第六版自動(dòng)控制 第2章

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型洛陽理工學(xué)院電氣工程與自動(dòng)化系dcx2006@126.com教學(xué)目的實(shí)際存在的自動(dòng)控制系統(tǒng)可以是電氣的、機(jī)械的、熱力的、化工的，甚至是生物學(xué)的、經(jīng)濟(jì)學(xué)的等等，然而描述這些系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型卻可以是相同的。所謂數(shù)學(xué)模型(Mathematicalmodels)就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述的實(shí)物控制系統(tǒng)。了解對(duì)于同一個(gè)控制系統(tǒng)，由于所取的變量不同，其模型形式也不同，并掌握如何建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型教學(xué)內(nèi)容1.時(shí)域模型：分別通過從簡(jiǎn)單的電學(xué)電路和力學(xué)系統(tǒng)講解如何建立數(shù)學(xué)模型；2.復(fù)域模型：重點(diǎn)介紹傳遞函數(shù)的概念；3.傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響；4.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)；5.結(jié)構(gòu)圖及化簡(jiǎn)；6.信號(hào)流圖和梅遜(Meson)公式；7.閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型引言1.數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。分為靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型。靜態(tài)模型：描述在靜態(tài)條件（變量的各階導(dǎo)數(shù)為0）時(shí)，各變量之間的關(guān)系的代數(shù)方程。動(dòng)態(tài)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。分析一個(gè)系統(tǒng)就是分析、求解該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，從中找出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律性。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型有多種形式，例如：1.微分方程----以時(shí)間為變量所建立的模型；2.傳遞函數(shù)----在復(fù)平面內(nèi)建立的模型；3.頻率特性----以頻率為變量所建立的模型。同一系統(tǒng)所取變量不同，其模型也不同，因此同一系統(tǒng)可用多種方法去研究。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型

的幾種表

示方式：數(shù)學(xué)模型時(shí)域模型頻域模型復(fù)數(shù)域模型狀態(tài)空間模型微分方程差分方程狀態(tài)方程頻率特性方框圖信號(hào)流圖傳遞函數(shù)狀態(tài)空間方程第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.建立動(dòng)態(tài)模型的方法分析法：用定律定理建立動(dòng)態(tài)模型。實(shí)驗(yàn)法：運(yùn)用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提供的信息，采用辨識(shí)方法建模。3.建立動(dòng)態(tài)模型的意義：找出系統(tǒng)輸入、輸出變量之間的相互關(guān)系，以便分析設(shè)計(jì)系統(tǒng)，使系統(tǒng)控制效果最優(yōu)。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法－基于系統(tǒng)辨識(shí)的建模方法完全從外特性上測(cè)試和描述被研究對(duì)象或系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性質(zhì)，可以不研究其內(nèi)部復(fù)雜的機(jī)理。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)-----選擇實(shí)驗(yàn)條件。被測(cè)對(duì)象或必須處于完全被動(dòng)狀態(tài)。動(dòng)態(tài)測(cè)試方法：時(shí)域測(cè)試法、頻域測(cè)試法、統(tǒng)計(jì)相關(guān)測(cè)試法。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型補(bǔ)充1.電容兩端電壓與流過電流的關(guān)系：2.電感兩端電壓與流過電流的關(guān)系：3.基爾霍夫電壓、電流定理：（1）KCL對(duì)節(jié)點(diǎn)列寫電流方程

(2)KVL對(duì)回路列寫電壓方程2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型1.線性元件的微分方程

例1:由電阻R、電感L和電容C組成的R-L-C無源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。寫出以為輸入量，為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。解:(1)確定系統(tǒng)的輸入為電壓，輸出為電容電壓，中間變量為電流。電容：電壓與電流的關(guān)系：

電感：電流與電壓的關(guān)系：

2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型(2)由基爾霍夫定律可得回路方程：

(3)列寫中間變量與的關(guān)系式：

(4)消去中間變量，得到了描述網(wǎng)絡(luò)輸出輸入關(guān)系的微分方程：2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型例2彈簧-質(zhì)量-阻尼的機(jī)械位移系統(tǒng)。寫出質(zhì)量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的運(yùn)動(dòng)方程。解：這是一個(gè)經(jīng)典的直線機(jī)械位移動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，可以假定系統(tǒng)采用集中參數(shù)m為質(zhì)點(diǎn)。彈性力：是一種彈簧的彈性恢復(fù)力:

阻尼器：平動(dòng)阻尼器阻尼力:

2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型(1)系統(tǒng)輸入為，輸出為位移。中間變量是：彈簧阻力，阻尼器的阻力(2)由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定理可得到：

2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型(3)列出中間變量的表達(dá)式:(4)將中間變量帶入原始方程，可到系統(tǒng)的微分方程為：

2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型①確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量；②將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，從輸入端開始，按信號(hào)傳遞的順序，依據(jù)各變量所遵循的物理學(xué)定律，列出各環(huán)節(jié)的線性化原始方程；③消去中間變量，寫出僅包含輸入、輸出變量的微分方程式。建立元件微分方程的步驟如下：2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型(1)分析系統(tǒng)工作原理，將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，確定系統(tǒng)和環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量，每個(gè)環(huán)節(jié)可考慮列寫一個(gè)方程；(2)根據(jù)各變量所遵循的基本定律(物理定律、化學(xué)定律)或通過實(shí)驗(yàn)等方法得出的基本規(guī)律，列寫各環(huán)節(jié)的原始方程式，并考慮適當(dāng)簡(jiǎn)化和線性化；2.控制系統(tǒng)微分方程的建立2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型(3)將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，最后得出只含輸入、輸出變量及其導(dǎo)數(shù)的微分方程；(4)將輸出變量及各階導(dǎo)數(shù)放在等號(hào)左邊，將輸入變量及各階導(dǎo)數(shù)放在等號(hào)右邊，并按降冪排列，最后將系統(tǒng)歸化為具有一定物理意義的形式，成為標(biāo)準(zhǔn)化微分方程。2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

用線性微分方程描述的元件或是系統(tǒng)，稱為線性元件或是線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的重要性質(zhì)：疊加原理

疊加原理包含兩重含義：疊加性和均勻性(齊次性)

3.線性系統(tǒng)的基本特性2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型疊加性和均勻性(齊次性)證明：若2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型線性系統(tǒng)的疊加原理說明，兩個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)所產(chǎn)生的總輸出，等于各個(gè)外作用單獨(dú)作用時(shí)分別產(chǎn)生的輸出之和；外作用的數(shù)值增加若干倍，其輸出也相應(yīng)增加同樣的倍數(shù)。因此，對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，如果有幾個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)，則可以將它們分別處理，依次求出各個(gè)外作用單獨(dú)的響應(yīng)，再將它們疊加。每個(gè)外作用在數(shù)值上可以只取單位值。這樣就可以大大簡(jiǎn)化線性系統(tǒng)的研究工作。2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型4.線性定常微分方程的求解

建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的目的之一就是為了用數(shù)學(xué)方法定量的研究控制系統(tǒng)的工作特性。當(dāng)線性微分方程列寫出來后，只要給定輸入量和初始條件，便可對(duì)微分方程求解，進(jìn)而了解輸出量隨時(shí)間變化的特性。線性定常微分方程的求解方法：經(jīng)典法、拉氏變換法和MATLAB軟件包。2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型經(jīng)典法拉氏變換法拉氏變換法求解微分方程特點(diǎn)：

將微分表達(dá)式轉(zhuǎn)換成線性代數(shù)關(guān)系式2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型補(bǔ)充數(shù)學(xué)工具－拉普拉斯變換與反變換⑴拉氏變換定義

設(shè)函數(shù)f(t)滿足

①t<0時(shí)f(t)=0②t>0時(shí)，f(t)分段連續(xù)

則f(t)的拉氏變換存在，其表達(dá)式記作

2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型試求下列兩種常用函數(shù)的拉氏變換1）階躍函數(shù)2）單位脈沖函數(shù)δ(t)2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)工具－拉普拉斯變換與反變換（2）拉氏變換基本定理位移定理終值定理延遲定理線性定理2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)工具－拉普拉斯變換與反變換初值定理微分定理

積分定理

2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)工具－拉普拉斯變換與反變換⑶

拉氏反變換F(s)化成下列因式分解形式a. F(s)中具有不同的極點(diǎn)時(shí)，可展開為2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型例1求

的Laplace逆變換

解：其中：因此2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型b.F(s)含有共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)，可展開為

進(jìn)一步求解a1、a22-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型例2：求

的Laplace逆變換解：

將F(s)兩端同乘

并令

2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型解得：

2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型C.F(s)含有多重極點(diǎn)時(shí)，可展開為

其余各極點(diǎn)的留數(shù)確定方法與上同。2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型例3：求

的Laplace逆變換解：

2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型例4在例1中，若已知L=1H,C=1F,R=1Ω,且電容上初始電壓uc(0)=0.1V,初始電流為i(0)=0.1A,電源電壓ui(t)=1V。試求電路突然接通電源時(shí)，電容電壓uo(0)的變化規(guī)律。解：寫出系統(tǒng)的微分方程。設(shè)回路電流為i(t)，由基爾霍夫定理可寫出回路方程為

消去中間變量i(t)，便得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程為：(2)(1)2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型令且式中是在t＝0時(shí)的值，即分別對(duì)式子(2)中的各項(xiàng)求拉氏變換，并帶入已知數(shù)據(jù)，整理后有:

由于電路是突然接通的，故ui(t)可視為階躍輸入量，即ui(t)＝1(t)即:2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型(3)(4)若輸入電壓是單位脈沖量δ(t)，相當(dāng)于電路突然接通又?jǐn)嚅_的情況，此時(shí)，Ui(s)=L[δ(t)]=1.網(wǎng)絡(luò)的輸出則稱為單位脈沖響應(yīng)，即為

:(5)對(duì)(4)的求拉氏反變換，便可以得到網(wǎng)絡(luò)方程(2)的解，即:2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

用拉氏變換法求解線性微分方程的過程可以歸納

為如下：

1.考慮初始條件，對(duì)微分方程中的每一項(xiàng)分別進(jìn)行拉氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞縮的代數(shù)方程；

2.由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式；

3.對(duì)輸出量拉氏變換函數(shù)求拉氏反變換，得到輸出量的時(shí)域表達(dá)式，即為所求微分方程的解。2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

實(shí)際的物理系統(tǒng)往往有間隙、死區(qū)、飽和等各類非線性現(xiàn)象。嚴(yán)格地講，幾乎所有實(shí)際物理和化學(xué)系統(tǒng)都是非線性的。目前，線性系統(tǒng)的理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，但非線性系統(tǒng)的理論還遠(yuǎn)不完善。因此，在工程允許范圍內(nèi)，盡量對(duì)所研究的系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，然后用線性理論進(jìn)行分析不失為一種有效的方法。

5.非線性微分方程的線性化2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型將非線性元件線性化有二種方法：

1.在某一定條件下，忽略非線性因素的影響，將它們視為線性元件，如：電阻、電容、電感都是在一定的條件下忽略周圍環(huán)境(溫度、濕度、壓力等)對(duì)其的影響；電動(dòng)機(jī)忽略摩擦、死區(qū)等非線性因素；線性放大器忽略死區(qū)、飽和的影響。

2.切線法或小偏差法，如晶體管放大電路的小信號(hào)分析法。這種方法特別適用于具有連續(xù)變化的非線性特性函數(shù)，其實(shí)質(zhì)是在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，將非線性用一段直線來代替。2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型關(guān)于小偏差線性化：⑴必須有明確的平衡工作點(diǎn)，線性化模型只在該工⑶在工作點(diǎn)不能作泰勒展開的系統(tǒng)，不可能做線性作點(diǎn)鄰域有效；⑵線性化的精確度與工作范圍和系統(tǒng)的非線性程度有關(guān)；化處理。2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型線性微分方程的解有特解和通解組成。通解有特征根決定，代表著自由運(yùn)動(dòng)。每一種模態(tài)代表著一種運(yùn)動(dòng)形態(tài)。2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型6.運(yùn)動(dòng)的模態(tài)K(t)=Ae-atG(s)=傳遞函數(shù)：AS+a零極點(diǎn)分布圖：-aj00運(yùn)動(dòng)模態(tài)1K(t)=Ae-atsin(bt+α)G(s)=傳遞函數(shù)：A1s+B1(S+a)2+b2零極點(diǎn)分布圖：-ajb0運(yùn)動(dòng)模態(tài)20G(s)=傳遞函數(shù)：A1s+B1

S2+b2K(t)=Asin(bt+α)零極點(diǎn)分布圖：jb0運(yùn)動(dòng)模態(tài)30G(s)=傳遞函數(shù)：A1s+B1(S-a)2+b2零極點(diǎn)分布圖：ajb0K(t)=Aeatsin(bt+α)運(yùn)動(dòng)模態(tài)40G(s)=傳遞函數(shù)：As-a零極點(diǎn)分布圖：aj0K(t)=Aeat運(yùn)動(dòng)模態(tài)5運(yùn)動(dòng)模態(tài)小結(jié)j0j0j0j0j0據(jù)電學(xué)基本定律可列出下列方程組：

消去中間變量i(t)，得：在初始條件為零的情況下，進(jìn)行拉氏變換：可見，輸入輸出象函數(shù)之比只與本電路結(jié)構(gòu)參數(shù)R、C有關(guān)。它可用來表征電路本身的特性，稱為傳遞函數(shù)?？刂葡到y(tǒng)復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型引言右圖是由RC組成的四端口無源網(wǎng)絡(luò)：2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)的微分方程是在時(shí)間域描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定的初始條件下，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。這種方法比較直觀，但是如果系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)改變或是參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，就需要重新列寫、求解微分方程。

用拉氏變換法求解微分方程時(shí)，可以得到系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域上的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且可以研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或參數(shù)發(fā)生變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論的重要概念，頻域分析法和根軌跡分析法就是以此為基礎(chǔ)建立起來的。2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型（1）傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，叫做系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

1.傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，ai和bj是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：

2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型設(shè)r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0時(shí)的值均為零，即零初始條件，則對(duì)上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得代數(shù)方程為：2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型于是，由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：式中：零初始條件含義為：1)輸入量在t=0+時(shí)開始作用于系統(tǒng)，因此t=0-時(shí)系統(tǒng)的輸入量及各階導(dǎo)數(shù)均為零；2)輸入量在作用于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)相對(duì)靜止，因此系統(tǒng)輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值也均為零。2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型解：已知RLC網(wǎng)絡(luò)的微分方程表示為：

例1求RLC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。

在零初始條件下，對(duì)上式各項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，可得到s的代數(shù)方程為：由傳遞函數(shù)的定義可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型作為一種數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，這是由于傳遞函數(shù)是經(jīng)拉普拉斯變換導(dǎo)出的，而拉氏變換是一種線性積分運(yùn)算。傳遞函數(shù)只表示單輸入和單輸出(SISO)之間的關(guān)系，對(duì)多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，可用傳遞函數(shù)陣表示。

（2）傳遞函數(shù)的性質(zhì)2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型1)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)；所有系數(shù)都是實(shí)數(shù)且,這是由于實(shí)際系統(tǒng)的慣性所造成的。2）傳遞函數(shù)雖然描述了零初始條件下輸入和輸出間的關(guān)系，表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)在的固有特性，只與系統(tǒng)本身的特性參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入量或輸入函數(shù)無關(guān)。它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型3)傳遞函數(shù)與微分方程有互通性：

a)傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù)和分母多項(xiàng)式系數(shù)，分別與相應(yīng)的微分方程的右邊和左邊的系數(shù)相對(duì)應(yīng)。

b)將微分方程中的用變量s替換即得到傳遞函數(shù)，反之將傳遞函數(shù)中的變量s用替換即得到微分方程。

2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型4)傳遞函數(shù)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)。脈沖響應(yīng)(脈沖過渡函數(shù))是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時(shí)的輸出響應(yīng)。因?yàn)?

所以這為我們提供了一種求取傳遞函數(shù)的方法，如果已知系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，則其傳遞函為:2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型2.傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)（首“1”，K*根軌跡增益）

傳遞函數(shù)的零點(diǎn)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)也可以寫成時(shí)間常數(shù)的形式（尾“1”，開環(huán)增益）零點(diǎn)距極點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越大；零點(diǎn)距極點(diǎn)的距離越近，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越??；如果零極點(diǎn)重合－該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)為零，因?yàn)榉肿臃帜赶嗷サ窒?/p>

2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型極點(diǎn)是微分方程的特征根，因此，決定了所描述系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。傳遞函數(shù)的零點(diǎn)并不形成自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)，但他們卻影響各模態(tài)響應(yīng)中所占的比重，因而也影響響應(yīng)曲線的形狀。3.傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)輸出的影響

2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型4.典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)通常分為以下六種：

1)比例環(huán)節(jié)

式中K-增益特點(diǎn)輸入輸出量成比例,無失真和時(shí)間延遲。實(shí)例電子放大器,齒輪,電阻(電位器),感應(yīng)式變送器等。任何一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成。2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型單個(gè)電位器用作為信號(hào)變換裝置2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型

式中

T-時(shí)間常數(shù)

特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入其輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無振蕩。2）慣性環(huán)節(jié)

2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型例

如圖所示的無源網(wǎng)絡(luò)電路

(其中RC＝T)2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型理想微分一階微分二階微分特點(diǎn)：輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)。3)

微分環(huán)節(jié)

2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型在實(shí)際的機(jī)電控制工程系統(tǒng)中，理想的微分環(huán)節(jié)很難實(shí)現(xiàn)，通常用:(其中T，K為常數(shù))來近似微分環(huán)節(jié)。

例

如圖所示的無源微分網(wǎng)絡(luò)

(其中K=1，T=RC)2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型

4）

積分環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。實(shí)例：電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型例

如圖所示的積分運(yùn)算放大器2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型式中:ξ－阻尼比

---時(shí)間常數(shù)

---自然振蕩角頻率（無阻尼振蕩角頻率）特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實(shí)例：RLC電路的輸出與輸入電壓間傳遞函數(shù)。

5）振蕩環(huán)節(jié)

2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型例

如圖所示的R-L-C無源網(wǎng)絡(luò)

2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型6)純時(shí)間延時(shí)環(huán)節(jié)式中－延遲時(shí)間特點(diǎn)：輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時(shí)間間隔。實(shí)例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型

在控制工程中，為了便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，常將各元件在系統(tǒng)中的功能及各部分之間的聯(lián)系用圖形來表示，即結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖。1.系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖結(jié)構(gòu)圖也稱方塊圖或方框圖，具有形象和直觀的特點(diǎn)。系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)中各元件功能和信號(hào)流向的圖解，它清楚地表明了系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)間的相互關(guān)系。它適用于線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。（1）結(jié)構(gòu)圖的組成構(gòu)成結(jié)構(gòu)圖的基本符號(hào)有四種：信號(hào)線比較點(diǎn)引出點(diǎn)方框（環(huán)節(jié)）2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖信號(hào)線:帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)傳遞的方向在直線一側(cè)標(biāo)出信號(hào)的名稱，一般多用象函數(shù)表示。2)引出點(diǎn)(測(cè)量點(diǎn))：表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置同一位置引出的信號(hào)特性完全相同2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖3)比較點(diǎn)(綜合點(diǎn))：表示兩個(gè)或兩個(gè)以上的信號(hào)相加減運(yùn)算4)方塊(環(huán)節(jié))：表示信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換方塊中寫入元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

方塊的輸出變量就等于輸入變量與傳遞函數(shù)的乘積

2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)在清楚系統(tǒng)工作原理及信號(hào)傳遞情況下，可按結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式，把各個(gè)環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖，連接成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖.繪制步驟：(2)結(jié)構(gòu)圖的繪制1)列寫基本元件的拉氏變換表達(dá)式；2)將拉氏表達(dá)整理成易于繪圖的規(guī)范形式（輸入變量是第一個(gè)已知變量，放在等號(hào)右邊；未知變量放在等號(hào)左邊，前面方程左邊的變量都作已知變量）；3)用方框圖的基本構(gòu)件表達(dá)拉氏變換表達(dá)式；2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖例：試?yán)L制右圖無源網(wǎng)絡(luò)的方框圖。解：列寫上述方程過程中，已考慮到列寫順序和規(guī)范形式。從第一個(gè)方程開始繪制，逐個(gè)完成。I2(s)CsUo(s)R2I1(s)I

(s)UR1(s)Ui

(s)-Uo(s)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖R2R1i1i2iuiuoC

方框圖等效變換使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)便于理解、分析和計(jì)算傳遞函數(shù)。“等效”是指變換部分兩端的信號(hào)傳遞關(guān)系不變。

2.方框圖的等效變化和簡(jiǎn)化⑴串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)⑵并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)簡(jiǎn)記，“串聯(lián)相乘”。（可以推廣）簡(jiǎn)記，“并聯(lián)比較”。（可以推廣）X3(s)X1(s)X2(s)G1(s)G2(s)X1(s)X3(s)G1(s)G2(s)X1(s)X4(s)X2(s)X3(s)G1(s)G2(s)±G1(s)±G2(s)X1(s)X4(s)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖⑶反饋連接環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)簡(jiǎn)記，(對(duì)于負(fù)反饋)

X2(s)_

X3(s)X1(s)X4(s)G1(s)G2(s)X4(s)X1(s)等效傳遞函數(shù)=

；前向傳遞函數(shù)1+開環(huán)傳遞函數(shù)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖⑷比較點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則(要點(diǎn)信號(hào)關(guān)系等效)X2(s)X3(s)X1(s)±G(s)X2(s)X3(s)X1(s)±G(s)G(s)X2(s)X3(s)X1(s)±G(s)X2(s)X3(s)X1(s)±G(s)1/G(s)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖⑸引出點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則(要點(diǎn)信號(hào)關(guān)系等效)X2(s)X1(s)X1(s)G(s)X2(s)X2(s)X1(s)G(s)X2(s)X1(s)X1(s)G(s)1/G(s)X2(s)X2(s)X1(s)G(s)G(s)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖⑹比較點(diǎn)與比較點(diǎn)之間，引出點(diǎn)與引出點(diǎn)之間交換位置信號(hào)關(guān)系不變；比較點(diǎn)與引出點(diǎn)之間交換位置要慎重，盡可能不采用。⑺負(fù)號(hào)在支路上移動(dòng)(要點(diǎn)：信號(hào)關(guān)系等效)。方塊圖的等效規(guī)則

a.各前向通道的傳遞函數(shù)乘積不變；

b.各回路傳遞函數(shù)的乘積不變。2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖結(jié)構(gòu)圖三種基本形式G1G2G1G2串聯(lián)并聯(lián)反饋G1G2RCG2G1RCG1G2RCRCRCG1G1G21+RC2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖2.相鄰比較點(diǎn)可互換位置、可合并…結(jié)構(gòu)圖等效變換方法1.三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式3.相鄰引出點(diǎn)可互換位置、可合并…

注意事項(xiàng)：1.不是典型結(jié)構(gòu)不可直接用公式2.引出點(diǎn)比較點(diǎn)相鄰，不可互換位置2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖G1G2G3H1錯(cuò)！G1G2G3H1G2H1G1G3G1G2G3H1G2向同類方向移動(dòng)比較點(diǎn)移動(dòng)G1G2G3H1G1引出點(diǎn)移動(dòng)G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1例：簡(jiǎn)化系統(tǒng)方框圖，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)=C(s)/R(s)。系統(tǒng)方框圖R(s)_C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)__解：方法一R(s)_C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)__1/G4(s)方法二H3(s)R(s)_C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)__方法三G4(s)H3(s)_R(s)_C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)__H3(s)/G2(s)方法四_R(s)_C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)__G2(s)H2(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H(s)H(s)__G5(s)例:試簡(jiǎn)化系統(tǒng)方框圖，求傳遞函數(shù)G(s)=C(s)/R(s)。系統(tǒng)方框圖解：R(s)C(s)G1(s)G3(s)G2(s)G4(s)G3(s)H(s)G4(s)H(s)__G5(s)四個(gè)信號(hào)經(jīng)三個(gè)求和點(diǎn)比較，交換次序，得R(s)C(s)G1(s)G3(s)G2(s)G4(s)G3(s)H(s)G4(s)H(s)__G5(s)R(s)C(s)G1(s)G3(s)G2(s)G4(s)G3(s)H(s)G4(s)H(s)__G5(s)3.信號(hào)流圖的組成及性質(zhì)信號(hào)流圖是一種表示一組線性代數(shù)方程的圖示方法。像結(jié)構(gòu)圖一樣，它也是一種描述系統(tǒng)內(nèi)部信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。信號(hào)流圖比結(jié)構(gòu)圖更簡(jiǎn)單明了，可不必求解方程就得到各變量之間的關(guān)系，既直觀又形象。當(dāng)系統(tǒng)方框圖比較復(fù)雜時(shí)，可以將它轉(zhuǎn)化為信號(hào)流圖，并可據(jù)此采用梅遜(Mason)公式求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，但是它只能用來描述線性系統(tǒng)。2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖信號(hào)流圖中的網(wǎng)絡(luò)是由一些有向線段將一些節(jié)點(diǎn)連接起來組成。信號(hào)流圖的基本性質(zhì)如下：圖示的方塊圖與之對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖的關(guān)系

2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖

1)節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的變量或信號(hào)，通常節(jié)點(diǎn)是自左向右設(shè)置，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的信號(hào)是通過節(jié)點(diǎn)信號(hào)的代數(shù)和，而同一節(jié)點(diǎn)流向各支路的信號(hào)均用該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)表示，任何節(jié)點(diǎn)都用空心圓圈

“ο”表示。2)支路相當(dāng)于乘法器，信號(hào)流經(jīng)支路時(shí)，流入支路的信號(hào)乘以支路的增益等于流出支路的信號(hào)：3)信號(hào)在支路上只能沿箭頭方向單向傳遞。4)同一系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)變量可以任意設(shè)置，信號(hào)流圖不唯一，但最終的傳遞函數(shù)是唯一的。

2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖常用的術(shù)語：源節(jié)點(diǎn)（輸入節(jié)點(diǎn)）：代表輸入變量，如節(jié)點(diǎn)：X1阱節(jié)點(diǎn)（輸出節(jié)點(diǎn)）：代表輸出變量，如節(jié)點(diǎn)：X7混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路，如節(jié)點(diǎn)：X2，X3，X42-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號(hào)流圖回路：起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一個(gè)節(jié)點(diǎn)，而且信號(hào)通過每一個(gè)節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合通路，

前向通道：信號(hào)從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)傳遞時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路，如：