江蘇省新高考基地學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第三次大聯(lián)考數(shù)學(xué)答案

2024屆新高考基地學(xué)校第三次大聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效．3．本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解分式不等式求解集合N，然后利用交集運算求解即可.【詳解】因為，所以，所以或，所以或，又，所以.故選：B2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則計算出，進(jìn)而求出共軛復(fù)數(shù).【詳解】，故.故選：A3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用，結(jié)合兩角和的余弦即可求解.【詳解】,則.故選：A4.已知直線與曲線相切，則實數(shù)k的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，從而得到直線方程為，再將切點代入直線求解即可.【詳解】設(shè)切點為，，則，所以直線方程為.又因為在直線上，所以，解得.所以.故選：C5.已知是的邊上的高，且，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，表達(dá)出，根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出，進(jìn)而得到答案.【詳解】設(shè)，則，由得，解得，故故選：B6.設(shè)點，拋物線上的點P到y(tǒng)軸的距離為d．若的最小值為2，則（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】結(jié)合拋物線的定義即可求解.【詳解】拋物線，則焦點，準(zhǔn)線，最小時，即最小，根據(jù)拋物線定義，，所以只需求的最小值即可，當(dāng)為線段與拋物線交點時，最小，且最小值為，解得.故選：D7.已知是等差數(shù)列，且，，則（）A.15 B.26 C.28 D.32【答案】C【解析】【分析】設(shè)出公差為，進(jìn)而裂項相消法求和得到，從而得到方程，求出公差，進(jìn)而求出答案.【詳解】設(shè)公差為，則，則，所以，故，解得，故.故選：C8.若一個小球與一個四棱臺的每個面都相切，設(shè)四棱臺的上、下底面積分別為，，側(cè)面積為S，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】利用等體積法即得.【詳解】設(shè)小球半徑為R，因為一個小球與一個四棱臺的每個面都相切，所以四棱臺的體積等于以球心為頂點，以四棱臺的上、下底面和四個側(cè)面為底面的六個四棱錐的體積之和，其高都是球的半徑R，且棱臺的高是2R，則四棱臺的體積為，得，即，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在四棱錐中，底面是菱形，P在底面上的射影E在線段上，則（）A. B.C.平面 D.⊥平面【答案】AC【解析】【分析】A選項，由線面垂直得到線線垂直，結(jié)合勾股定理求出；B選項，由于與不一定相等，故不一定相等；C選項，由線線垂直得到線面垂直；D選項，連接，若不重合，與不垂直，故與不垂直，D錯誤.【詳解】A選項，由題意得⊥平面，底面是菱形，連接與交于點，則，⊥，因為，故，又，故，A正確；B選項，因為⊥平面，所以，由于與不一定相等，故不一定相等，B錯誤；C選項，因為底面是菱形，所以，又⊥平面，平面，所以⊥，因為，平面，所以平面，C正確；D選項，連接，若不重合，此時中，為斜邊，故與不垂直，故與不垂直，故此時與平面不垂直，D錯誤.故選：AC10.設(shè)矩形的長是寬的2倍，以該矩形的兩個頂點為焦點的雙曲線W經(jīng)過另外兩個頂點，則W的離心率的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】分兩種情況，作出圖形，得到或，代入雙曲線方程，得到關(guān)于的齊次式，求出離心率.【詳解】（1）如圖1，矩形中，，且為兩個焦點，設(shè)為中點，如圖以為原點，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，可設(shè)雙曲線方程為，則，設(shè)，將代入雙曲線中得，，變形得，將代入中得，，方程兩邊同時除以得，解得，當(dāng)時，解得，負(fù)值舍去，當(dāng)時，解得舍去，負(fù)值也舍去；（2）如圖2，矩形中，，且，設(shè)為中點，如圖以為原點，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，可設(shè)雙曲線方程為，則，將其代入雙曲線中得，，整理得，將代入中得，，方程兩邊同時除以得，解得，當(dāng)?shù)?，，?fù)值舍去，當(dāng)?shù)?，舍去，?fù)值舍去，綜上，離心率的可能取值為或.故選：AD11.在生物科學(xué)和信息科學(xué)中，經(jīng)常用到“S型”函數(shù)：，其導(dǎo)函數(shù)為，則（）A.有極值點 B.點是曲線的對稱中心C.是偶函數(shù) D.，【答案】BC【解析】【分析】A，求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性；B，討論即可；C，結(jié)合奇偶性的定義討論即可；D，分，，討論即可.【詳解】由函數(shù)，求導(dǎo)得：，，，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，沒有極值點，A錯誤；因為，所以，所以點是曲線的對稱中心，B正確；，定義域為，，C正確；函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，又，當(dāng)則時，，則，，則時，，則，，則時，，則，，則D錯誤.故選：BC12.某工廠對生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，檢測包括兩輪，每輪檢測有A和B兩種結(jié)果．第一輪是對所有生產(chǎn)產(chǎn)品進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果為B的產(chǎn)品定等級為乙；檢測結(jié)果為A的產(chǎn)品需進(jìn)行第二輪檢測．在第二輪檢測中，檢測結(jié)果為B的產(chǎn)品定等級為乙；檢測結(jié)果為A的產(chǎn)品定等級為甲．在每輪檢測中，甲等品檢測結(jié)果為A的概率是0.95，乙等品檢測結(jié)果為A的概率是0.05．已知該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中甲等品的占比為，則（）A.已知一件產(chǎn)品是乙等品，檢測后定等級為甲的概率是0.0025B.已知一件產(chǎn)品是甲等品，檢測后定等級為乙的概率是0.0025C.從檢測后的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，檢測結(jié)果是甲等品的概率為0.8125D.已知一件產(chǎn)品檢測結(jié)果是甲等品，該產(chǎn)品檢測前是乙等品的概率大于0.001【答案】AC【解析】【分析】對于A選項：要使檢測后定等級為甲，則兩輪檢測結(jié)果都為A，用概率乘法公式計算即可;對于B選項：要使檢測后定等級為乙，則可能為第一輪檢測結(jié)果為B，或第一輪檢測為A，但第二輪檢測結(jié)果為B，用概率加法公式計算即可;對于C選項：利用該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中甲等品的占比為，計算即可;對于D選項:記該產(chǎn)品檢測前是乙等品為事件，記該產(chǎn)品檢測結(jié)果是甲等品為事件，利用條件概率公式計算即可.【詳解】結(jié)合題意可得：①若一件產(chǎn)品是甲等品，要使檢測后定為等級甲，則兩輪檢測結(jié)果都為A，即檢測后定等級為甲的概率；②若一件產(chǎn)品是甲等品，要使檢測后定為等級乙，則可能為第一輪檢測結(jié)果為B，或第一輪檢測為A，但第二輪檢測結(jié)果為B,即檢測后定等級為乙的概率為，③若一件產(chǎn)品是乙等品，要使檢測后定為等級甲，則兩輪檢測結(jié)果都為A，即檢測后定等級為甲的概率；④若一件產(chǎn)品是乙等品，要使檢測后定為等級乙，則可能為第一輪檢測結(jié)果為B，或第一輪檢測為A，但第二輪檢測結(jié)果為B,即檢測后定等級為乙的概率為.綜上所述：對于A選項：已知一件產(chǎn)品是乙等品，檢測后定等級為甲的概率是0.0025，故A選項正確；對于B選項：已知一件產(chǎn)品是甲等品，檢測后定等級為乙的概率是0.0975，故B選項錯誤；對于C選項:因為該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中甲等品的占比為，所以從檢測后的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，要使檢測結(jié)果是甲等品的概率為，故C選項正確；對于D選項:記該產(chǎn)品檢測前是乙等品為事件，記該產(chǎn)品檢測結(jié)果是甲等品為事件,則,,則，故D選項錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若一個五位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和為3，則這樣的五位數(shù)共有______個．【答案】【解析】【分析】先分類，再分步，結(jié)合排列組合知識，利用計數(shù)原理求解即得.【詳解】若一個五位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和為3，則這樣的五位數(shù)可分為類：第一類，五位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字是個，個組成，則由首位不為可知，在首位，其余各位為，即，僅有種方法；第二類，五位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字是個，個，個組成，則由首位不為可知，或在首位，選個放在首位，另個則從其它個位選個位放上，其余各位為，共有種方法；第三類，五位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字是個，個組成，則由首位不為可知，在首位，在其它個位中選個位為，其余各位為，共有種方法；所以由分類計數(shù)原理可得共有個這樣的五位數(shù).故答案為：.14.已知圓C的半徑為5，圓心C在第一象限，且直線與x軸截圓C所得弦長都為6，則圓心C的橫坐標(biāo)為______．【答案】8【解析】【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)，利用幾何法由直線與圓相交弦長及半徑可得圓心至直線的距離，再由點到直線的距離公式待定圓心坐標(biāo)即可.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，圓心C在第一象限，則如圖，圓與及軸相交弦長都為，則半弦長為，又已知圓的半徑為，則圓心到軸的距離為，則，由，得；且圓到的距離也為，則圓心到的距離，解得（舍），或，即圓心的橫坐標(biāo)為.故答案為：.15.寫出同時滿足下列條件①②③的一個函數(shù)______．①是二次函數(shù)；②是奇函數(shù)；③在上是減函數(shù)．【答案】【解析】【分析】寫一個滿足條件的即可.【詳解】因為是二次函數(shù)，所以令，，令，，故滿足條件②；令在上是減函數(shù)，滿足條件③，故答案為：16.把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．若的圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值為______；若曲線上存在唯一一點，，滿足點A關(guān)于原點的對稱點B也在曲線上，則的取值范圍是______．【答案】①.②.【解析】【分析】①由函數(shù)圖像平移和三角函數(shù)的對稱性可解；②由題意點與點都在函數(shù)圖像上，可得，由于只有一解，即只有一解，從而得解.【詳解】函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則，若的圖象關(guān)于原點對稱，則，所以，則的最小值為；又點關(guān)于原點的對稱點，由題意，可得，即，所以，由題意只有唯一一個使得上式成立，所以，且只有一解，由，則，可得，解得.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等比數(shù)列的公比，且，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)及基本量運算即可；（2）應(yīng)用分組求和及等差等比公式求和即可.【小問1詳解】由，得，解得或，當(dāng)時，，則，則，因，不合舍去；當(dāng)時，，則，得；則【小問2詳解】由，則18.某超市準(zhǔn)備在今年店慶日舉行抽獎活動，凡購物金額超過m元的顧客參加一次抽獎．抽獎規(guī)則如下：從裝有大小、形狀完全相同的4個黑球2個紅球的盒子中隨機(jī)取2個小球，若2個小球都為紅色，則獲100元獎金；若2個小球為1紅1黑，則獲30元獎金；若2個小球都為黑色，則獲10元獎金．（1）記參加抽獎的一名顧客獲得獎金為X元，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）該超市去年店慶日共有3000名顧客購物，統(tǒng)計購物金額得到如下的頻率分布直方圖．若今年抽獎活動總獎金預(yù)設(shè)為12000元，依據(jù)去年店慶日的數(shù)據(jù)，給出合理的m的值，并說明理由．【答案】18.答案見解析.19.，理由見解析.【解析】【分析】（1）先確定隨機(jī)變量的可能取值，在求出對應(yīng)的概率就可以列出分布列，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望；（2）先計算可抽獎的顧客的人數(shù)，再用去年的頻率估計概率，確定的值，使得購物金額超過的人數(shù)與可抽獎的人數(shù)一致即可.【小問1詳解】由題意：的值可能為：10，30，100，且，，.所以的分布列為：1030100所以：.【小問2詳解】今年預(yù)設(shè)獎金12000元，故參與抽獎的人數(shù)可以為：（人）.所以可以參與抽獎的概率為.因為，所以.19.記的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，．（1）求；（2）若D是邊上一點，，且，求的面積，【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理化角為邊，結(jié)合得，再由余弦定理求；（2）根據(jù)題意由得，則在中，由與角可得。從而由（1）比例關(guān)系得其他，進(jìn)而由面積公式得解.【小問1詳解】由，得，將代入得，，化簡得，即，則；【小問2詳解】由（1）知，則，則在中，由，解得，所以，解得，則，故的面積.20.如圖，在直三棱柱中，，，兩個質(zhì)點分別從點和點同時出發(fā)，均以每秒個單位長度的速度分別向點，作直線移動.如圖，點,分別是兩質(zhì)點移動秒后到達(dá)的位置．（1）證明：平面；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）作輔助線構(gòu)造平行四邊形，由線線平行證明線面平行；（2）通過轉(zhuǎn)換頂點表示三棱錐的體積確定體積最大時的值，然后求平面的法向量，根據(jù)直線與平面所成角的正弦值等于直線的方向向量與平面法向量夾角余弦值的絕對值，求解即可.【小問1詳解】證明：分別過,作平行于的直線交于，交于,連接,因為,兩點運動速度相同，所以,因為，所以,又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以,又因為平面,平面，所以平面；【小問2詳解】過作的垂線，垂足為,過作的垂線，垂足為，由題意可得，，所以，當(dāng)時，最大，此時,分別為，的中點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，,設(shè)平面的法向量為，所以，得，令，則，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.21.已知函數(shù)．（1）若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；（2）若的最小值為3，求a．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和最值情況，求出答案；（2）先由，得到，求導(dǎo)后，再令，求導(dǎo)結(jié)合隱零點得到的單調(diào)性，從而得到的最小值，得到方程，求出的值，舍去不合要求的解.【小問1詳解】，由題意得在上恒成立，即，即在上恒成立，令，，，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，，故，a的取值范圍是.【小問2詳解】的定義域為，其中，因為的最小值為3，所以，解得，，當(dāng)時，設(shè)，則，故在上遞增，因為，，所以存在，使得，當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，上單調(diào)遞增，故，所以，又，所以，解得或，解得或，當(dāng)時，，解得，