北京市東城區(qū)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

東城區(qū)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)

局一數(shù)學(xué)

2024.1

本試卷共6頁(yè)，滿分100分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答

無(wú)效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共30分）

一、選擇題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求

的一項(xiàng)。

1.直線x—6y+l=0的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.90°D.150

2.已知空間中直線/的一個(gè)方向向量。=（1,2,4）,平面a的一個(gè)法向量〃=（2,4,8）,貝!J（）

A.直線I與平面a平行B.直線I在平面a內(nèi)

C.直線/與平面a垂直D.直線/與平面a不相交

3.設(shè)尸為拋物線C：/=4尤的焦點(diǎn)，則F到其準(zhǔn)線的距離為（）

A.lB.2C.3D.4

4已知S"是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和,=n2+2n,則為=（）

A.lB.3C.5D.8

尤2

5.雙曲線3■一丁=1的漸近線方程為（）

..73

A.y=±——xB.y=土幣x

3

1

C.y=+—XD.y=±2%

-2

6.線上支付已成為當(dāng)今社會(huì)主要的支付方式，為了解某校學(xué)生12月份A,B兩種支付方式的使用情況，從全校

學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，對(duì)樣本中僅用一種支付方式及支付金額的人數(shù)情況統(tǒng)計(jì)如下：

支付金額（元）

(0,500](500,1000]大于1000

支付方式

僅使用A20人8人2人

僅使用B10人6人4人

從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，兩人支付金額均多于500元的概率是（）

7.哈雷彗星大約每76年環(huán)繞太陽(yáng)一周，因英國(guó)天文學(xué)家哈雷首先測(cè)定其軌道數(shù)據(jù)并成功預(yù)言回歸時(shí)間而得名.

已知哈雷是1682年觀測(cè)到這顆彗星，則人們最有可能觀測(cè)到這顆彗星的時(shí)間為（）

A.2041年?2042年B.2061年?2062年

C.2081年?2082年D.2101年?2102年

8.在平面直角坐標(biāo)系中，M,N分別是x,y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以為直徑的圓與直線3尤+4y-10=0

相切，則該圓半徑的最小值為（）

13

A.-B.lC.-D.2

22

9.已知a,beR,則“-1,a,b,2為等比數(shù)歹廣是“a/?=-2”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.曲線C：x'n+yn^l,其中優(yōu)，w均為正數(shù)，則下列命題埼誤的是（）

A.當(dāng)m=3,〃=1時(shí)，曲線C關(guān)于（0,1）中心對(duì)稱

B.當(dāng)根=',〃=,時(shí)，曲線C是軸對(duì)稱圖形

22

C.當(dāng)加=4,〃=2時(shí)，曲線C所圍成的面積小于萬(wàn)

D.當(dāng)根=3,〃=2時(shí)，曲線C上的點(diǎn)與（0,0）距離的最小值等于1

第二部分（非選擇題共70分）

二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。

1L直線x+y+l=0的斜率為；過(guò)點(diǎn)尸（1,3）且垂直于/的直線方程是.

12.如圖，己知M是正方體A5CD-4與CQi的棱的中點(diǎn)，則直線人加與CD所成角的余弦值為

13.已知圓_?+2%+/一4丁+4=0,則圓心坐標(biāo)為；半徑為.

14.2023年10月第三屆“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇在北京勝利召開(kāi).某校準(zhǔn)備進(jìn)行“一帶一路”主題知識(shí)競(jìng)賽

活動(dòng).要求每位選手回答A,B兩類問(wèn)題，且至少：斐問(wèn)題的成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀才能獲獎(jiǎng).已知張華答42兩類問(wèn)

題成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率分別為0.6,0.5,則張華在這次比賽中獲獎(jiǎng)的概率為.

15.如圖，正方形A3CD的邊長(zhǎng)為1,連接A3CD各邊的中點(diǎn)得到正方形跳GH,連接正方形跳各邊的

中點(diǎn)得到正方形Z/KL,依此方法一直進(jìn)行下去.記%為正方形A3CD的面積，出為正方形跳的面積，

%為正方形"KL的面積，S“為｛4｝的前〃項(xiàng)和.給出下列四個(gè)結(jié)論:

①存在常數(shù)M<—,使得%〉M恒成立

32

②存在正整數(shù)N。，當(dāng)〃〉M時(shí)，4〈卷

③存在常數(shù)M>2,使得Sn<M恒成立

④存在正整數(shù)N。，當(dāng)〃〉No時(shí)，Sn>2

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共5小題，共50分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

16.（本小題10分）

如圖，在直三棱柱ABC—A5cl中，ACA.BC,A^^AC=BC,D,E分別為CQ，的中點(diǎn).

（I）證明：DE〃平面ABC；

（II）求平面45。與平面A3C夾角的余弦值.

17.（本小題10分）

2023年9月23日第19屆亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式在杭州隆重舉行.為調(diào)查某地區(qū)全體學(xué)生收看開(kāi)幕式的情況，采用隨機(jī)

抽樣的方式進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

方式手機(jī)電腦電視未觀看

頻率0.50.20.10.2

假定每人只用一種方式觀看，且每人觀看的方式相互獨(dú)立、用頻率估計(jì)概率、

（I）若該地區(qū)有10000名學(xué)生，試估計(jì)該地區(qū)觀看了亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式的學(xué)生人數(shù)；

（II）從該地區(qū)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人都觀看了亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式的概率；

（III）從該地區(qū)所有觀看了亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人中至少有1人使用電腦觀看了亞

運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式的概率.

18.（本小題10分）

已知S3為等差數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和,7；為等比數(shù)列我｝的前“項(xiàng)和,%=瓦=1,a2+b2=2.

（I）若仇=8,求生的值；

（II）從以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)條件作為己知，使得抄"｝單調(diào)遞增，求出物"｝的通項(xiàng)公式以及卻

條件①：。5=3；

條件②：a3+b3=3；

條件③：S3=9.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（II）問(wèn)得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答

計(jì)分.

19.（本小題10分）

已知橢圓C：W+'=l（a〉6〉0），點(diǎn)加（°，1），N],，—在。上,

（I）求橢圓C的方程；

（II）過(guò)點(diǎn)。（0,2）作與無(wú)軸不垂直的直線/,與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,2,點(diǎn)。與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，

直線8。與x軸交于點(diǎn)。，。為坐標(biāo)原點(diǎn)、若△OP。的面積為2,求直線/的斜率.

20.（本小題10分）

已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A,：…,%（〃>3）滿足j<n,有。產(chǎn)力.若明等于

q+%（1J<〃）中所有不同值的個(gè)數(shù)，則稱數(shù)列4具有性質(zhì)P.

（I）判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)P-,

①人4：3,1,7,5②A：2,4,8,16,32

（II）已知數(shù)列4,：2,4,8,16,32,%具有性質(zhì)尸，求出機(jī)的所有可能取值；

（III）若一個(gè)數(shù)列4024：%,出，…，。2024具有性質(zhì)P，則%024是否存在最小值?若存在，求出這個(gè)最小值，并

寫(xiě)出一個(gè)符合條件的數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

東城區(qū)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測(cè)

高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

2024.1

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

l.A2.C3.B4.C5.A6.D7.B8.B9.A10.C

二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分）

11.-1,x-y+2=012.與13.（-1,2）,114.0.815.①②③

三、解答題（共5小題，共50分）

16.（本小題10分）

解：（I）因?yàn)锳3C—4與C是直三棱柱，

所以CC］，底面A3C.

因?yàn)锳Cu底面ABC,3Cu底面ABC,

所以CC］，AC,Cq±BC.

因?yàn)锳CLBC,如圖建立空間直角坐標(biāo)系C一盯z.

設(shè)AC=2,則4（2,0,0）,5（0,2,0）,C（0,0,0）,A（2,0,2），C,（0,0,2）.

因?yàn)?。，E分別為CC-84的中點(diǎn)，

所以Q（0,0,l）,E（l,l,l）.

所以。￡=（1,1,0），CG=（0,0,2）.

因?yàn)镃C］,底面A3C,所以CG是平面A3C的一個(gè)法向量.

因?yàn)?1X0+1X0+0X2=0,所以￡>E_LCG.

因?yàn)镈EC平面A3C,所以DE〃平面A3C.

（II）因?yàn)榫W(wǎng)=（2,—2,2）,BD=（O,-2,l）,設(shè)平面的法向量為〃=（x,、z）,

BA,-n=0,2x-2y+2z=0,,口-/、

所以《1即〈令A(yù)y=l,則z=2,%=—1.于是〃=（一1,1,2）.

BD-n=0.\-2y+z=0.I7

設(shè)平面A.BD與平面ABC的夾角為3,

所以cos9=cos（CG，〃）=|C|~|?|0x（-l）+0xl+2x2|76

'/c。?卜2X^（-1）2+12+223

所以平面45。與平面ABC夾角的余弦值為j-.

17.（共10分）

解：（I）因?yàn)樵摰貐^(qū)觀看了亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式的學(xué)生的頻率為0.5+0.2+0.1=0.8,

所以該地區(qū)觀看了亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式的學(xué)生人數(shù)估計(jì)為10000x0.8=8000.

（II）設(shè)事件A：從該地區(qū)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生觀看了亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式.由頻率估計(jì)概率，得

P（A）=0.8.

設(shè)事件3：從該地區(qū)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，這2名學(xué)生都觀看了亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式.由于這兩名學(xué)生觀看亞運(yùn)

會(huì)開(kāi)幕式相互獨(dú)立，則P（B）=O.82=0.64.

（Ill）設(shè)事件C：從該地區(qū)所有觀看了亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生使用電腦觀看了開(kāi)靠式,

則P（C）=-^-1

、71-0.24

設(shè)事件D；從該地區(qū)所有觀看了亞運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，至少1人用電腦觀看了開(kāi)幕式，則

p（M=mw

18.（共10分）

解：（D因?yàn)椋ǎ秊榈缺葦?shù)列，仇=1,d=8,

設(shè)也｝的公比為q,則“=4q3=8.

解得0=2.所以。=2.

因?yàn)椤?+4=2,所以〃2=0.

因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，=1，

所以。3=—1.

（II）選擇條件②

因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，｛〃｝為等比數(shù)列，q=4=l,生+仇=2，/+4=3,

設(shè)｛%｝的公差為d,｛〃｝的公比為必

ai+d+0rq=2,d+q=1,

則2即<

4+2d+qq=3.2d+q2=2.

解得4=2或q=0（舍）.

所以?！?

2"T,T;=V^i=2"-1.

i—q

19.(共10分)

x2

解：⑴由題意得方=1,貝ij橢圓。的方程為=+丁9=1,代入N，可得a=J5.

a

2

故橢圓c的方程為］r+y2=l.

(II)設(shè)直線/的方程為y=Ax+2,Q(xQ,yQ).

H2]

由＜一'得(2產(chǎn)+1)/+8依+6=0.

y=kx+2

3

由△>0,得左2>_.

2

設(shè)A（X，X）,3（9，%），則。（王，一%）?

8k6

…"FTP2燈

直線BD的方程為y-y2=互也

x2-xi

xy+xy_石(也+2)+々(g+2)_2g%+2(玉+々)

令y=0,得々=i22i

(kxi+2)+(5+2)k(X[+%2)+4

12k16k

2左2+12左2+1

所以X。==—k.

4+4

2k2+1

因?yàn)?gx2jxj=M|=2,

所以左=±2.經(jīng)檢驗(yàn)滿足△>().

所以直線/的斜率為±2.

20.(共10分)

解：(I)①4：3,1,7,5,任意兩項(xiàng)和的結(jié)果有4,6,8,10,12共5個(gè)，而%=5,所以具有性質(zhì)P

②&：2,4,8,16,32,任意兩項(xiàng)和的結(jié)果有6,10,12,18,20,24,34,36,40,48共10個(gè)，而生=32,

所以不具有性質(zhì)P.

(II)對(duì)于數(shù)列4：2,4,8,16,32,m,任意兩項(xiàng)和不同的取值最多有15個(gè)，所以加<15.而4：2,4,

8,16,32中任意兩項(xiàng)和的結(jié)果有10個(gè)，且全是偶數(shù).

(1)當(dāng)機(jī)為奇數(shù)時(shí)，勾+7〃(1<，<5)都是奇數(shù)，與前5項(xiàng)中任意兩項(xiàng)和的值均不相同，則4：2,4,8,

16,32,機(jī)中所有弓+%(14/</<6)的值共有15個(gè)，所以m=15.

(2)當(dāng)機(jī)為偶數(shù)時(shí)，勾+加(1〈，〈5)都是偶數(shù)，所以10<相<15.

所以mw{10,12,14}.

加=10時(shí)，10+32=42在前5項(xiàng)中任兩項(xiàng)和的結(jié)果中未出現(xiàn)，

所以A：2,4,8,16,32,優(yōu)中任意兩項(xiàng)和的不同值的個(gè)數(shù)大于10,即加>10,矛盾.

m=12時(shí)，12+32=44,12+16=28,12+2=14這三個(gè)結(jié)果在前5項(xiàng)中任意兩項(xiàng)和的結(jié)果中未出現(xiàn)，所以4：2,

4,8,16,32,加中任意兩項(xiàng)和的不同值的個(gè)數(shù)大于12,即m>12,矛盾.

m=1