a-',,2a-a1.

222

因此,函數(shù)/(x)的“包容數(shù)”的序號(hào)為(2)(3).故答案為(2)(3)?

【例8】己知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且滿足/(x+l)=∕?(x-1),〃1一力Ha)=1,則/(x)的一

個(gè)周期為，/(x)的一個(gè)解析式可以為.

【答案】2/(X)=；+COSG:(答案不唯一)

【解析】因?yàn)?(x+l)="x-l),所以/(x)=∕(x-2),

/(X)的一個(gè)周期為2.

因?yàn)椤╨-x)+∕(x)=l,所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,滿足圖象關(guān)于點(diǎn)S對(duì)稱以及一

個(gè)周期為2的函數(shù)可以為"X)=；+CoS乃尤.

故答案為2"(尤)=；+CoSG.(答案不唯一)

[例9]某水廠的蓄水池中有400噸水，每天零點(diǎn)開始從池中放水向居民供水，同時(shí)以每小時(shí)60噸的速度

向池中注水.若f小時(shí)內(nèi)向居民供水總量(單位噸)為10()而(囁出24),則每天何時(shí)蓄水池中的存水量最

少？

25

【答案】t=—,

O

【解析】設(shè)“`時(shí)后,蓄水池中的存水量為y噸,則y=400+60f-Iooa,其中噴1:24,令

〃=JF€[0,2&],則y=60M2-100√6w+400,所以當(dāng)u=一一?θɑ^=三￡時(shí),y取最小值,此時(shí)，

L」2×606

”國(guó)=竺

I6J6?

25

因此,當(dāng)r=L時(shí),蓄水池中的存水量最少.

6

【例10】已知函數(shù)/(X)=尤2+*+q與函數(shù)/(/(/(⑼)有一個(gè)相同的零點(diǎn)，則/⑼與41)

()

A.均為正B.均為負(fù)C.一正一負(fù)D.至少有一個(gè)等于0

【答案】D

【解析】設(shè)兩函數(shù)的相同零點(diǎn)是X。，

即/(/(/(尤O)))=/(?)=o,注意到/(0)=q,∕(ι)=ι+p+%∕(q)=∕+pq+4,

則/(/(/(??)))=∕(/(O))=/M)=∕+pq+q=∕(0)∕(l)=0,即/(0)與/(1)至少有一個(gè)等于

0.

故選D.

【例11】如果幾個(gè)函數(shù)的定義域相同，值域相同，但解析式不同，就稱這幾個(gè)函數(shù)為“同域函數(shù)函數(shù)

y=√7≡T-√2≡7的值域?yàn)椋慌cy是“同域函數(shù)”的一個(gè)函數(shù)的解析式為.

【答案】[-1,1];y=2-3,xe[l,2](答案不唯一)

【解析】因?yàn)閂=,所以x??l且不,2,所以函數(shù)的定義域?yàn)閇1,2].

下面求函數(shù)y的值域,不妨先求y2的值域，

令/(χ)=V=1-27(-r-1)(2^-r)，

再令g(x)=(x-1)(2-力,x∈[l,2],

則g(x)eθ?,從而得出/(x)∈[0,l],

所以y∈[-U].

滿足定義域?yàn)閇1,2]且值域?yàn)閇一1,1]的函數(shù)均符合題意,例如y=sin(2^x),x∈[l,2],或

-xw[l,2]或y=3~2,xw[l,2].

故答案為：：[一1』；丁=2'-3,%￡[1,2](答案不唯一)

【例12】給定實(shí)數(shù)4,設(shè)函數(shù)/(X)=