6.2.3平面向量的坐標及其運算

6.2.3平面向量的坐標及其運算TOC\o"13"\h\z\u題型1正交分解的理解 2題型2用坐標表示平面向量 5題型3平面向量線性運算的坐標表示 8題型4由向量線性運算求參數(shù) 10題型5向量線段的定比分點 12題型6向量共線問題 15題型7由向量共線（平行）求參數(shù) 17題型8由坐標解決三點共線問題 19題型9由坐標解決線段長度問題 21題型10向量坐標與基底 24題型11參數(shù)與取值范圍問題 26知識點.平面向量的坐標及運算1.平面向量的坐標（1）向量的垂直：平面上的兩個非零向量a，b，如果它們所在的直線互相垂直，則稱向量a，b垂直，記作a⊥b.規(guī)定零向量與任意向量都垂直.（2）向量的正交分解：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，則稱這組基底為正交基底，在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解．（3）向量的坐標：給定平面內(nèi)兩個相互垂直的單位向量e1，e2，對于平面內(nèi)的向量a，如果a=xe1+ye2,則稱（x，y）為向量a的坐標，記作a=（x，y）2.平面上向量的運算與坐標的關(guān)系若a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ∈R，則：(1)a+b=(x1+x2,y1+y2)(2)ab=(x1x2,y1y2)(3)λa=（λx1，λy1）.（4）向量相等的充要條件：a=b?x1=x2,y1=y2.（5）模長公式：|3.平面直角坐標系內(nèi)兩點之間的距離公式與中點坐標公式如圖所示，在平面直角坐標系中，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則：向量OA=（x1，y1），OB=（x2，y2），向量AB（2）它們之間的距離：AB=|（3）設(shè)AB的中點M（x，y），則x=x1+注意：（1）一個向量的坐標等于__

表示它的有向線段的終點坐標減去始點坐標____﹔（2）兩個向量相等的充要條件是這兩個向量的坐標相等．向量平行的坐標表示設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a//b?x2y1=x1y2.題型1正交分解的理解【例題1】（2019·高一課時練習）下列可作為正交分解的基底的是A．等邊三角形ABC中的AB和ACB．銳角三角形ABC中的AB和ACC．以角A為直角的直角三角形ABC中的AB和ACD．鈍角三角形ABC中的AB和AC【答案】C【分析】逐項判斷兩向量是否垂直即可求解【詳解】選項A中，AB與AC的夾角為60°；選項B中，AB與AC的夾角為銳角；選項D中，AB與AC的夾角為銳角或鈍角.故選項A,B,D都不符合題意.選項C中，AB與AC的夾角為90°，故選項C符合題意.故選：C【點睛】本題考查基底的概念與判斷，是基礎(chǔ)題【變式11】1．（2022·全國·高一專題練習）向量正交分解中，兩基底的夾角等于（

）A．45° B．90° C．180° D．不確定【答案】B【分析】由向量的正交分解的概念即可得出答案.【詳解】把一個向量分解為兩個相互垂直的向量叫作向量的正交分解，故向量的夾角為90°.故選：B.【變式11】2.（2021下·高一課時練習）已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,用基底A．c=3aC．c=-2a【答案】A【分析】建立直角坐標系,設(shè)向量c=m【詳解】如圖建立直角坐標系,設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1,則a=設(shè)向量c=ma+nb所以c=3故選：A.【變式11】3．（2021下·高一課時練習）向量-3i+6j【答案】-3,6-2【分析】根據(jù)向量的坐標表示，以及向量的正交分解，即可求解，得到答案.【詳解】根據(jù)向量的坐標表示，可得向量-3i+6j坐標為0,-2的向量為0i-2j=-2j故答案為：-3,6，-2【點睛】本題主要考查了向量的坐標表示，以及向量的正交分解，其中解答中熟記向量的坐標表示方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題【變式11】4（2021下·高一課時練習）已知i,j分別是方向與x軸正方向、y軸正方向相同的單位向量，O為原點，設(shè)OA=A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】判斷x2+x+1與【詳解】因為i,j分別是方向與x軸正方向、y軸正方向相同的單位向量，x2故選：D題型2用坐標表示平面向量【方法總結(jié)】（1）求一個點的坐標，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標原點的位置向量的坐標（2）在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標【例題2】（2023·全國·高一隨堂練習）已知A，B兩點的坐標，求AB，BA的坐標．(1)A5,3，B(2)A-3,4，B(3)A0,3，B(4)A3,0，B【答案】(1)AB=-1,-4(2)AB=9,-1(3)AB=0,2(4)AB=-1,0【分析】由終點坐標減去起點坐標，即得所求向量的坐標.【詳解】（1）因為A5,3，B所以AB=4,-1-（2）因為A-3,4，B所以AB=6,3-（3）因為A0,3，B所以AB=0,5-（4）因為A3,0，B所以AB=2,0-【變式21】1.（2023·全國·高一課堂例題）如圖，已知?ABCD的三個頂點為A(-1,3),B(-2,1),C(2,2)【答案】(3,4)．【分析】利用向量的線性運算的坐標表示求解．【詳解】因為OD=OA+AD=OA+BC所以點D的坐標是(3,4)．【變式21】2.（2023·全國·高一課堂例題）如圖，已知A-1,3，B1,-3，C4,1，D3,4，求向量OA，OB，【答案】OA=-1,3，OB=1,-3【分析】根據(jù)向量的坐標表示方法直接得解.【詳解】OA=-1,3，AO=-CD=【變式21】3.（2023下·廣東佛山·高一佛山市順德區(qū)樂從中學校考階段練習）如圖，平面上A，B，C三點的坐標分別為2,1,-3,2,-1,3.(1)寫出向量AB，AC，BC的坐標；(2)如果四邊形ABCD是平行四邊形，求D的坐標.【答案】(1)AB=-5,1(2)D【分析】（1）根據(jù)向量的坐標運算即可求解；（2）根據(jù)向量相等，即可利用坐標相等求解.【詳解】（1）AB=-3,2（2）設(shè)Dx,y，由AD=BC=2,1可得題型3平面向量線性運算的坐標表示【例題3】（2023下·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┤鬉B=3,4，A點的坐標為-2,-1，則A．1,3 B．1,-3 C．-5,-5 D．5,5【答案】A【分析】利用向量的坐標計算公式可求B點的坐標.【詳解】設(shè)Bx,y，故AB=x+2,y+1故x+2=3y+1=4，故x=1y=3，故故選：A.【變式31】1.（2023下·河南省直轄縣級單位·高一濟源市第四中學?？茧A段練習）平行四邊形ABCD中，AB=3,7，AD=A．1,5 B．5,4 C．1,10 D．-2,7【答案】C【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知AC=【詳解】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則AC故選：C【變式31】2.（2023·全國·高一隨堂練習）已知a=-1,2，b=1,-2，求a+【答案】a+b=0,0【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算求解即可.【詳解】由題意，a+a-2a【變式31】3.（2023下·浙江嘉興·高一校聯(lián)考期中）已知向量a=(1,2)，a-bA．-2,0 B．4,4 C．2,0 D．5,6【答案】A【分析】根據(jù)向量減法的坐標運算可得答案.【詳解】∵b∴b故選：A.【變式31】4．（2021·高一課時練習）已知向量a=2,-1，b=(1)2a(2)3a(3)b-2【答案】(1)（-2,16）(2)3(3)-【分析】（1）由向量線性運算的坐標表示計算；（2）求出3a（3）求出b-2【詳解】（1）2（2）因為3a-2（3）因為b-2c=-5,10，所以題型4由向量線性運算求參數(shù)【例題4】（2023下·北京大興·高一統(tǒng)考期末）已知向量a=1,-2與b=2,m，且A．-4 B．-1 C．1 D．4【答案】A【分析】根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示及平面向量基本定理計算可得.【詳解】因為a=1,-2與又b=2a，所以2,m=2故選：A【變式41】1．（2022·高一課時練習）已知向量a=(2,1)，b=(1,-2)，若ma+nb=A．3 B．-3 C．-2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的坐標的線性運算列方程即可得求得m,n的值，從而可得m-n的值.【詳解】因為a=(2,1)，b=(1,-2)則2m+n=9m-2n=-8，解得m=2n=5，則故選：B.【變式41】2．（2023下·山東淄博·高一?？计谥校┮阎蛄縜=(-2,1)，b=(3,2)，c=(5,8)，且c【答案】2【分析】根據(jù)向量的坐標線性運算即可求解.【詳解】c=λ由c=(5,8)可知-2λ+3μ=5,λ+2μ=8,解得λ=2,μ=3,故答案為：2【變式41】3．（2023下·四川眉山·高一校考期中）已知向量a,b滿足2a-b→=0,3，a→-2A．1 B．0 C．1 D．25【答案】B【分析】設(shè)出向量a，b的坐標，根據(jù)條件列出坐標方程，即可解出a，b的坐標，即可進一步列出含參數(shù)的坐標方程，從而解出參數(shù)λ，μ.【詳解】設(shè)a=x1,y1，所以2x1-解得x1=1y1=2，x2=2y2=1，即a=故選：B.【變式41】4.（2023·高一課時練習）已知點A-2,4，B3,-1，C-3,-4，設(shè)AB=a，BC=b(1)求3a(2)求滿足a=mb+n【答案】(1)6,-42(2)m=-1,n=-1【分析】（1）根據(jù)平面向量的坐標運算解決即可；（2）根據(jù)相等向量對應(yīng)坐標相等列方程組解決即可.【詳解】（1）由題得，a所以3（2）由（1）得，a所以a=m所以-6m+n=5-3m+8n=-5，解得m=-1所以滿足a=mb+nc的實數(shù)題型5向量線段的定比分點【方法總結(jié)】線段定比分點的定義：如圖所示，設(shè)點P(x，y)是線段P1P2上不同于P1，P2的點，且滿足P1PPλ叫做點P分有向線段P1P2所成的比，P點叫做有向線段P(2)定比分點的坐標表示：設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－x1＝λx2－x，,y－y1＝λy2－y，))當λ≠－1時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋λx2,1＋λ)，,y＝\f(y1＋λy2,1＋λ).))則點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).特別地，①當λ＝1時，點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，這就是線段P1P2的中點坐標公式；②若λ<0，則點P在P1P2的延長線或其反向延長線上，由向量共線的坐標表示及平行向量基本定理同樣可得點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).【特例】已知點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是線段P1P2的中點，則點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；若P是線段P1P2上距P1較近的三等分點，則P點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x1＋x2,3)，\f(2y1＋y2,3)))；若P是線段P1P2上距P2較近的三等分點，則P點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋2x2,3)，\f(y1＋2y2,3))).【例題5】（2023下·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）已知A2,3，B4,-3，點P在線段AB的延長線上，且AP=2A．0,9 B．6,-9 C．103,-1 D．6,-9【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及中點坐標公式即可求解.【詳解】由題意得，點B為AP中點，設(shè)點Px,yx+22=4y+3所以點P的坐標為6,-9.故選:B．【變式51】1.（2023·全國·高一專題練習）已知A-2,4，B3,-1，C-3,-4【答案】0,20【分析】設(shè)出點M的坐標，將各個點坐標代入CM=3【詳解】由題意得CA=-2+3,4+4=設(shè)Mx,y，則CM所以x+3=3y+4=24，解得x=0故點M的坐標為0,20.故答案為：0,20【變式51】2.（2023下·四川自貢·高一統(tǒng)考期中）已知點A(1,2),B(3,4)，點P在線段AB的延長線上，且AB=【答案】(9,10)【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為AB=13【詳解】因為點A(1,2),B(3,4)，點P在線段AB的延長線上，且AB=可得AB=設(shè)P(x,y)，則3-1,4-2=13解得x=9,y=10，即點P的坐標為(9,10).故答案為：(9,10).【變式51】3.（2023下·上海楊浦·高一上海市控江中學校考期末）已知直角坐標平面上兩點P1-1,1、P22,3，若P滿足【答案】1,【分析】設(shè)點P的坐標為x,y，將P1【詳解】設(shè)點P的坐標為x,y，因為點P1-1,1，所以P1P=因為P1P=2PP所以點P的坐標為1,故答案為：1,【變式51】4.（2022·高一課時練習）已知兩點M（7，8），N（1，－6），P點是線段MN的靠近點M的三等分點，則P點的坐標為．【答案】(5,【分析】利用向量的坐標運算即得.【詳解】由題意可得MN=3設(shè)P（x，y），則（－6，－14）＝3（x－7，y－8），∴-6=3(x-7)-14=3(y-8)，解得即P(5,10故答案為：(5,10題型6向量共線問題【例題6】（2022下·江蘇鎮(zhèn)江·高一校考期中）下列各組的兩個向量，共線的是（

）A．a(chǎn)1=-2,3，b1C．a(chǎn)3=1,-2，b3【答案】C【分析】根據(jù)向量的共線的坐標表示，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由a1=-2,3，b對于B中，由a2=2,3，b對于C中，由a3=1,-2，b對于D中，由a4=-3,2，b故選：C.【變式61】1．（2023下·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知向量a=1,2，b//A．-1,-2 B．-1,2 C．2,1 D．-2,1【答案】A【分析】根據(jù)向量平行的坐標關(guān)系判斷即可.【詳解】向量a=1,2，b//a故只有向量-1,-2符合故選：A.【變式61】2．（2023下·貴州畢節(jié)·高一?？计谥校┮阎蛄縜=12,-1，A．-3,1 B．-8,3 C．-9,4 D．3,-2【答案】A【分析】根據(jù)條件求出向量2a【詳解】因為a=12,-1，b=對選項A：因為(-3)×-1對選項B：因為3×3≠(-8)×-1對選項C：因為4×3≠(-9)×-1對選項D：因為3×-1故選：A.【變式61】3．（多選）（2023下·浙江嘉興·高一校考階段練習）下列向量中與a=1，A．b=-1C．d=2【答案】ACD【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因為13=-1-3，所以因為13≠-13，所以因為13=26，所以因為零向量與任何向量平行，因此選項D正確，故選：ACD【變式61】4．(多選)（2022下·河南·高一臨潁縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）已知向量AB=1,2，A．BC=-3,2C．AB∥AC D．與AB【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的概念及坐標運算公式進行計算即可判斷答案.【詳解】BC=AC-AB=ABAB故選：ABD.題型7由向量共線（平行）求參數(shù)【例題7】（2023上·遼寧·高一沈陽二中校聯(lián)考期末）已知a=(1,2)，b=(3,-1)，若(kbA．-1 B．-12 C．-【答案】B【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示求解即可.【詳解】因為kb-a且(kb所以3k-1×3-5-k-2=0，即14k=-7故選：B【變式71】1.（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知平面向量a=(-1,2)，b=(3,-2)，c=(t,t)，若(A．52 B．-45 C．【答案】B【分析】先計算a+【詳解】因為a=(-1,2)，b=(3,-2)，所以a+又(a所以3×2+t解得t=-4故選：B.【變式71】2.（2024上·遼寧大連·高一大連二十四中?？计谀┤粝蛄緼B=x,2x-3，CD=【答案】34/【分析】由平行向量的坐標表示求解即可.【詳解】因為向量AB=x,2x-3，CD=所以x?2-2x-3?-1故答案為：34【變式71】3．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一濟源市第四中學校考階段練習）已知向量a=-3,1，b(1)分別求2a-b(2)若向量c=1,-1，且n與向量【答案】(1)-7,4，k-3,1-2k；(2)-1【分析】（1）利用向量線性運算的坐標表示求解即得.（2）求出向量kb【詳解】（1）依題意，2an=（2）由（1）知n=k-3,1-2k，而由n與向量kb+c平行，得k-3所以實數(shù)k的值是-1【變式71】4．（2021下·海南·高一?？茧A段練習）已知點A1,-2，若向量AB與a=2,3同向，AB=213，則點【答案】（5，4）【分析】設(shè)Bx,y，則AB=λa，λ>0，則x-1,y+2=2λ,3λ【詳解】設(shè)Bx,y，則AB=λa，λ>0，則x-1,y+2AB=λa=λ13=2故答案為：5,4.【點睛】本題考查了向量平行，向量的模，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.題型8由坐標解決三點共線問題【例題8】（2023下·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期中）已知向量AB=-1,2，AC=2,3，A．－16 B．16 C．23 D．【答案】A【分析】先求出BC和BD，根據(jù)B，C，D三點共線得到BC∥BD，進而列出方程求解【詳解】由題意得BC=AC-因為B，C，D三點共線，所以BC∥則m+1=-15，得m=-16.故選：A.【變式81】1.（2023下·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）若三點A2,3、B4,7、C3,yA．1 B．52 C．3 D．【答案】D【分析】求出向量AB、AC的坐標，可知AB//AC，利用平面向量共線的坐標表示可求得【詳解】已知三點A2,3、B4,7、C3,y共線，則AB由題意可知AB//AC，所以，2y-3故選：D.【變式81】2.（多選）（2023下·江西贛州·高一?？茧A段練習）向量PA=k,12，PB=A．2 B．－2 C．11 D．－11【答案】BC【分析】由已知求出BA,【詳解】由已知可得BA=CA=因為A，B，C三點共線，所以BA//所以k-412-k-7k-10解得k＝－2或11．故選：BC．【變式81】3.（2023·全國·高一課堂例題）已知A(2,4),B(4,3),C(-2,x)三點共線，求x的值．【答案】x=6．【分析】利用向量AB與AC共線的坐標表示求解．【詳解】因為A，B，C三點共線，所以AB與AC共線．而AB=4-2,3-4=所以2×x-4--1×-4【變式81】4．（2023下·福建漳州·高一校聯(lián)考期中）已知向量a=-1,4，(1)若ka-2b與a(2)若AB=3a-2b，BC=-2【答案】(1)k=-1(2)m=【分析】（1）根據(jù)共線向量的坐標表示可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）由三點共線可知AB,【詳解】（1）∵ka-2b=-k-4,4k-6，a∴10-k-4=34k-6（2）∵AB=3a-2b∴-73m-8=62+2m題型9由坐標解決線段長度問題【例題9】（2021下·廣東東莞·高一東莞市光明中學?？茧A段練習）若向量a的始點為A(-2,4)，終點為B(2,1)，則向量a的模為【答案】5【分析】首先求出a的坐標，再根據(jù)向量模的計算公式計算可得；【詳解】解：因為向量a的始點為A-2,4，終點為B2,1，所以a故答案為：5【變式91】1．（2023下·廣東云浮·高一統(tǒng)考期末）已知點A1,1，B-1,0，C0,1(1)求點D的坐標；(2)求△ABC的面積.【答案】(1)-2,0(2)1【分析】（1）設(shè)Dx,y，表示出AB、CD（2）根據(jù)點的坐標的特征，直接求出三角形的面積.【詳解】（1）因為A1,1，B-1,0，所以AB=-1,0-1,1=又AB=CD，所以x=-2y-1=-1，解得x=-2（2）因為AC=1，且AC//x軸，B到AC所以S△ABC【變式91】2．（2021下·高一課時練習）如圖，已知兩點A(－4，0)，B(0，3)．（1）求向量AB,BA的模，并指出|AB|與|（2）若C(x，y)，AC＝0，求x，y的值．【答案】（1）AB＝5，BA＝5，AB=【分析】（1）根據(jù)平面向量模的定義計算．（2）根據(jù)向量的坐標表示求解．【詳解】解：（1）所求向量的模就是線段AB的長度．∵AB＝32∴AB＝5，BA＝5，故AB=（2）∵AC=∴A，C重合，∴x＝－4，y＝0．【變式91】3.（2023下·河北邢臺·高一統(tǒng)考期末）已知A4,0，B1,mm>0(1)求m；(2)若點C，M滿足BC=-1,-1，OM=xOA+【答案】(1)m=4(2)24【分析】（1）根據(jù)模長的坐標運算即可求解，（2）根據(jù)向量的坐標運算，結(jié)合二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】（1）由題意得AB=則AB2=9+m因為m>0，所以m=4.（2）由題意得OC=OM=x則OM2所以O(shè)M≥245，即題型10向量坐標與基底【例題10】（2023下·福建福州·高一?？茧A段練習）下列各組平面向量中，可以作為基底的是（

）A．e1=0,0，e2C．e1=2,-3，e2【答案】D【分析】利用基底的概念逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，e1=0,0，e2=1,-2，對于B選項，e1=3,5，e2=6,10，則對于C選項，e1=2,-3，e2=12對于D選項，e1=-1,2，e2=5,7，因為e1、e故選：D.【變式101】1.（2022下·高一單元測試）下列各組向量中，能作為基底的是（

）A．e1＝（0,0），eB．e1＝（1,2），eC．e1＝（－3,4），e2＝（35D．e1＝（2,6），e【答案】B【分析】根據(jù)基底的定義判斷選項.【詳解】A，零向量與任意向量共線，故不能作為基底；C中，e1=-5e2，D中，e1B中e1與e故選：B【變式101】2.（多選）（2023下·河北石家莊·高一?？计谥校┫铝懈鹘M向量中，可以作為基底的是（

）A．e1=C．e1=【答案】AB【分析】由向量基底的定義對各選項一一判斷即可求出答案.【詳解】對于A，假設(shè)存在存在實數(shù)λ使得e1即1,0=λ0,1，即則e1對于B，假設(shè)存在實數(shù)λ使得e1即1,2=λ-2,1，即則e1對于C，e1=-5e對于D，e1=-2e故選：AB.【變式101】3.（多選）（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）下列兩個向量，不能作為平面中一組基底的是（

）A．e1=1,2，e2C．e1=0,1，e2【答案】BD【分析】根據(jù)坐標判斷兩向量是否共線即可得到答案.【詳解】對于A，e1=1,2對于B，e1=1,2，e對于C，e1=0,1對于D，e1=3,1，e故選：BD【變式101】4.（2022下·江蘇淮安·高一校聯(lián)考期中）若向量e1=(2,λ),e【答案】-【分析】根據(jù)e1，e2為平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以e1，e2不共線，通過求e1，e2共線時λ的值即可得到【詳解】由題意得e1當e1=ke2k∈所以λ≠6.故答案為：-∞題型11參數(shù)與取值范圍問題【例題11】（2021下·高一課時練習）已知點O(0,0),A(1,2),B(4,5)，且OP=【答案】-【分析】先求出向量OP，根據(jù)點P在第二象限，列不等式組，求出t的范圍.【詳解】因為點O(0,0),A(1,2),B(4,5)，所以O(shè)A=1,2，AB=所以P1+3t,2+3t因為點P在第二象限，所以1+3t<02+3t>0，解得：-【變式111】1．（2022·全國·高一專題練習）已知點A(λ,3),B(5,2λ)(λ∈R)，C(4,5)．若AP＝AB＋(1)點P在一、三象限角平分線上；(2)點P在第一象限內(nèi)．【答案】(1)λ＝7(2)－1<λ<9【分析】根據(jù)點與坐標的關(guān)系的出向量及向量的加法的坐標表示及向量相等求出λ,x,y的關(guān)系，（1）根據(jù)題意可得x=y，進而可以求出λ；（2）根據(jù)第一象限的特點即可求解.【詳解】（1）設(shè)點P的坐標為(x，y)，則AP＝(x，y)－(λ，3)＝(x－λ，y－3)，又∵AB=(5，2λ)－(λ，3)=(5－λ，2λ－3)，AC＝(4，5)－(λ，3)＝(4－λ，2)，∴AP＝AB＋AC=(5－λ，2λ－3)+(4－λ，2)=(9－2λ，2λ－1)，∴x-λ=9-2