2023年高考數(shù)學(xué)知識點三輪練習(xí)01 數(shù)列大題壓軸練（解析版）

【一專三練】專題01數(shù)列大題拔高練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

分層訓(xùn)練(新高考通用)

1.(2023?湖北武漢?華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測)數(shù)列滿足q=1,Yik=I+1.

J?！薄?/p>

7,7

⑴設(shè)2=f,求色｝的最大項;

(2)求數(shù)列｛““｝的前〃項和S”.

2.(2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模)已知數(shù)列｛叫滿足4=1,%,+L%,+l,%,=2%,ι.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)<='+'+÷-,求證：&<3.

Ga2%

3.(2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知數(shù)列｛〃〃｝滿足4=1,

〃〃+〃,〃為奇數(shù),

%數(shù)列。〃滿足a=〃2〃.

4-鹿,〃為偶數(shù);

⑴求數(shù)列也｝的通項公式;

(2)求數(shù)列?的前n項和5?.

IA%J

4.(2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模)己知數(shù)列｛/｝的前〃項和為5,，且Sj,+2"=24+l

⑴求4,并證明數(shù)列住｝是等差數(shù)列：

(2)若2a；<S2k,求正整數(shù)k的所有取值.

5.(2023?湖南岳陽?統(tǒng)考二模)已知數(shù)列｛叫的前"項和為S,,,q=1,S,,+∣=2S,,+2-'

(1)證明數(shù)列［今］是等差數(shù)列，并求數(shù)列也｝的通項公式；

⑵設(shè)"=.，若對任意正整數(shù)”，不等式小<〃'、'"+、恒成立,求實數(shù)M的取值范

327

圍.

6.(2023?廣東深圳?深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)在數(shù)列｛/｝中，α,=∣,

2

(3n+9)?(n+l)?+l=(〃+2)%.

⑴求｛q,｝的通項公式；

⑵設(shè)｛4｝的前八項和為S",證明：

7.(2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測)在①H=弧:K；②么=『一；③2=2"冊,

這三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面橫線上，并解答問題.

2

已知數(shù)列｛%｝的前”項和sι,=na,,--n+-n.

(1)證明：數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列；

(2)若4=2,設(shè),求數(shù)列｛2｝的前"項和7；.

8.(2023?吉林長春?校聯(lián)考一模)已知等差數(shù)列｛%｝的首項4=1,記｛%｝的前〃項和為

Sn,S4—2出%+14=0.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛%｝公差d>l,令J=，求數(shù)列｛%｝的前"項和卻

9.(2023?浙江?校聯(lián)考三模)已知數(shù)列｛《,｝是以d為公差的等差數(shù)列，d≠0,S“為｛%｝的

前”項和.

⑴若S6-S3=6,α3=l,求數(shù)列｛4｝的通項公式;

(2)若｛aιl｝中的部分項組成的數(shù)列,d｝是以《為首項,4為公比的等比數(shù)列,且生=4q,

求數(shù)列｛7%｝的前〃項和7；.

10.(2023?山西?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛%｝是正項等比數(shù)列，且2-6=7,44=8.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)從下面兩個條件中選擇一個作為已知條件，求數(shù)列｛?｝的前“項和S11.

①"=(2〃-1)為;②"=(2∏+l)log2α2fi-

11.(2023?遼寧沈陽?統(tǒng)考一模)設(shè)"∈N",向量A5=(〃一l,l),4C=(〃一1,4〃一1),

an=AB?AC.

⑴令舟=%+「%，求證：數(shù)列｛〃｝為等差數(shù)列；

1113

(2)求證：一+—+*??÷—?7.

q444

12.(2023?福建廈門?廈門雙十中學(xué)校考模擬預(yù)測)設(shè)數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為已知

2

?1=1,2na,l-2Sn=n-n,∏∈N*.

(1)求證：數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列；

2

(2)設(shè)數(shù)列也｝的前〃項和為且令C“喙,求數(shù)列｛%｝的前〃項和R,,.

13.(2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，其前"項和為S,,,且滿足

,,

Sn=2+m(w7∈/?),

(1)求機(jī)的值及數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)??=∣log2βn-5∣,求數(shù)列也｝的前〃項和T,.

14.(2023?遼寧撫順?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知S“是等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和，，是等比數(shù)列

也｝的前〃項和，且4=0,bl=l,S2+T2=S3+T3=S4+T4.

⑴求數(shù)列㈤｝和也｝的通項公式；

⑵設(shè)c”=LI,求數(shù)列?-1的前〃項和匕.

nI?

15.(2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測)己知數(shù)列｛%｝滿足

Cl=2,(n-l')aπ+nan_t=θ(“≥2,"eN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵設(shè)5”為數(shù)列｛《,｝的前〃項和，求S2023.

16.(2023?安徽合肥?校考一模)已知數(shù)列｛%｝滿足a-=點，4=3,%%=243.

(1)求｛4｝的通項公式；

⑵若仇=l0g3%,數(shù)列｛〃,｝的前〃項和為5“，求[+[+...+(?.

dId2k?

17.(2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考一模)設(shè)等差數(shù)列｛0,,｝的前項和為S“，己知q+∕+4=9,

31

%q=21,等比數(shù)列｛〃｝滿足"+仇==,W4=TT.

464

⑴求S.；

Q)設(shè)C"=y∣^b.,求證：c1+c2+c3++cll<4.

18.(2023?山東棗莊?統(tǒng)考二模)己知數(shù)列h｝的首項4=3,且滿足勺“+2%=22.

⑴證明：｛q,-2"｝為等比數(shù)列；

[d〃為奇數(shù)

⑵己知H=J、/,伸粉，刀,為也｝的前〃項和，求心.

[log,?,“為偶數(shù)

偶數(shù)，

數(shù)列｛%｝滿足%=%1τ?

(1)求數(shù)列｛%｝和｛q,｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛%｝的前W項和S..

20.(2023?江蘇?二模)已知數(shù)列｛q｝滿足4=-g,(〃+1””+2創(chuàng)”討=0.數(shù)列帆｝滿足

4=1，bn+l=k-b,,+an.

(1)求｛4｝的通項公式：

(2)證明：當(dāng)網(wǎng)41時，回43-需.

21.(2023?江蘇?統(tǒng)考一模)在數(shù)列｛4,,｝中，若。向一WM…勺="(〃eN*),則稱數(shù)列｛q｝

為“泛等差數(shù)列“，常數(shù)d稱為“泛差”.己知數(shù)列｛α,,｝是一個“泛等差數(shù)列”，數(shù)列｛〃｝滿足

at+a2+'"+an=aia2a3'"an~^n?

⑴若數(shù)列｛q｝的“泛差”4=1,且％,4生成等差數(shù)列，求4；

(2)若數(shù)列｛q,｝的“泛差”4=-1,且4=；，求數(shù)列｛2｝的通項H?

22.(2023?遼寧遼陽?統(tǒng)考一模)某體育館將要舉辦一場文藝演出，以演出舞臺為中心，

觀眾座位依次向外展開共有10排，從第2排起每排座位數(shù)比前一排多4個，且第三排

共有49個座位.

⑴設(shè)第〃排座位數(shù)為4,(〃=1,2,L,10),求?！凹坝^眾座位的總個數(shù)；

(2)已知距離演出舞臺最遠(yuǎn)的第10排的演出門票的價格為500元/張，每往前推一排，門

票單價為其后一排的Ll倍，若門票售罄，試問該場文藝演出的門票總收入為多少元？

(取11°=2.594)

23?(2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模)已知｛%｝是首項為1的等差數(shù)列，公差d>0,但｝是首

項為2的等比數(shù)列，a4=b2,as=b,.

⑴求｛%｝,｛2｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛4｝的第E項0，滿足(在①②中任選一個條件)，&∈N*,則將

其去掉,數(shù)歹U｛d｝剩余的各項按原順序組成一個新的數(shù)歹￡4｝,求｛c,,｝的前20項和S2。.

①log/%=%②超=3%+l.

24.(2023?山西太原?統(tǒng)考一模)已知等差數(shù)列｛%｝中，4=1,S“為｛《,｝的前〃項和，

且｛#；｝也是等差數(shù)列.

⑴求劣;

S

⑵設(shè)bll=--(〃∈N"),求數(shù)列｛2｝的前“項和T,,.

anan+?

25.(2023?云南紅河?統(tǒng)考二模)已知等差數(shù)列｛4｝的公差d>0,4=2,其前"項和為

Sn,且.

在①外,%成等比數(shù)列；②?∣-m=3;③娘「3。的=〃：+34這三個條件中任選

一個，補(bǔ)充在橫線上，并回答下列問題.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

(2)若數(shù)列色｝滿足?=1+(-1)-all,求數(shù)列出｝的前2〃項和T2n.

注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分.

26.(2023?遼寧大連?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛叫的前n項之積為s“=2丁(n∈N*)?

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)公差不為0的等差數(shù)列｛〃｝中，4=1,求數(shù)列｛k>g2%+2%｝的前〃

項和

請從①以=々；②4+々=8這兩個條件中選擇一個條件，補(bǔ)充在上面的問題中并作答.

注：如果選擇多個條件分別作答，則按照第一個解答計分.

27.(2023?山東?煙臺二中校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列｛4｝的前n項和為5“，且％=13,

$6=72,數(shù)列出｝的前"項和為T.，且37；=%-4.

⑴求數(shù)列｛%｝,也｝的通項公式.

⑵記%=,若數(shù)列｛g｝的前〃項和為Qn,數(shù)列｛歷｝的前〃項和為此,探究：

史此是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

%

28.(2023?湖南常德?統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛%｝滿足A叁+L(M∈N,)?

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛bn｝滿足勿=-?-,求｛〃｝的前〃項和S-

anan+?

29.(2023?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛%｝的前"項和為S“，且滿足：

%=1,”+]=2Sn+n(n∈N').

(1)求證：數(shù)列｛用已｝為常數(shù)列；

⑵設(shè)段+…+黃，求卻

2X

30.(2023?湖南長沙?湖南師大附中?？家荒?如圖，已知曲線G：y=-7(x>0)及曲

x+↑

線C∕y=*(x>0).從Cl上的點2("wN+)作直線平行于X軸，交曲線C?于點Q,,,再從

點Q作直線平行于)‘軸，交曲線G于點C—點2的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列｛4｝[o<q<；).

⑴試求見”與凡之間的關(guān)系，并證明：%ι<g<%,("wN*);

(2)若q=g,求的通項公式.

2四支年高遁數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

【一專三練】專題01數(shù)列大題壓軸練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

分層訓(xùn)練（新高考通用）

1.（2023?云南曲靖?宣威市第七中學(xué)?？寄M預(yù)測）記S“為數(shù)列｛%｝的前"項和，TiI為

數(shù)列｛S,,｝的前“項和，已知S“+7；=2.

（1）求證：數(shù)列｛S,J是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列卜?4｝的前〃項和4.

【答案】⑴證明見解析

⑵4=5+2>C）-2

【分析】（1）由前”項和與通項之間的關(guān)系即可證明數(shù)列｛S,J是等比數(shù)列：

（2）以錯位相減法求數(shù)列｛"4,｝的前“項和Al即可解決.

【詳解】（1）因為4為數(shù)列｛S,,｝的前”項和，

當(dāng)〃=1時，S1+7；=S1÷S1=2S1=2,則B=1

當(dāng)〃22時，Tn-Tz=Sn

Sf,+7>2①Sflτ+M=2②,

S1

①一②得2S,=S-G≥2）,得U=弓（〃22）

?/i-?L

所以數(shù)列｛s,,｝是首項為1公比為T的等比數(shù)列.

（2）由（1）可得，數(shù)列｛S,,｝是以Sl=I為首項，以g為公比的等比數(shù)列，

所以S（I=（B）.當(dāng)”=1時，q=s∣=7j=ι,

當(dāng)e時—小品討，

2923_年高度數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺攜練

1,H=1

顯然對于〃=1不成立，所以％=-出，“≥2

當(dāng)鹿=1時,Al=ai=l

當(dāng)〃≥2時，4=1-2xg+3x(g)++”［；)

〃.出

IA=I2x((1+3x(3)++

212

上下相減可得gq=g?

鳴+(AY)i2

+("+2)(g)

則A=("+2)?(g)-2

Xn=IBt,4=3x1-2=1

綜匕An=(/2+-2

2.(2023?遼寧鐵嶺?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛4｝中，4=1,出=；,且

5—1)〃

?+∣=-----------5=2,3,4,???).

n-an

1*

(1)設(shè)2=——K〃wN),試用口表示〃用，并求｛?｝的通項公式；

Q"+∣

⑵設(shè)3=CoSZr：(L(〃eN”)，求數(shù)列｛%｝的前〃項和5“.

【答案】⑴心小四勿，bn=3n

n

Csin3〃

⑵S，，=-cos(C3n+；3)、―cos3O

【分析】(1)根據(jù)提示d=；T(〃eN*)將條件2進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可；

sin3一SinbZsinb?

(2)根據(jù)兩角差的正弦公式可將G="S2％?化為裂項式求和?

cosbncosbn+lcos?w+1cosbn

1n-ann1

【詳解】⑴∑TE=E一百，

2。23_年高造數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

1n1nnHI

-------11-1==--------(z------1)

a,,+l(n-l)an(n-l)-------｛n-?)an(〃-1)(π-l)an

所以d=JY?l"τ,所以&L匚n÷12，

n-?n

所以4=媼==&=3,2=3〃.

nn-\1

(2)C=sin3=Sin(-)=sin%cos-—sin"cos%=sin%_Sinl

n

JCOSbllCOS?ZJ+ICOS?NCOS?ZJ+ICOS?COS?Π+1COS?+1COSd

Csinsinb,sinb,,sinb,Sin仇sin?,

所以S,-*+G2IL2-l+——L---------n.+——L---------------L

//1Y八nnn-?+I=——f------lit1ι

CoS%COSbllCOSaCoS如COSP2COSP1

_sin?π+1sin?1_sin(3w+3)sin3_sin[(3π+3)-3]_sin3n

cos%cos?1COS(3∕2+3)cos3COS(3H÷3)cos3cos(3∕ι÷3)cos3

3.(2023?湖南株洲?統(tǒng)考一模)數(shù)列｛q｝滿足4=3,a,,tl-a；=2an.

⑴若2%=%+l,求證：也｝是等比數(shù)列.

l↑

⑵若C,,=祀+1,｛。｝的前〃項和為7；,求滿足4<100的最大整數(shù)

【答案】(1)證明見解析

(2)98

【分析】（1）由己知得α,m+l=（α,,+l）2,可得么+∣=2?,進(jìn)而得證；

（2）利用錯位相減結(jié)合分組求和可得7.，結(jié)合：項式定理進(jìn)行放縮，進(jìn)而得解.

6

【詳解】（1）2-=αn+l,.?.?n=log2（?+l）,?1=Iog2（3+1）=2,

由已知可得a"”="j+2”,,,

,a

??,,+l+1=。；+2%+1=（??+1）2,

，l°g2（a“M+l）=21og2（a“+l），

.%=陛2（4”+1）>2,

"b"log2（?+l）'

所以數(shù)列｛〃｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；

（2）由（1）得仇=2",

所以C“喑+1=^+1,

設(shè)4=爰，數(shù)列⑷的前〃項和為S”，

πl(wèi)r,123H-In

則S,=*+級+>++F^+^^①，

2四支年高遁數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

IC123n-1nG

Ξs^≈?+F+F++萬丁+F②，

①一②得;s”=J+!+*+n/?+2

2

所以S“=2-陪，

所以Z1=S,+〃=〃+2—<100(〃∈N"),

n

當(dāng)?shù)?1時,2<n+2f

當(dāng)〃=2時，2"=〃+2,

nn

當(dāng)九≥3時，2=(l+l)>Cθ+C!j+C>n+2,

即0<竽<1，

〃+2

所以〃+1<〃+2--—<n+2,

所以”+2≤100,"≤98,

所以滿足(<100的最大整數(shù)”為98

4.(2023?河北衡水?河北衡水中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛《,｝滿足α,,+2=We+W,,

(w∈N+),α∣=l,a2=2,S“為數(shù)列｛4｝前"項和.

(1)若x=2,y=T,求S1,的通項公式；

(2)若x=y=l,設(shè)7”為前〃項平方和，證明：恒成立.

?小-、n(n+

【答案】(1電=」——??

2

(2)證明見解析

【分析】(1)代入蒼八將條件化為%+2-4出=。向-4，從而得到｛4*「4｝是常數(shù)歹h

進(jìn)而得到｛%｝是等差數(shù)列，山此利用等差數(shù)列的前〃項和公式即可得解；

(2)利用數(shù)學(xué)歸納法推得要證結(jié)論，需證34M<2S*+4小≥2),再次利用數(shù)學(xué)歸納法

證得其成立，從而結(jié)論得證.

【詳解】(1)因為x=2,y=-?,

所以%+2=+Yan=2an+i-an,則an+2-an+l=αn+,-a?,

又4-%=2-1=1,

2。23_年高造數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

所以如“一叫是首項為1的常數(shù)列，則an+i-an=l,

所以｛q｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，則α,,=01+（"-l）d=",

所以亞W

2

（2）因為x=y=l,所以q,+2=xα,㈤+M,=%+∣+4,

又4=1,α,=2,所以％=々+4=3,?tl>an>0,??）??2an>an+an,l=α,,+1,

2

因為I,="：+%?++?,5,,=αl+?++an,

2

所以當(dāng)”=1時，Tt=al=l,5l=izl=1,所以7；-Sl=O=；

假設(shè)當(dāng)〃=M%≥2）時，有（一

則‘1〃=k+1口寸，Tk+i—Sk+l=Tk+a^l—Sk—ak+i<-SA/+—ak+l,

因為S2-S；=（S*+%+】）—Sj=2Skak^+a*,

所以要證加-&川<%/+吭-小〈卜窘（ZN2）,需證

2

4d+i-4<?+∣<S?+1-St=2Skak+i+?+1（%≥2）,

即證v2Sjl+4（%≥2）,

當(dāng)Jt=2時,<?=3,S2=3,則3〃3=9<10=2$2+4,

假設(shè)當(dāng)*=r（r≥2）時,有3%<2邑+4,

則當(dāng)A=r+1時，3%2=3%ι+3ar<2Sr+4+3ar,

因為對<2dr.l,所以3q.<2ar+2?.1=2ar+l,

所以3%+2<2S,+4+3ar<2Sl.+2ar+i+4=2Sr+l+4,

綜上:30jwV25*+4（%≥2）成立,

所以a-&+m卜窘（八2）成立，

綜上：7；-S,,<；S,,2恒成立.

5.（2023?山西朔州?懷仁市第一中學(xué)校?？级＃┮阎獢?shù)列｛4｝滿足4=3,且

2q,〃是偶數(shù)

π+11%-1,〃是奇數(shù).

2。23_年高造數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

⑴設(shè)d=?,+%ι,證明：他,一3｝是等比數(shù)列；

(2)設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項和為5“,求使得不等式s,>2022成立的?的最小值.

【答案】(1)證明見解析

(2)20

b-1

【分析】(I)由己知條件，用⑸表示出打，得出。2〃二七一，再用%,表示出2田，得出

生“=第L聯(lián)立得出口=22一3,通過構(gòu)造得出口一3=2電-3),檢驗2-3x0,

即可得出證得結(jié)論；

(2)由(1)的結(jié)論表示出S?”2向+3〃-2,邑“+2=2-2+3〃+1和％,M=3?2"+3”,

證出5“在〃eN*是一個增數(shù)列，通過計算即可得出答案.

:2勺,”是偶數(shù)

【詳解】(1)證明：Ya用

q-i,〃是奇數(shù)

,?a2n~a2n-i~?>a2ιι+l=2/“,%“+2=β2zl+l-?>

???%,,τ=%”+1，

又1

???"=/“+，“+ι=2?,+ι，

b-?

?"亍n

〃，+1=a2n+2+”2，，+1，

a-a=,a

,?b“+\=2n+l1+2n+?^2n+l~?，

又,，，“+1=2%“，

41

?'??÷l=?,-.

?=?Γ1?

%戶="抑%=22-3,

.?.?+1-3=2(?n-3),

又?.?∣-3=tz1+α2-3=Λ2=αl-1=2≠0,

2。23_年高考數(shù)樊重點專題三輪沖刺搜練

.?.bn-3≠0,

，數(shù)列｛〃-3｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

(2)山(D可知數(shù)列也-3｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

Λ?,,-3=2×2Π^I=2",

即=2"+3,

a2n-?+a2n=2"+3,

.?.S,“=2(1-2")+3〃=2"÷∣+3〃-2,

1-2

π+2

.?.S2π+2=2+3n+↑,

又［F=*-1，

a2n-t+a2n=2%,T-I=2"+3，

即/,…"F,

1''fl2n+l=2"+2

+n

?--S2,l+l=S2n+a2n+^2"'+3n-2+2"+2=3-2+3n,

S2ll+l-S2,,=3?2"+3〃一(2"'+3〃-2)=2"+2>O,

+2

S2n+2-S2ll+i=2"+3”+1一(3.2"+3")=2"+1>O，

??4“在〃€曰是一個增數(shù)列，

9

S19=3×2+3×9=1563,

S,0=2"+3×10-2=2076>2022,

，滿足題意的〃的最小值是20.

6.(2022春?河北衡水?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知正項數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,，且滿

足α∣=l,a2=3,aπ+2=3απ+∣—2an,數(shù)列｛qj滿足2%+3%+4匕+-+("+1)~.

⑴求出{q},{%}的通項公式;

2。23_年高造數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

CZ?("+D5

(2)設(shè)數(shù)列一，的前"項和為，，求證：T1,<^-.

([Iog2(??+1)]-J?e

1

【答案】⑴凡=2"-l,C,,=;~-.

(〃+1)r

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)已知條件可得數(shù)列｛%「4｝是等比數(shù)列，求出其通項公式，再利用累

加法求出數(shù)列出｝的通項公式；先求出。，再求出當(dāng)〃≥2時，數(shù)列｛q-｝滿足的等式,

即可求出數(shù)列｛g｝的通項公式；

(2)寫出數(shù)列的通項公式，利用裂項相消法求出數(shù)列的和T1,,即可求證.

(I)

由4+2=34+∣-2q，

aa2

得n+2-n+l=(?÷∣-?)?又%-4=2,

則數(shù)列｛q,α-α,,｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

.?an+t-an=2×2"-'=2",

??α?—α∣=2,a：—ɑ?=2一，"%一2',...,Cin—4,,-∣2,

累加得4,-4=2+2?++2"τ,

1_2〃

?*?a=1+2+22++2"T=------=2”—1.

〃1-2

數(shù)歹∣J｛%｝滿足22q+32c?2+42j++(n+l)2?,=n,①

當(dāng)〃=1時，q=；；

=IM≥2U't,2^c∣+3^c2+4^c3++n^cll-l=n—\,②

1

由①一②可得?,=~-V,

7(〃+1)

當(dāng)W=I時，也符合上式，

故數(shù)列｛q,｝的通項公式為0”=謔y.

(2)

2923_年高度數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺攜練

由(可得

1)2222

(Λ+2)[log2(αrt+l)](〃+2)n4

22(〃+1)?(〃+2)

55

4T6

故看＜2成立.

Io

7.(2022秋?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的前〃項和S〃滿

足邑=6,2Sn=n+natt,H∈N*.

⑴求｛%｝的通項公式；

2

(2)數(shù)列出｝,｛cn｝,｛4卜滿足〃=J%=b"b；、b”,且4=-?,求數(shù)

(A+1)-?"?2

列｛4｝的前“項和

【答案】⑴"“=〃("GN*)；

【分析】(1)利用S),與%的關(guān)系得到(〃-1)的-(“-2)%=1,然后得到

(n-2)απ-2-(n-3)αn-1=l,兩式求差，得到以1=4,,+6^0^3)，這樣判斷數(shù)列｛4｝

為等差數(shù)列，然后計算4，%,得到首項和公差，寫出｛4｝的通項公式；(2)利用｛4｝的

通項公式求出｛2｝的通項公式，然后利用q,,￡i的關(guān)系，運用累加法求出｛g｝的通項公

式，然后利用｛5｝的通項公式求出｛%｝的通項，再利用裂項相消求出7?

【詳解】(I)由題意知2S,,=〃+〃4,25,,.l=w-l+(n-l)α,,-l,(n≥2)

兩式相減得(〃-l)%τ一("-2)αz,=l,(n≥2),故(〃-2)4_2-(〃-3)加=1,("≥3),

兩式相減得2(〃-2)加=(〃-2)4+(”-2)%(,≥3),

即?,-l=an+alt_2(n≥3),可知數(shù)列｛q,｝為等差數(shù)列，

又S3=6,則q+勺+%=3%=6,解得4=2,

2。23_年高造數(shù)學(xué)重點專題三輪制刺逮練

又因為2S∣=l+q,所以％=1,等差數(shù)列｛ɑ“｝的公差d=ɑ2-4=l，故ɑ“="（〃wN*）.

("+if(〃+1『

(2)由題易知％=4期TLa(“≥2),又因為

4=2

(?+ι)-ι(Λ+1)^-1〃(〃+2)

所以^t=她Lb"=???l??=?TΓ

（心2）

一，Q2?3CQ2-4?,=2(〃+i)

由累乘法可得：丁丁-=V("≥2)

%〃+2

3?2"T4,〃+1

所以Wc=■7，（〃*2），因為J=4=g,所以%=篇，（〃"），

4*7〃+iC211

當(dāng)〃=1時，仇==也符合，所以%=/一，(n≥l),則4=??-------=--------

3n+2"N??(/?+2)nn+2

7；=4+4+L+d=↑--+---+---+L+-———

w1-f"t32435nn+2

13__11

2n+?〃+22〃+1〃+2

8.（2023?廣東?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列h｝的前〃項和為5,,且

,

S1+2S2+3Sy+■—F∏S11=∏.

⑴求數(shù)列｛??｝的通項公式;

⑵若2=〃％,且數(shù)列出｝的前〃項和為《，求證：當(dāng)“23時，^<1÷11）+J4.

2n-?

Ln=l

【答案】（IM,=31?>2-∏∈N?

n[n-?）

（2）證明見解析.

3/2+?-3,n≥2S∣>n=1

【分析】（1）由題可得S,,=n后由q=,S2—，，”=2,neN,

Sl=Ln=lS,-S,τn≥3

可得數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）由（1）可得"，T11<—?-—?n—4=-（3+?+H——'后?由數(shù)

2n-?I2n-?）n-?

學(xué)歸納法可證明結(jié)論.

【詳解】(1)由題，“≥2時，有S∣+2S2+3S3+…+("-l)S,ι=("-l)3,則

2四支年高遁數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

[3/7"—3n+Ln≥21

nStl=<=C3〃+——3,n≥2

[S1,n=↑5〃=(〃

Ln=1

Ln=1

S/n=1

則4=<S2-S],n=2〃∈N*=4=<g,n=2,∕ι∈N*.

.S"-S,τn≥3

3-?-/7≥3

tι[n-l)

LTi=I

注意到]=3-丁二，則1">,，”cN".

22×137^?,rlN2

/T)

〃，H=I

(2)由⑴可得1”wN",則

(〃T)

當(dāng)“≥3時,

=3-2+6-1+9」+3”———3/7(72+1)3l÷l÷1

++-------

3n—1223n—1

故所證結(jié)論相當(dāng)于,-(3+，+…+Jγ]≤Jγ-4,∕≥3.

[2n-1)71-1

當(dāng)"=3時，結(jié)論顯然成立；

假設(shè)〃=Z(Z≥3,AcN*)時，結(jié)論成立，則一(3+:++7l7]≤7l7-4,

INK—1JK—1

當(dāng)?shù)?左+1時，因左≥3,k(k-1)一k=k(k-2)>O,則

-(3+：+

綜上，結(jié)論成立.

9.(2022秋?山東青島?高三山東省萊西市第一中學(xué)校考階段練習(xí))對于項數(shù)為機(jī)的數(shù)列

｛a,,｝,若滿足：l≤q<%<<am,且對任意l≤i≤j≤"?,令嗎與魚中至少有一個是

4

■“｝中的項,則稱｛《,｝具有性質(zhì)P.

(1)如果數(shù)列4，a2,a3,%具有性質(zhì)?，求證：α∣=l,a4=a2-a3.

(2)如果數(shù)列｛《,｝具有性質(zhì)產(chǎn)，且項數(shù)為大于等于5的奇數(shù)，試判斷｛4｝是否為等比數(shù)列？

并說明理由.

【答案】(1)證明見解析

2。23_年高造數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

(2)｛%｝為等比數(shù)列，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)性質(zhì)尸的定義，易得4=1，幺,立是數(shù)列中的項，再根據(jù)

%a3

l<al<a2<<am,可得％=4,即可得證；

出

(2)根據(jù)性質(zhì)戶的定義，易得4=1,等L(2≤i≤2Z+l,ieN)是數(shù)列中的項，從而可

得當(dāng)L=4,(l≤p≤2A+ι,peN),同理有=4,(l≤p≤2A-2,p∈N),進(jìn)而可得

a2k+2-pa2k+?-p

^-=?(l<p<2fc,p∈N),即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)因為包>1，a4-a4>a4,所以不是數(shù)列中的項，

所以幺=I一定是數(shù)列中的項，所以6=1,

%

又因為4,/>%，a4?a3>a4,

所以包9，4?%不是數(shù)列中的項，所以幺,生是數(shù)列中的項，

a2a3

因為1≤V%<生<。4，所以1<」<-?<〃4，

〃3a2

所以包=%，所以。4=。2。；

?2

(2)當(dāng)數(shù)列｛%｝的項數(shù)m=2%+l,(A∈N,A≥2)時,

因為/A+1>1,a2t+l-a2k+l>β2*+l>所以。2%+1，。2%+1不是數(shù)列中的項,

所以詠=1一定是數(shù)列中的項，所以q=1,

a2k+]

因為對于滿足2<i<2k+?的正整數(shù)i,都有叫?4>a2k+i,

所以，廿《(2442么+1,左2不是數(shù)列中的項，

從而詠是數(shù)列中的項，

a∣

又I=詠<詠<詠<<詠<詠=*,

a2k+?a2ka2k-?a24

所以“刈=0,(l≤p≤2k+l,PWN),

a2M-p

從而有a2k+l=ap-a2k+2,p=αχ,+l?a2k+x,p(l≤p≤2左+l,p∈N),

所以3L=阻，

a2k+?-pap

2。23_年高超數(shù)學(xué)重點專題三輪制刺逮練

從而有詠="=%，出=&，3=上J%l=也，

a2ka?a2k-?a24+2ak-?4+1〃4

因為對于滿足的正整數(shù)均有

2>≤i≤2ki,a2k-a.>a2k-a2=O2M,

所以色Le{%，，，，%+∣},

a,

Xl=-<—<—<<—<—=?-∣<?<?÷.

a2ka2k-?a2k-2。3。3l

所以q-=%,(14p42%-2,p∈N),

a2k+↑-p

從而有a2k=%?hp=al,+l?a2k,p(l≤p≤2?-l,peN),

所以JL=也，

詠P冊

)J而有“k=a2一aa2k-?__￡1?÷3-?-l?+2—?

a2k-?a?a2k-2a2ak+2?-2?+lak-?

i

∕λ]fn^-y-=a2(l≤p≤2?,^∈N),

所以對于項數(shù)為大于等于5的奇數(shù)且具有性質(zhì)尸的數(shù)列是以1為首項，出為公比

的等比數(shù)列.

【點睛】方法點睛:新定義題型的特點是:通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或

給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供

的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:遇到新定義

問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，”照章

辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.

10.(2022秋?山東青島?高三統(tǒng)考期末)記數(shù)列｛4｝的前〃項和為s“，4=1,.

給出下列兩個條件：條件①：數(shù)列㈤｝和數(shù)列⑸+囚｝均為等比數(shù)列；條件②：

22+2"-4+...+2”“="%.試在上面的兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面的橫線上，完

成下列兩問的解答：

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.)

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

2n

(2)記正項數(shù)列出｝的前”項和為7.，4=電，b2=a,,4Tll=hn-bll+l,求Z[(T)'她+].

/=1

【答案】⑴=2"T

(2)8n2+8n

2四支年高遁數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

【分析】(1)選擇條件①：先由｛S,,+αl｝為等比數(shù)列結(jié)合等比中項列出式子，再設(shè)出等

比數(shù)列｛q｝的公比，通過等比數(shù)列公式化簡求值即可得出答案；

1

選擇條件②：先由2"a,+2"-a2+-+2an=一得出

n,12

2al+2'-02+???+2?-l=2(∕7-l)a,,(n>2),兩式做減即可得出α向=2q(∕≥2),再驗

證”=1時即可利用等比數(shù)列通項公式得出答案；

(2)通過47；=6“也川得出47"=%τ?d("≥2),兩式相減結(jié)合已知即可得出

即數(shù)列佃｝的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別都成公差為的等差數(shù)列，將

?+∣-?-I=4(W≥2),4

次［(f'4?%］轉(zhuǎn)化即可得出答案.

J=I

【詳解】(1)選條件①：

?數(shù)列⑸+4｝為等比數(shù)列，

?■(,^2+aι)=(B+4)(S3+4)，

2

即(20,+?)=2αl(2al+a2+03)>

4=1，且設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為夕，

.?.(2+q)2=2(2+q+/),

解得4=2或g=0(舍)，

.?.an=alq"-'=T-',

選條件②：

n1

2al+2"a2-F----+-Ian—∕wιπ+1①,

.12"'q+2""+----F=(附―1)a“(“≥2),

,,l2

即2"ay+2^?+??→2ɑ,?=2(〃—1)4,,(“≥2)②，

由①②兩式相減得：="4+∣-2("-l)q,("≥2),

BPαπ+,=2απ(n>2),

令2%+2”&+…+乜=MT“中”=1得出4=2%也符合上式,

故數(shù)列｛《,｝為首項4=1，公比4=2的等比數(shù)列，

則4=WT=2"T,

2。23一年高造數(shù)學(xué)重點專題三輪沖刺逮練

（2）山第一問可知，不論條件為①還是②，都有數(shù)列｛%｝為首項4=1,公比4=2的

等比數(shù)列，即∕=2"τ,

則bl=a2=2t4=4=4,

包,=媼%③

??.4%=%也(〃22)?④,

由③④兩式相減得:4(Tn-T^)=bn-bn+i-bn,i-bn(〃≥2),

即畋=媼(%-如)(“≥2),

數(shù)列｛2｝為正項數(shù)列，

則%-"T=4("22),

則數(shù)列也,｝的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別都成公差為4的等差數(shù)列，

,i

∑[(-D‰]=4∑[(-l)T;]=4(-7；+7；-7；+7；+-T2n,l+T2n)t

/=I/=I

即∑[(-1)''‰]=4(?2+b4+b6++b2n),

數(shù)列也｝前2n項中的全部偶數(shù)項之和為：4〃+*≡9X4=2/+2〃,

則玄[（-1）'姐+j=8〃2+8〃.

11.（2022?湖北?黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛q｝滿足”,產(chǎn)。，

⑴若anan+2=ka^+l>0且4>0.

（i）當(dāng)｛lgq｝成等差數(shù)列時，求左的值；

（i?）當(dāng)女=2且4=1,4=16及時，求％及a”的通項公式.

=aaβ=-

（2）>f?'On?+2~^^n+ιn+3>l??/<°，4€[4,8].設(shè)S“是｛