高考數(shù)學(xué)解析幾何-第18講 阿基米德三角形

高考數(shù)學(xué)解析幾何

第18講阿基米德三角形

知識(shí)與方法

阿基米德(約公元前287年一前212年)，是偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、

物理學(xué)家,并且享有“力學(xué)之父”的美稱.他在求體積或面積時(shí)采用的“平衡法''一檔桿原理,被后

人命名為“阿基米德方法''.正是由于他對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)作出的突出貢獻(xiàn)以及對(duì)后世數(shù)學(xué)發(fā)展的深

邃影響,他又被后人譽(yù)為“數(shù)學(xué)之神”.

本節(jié)主要探討的阿基米德三角形指的是圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)的弦與過(guò)弦的端

點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形.阿基米德三角形得名于阿基米德在研究與拋物線有關(guān)的面積

問(wèn)題時(shí)得出的一個(gè)結(jié)論:拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積,等于拋物線的弦與過(guò)

弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二.(結(jié)論的證明利用了“平衡法”)

該結(jié)論的變式敘述可見(jiàn)于《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)選修3-KA版):數(shù)學(xué)史選講》

(人民教育出版社2007年1月第2版).

接下來(lái)，我們就去探討一下阿基米德三角形中蘊(yùn)藏的一些重要性質(zhì)：

條件：已知拋物線C:廣=2py(p>0),如圖所示刀為某一直線，上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)。作C的兩條切線,

切點(diǎn)分別為4B,F為直線AB與y軸的交點(diǎn),則有以下結(jié)論成立：

結(jié)論1.1直線AB的方程為(%ι+x2)x—2py—x1x2=0.

證明:設(shè)A(XI,yj,則好=2py1.

由于y'=今所以切線/X4的斜率為藁,故切線ZM的方程為%ι%=p(y+7ι)(l)

設(shè)B(%2,y2),同理可得DB的方程為不％=p(y+y2)Q)

(1)+(2)化簡(jiǎn)后,可得y=竽(3)

將（3）代入⑴,可得X=管,所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為（警,養(yǎng)）

故直線AB的方程為Qi+%2）%-2py-X1X2=O

2

說(shuō)明:特別的,當(dāng)。為直線y=-葭上的動(dòng)點(diǎn)時(shí),直線/8的方程為（%ι+x2）x-2py+p=O且該

直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F.第二部分中的典例第（1）問(wèn)考查的就是該性質(zhì)的具體運(yùn)用.

結(jié)論1.2kDF?kAB=kDA?kDB=

證明:由結(jié)論1.1的證明可知點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（o,-署）

又MF=急件？心B=*，MA=MMB=學(xué)所以結(jié)論L2得證?

Pl.x1-TX2）NPPP

說(shuō)明:特別的,當(dāng)D為直線y=-晟上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，有DFJ_4B,Zλ4108；且此時(shí)△04B面積的達(dá)

到最小,其最小值為p2.第三部分中的第2題、第3題考查的均是該條性質(zhì)及推論的運(yùn)用,如若

我們對(duì)上述性質(zhì)比較熟悉,則審題結(jié)束時(shí)答案或許已了然于心.

結(jié)論1.3在阿基米德△￡MB中,有乙。凡4=乙DFB.

證明:如圖,過(guò)點(diǎn)4B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線A&,BBi,垂足為BI.連接ZlD,Bi。,DF,

4F,8F,4R則%討=_$,∕?=￡?

?χιwP

易知√4D1A1F.y,AA1=A凡所以40垂直且平分4ιF,故41。=DF1?DA1A=?DFA.

同理可得=DF,4DB[B=NDFB,所以4。=B1D=DF1?DA1B1=zDB1Λ1.

進(jìn)而4Zλ4遇=?DB1B,^?DFA=?DFB.

說(shuō)明:第三部分中的第4題的第（2）問(wèn)恰恰就考查了這一結(jié)論.

結(jié)論1.4ZM,4B,DB的斜率成等差數(shù)列、4。B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

證明:結(jié)合結(jié)論1.2的證明過(guò)程以及點(diǎn)。坐標(biāo)（坐,箸）,稍作運(yùn)算，便可證得該結(jié)論.

說(shuō)明:第三部分中的第5題的第（1）問(wèn)中就涉及到了這一結(jié)論.

結(jié)論1.5線段%,FD,FB的長(zhǎng)度之間的關(guān)系為吵=攀+號(hào).必?FB一p2.

證明:經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算即可得到上述結(jié)果.

說(shuō)明:特別的,當(dāng)。為直線y=，上的動(dòng)點(diǎn)時(shí),有線段F4FD,FB的長(zhǎng)度成等比數(shù)列.

結(jié)論1.6若以E為圓心的圓與直線AB相切于點(diǎn)7,則四邊形TWBE的面積為

IXjI-X2戶kι-X2I

-------------------XX-----------------

8p12p

證明:易知瓦5=（子,半尚），礪=（專1,也鏟）

利用面積公式SAzMB=^JDA2-DB2-（DA-而）2,可得

_1Xl-?一%2（%2-Xl）_%2一%1Xl（Xl-%2）_1匕一句3

δdab=2-22p22p=-8p-

1X1x2

又SAEAB=∣∣FF∣?∣x1-x2∣=∣（-?+箸）?%一次I=-XiX2-p'

s|X121xx

所以S四邊形ADBE=SA+?A=8p-l2'?^?.

說(shuō)明：當(dāng)。為直線y=—W上的動(dòng)點(diǎn)，且E（O，F(xiàn)）時(shí)，則四邊形4DBE的面積為奧薩+

p∣x1-x2∣?

結(jié)論1.7?DAB的重心G滿足的方程為4/一6py-x1x2=0.

證明:過(guò)程從略，感興趣的讀者可自行嘗試證明.

說(shuō)明:當(dāng)。為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，△ZMB的重心G的軌跡方程為4久2-6py+p2=O

結(jié)論1.8若P為拋物線弧AB上一點(diǎn),拋物線在點(diǎn)P處的切線與直線..分別交與MN兩點(diǎn),則

S&DMN：S“AB=1：2

所以%="="=%一心

MDPNNB%一工3「

、幾AMMPDN

設(shè)而=方=而=α'S"M°=b

因?yàn)榭娂o(jì)怒=α,所以SAPMA=ab

sAPMD

同理SAPNO=\，SAPNB=*所以SA。MN=b(1+^)-

D_MDDN_a(α+l)3

%所以SABAD=b?

KOADBD(α+l)2

所以SAPBA=SbDAB—SADMN—^ΔPAM—SAPBN=。'ɑ

JjffWSΔDMJVI^Δ,PAB=1:2.

值得注意的是拋物線的性質(zhì)遠(yuǎn)也不止這些，上述所列諸條,大多數(shù)是在區(qū)域模擬考試及高考

中經(jīng)常出現(xiàn)的.眾所周知,以阿基米德三角形為背景的直線的定點(diǎn)、三角形的面積、軌跡、最

值等相關(guān)問(wèn)題是高考和模擬考考查的熱點(diǎn)也是難點(diǎn).紙上得來(lái)終覺(jué)淺,接下來(lái)我們不妨從多個(gè)

視角去賞析一道高考題,以進(jìn)一步體會(huì)阿基米德三角形的相關(guān)性質(zhì).

典型例題

【例1】已知曲線Cy=D為直線y=W上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)D作C的兩條切線徹點(diǎn)分別為4B.

(1)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；

(2)若以E(0,|)為圓心的圓與直線ZB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn),求四邊形ADBE的面積.

強(qiáng)化訓(xùn)練

2

1.如圖拋物線Cl：/=4y,C2-.x=-2py(p>0).點(diǎn)M(Xo,y°)在拋物線C2上,過(guò)M作G的切線,

切點(diǎn)為4B(M為原點(diǎn)。時(shí),4B重合于0).當(dāng)a=1一企時(shí),切線AM的斜率為一M

(1)求P的值；

(2)當(dāng)M在C?上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段4B中點(diǎn)N的軌跡方程(4B重合于。時(shí),中點(diǎn)為0).

2.已知拋物線/=4y的焦點(diǎn)為尸,4,B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn),且荏=λFBQλ>0)過(guò)4B兩點(diǎn)分

別作抽整吧線,設(shè)其交點(diǎn)為M.

(1)證明兩?荏為定值；

(2)設(shè)4ABM的面積為S,寫出S=/(4)的表達(dá)式,并求S的最小值.

3.如圖,等邊三角形04B的邊長(zhǎng)為8百,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E:/=2py(p>0)±.

(1)求拋物線E的方程；

(2)設(shè)動(dòng)直線/與拋物線E相切于點(diǎn)P,與直線y=-1相交于點(diǎn)Q.證明以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸

上某定點(diǎn).

4.如圖，設(shè)拋物線C:y=/的焦點(diǎn)為凡動(dòng)點(diǎn)P在直線/：X-y-2=O上運(yùn)動(dòng),過(guò)P作拋物線C的

兩條切線P4PB,且與拋物線C分別相切于A,B兩點(diǎn).

(1)求44PB的重心G的軌跡方程；

⑵證明"E4=乙PFB.

5.如圖,設(shè)拋物線方程為X2=2py(p>O),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn),過(guò)M引拋物線的切

線,切點(diǎn)分別為A1B.

(1)求證：4B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

⑵已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2P)時(shí)，∣4B∣=4√T0求此時(shí)拋物線的方程；

(3)是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)C關(guān)于直線4B的對(duì)稱點(diǎn)。在拋物線/=2py(p>0)上，其中點(diǎn)C滿足

OC=OA+OB(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在,求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理

由.

參考答案

[例1]已知曲線C:y=：/,D為直線y=—；上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)。作C的兩條切線,切點(diǎn)分別為48.

(1)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；

(2)若以E(0,|)為圓心的圓與直線4B相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn),求四邊形ADBE的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)3或4√Σ

【分析】分析題目可知,直線AB是切點(diǎn)所在的直線,只需找到初點(diǎn)的共同屬性即可.故可采用

“設(shè)而不求”的思想就將該問(wèn)題解決.

【解析】解法1：設(shè)而不求

設(shè)。(t,-J,4(xι,yι),則*=2y1.

由于y，=χ,所以切線ZM的斜率為％,故誓=X]即ZM的方程為2tX]—2%+1=0.

設(shè)B(X242)，同理可得DB的方程為2tJ(?~2y2+l=0.

故直線48的方程為2tx-2y+1=0,所以直線4B過(guò)定點(diǎn)他*).

(2)由⑴得直線AB的方程為y=w%+；.由I’,可得/—2tx—1=0

(y

-z2

于是X]+X2=2t,XlX2=1>71+)2=t(?l+X2)+1=2t+1,

2=222

?AB?=?/l+t∣%ι—x2∣Λ∕1+tX7(xι+X2)—4?XjX2=2(t+1)

設(shè)山刀2分別為點(diǎn)D,E到直線的距離,則di=√FF,d2=?.

22

因此,四邊形力CBE的面積S=?μβ∣(d1+d2)=(t+3)√t+1.

設(shè)M為線段AB的中點(diǎn),則M(t,t2+?).

由于兩1荏,而前=(t,t2-2),而與向量(Lt)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或

C=±1.

當(dāng)t=0時(shí),S=3;當(dāng)t=±1時(shí),S=4√Σ因此,四邊形ADBE的面積為3或4√Σ

分析:本題還可從尋找切點(diǎn)4B定宜線入手，將直線AB用參數(shù)表示，借助海倫秦九韶公式將

面積問(wèn)題解決.

解法2：求切點(diǎn)定直線

(1)設(shè)。(t,-J,過(guò)D點(diǎn)與C相切的直線方程設(shè)為丫+3=代》一。切線4。,8。的斜率分別為

k],?2?

y+-=∕c(x-t)

,可得/—2kx+2kt+1=O(I)

y=τ

由A=0,可得Q—2kt—1=0(2)于是Al+〃2=2t,AIk2=一1

將@代入⑴,可得4（k∕）,B（七月）,所以七B=空=t?

故直線AB的方程為y=空工+：,即直線4B過(guò)定點(diǎn)（0,｛）.

⑵設(shè)線段ZB的中點(diǎn)坐標(biāo)為r（x°,%）,則有

Xo=空X%=竽=〃+去所以*=芋

又縱B,^ET--1,解得t-?；騮=±1

~DB=

利用面積公式S=3J湘2.AC2-(AB-AC)2=TlXIy2_X2%I可得

s_?,,?-?

問(wèn)理可得SAEAB=—七|

fe3+fek3

當(dāng)t=0B?,∣fc1-k2?=2,此時(shí)S冏邊形ADBE=3伙1_2∣II-2∣=

3

當(dāng)t=±l?,∣fc1-∕c2∣=2迎,此時(shí)Sf口邊形ADBE=3伙1_Zc2I+Ikl-fc2∣=4√2

注:此處給出的這種方法是解決此類問(wèn)題的通性通法,但注意不要漏掉斜率為0的情形.

解法3:設(shè)直線定“待參”

設(shè)直線AB的方程設(shè)為y=kx+m,A(x1,y1'),B(x2,y2)

P=fcx+m

2

由1_X,可得——2kx—2m=0.于是/÷X2=2k,x1x2=—2m

7=T

由于y'=》,所以切線D4BD的斜率分別為修,工2

所以切線8。的方程分別為Xι%=y+y~X2X=y+y2

聯(lián)立可得。點(diǎn)的縱坐標(biāo)％,=?X1X2=一τn,又。為直線y=-［上的動(dòng)點(diǎn),所以Tn=?

故直線48過(guò)定點(diǎn)（0,3

Xi×ι2

設(shè)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為T（XOJ。）,則有Xo=Lf=k

過(guò)4B分別作宜線y=的垂線,垂足分別為公,當(dāng),如圖所示，

所以點(diǎn)。為必當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn).記4B過(guò)的定點(diǎn)為匕則有4必=AF1BB1=BF

由(1)知ICAD-^BD=XiX2=-1,所以。41DB

N+2+加LMl_IXI-X213

易得SADA8=^S能殄MBlB

2―8

又SAEAB=IlEFl?∣x1-x2∣=∣(∣-∣)??×ι-x2?=l?i-X2I

以下計(jì)算同方法二.

解法四：設(shè)切點(diǎn)定截距

設(shè)411，蓑),8(如蔗),D(犯-J，直線4B：y=kx+b.

χ2

y=?由韋達(dá)定理得以+「二合

聯(lián)立nχ2-2kx-2b=0,

.y=kx+&

又y'=X,從而直線ZM,DB的方程分別為y=x1x-∣xf,y=x2x-∣xf?

TnXl-∣xf=-1

因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)。（弭-3,所以有,湖電不為方程/一2mx-1=O的兩根,

mx-?x2=~

22

即Xi?X2=-1=-2bab=所以直線AB過(guò)定點(diǎn)(of.

2

(2)由(I)知占+x2=2k,則yι+y2=∕c(x1+x2)+1=2k+1,所以,AB的中點(diǎn)Tk+

當(dāng)k=0時(shí).M(O,]),此時(shí),四邊形ZDBE的面積S=3.

當(dāng)k≠0時(shí),由∕?E?∣<AB=-1得彳=-X解得A?=1.

所以,|力22-2

81=√1÷k?Λ∕(X1÷x2)4X1X2=2(fc÷1)=4.

又點(diǎn)E到直線AB的距離di=?=√I,點(diǎn)。到直線4B的距離d2=√l+?2=√2

所以四邊形40BE的面積S=i×?AB?X(d?+d2)=4√2.

綜上，四邊形4DBE的面積為3或4√Σ

強(qiáng)化訓(xùn)練

以阿基米德三角形為背景考查的高考題主要還有以下幾種類型.

(―)軌跡問(wèn)題

2

1.如圖,拋物線=4y,C2-.x=-2py(p>0).點(diǎn)M(XO,y°)在拋物線C?上,過(guò)M作G的切線,

切點(diǎn)為4B(M為原點(diǎn)。時(shí),4,B重合于0).當(dāng)&=1一夜時(shí),切線AM的斜率為一點(diǎn)

(1)求P的值；

(2)當(dāng)M在C?上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段48中點(diǎn)N的軌跡方程(4B重合于。時(shí),中點(diǎn)為0).

【答案】(I)P=2;⑵見(jiàn)解析

【解析】(1)p=2過(guò)程從略；

(2)設(shè)N(X,y),AkI[2，§)，石≠刀2

由N為線段AB中點(diǎn)知X=野(1),所以y=應(yīng)提(2).

28

22

所以，切線MAMB的方程分別為y=^(x-x1)+*(3)y=^(x-x2)+今(4)

由(3)(4)得,MA,MB的交點(diǎn)M(XO,%)的坐標(biāo)為殉=?,7o=平.

因?yàn)辄c(diǎn)M(Xo,%)在。2上,即以=4yo,所以XIX2=—9受.⑸

由⑴⑵(5)得χ2=iy,χ≠0.

當(dāng)Xl=X2時(shí)AB重合于。時(shí),中點(diǎn)N為。,坐標(biāo)滿足χ2=iy.

因此?B中點(diǎn)N的軌跡方程為"=gy.

2.已知拋物線/=4y的焦點(diǎn)為F,4B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn),且Q=λFB(λ>0)過(guò)4B兩點(diǎn)分

別作推物線吧線,設(shè)其交點(diǎn)為M.

(1)證明麗?而為定值；

(2)設(shè)4ABM的面積為S,寫出S=/(4)的表達(dá)式,并求S的最小值.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)4.

【解析】(1)由已知條件,得f(0,l)4>0.

設(shè)A(Xl,月),8(如y2)?由而=/夙4>0)

E∣J(-X1.1-y)=λ(x2,y2-l),?β∣4^

Li-yi=λ(y2-1)②

將①式兩邊平方并把好=4y1,xl=4丫2代入得71=儲(chǔ)了2③

解②、③式得力=且有XIX2=-4,

拋物線方程為y=求導(dǎo)得y，=lz.

所以過(guò)拋物線匕4,B兩點(diǎn)的切線方程分別是

11

y=2χ1(χ一χι)+%，y=2x2^x一犯)+%

易得M的坐標(biāo)為("Y",—1).

所以麗?AB=(詈,一2),3-%1，y2-%)=0

(H)由(/)知在AABM中,FM14B,因而S=∣?AB?■?FM?.

2

又麗I=J(夸)2+(-2)2=』+"2=」+蘇∣ΛF∣=λ+i+2=(√Λ+?)

于是S=i∣∕lB∣?∣FM∣=∣(√λ+?)3,

由√Σ+a》2知S≥2,且當(dāng)4=1時(shí),S取得最小值4.

3.如圖,等邊三角形04B的邊長(zhǎng)為8百,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E:/=2py(p>0)±.

(1)求拋物線E的方程；

(2)設(shè)動(dòng)直線I與拋物線E相切于點(diǎn)P,與直線y=-1相交于點(diǎn)Q.證明以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸

上某定點(diǎn).

X

【答案】⑴*2=4y;⑵見(jiàn)解析.

【解析】（1）拋物線E的方程為/=4y,過(guò)程略.

χ

（2）設(shè)Poo,y0）,%≠0,由y=；刀2,得y，=[x,直線，的方程為y-y0=∣x0（一Xo），

即y=：與*一[詔?

聯(lián)立卜=5~>x-WA°，即，”-2%,所以Qf五

b=-lLy=-II2%J

設(shè)M（O,月）,所以而N=（?o.yo-71）.MQ=（警Ll-yj

因?yàn)辂?MQ=0,所以-y0~yoyι+為+*=。?又%=??o（?o≠0）,所以為=ι

故以PQ為直徑的圓恒過(guò)M（0,1）.

4.如圖，設(shè)拋物線C:y=/的焦點(diǎn)為尸,動(dòng)點(diǎn)P在直線/：X-y_2=O上運(yùn)動(dòng),過(guò)P作拋物線C的

兩條切線P4PB,且與拋物線C分別相切于48兩點(diǎn).

（1）求4APB的重心G的軌跡方程；

⑵證明NPF4=乙PFB.

【答案】（I）y=g（4χ2-X+2）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)4B坐標(biāo)分別為（％就）和（Xi,好）（3≠沏）,

所以切線AP的方程為：2沏X—y—詔=0;

切線BP的方程為:2%%-y-瓷=0;

解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為:孫=誓Jp=XoXl所以△4PB的重心G的坐標(biāo)為XG=x°+xfxp=Xp,

yo+yι+yp端+好+XOXl(XO+?l)2-XoXI4必-y

y∕=-----------=--------------=----------------=--------p

?yrG3333

所以為=-3yσ+4好,由點(diǎn)P在宜線E上運(yùn)動(dòng).

從而得到重心G的軌跡方程為：X-(-3y+4X2)-2=0,y=^(4x2-%+2).

(2)因?yàn)橥?(x0lxξ-^,FP=(包∣2,Λ?XI,而=(?i,?i-?).

由于P點(diǎn)在拋物線外,則I而I≠0.

而錨_'°廣號(hào)0+(々)3一；)(好D_%o%ι+"

7

所以COSNJI/P=而i=府冊(cè)+(止了=而

FPFB_"°；"%+(%0%1一—(瓷一；)_XQ×I^

同理有cos,B/7P=南南=西值+但淳=而'

所以4P尸力=乙PFB.

5.如圖,設(shè)拋物線方程為%2=2py(p>O),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn),過(guò)M引拋物線的切

線,切點(diǎn)分別為A1B.

⑴求證：4",B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

(2)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2P)時(shí)，∣4Bl=4，m,求此時(shí)拋物線的方程；

(3)是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)。在拋物線/=2py(p>0)上，其中點(diǎn)C滿足

OC=OA+OB(0為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在,求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理

由.

【解析】(1)證明：由題意設(shè)4<%2,M(%0,-2p).

2

由/=2Py得y=恭得V=所以—=藁，—