南京市2022屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷

南京市2022屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共6頁(yè)，包括單項(xiàng)選擇題（第1題?第8題）.多項(xiàng)選擇題（第9題?第12題）、填空題（第

13題?第16題）、解答題（第17題?第22題）四部分.本試卷滿(mǎn)分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考生號(hào)填涂在答題卡上指定的位置.

3.回答選擇題時(shí)?，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

一、選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合4={%|%2一9<o},B={X|2%-4>0},則A3=

A.（-oo,-3]B.L-3,+oo）C.[-3,2）D.（2,3]

【答案】D

2.已知9是純虛數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)

2-i

A.—2B.—C.—D.2

22

【答案】C

3.“機(jī)=1”是“直線(xiàn)4x+3y+機(jī)=0與圓％2+V-2%=0相切”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

4.已知a,b為單位向量，且（4a—A）_L（a+3b）,則a,方夾角的余弦值為

【答案】B

5.將4名志愿者全部安排到某社區(qū)參加3項(xiàng)工作，每人參加1項(xiàng)，每項(xiàng)工作至少有1人參加,

則不同的安排方式共有

A.24種B.36種C.60種D.72種

【答案】B

2,,2

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線(xiàn)C看一2=l（a>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為斗鳥(niǎo),

1

過(guò)招且垂直于1軸的直線(xiàn)與。交于P,Q兩點(diǎn)，耳。與y軸的交點(diǎn)為A,F}Q±PR,則C的

離心率為

A.V2B.6C.2D.75

【答案】B

7.取一條長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下的兩段；再將剩下的兩段分

別三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；……；將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至

無(wú)窮，由于在不斷分割舍棄過(guò)程中，所形成的線(xiàn)段數(shù)目越來(lái)越多，長(zhǎng)度越來(lái)越小，在極限的情

況下，得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，稱(chēng)為康托爾三分集.若在第九次操作中去掉的線(xiàn)段長(zhǎng)度之和不小

于,，則八的最大值為（參考數(shù)據(jù)：愴2。0.301（）,怛3。0.4771）

60

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

12

【解析】第1次操作去掉的線(xiàn)段長(zhǎng)度上，第2次操作去掉的線(xiàn)段長(zhǎng)度三，

39

4

第3次操作去掉的線(xiàn)段長(zhǎng)度上，

27

1（2丫t

第九次操作去掉的線(xiàn)段長(zhǎng)度一?一

313）

邛邪」」邪」

（3人3）6020

二lg1|)之舄，(〃一DQg2-lg3)>-(lg2+lglO)

5-1)(0.3010-0.4771)>-(0.3010+1),:.n-\<——°3010+1—

0.3030-0.4771

二〃一147.39,"W8.39,/4lnixaA=8，選C.

8.已知a,Z?,ce(0,1),且"-21na+1=e,b~-21nZ?+2=e2,c2-21nc+3=e3,其

中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

22r2_2

【解析】令/(%)=%2—21n%,_f(x)=2x——=------<0,

XX

2

.?"(%)在(0,1)“而/(a)=e—1，f(h)=e2-2,/(c)=e3-3,

e-l<e2-2<e3-3,f(a)<f(h)<,

:.a>b>c,選A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.房地產(chǎn)市場(chǎng)與城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展密切相關(guān),更與百姓的生活密切相關(guān).按照房地產(chǎn)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)理論,

房屋銷(xiāo)售量與房?jī)r(jià)有密切關(guān)系.下圖是某城市過(guò)去一年中七個(gè)樓盤(pán)的新房成交均價(jià)與成交面積

折線(xiàn)圖，則下列結(jié)論中正確的是

A.這七個(gè)樓盤(pán)中，每個(gè)樓盤(pán)的成交均價(jià)都在［88,8,120.0］內(nèi)

B.這七個(gè)樓盤(pán)中，樓盤(pán)2的成交總額最大

C.這七個(gè)樓盤(pán)，成交面積的平均值低于200

D.這七個(gè)樓盤(pán)，成交面積與成交均價(jià)呈負(fù)相關(guān)

【答案】BD

10.已知根，〃是兩條不同的直線(xiàn)，。，夕/是三個(gè)不同的平面.下列說(shuō)法中正確的是

A.若tna,inu0,a/3-n,則根n

B.若〃2n,ma,則〃/a

C.若a-0=n,a,則〃_L7

D.若〃zJ_a,根_L.夕,2則y

【答案】ACD

11.設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足2%+y=l,則

3

B.工+工的最小值是9

A.孫的最大值是一

4%y

C.4d+y2的最小值為_(kāi)LD.JM+J］的最小值為2

2

【答案】BC

【解析】1=2x+y22,2孫,l>8xy,:.xy<~,B|J(A)；)max=-,A錯(cuò);

88

21(22y2%|、一八

—+—=-+—(2-x+y)=4+—+——+125+4=9,

%y1%yj%y

(2iA

即一+士=9,B對(duì)；

1%"in

4d+y2=Q%+y)2_4盯21_4x：=：,即(4%2+y2%n=4，C對(duì)；

822

(^2x+y[y)2=2x+y+2yl2xy<\+2^=2,

:.y/2x+y[y<42,D錯(cuò)，選BC.

jx0WxW1

12.已知/(%)是周期為4的奇函數(shù)，且當(dāng)0<xW2時(shí)，f(x)=]'一—'設(shè)

[2-x,i<x<2.

g(x)=/(%)+/(x+D，則

A.函數(shù)y=g(%)為周期函數(shù)

B.函數(shù)y=g(%)的最大值為2

C.函數(shù)y=g(%)在區(qū)間(7,8)上單調(diào)遞增

D.函數(shù)y=g(x)的圖象既有對(duì)稱(chēng)軸又有對(duì)稱(chēng)中心

【答案】ACD

【解析】g(x+4)=f(x+4)+f(x+5)=/(x)+f(x+1)=g(x),

二g(%)是周期函數(shù)，A對(duì)；

10<^<1

3-2xl<x<2

g(%)=<???g(X)max=1，B錯(cuò);

—12<x<3

2x-73<x<4

g(x)在(3,4)，8(幻周期為4,二儀工)在(7,8)\C對(duì);

4

g(%)+g(3-x)=f(x)+f(x+1)+f(3-x)+/(4-x)

=/(%)+f(x+l)+/(-l-x)+-(%)+f(x+l)-/(x+l)-/(x)=0,

?,.g(x)關(guān)于3,o］對(duì)稱(chēng)，，g(x)有對(duì)稱(chēng)中心.

12J

g(l-x)=f(l-x)+f(2-x)=-f(x-l)-f(x-2),/(%)周期為4,

/./(x+2)=-f(x),/./(x-2)=-f(x),/(x-l)=-/(x+l),

g(l-％)=于(x+1)+f(x)+g(x).

二g(%)關(guān)于X=g對(duì)稱(chēng)，,g(x)有對(duì)稱(chēng)軸，D對(duì)；

；.選ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.將函數(shù)丁=(：05%的圖象向右平移0(0>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與y=sin%的圖象重合,

則夕的一個(gè)可能的值為.(寫(xiě)出一個(gè)正確答案即可)

71

【答案】-(答案不唯一)

2

(1V,

14.已知1+—%5eN*)的展開(kāi)式中％2的系數(shù)是7,則〃=_________；若，與

I2J

￡+i(rcN)的系數(shù)相等，則「=.

【答案】8；2

15.如圖1所示，拋物面天線(xiàn)是指由拋物面(拋物線(xiàn)繞其對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面)反射器和位

于其焦點(diǎn)上的照射器(饋源，通常采用喇叭天線(xiàn))組成的單反射面型天線(xiàn)，廣泛應(yīng)用于微波和

衛(wèi)星通訊等，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn).圖2是圖1的軸截面，A,3兩點(diǎn)

關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，尸是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，NAF8是饋源的方向角，記為。.焦點(diǎn)廠(chǎng)到

頂點(diǎn)的距離/與口徑d的比值上稱(chēng)為拋物面天線(xiàn)的焦徑比，它直接影響天線(xiàn)的效率與信噪比

d

等.如果某拋物面天線(xiàn)的焦徑比等于0.5,那么饋源方向角e的正切值為.

5

圖1Sz

【答案】一2*4

7

29

16.在三棱錐P-ABC中，AABC和APBC都是邊長(zhǎng)為2g的正三角形，24=30.若M

為三棱錐產(chǎn)一ABC外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到平面A3c距離的最大值為

【答案】V5+1

【解析】方法一:

取24中點(diǎn)N,連BN,CN,則5N=CN=X?

設(shè)△PA3,△尸AC外接圓圓心分別為Q，

cosAPBA=12+^-1^-=-,sinZPBA=^-

2-2V3-2V344

6

外接圓半徑為八，則2外=出=拽02730

1巫5

4

..叵_亞=叵，同理照二場(chǎng).

12510210

設(shè)0。|=OO2=m,cosNQ]N2=：，則cosNOQO2=，

△ABC外接圓圓心為Q,，△ABC外接圓半徑弓,

2弓=半=4,”=2,OQ=1，

T

M到平面ABC距離最小值=75+1.

方法二：

取8C中點(diǎn)Q,.?.AD=PO=3,

又?.Q4=30,.?.NP0A=9O。，

,P3C_L平面ABC,作圖如下，

取△ABC的外心M,過(guò)用作MN_L平面A3C,

AM=2,MD=\,則三棱錐P—A3c外接球球心O一定在MN上，設(shè)=

由OA=OPnf+4=（3-%）2+inx=i,

/.M到平面ABC距離的最大值為V5+1.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，$3=74,且q,4+2，生成等差

數(shù)列.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

為奇數(shù)，Z）

<2）若打:“沙田剁求數(shù)列也｝的前2〃項(xiàng)和耳.

為偶數(shù)，

【解析】

7

(1)由題意知q+%q+%q~=7qq~+Q—6=0,

(q-2)(夕+3)=0=>q=2,q,%+2,%成等差數(shù)列，

1,,+1

.1.4+q=2(4+2)=>a1+4q=2(2q+2)=q=4,/.an=4-2"=2.

(2)《"=4+用++b2n7+b2+b4++b2n

=223+24++22,,+2+4++2n

4(1—4")(2+2辦〃i、,i、

1-423

.4J3

18.(12分)請(qǐng)?jiān)冖貯B-AC=2；②sin8=’一；③a+b=5這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)

7

充在下面問(wèn)題中，并作答.

在△A8C中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為Q,0,C.已知sin(A—C)+sin6=sinA,c=2,

,若該三角形存在，求該三角形的面積；若該三角形不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解析】

sin(A—C)+sin3=sinAnsin(A-C)+sin(A+C)=sinAn2sinAcosC=sinA

cosC=—

2

兀

-.CG(0,zr),,\C=-

3

C_2_473

sinCV33

T

選①，ABAC=2,:.hccosA=2,即bcosA=l

▽bc473,473.

又----=-----=----,:.b=------sinBD

sinBsinC33

4\/3.an-/4n\八6

sinBcosA=1,BPsin(A+—)cosA=-^-

7C

.-.2sin(2A+-)=0

7171

:.2A+-=7T,即A='

33

8

rr

.?.A=3=C=—,即A43C為正三角形

3

即SAAHC=gx2x2x*=6

選②，sin8=------

7

b473,16

/.—產(chǎn)=-----,:.b-——

4G37

/.cosB=±-

7

當(dāng)cosB=」時(shí)，sinA=sin(B+C)=X—+—X

7727214

c11605G40G

AABC271449

%n1H47311V3373

當(dāng)cosB=——時(shí)，sinA=sin(B+C)=-----x-------x——=------

7727214

c_116_373_24V3

SA=-x—x2x-----=--------.

MABRC271449

選③，sin(A-C)+sin8=sinA=>sin(A-C)+sin(A+C)=sinA,

..1JI

2sinAcosC=sinAcosC=—,C=—.

23

.c=2,.'.a2+h~-2ab-=4(a+Z>)2—3ab=4nM=7,

“力可看作一元二次方程%2-5x+7=0的兩實(shí)根，顯然方無(wú)實(shí)根，故不存在.

19.(12分)科研小組為提高某種水果的果徑，設(shè)計(jì)了一套實(shí)驗(yàn)方案，并在兩片果園中進(jìn)行對(duì)

比實(shí)驗(yàn).其中實(shí)驗(yàn)園采用實(shí)驗(yàn)方案，對(duì)照?qǐng)@未采用.試驗(yàn)周期結(jié)束后，分別在兩片果園中各隨機(jī)

選取100個(gè)果實(shí),按果徑分成5組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：[21,26),[26,31),[31,36),[36,41),[41,46]

(單位：mm).統(tǒng)計(jì)后分別制成如下的頻率分布直方圖，并規(guī)定果徑達(dá)到36mm及以上的為

“大果”.

9

（1）請(qǐng)根據(jù)題中信息完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“大果”與“采用

實(shí)驗(yàn)方案”有關(guān);

采用實(shí)驗(yàn)方案未采用實(shí)驗(yàn)方案合計(jì)

大果

非大果

合計(jì)100100200

（2）根據(jù)長(zhǎng)期種植經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為對(duì)照?qǐng)@中的果徑X服從正態(tài)分布NO，。?），其中〃近似

為樣本平均數(shù)。。5.5.請(qǐng)估計(jì)對(duì)照?qǐng)@中果徑落在區(qū)間（39,50）內(nèi)的概率.（同一組中的數(shù)

據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表）

2

附：①/n(ad-be)

(q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

產(chǎn)（％2之％。）0.1000.0500.0100.0050.001

xo2.7063.8416.6357.87910.828

②若X服從正態(tài)分布,則尸（〃一。<X<〃+b）=0.683，

P(/z-2cr<X<//+2G=0.954,P(pi-3。<X<〃+3cr)=0.997.

【解析】

(1)

采用實(shí)驗(yàn)方案未采用實(shí)驗(yàn)方案合計(jì)

大果403090

非大果4070110

合計(jì)100100200

200x(4200-1200)-^18182>10828>

90x110x100x100

有99.9%的把握認(rèn)為“大果”與“采用實(shí)驗(yàn)方案”有關(guān).

10

(2)〃=%=23.5x0.1+28.5x0.2+33.5x0.4+38.5x0.2+43.5x0.1=33.5,

P(39<X<50)=尸(〃+cr<X<〃+3b)

尸(4一3。<X<〃+3cr)-尸(〃一cr<X<4+cr)0.997-0.683?.__

---------------------------------------------------------------=------------------=0.13/.

22

20.(12分)

22

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：J+:=l(a>/?>0)的左、右頂點(diǎn)分別為

ab

A,3.b是橢圓。的右焦點(diǎn)，且AF=3必，AFFB=3.

(1)求橢圓C的方程;

(2)不過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)/交橢圓C于兩點(diǎn)，記直線(xiàn)/,AM,AN的斜率分別為￡匕,右.若

k(k]+k2)=1,證明直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

【解析】

a+c=3(Q-c).

a=2f/

(1)由題意知4(a+c)(a—c)=3n<L橢圓C的方程為一+2-=L

b=643

a2-b1+c2

(2)設(shè)直線(xiàn)/的方程為X=祖>+/(m。0),Af(X|,y),N(%2，%)，A(-2,0),

X=my+t,,、,、,、

、r+廠(chǎng))+4y~=12=>(3//r+4)?+6/肛y+3廠(chǎng)-12=0

2

3%+4/=12

1、

y,%=ln-------=m

m%+2%+2,my{+t+2my2+t+2