專題08 平面向量、概率、統(tǒng)計(jì)、計(jì)數(shù)原理（解析版）2024年高考數(shù)學(xué)一模試題分類匯編（新高考新題型專用）

第第頁專題08平面向量、概率、統(tǒng)計(jì)、計(jì)數(shù)原理平面向量1．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知單位向量滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量垂直得到方程，求出，再利用向量夾角余弦公式求出答案.【詳解】由得，又為單位向量，，，又，.故選：B.2．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知向量滿足，則．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.【詳解】由，得，而，則，所以.故答案為：3．（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知，為單位向量，若，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求即可判斷夾角大小.【詳解】由題意，則與的夾角為.故選：B4．（2024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）若向量，，則向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為．【答案】【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算與投影向量的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以向量在向量上的投影向量的坐?biāo)為.故答案為：.5．（2024·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）若，則實(shí)數(shù)（

）A．6 B． C．3 D．【答案】B【分析】將兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，即，解?故選：B.6．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知向量，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合向量的加減運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行判斷.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，則，得.故選：D7．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）已知向量．若，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)形式得到方程，解出即可.【詳解】因?yàn)?，所?又，所以，解得.故答案為：.8．（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，則與的夾角為．【答案】【分析】利用向量加減運(yùn)算結(jié)合夾角定義求解.【詳解】設(shè)，，，因?yàn)?，均為單位向量，所以四邊形為菱形，且平分，所以與的夾角為，則與的夾角為．故答案為：9．（2024·河北·校聯(lián)考一模）已知單位向量滿足，則.【答案】【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知可得，再由運(yùn)算律求即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，則，故.故答案為：10．（2024·廣東深圳·校考一模）已知向量，且，則m=A．?8 B．?6C．6 D．8【答案】D【分析】由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．【詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．11．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）已知平面向量滿足：與的夾角為，若，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】先計(jì)算平面向量的數(shù)量積，再利用，列式解得即可.【詳解】由題意，得，由，得，即，∴

，解得.故選：D12．（2024·江西吉安·吉安一中校考一模）已知向量滿足與垂直，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【分析】向量垂直則數(shù)量積為零，由此求出，求，利用平方法轉(zhuǎn)化為數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算．【詳解】由與垂直，得，則，所以1，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為故選：C概率13．（2024·廣東深圳·?？家荒＃⒁幻顿|(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為，則這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的六種取值情況分別得出中位數(shù)，再利用古典概型概率公式即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為3，當(dāng)時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4，當(dāng)時(shí)，這6個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4.5，故由古典概型概率公式可得：.故選：A.14．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）下圖是離散型隨機(jī)變量的概率分布直觀圖，其中，則（

）

A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由所有取值頻率之和為1，結(jié)合已知條件，解出，利用期望和方差公式計(jì)算數(shù)據(jù)，驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】由題知解得，A選項(xiàng)正確；所以，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)正確；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.15．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知某社區(qū)居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量（單位：小時(shí)），且，．現(xiàn)從該社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為（

）A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性結(jié)合概率的乘法公式即可.【詳解】由題意得，則，則，則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為,故選：B.16．（2024·河北·校聯(lián)考一模）在黨的二十大報(bào)告中，習(xí)近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育”，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應(yīng)黨中央號(hào)召，近期將安排甲?乙?丙?丁4名教育專家前往某省教育相對(duì)落后的三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出“甲?乙?丙?丁4名教育專家到三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法”和“每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的安排方法”的種數(shù)，再由古典概型的計(jì)算公式求解即可.【詳解】甲?乙?丙?丁4名教育專家到三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法共有：種；每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的安排方法有：種；由古典概型的計(jì)算公式，每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的概率為：.故選：B.17．（2024·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)校考一模）甲箱中有2個(gè)白球和4個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)白球和2個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，以，分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以B表示從乙箱中取出的是白球，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．，互斥 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知識(shí)，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】因?yàn)槊看沃蝗∫磺?，故，是互斥的事件，故A正確；由題意得，，，，，故B，D均正確；因?yàn)?，故C錯(cuò)誤.故選：C.18．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┮阎橙嗣看瓮痘@的命中率為，投進(jìn)一球得1分，投不進(jìn)得0分，記投籃一次的得分為X，則的最大值為．【答案】/【分析】結(jié)合兩點(diǎn)分布的期望與方差公式以及基本不等式計(jì)算即可得.【詳解】由題意可知，X服從兩點(diǎn)分布，可得，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故最大值為．故答案為：.19．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）某飲料廠生產(chǎn)兩種型號(hào)的飲料，已知這兩種飲料的生產(chǎn)比例分別為，且這兩種飲料中的碳酸飲料的比例分別為，若從該廠生產(chǎn)的飲料中任選一瓶，則選到非碳酸飲料的概率約為（

）A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32【答案】C【分析】由全概率公式計(jì)算即可得.【詳解】由題意，選到非碳酸飲料的概率為.故選：C.20．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考一模）關(guān)于下列命題中，說法正確的是（

）A．已知，若，，則B．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，，，，，的分位數(shù)為C．已知，若，則D．某校三個(gè)年級(jí)，高一有人，高二有人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取人，已知從高一抽取了人，則應(yīng)從高三抽取人.【答案】BCD【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布期望和方差公式可構(gòu)造方程求得，知A錯(cuò)誤；將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排序后，根據(jù)百分位數(shù)的估計(jì)方法直接求解知B正確；由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可求得C正確；根據(jù)分層抽樣原則可計(jì)算得到高二應(yīng)抽取學(xué)生數(shù)，由此可得高三數(shù)據(jù)，知D正確.【詳解】對(duì)于A，，，，解得：，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?，，，，，，，，，，分位?shù)為第個(gè)數(shù)，即，B正確；對(duì)于C，，，C正確；對(duì)于D，抽樣比為，高二應(yīng)抽取人，則高三應(yīng)抽取人，D正確.故選：BCD.21．（2024·江西吉安·吉安一中校考一模）為落實(shí)中央“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強(qiáng)化體育鍛煉”的精神，某高中學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生自發(fā)組織各項(xiàng)體育比賽活動(dòng)，甲?乙兩名同學(xué)利用課余時(shí)間進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定：每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局，首先獲得5分者獲勝，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是.（1）求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率；（2）若甲以3：1的比分領(lǐng)先時(shí)，記X表示到結(jié)束比賽時(shí)還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及期望.【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【分析】（1）比賽恰好打了6局的情況有兩種：甲勝或乙勝，即可求解；（2）分析可知X的可能取值為2，3，4，5，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和.【詳解】解：（1）比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局，甲獲勝的概率為，恰好打了6局，乙獲勝的概率為，所以比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率為.（2）X的可能取值為2，3，4，5，，，，.所以X的分布列如下：2345故.22．（2024·廣東深圳·?？家荒＃┠?人小組利用假期參加志愿者活動(dòng)，已知參加志愿者活動(dòng)次數(shù)為2，3，4的人數(shù)分別為1，3，2，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)選出2人作為該組的代表參加表彰會(huì)．(1)求選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的概率；(2)記選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)之和為X，求X的分布列和期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）利用古典概率公式即求；（2）由題可知X的可能取值為5，6，7，8，然后利用求分布列的步驟及期望公式即得.【詳解】（1）從這6人中隨機(jī)選出2人，共有種選法，其中這2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的選法有種．，故選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的概率為．（2）由題可知，X的可能取值分別為5，6，7，8，，，，．故X的分布列為：X5678P∴．23．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）某城市有甲、乙兩個(gè)網(wǎng)約車公司，相關(guān)部門為了更好地監(jiān)管和服務(wù)，通過問卷調(diào)查的方式，統(tǒng)計(jì)當(dāng)?shù)鼐W(wǎng)約車用戶（后面簡(jiǎn)稱用戶，并假設(shè)每位用戶只選擇其中一家公司的網(wǎng)約車出行）對(duì)甲，乙兩個(gè)公司的乘車費(fèi)用，等待時(shí)間，乘車舒適度等因素的評(píng)價(jià)，得到如下統(tǒng)計(jì)結(jié)果：①用戶選擇甲公司的頻率為，選擇乙公司的頻率為：②選擇甲公司的用戶對(duì)等待時(shí)間滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對(duì)等待時(shí)間滿意的頻率為；③選擇甲公司的用戶對(duì)乘車舒適度滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對(duì)乘車舒適度滿意的頻率為；④選擇甲公司的用戶對(duì)乘車費(fèi)用滿意的頻率為，選擇乙公司的用戶對(duì)乘車費(fèi)用滿意的頻率為.將上述隨機(jī)事件發(fā)生的頻率視為其發(fā)生的概率.(1)分別求出網(wǎng)約車用戶對(duì)等待時(shí)間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費(fèi)用滿意的概率，并比較用戶對(duì)哪個(gè)因素滿意的概率最大，對(duì)哪個(gè)因素滿意的概率最小.(2)若已知某位用戶對(duì)乘車舒適度滿意，則該用戶更可能選擇哪個(gè)公司的網(wǎng)約車出行？并說明理由.【答案】(1)答案見解析(2)該用戶選擇乙公司出行的概率更大，理由見解析【分析】（1）利用全概率公式可計(jì)算出用戶網(wǎng)約車用戶對(duì)等待時(shí)間滿意、乘車舒適度滿意、乘車費(fèi)用滿意的概率，即可得出結(jié)論；（2）利用條件概率公式計(jì)算出該用戶對(duì)甲、乙兩個(gè)公司網(wǎng)約車舒適度滿意率，比較大小后可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：設(shè)事件用戶選擇甲公司的網(wǎng)約車出行，事件用戶對(duì)等待時(shí)間滿意，事件用戶對(duì)乘車舒適度滿意，事件用戶對(duì)乘車費(fèi)用滿意.則，，所以，用戶對(duì)等待時(shí)間滿意的概率最大，對(duì)乘車費(fèi)用滿意的概率最小.（2）解：由題知，，，所以，，故該用戶選擇乙公司出行的概率更大.24．（2024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）2023年9月23日至10月8日、第19屆亞運(yùn)會(huì)在中國(guó)杭州舉行．樹人中學(xué)高一年級(jí)舉辦了“亞運(yùn)在我心”乒乓球比賽活動(dòng)．比賽采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率．(1)若，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利，即，求的取值范圍．【答案】(1)分布列見解析，期望為；(2).【分析】（1）先寫出離散型隨機(jī)變量的分布列，再求出數(shù)學(xué)期望即可；（2）先根據(jù)已知不等式列式求解，再根據(jù)單調(diào)性定義作差證明單調(diào)遞增說明結(jié)論.【詳解】（1），即采用3局2勝制，所有可能值為，，，的分布列如下，23所以.（2）采用3局2勝制：不妨設(shè)賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為，采用5局3勝制：不妨設(shè)賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則，甲最終獲勝的概率為，則，得.25．（2024·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮恢籐ED燈能閃爍紅、黃、藍(lán)三種顏色的光，受智能程序控制每隔1秒閃一次光，相鄰兩次閃光的顏色不相同.若某次閃紅光，則下次有的概率閃黃光；若某次閃黃光，則下次有的概率閃藍(lán)光；若某次閃藍(lán)光，則下次有的概率閃紅光.已知第1次閃光為紅光.(1)求第4次閃光為紅光的概率；(2)求第次閃光為紅光的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）由互斥加法、獨(dú)立乘法公式運(yùn)算即可求解.（2）由全概率公式得遞推式，構(gòu)造等比數(shù)列即可求解.【詳解】（1）由題意，前4次閃光的順序?yàn)椤凹t黃藍(lán)紅”或“紅藍(lán)黃紅”，所以.（2）設(shè)事件表示“第n次閃光為紅光”，事件表示“第n次閃光為黃光”，事件表示“第n次閃光為藍(lán)光”，且，，則，由題意知，當(dāng)時(shí)，，即，整理得，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故，即第次閃紅光的概率為.26．（2024·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙不相互獨(dú)立 D．丙與丁不相互獨(dú)立【答案】BCD【分析】計(jì)算各事件概率，再根據(jù)獨(dú)立事件概率的關(guān)系依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】?jī)纱稳〕龅那虻臄?shù)字之和為8，有共5種情況，所以；兩次取出的球的數(shù)字之和為7，有共6種情況，所以；；對(duì)于A，，故甲與丙不相互獨(dú)立，錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故甲與丁相互獨(dú)立，正確；對(duì)于C，，故乙與丙不相互獨(dú)立，正確；對(duì)于D，，故丙與丁不相互獨(dú)立，正確.故選：BCD.27．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）在工業(yè)生產(chǎn)中軸承的直徑服從，購買者要求直徑為，不在這個(gè)范圍的將被拒絕，要使拒絕的概率控制在之內(nèi)，則至少為；（若，則）【答案】0.1/【分析】依題意得，則，由，得，即可求解.【詳解】若，則）因?yàn)楣I(yè)生產(chǎn)中軸承的直徑服從，所以，則，由，得，則要使拒絕的概率控制在之內(nèi)，則至少為.故答案為：##28．（2024·江西吉安·吉安一中?？家荒＃└咭唬?）班有8名身高都不相同的同學(xué)去參加紅歌合唱，他們站成前后對(duì)齊的2排，每排4人，則前排的同學(xué)都比后排對(duì)應(yīng)的同學(xué)矮的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因?yàn)?名同學(xué)，所以任選兩人，身高都不同，只需將抽取的兩人安排到一組，高的同學(xué)站后即可.【詳解】名身高都不相同的同學(xué)站在8個(gè)不同的位置有種站法，將8名同學(xué)分為4組，每組2人，則有種分法，4組人有種站法，故所求概率.故選：D.29．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）某同學(xué)參加學(xué)校組織的數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，在5道四選一的單選題中有3道有思路，有2道完全沒有思路，有思路的題目每道做對(duì)的概率為，沒有思路的題目只好任意猜一個(gè)答案．若從這5道題目中任選2題，則該同學(xué)2道題目都做對(duì)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)排列組合以及概率的乘法公式即可求解.【詳解】設(shè)事件A表示“兩道題全做對(duì)”，若兩個(gè)題目都有思路，則；若兩個(gè)題目中一個(gè)有思路一個(gè)沒有思路，則；若兩個(gè)題目都沒有思路，則；故.故選：D.30．（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）某果園種植了一種水果，現(xiàn)隨機(jī)抽取這種水果的成熟果實(shí)200個(gè)，統(tǒng)計(jì)了這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量，得到下列頻數(shù)分布表：果籽數(shù)量1234水果數(shù)100504010(1)求這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量的第75百分位數(shù)與平均數(shù)．(2)已知這種水果的成熟果實(shí)的果籽數(shù)量會(huì)影響其市場(chǎng)售價(jià)，每個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量與果實(shí)的價(jià)格如下表所示：果籽數(shù)量1234價(jià)格/元201286以這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量各自對(duì)應(yīng)的頻率作為該果園這種成熟果實(shí)的果籽數(shù)量各自對(duì)應(yīng)的概率，從該果園的這種成熟果實(shí)中任選2個(gè)，在被選的成熟果實(shí)中至少有1個(gè)的果籽數(shù)量為1的前提下，設(shè)這2個(gè)果實(shí)的市場(chǎng)售價(jià)總和為元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)2.5，1.8(2)分布列見解析，【分析】（1）由題意計(jì)算出對(duì)應(yīng)的果籽數(shù)量為2，即得第75百分位數(shù)為；（2）先求得果籽數(shù)量為1,2,3,4對(duì)應(yīng)的概率，依題要求至少有1個(gè)的果籽數(shù)量為1的前提下這2個(gè)果實(shí)的售價(jià)之和，屬于條件概率，而至少有1個(gè)的果籽數(shù)量為1的概率為，則可對(duì)的四個(gè)可能值40，32，28，26分別利用條件概率公式求得概率，寫出分布列即得期望.【詳解】（1）將這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量從少到多排列，因?yàn)?，?duì)應(yīng)的果籽數(shù)量為2，故這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量的第75百分位數(shù)為．這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量的平均數(shù)為．（2）依題意可得果籽數(shù)量為1，2，3，4對(duì)應(yīng)的概率分別為，，，．被選的2個(gè)成熟果實(shí)中至少有1個(gè)的果籽數(shù)量為1的概率為．的可能取值為40，32，28，26，，，，，則的分布列為40322826．31．（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）某羽毛球超市銷售4種品牌（品牌，，，）的羽毛球，該超市品牌，，，的羽毛球的個(gè)數(shù)的比例為，品牌，，，的羽毛球的優(yōu)品率分別為0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不買這4個(gè)品牌中的1個(gè)品牌的羽毛球，他從其他3個(gè)品牌的羽毛球中隨機(jī)選取1個(gè)購買，已知他買到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率大于0.8，則可推測(cè)他不買的羽毛球的品牌為（填入，，，中的1個(gè)）．【答案】D【分析】先確定不是品牌，再利用全概率公式分別計(jì)算不買ACD品牌的概率即可求解.【詳解】因?yàn)樗I到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率大于0.8，且0.8，0.9，0.7，0.6中只有，所以他不買的羽毛球品牌一定不是品牌．若他不買品牌的羽毛球，則他買到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率為．若他不買品牌的羽毛球，則他買到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率為．若他不買品牌的羽毛球，則他買到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率為．故答案為：D32．（2024·河北·校聯(lián)考一模）最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗(yàn)結(jié)果為成功或不成功，且每次試驗(yàn)的成功概率為．現(xiàn)對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若試驗(yàn)成功，則試驗(yàn)結(jié)束；若試驗(yàn)不成功，則繼續(xù)試驗(yàn)，且最多試驗(yàn)8次．記為試驗(yàn)結(jié)束時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，的數(shù)學(xué)期望為．(1)證明：；(2)某公司意向投資該產(chǎn)品，若，每次試驗(yàn)的成本為元，若試驗(yàn)成功則獲利元，則該公司應(yīng)如何決策投資？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)應(yīng)該投資，理由見解析【分析】（1）由題意，，，列出分布列，列出，乘公比錯(cuò)位相減法求和，分析可證明；（2）由（1）可得，分析即得解【詳解】（1）由題意，故分布列如下：12345678所以的數(shù)學(xué)期望，記，，作差可得，，則；（2）由（1）可知，則試驗(yàn)成本的期望小于元，試驗(yàn)成功則獲利元，且，則該公司應(yīng)該投資該產(chǎn)品33．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？家荒＃┠车卣疄橥苿?dòng)旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展、加快旅游產(chǎn)業(yè)化建設(shè)，提出要優(yōu)化傳統(tǒng)業(yè)態(tài)，創(chuàng)新產(chǎn)品和服務(wù)方式，培育新業(yè)態(tài)新產(chǎn)品、新模式，促進(jìn)康養(yǎng)旅游快速發(fā)展.某景區(qū)為了進(jìn)一步優(yōu)化旅游服務(wù)環(huán)境，強(qiáng)化服務(wù)意識(shí)，全面提升景區(qū)服務(wù)質(zhì)量，準(zhǔn)備從m個(gè)跟團(tuán)游團(tuán)隊(duì)和6個(gè)私家游團(tuán)隊(duì)中隨機(jī)抽取幾個(gè)團(tuán)隊(duì)展開滿意度調(diào)查.若一次抽取2個(gè)團(tuán)隊(duì)，全是私家游團(tuán)隊(duì)的概率為.(1)若一次抽取3個(gè)團(tuán)隊(duì)，在抽取的3個(gè)團(tuán)隊(duì)是同類型團(tuán)隊(duì)的條件下，求這3個(gè)團(tuán)隊(duì)全是跟團(tuán)游團(tuán)隊(duì)的概率；(2)若一次抽取4個(gè)團(tuán)隊(duì)，設(shè)這4個(gè)團(tuán)隊(duì)中私家游團(tuán)隊(duì)的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題意可知共有個(gè)團(tuán)隊(duì)，根據(jù)全是私家游團(tuán)隊(duì)的概率結(jié)合古典概型求出，再分3個(gè)團(tuán)隊(duì)全是私家游團(tuán)隊(duì)和3個(gè)團(tuán)隊(duì)全是跟團(tuán)游團(tuán)隊(duì)兩種情況討論，結(jié)合古典概型即可得解；（2）先寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，再求出對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量的概率，從而可得分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可.【詳解】（1）由題意知共有個(gè)團(tuán)隊(duì)，一次抽取2個(gè)團(tuán)隊(duì)的情況有種，其中全是私家游團(tuán)隊(duì)的情況有種，故一次抽取2個(gè)團(tuán)隊(duì)，全是私家游團(tuán)隊(duì)的概率是，整理得，解得或（舍去），若一次抽取的3個(gè)團(tuán)隊(duì)全是私家游團(tuán)隊(duì)，則共有種情況，若一次抽取的3個(gè)團(tuán)隊(duì)全是跟團(tuán)游團(tuán)隊(duì)，則共有種情況，所以在抽取的3個(gè)團(tuán)隊(duì)是同類型團(tuán)隊(duì)的條件下，這3個(gè)團(tuán)隊(duì)全是跟團(tuán)游團(tuán)隊(duì)的概率為；（2）由題意知，隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，故的分布列為01234P數(shù)學(xué)期望.34．（2024·吉林延邊·統(tǒng)考一模）“斯諾克（Snooker）”是臺(tái)球比賽的一種，意思是“阻礙?障礙”，隨著生活水平的提高，“斯諾克”也成為人們喜歡的運(yùn)動(dòng)之一.現(xiàn)甲?乙兩人進(jìn)行比賽采用5局3勝制，各局比賽雙方輪流開球（例如：若第一局甲開球，則第二局乙開球，第三局甲開球……），沒有平局，已知在甲的“開球局”，甲獲得該局比賽勝利的概率為，在乙的“開球局”，甲獲得該局比賽勝利的概率為，并且通過“猜硬幣”，甲獲得了第一局比賽的開球權(quán).(1)求甲以3∶1贏得比賽的概率；(2)設(shè)比賽的總局?jǐn)?shù)為，寫出隨機(jī)變量的分布列并求其數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）設(shè)出事件，利用獨(dú)立事件乘法公式和互斥事件加法公式進(jìn)行計(jì)算；（2）求出隨機(jī)變量的可能取值及相應(yīng)的概率，從而求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）記第i局甲贏為事件，乙贏為事件，則（2）由題意知的取值為3，4，5.由題意得，隨機(jī)變量的分布列如下：345P數(shù)學(xué)期望.35．（2024·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┮粋€(gè)袋子中有10個(gè)大小相同的球，其中紅球7個(gè)，黑球3個(gè).每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到紅球的概率；(2)設(shè)第次都摸到紅球的概率為；第1次摸到紅球的概率為；在第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率為；在第1，2次都摸到紅球的條件下，第3次摸到紅球的概率為.求；(3)對(duì)于事件，當(dāng)時(shí)，寫出的等量關(guān)系式，并加以證明.【答案】(1)(2)詳見解析(3)詳見解析【分析】（1）根據(jù)全概率公式求解即可；（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件乘法公式、條件概率公式及排列數(shù)公式求解；（3）根據(jù)（2）猜想，由條件概率公式證明即可.【詳解】（1）記事件“第次摸到紅球”為，則第2次摸到紅球的事件為，于是由全概率公式，得.（2）由已知得，，，.（3）由（2）可得，即，可猜想：,證明如下：由條件概率及，得，，所以.36．（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知甲、乙兩支登山隊(duì)均有n名隊(duì)員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者將依次通過摸出小球的顏色來決定其加入哪支登山隊(duì)，規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的箱中放有紅球和黑球各2個(gè)，小球除顏色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山愛好者從箱中不放回地摸出1個(gè)小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個(gè)放入箱中；接著由下一名新增登山愛好者摸出1個(gè)小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個(gè)，如此重復(fù)，直至所有新增登山愛好者均摸球和放球完畢．新增登山愛好者若摸出紅球，則被分至甲隊(duì)，否則被分至乙隊(duì)．(1)求三人均被分至同一隊(duì)的概率；(2)記甲，乙兩隊(duì)的最終人數(shù)分別為，，設(shè)隨機(jī)變量，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題意，三人均被分至同一隊(duì)，即三人同分至甲隊(duì)或乙隊(duì)，分別求出被分至甲隊(duì)即摸出紅球的概率、被分至甲隊(duì)即摸出紅球的概率、被分至甲隊(duì)即摸出紅球的概率，再應(yīng)用條件概率公式及互斥事件加法求三人均被分至同一隊(duì)的概率；（2）根據(jù)題意有可能取值為，分析各對(duì)應(yīng)值的實(shí)際含義，并求出對(duì)應(yīng)概率，進(jìn)而求期望即可.【詳解】（1）三人均被分至同一隊(duì)，即三人同分至甲隊(duì)或乙隊(duì)，記事件“被分至甲隊(duì)”，事件“被分至甲隊(duì)”，事件“被分至甲隊(duì)”，當(dāng)即將摸球時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，則被分至甲隊(duì)即摸出紅球的概率為；當(dāng)被分至甲隊(duì)時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，則被分至甲隊(duì)即摸出紅球的概率為；當(dāng)均被分至甲隊(duì)時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，則被分至甲隊(duì)即摸出紅球的概率為；所以，則，同理知：新增登山愛好者均被分至乙隊(duì)的概率也為，所以三人均被分至同一隊(duì)的概率為.（2）由題設(shè)，可能取值為，為新增的4名登山愛好者被分至同一隊(duì)，則，為新增的4名登山愛好者中有3名均被分至同一隊(duì)，其余1名被分至另一隊(duì)，設(shè)新增的第名登山愛好者被單獨(dú)分至甲隊(duì)或乙隊(duì)，則，，，，所以，為新增的4名登山愛好者中各有2名被分至甲隊(duì)和乙隊(duì)，則，所以.統(tǒng)計(jì)37．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？家荒＃┰凇懊利愢l(xiāng)村”評(píng)選活動(dòng)中，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)個(gè)村的得分如下：，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把個(gè)數(shù)由小到大重新排序，即可得到中位數(shù)為，眾數(shù)為.【詳解】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)個(gè)村的得分：，由小到大排序?yàn)椋?，所以中位?shù)為，眾數(shù)為.故選：D.38．（2024·江西吉安·吉安一中?？家荒＃┠承８咭荒昙?jí)15個(gè)班參加朗誦比賽的得分如下：858788898990919192939393949698則這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為（

）A．90 B．91 C．90.5 D．92【答案】C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意，，故這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為從小到大第6，7位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.故選：C39．（2024·河北·校聯(lián)考一模）現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個(gè)數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為．若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平均數(shù)和方差公式可求得新數(shù)據(jù)的方差.【詳解】設(shè)甲組數(shù)據(jù)分別為、、、，乙組數(shù)據(jù)分別為、、、，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，可得，方差為，可得，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，可得，方差為，可得，混合后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.故選：D.40．（2024·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┮阎唤M數(shù)據(jù)：，若去掉12和45，則剩下的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列結(jié)論正確的是（

）A．中位數(shù)不變 B．平均數(shù)不變C．方差不變 D．第40百分位數(shù)不變【答案】AD【分析】依次分別算出這組數(shù)據(jù)去掉12和45前后的平均數(shù)，方差，第40百分位數(shù)和中位數(shù)，對(duì)比即可得解.【詳解】將原數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，其中位數(shù)為25，平均數(shù)是，方差是，由，得原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4個(gè)數(shù)24.將原數(shù)據(jù)去掉12和45，得，其中位數(shù)為25，平均數(shù)是，方差是，由，得新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第3個(gè)數(shù)24，故中位數(shù)和第40百分位數(shù)不變，平均數(shù)與方差改變，故A，D正確，B，C錯(cuò)誤.故選：AD.41．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）2023年10月31日，神舟十六號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，激發(fā)了學(xué)生對(duì)航天的熱愛.某校組織高中學(xué)生參加航天知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)這組樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為x，眾數(shù)為y，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】首先，再根據(jù)百分位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算方法即可.【詳解】由題意得，解得，因?yàn)?，，則，則樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)位于，則，解得，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中位于成績(jī)之間最多，則眾數(shù)為，故選：D.42．（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別為：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大3，則（

）A．甲組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為23 B．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差相同C．乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24.5 D．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同【答案】BD【分析】根據(jù)已知平均數(shù)的關(guān)系求得，再由極差、中位數(shù)、方差求法判斷各項(xiàng)正誤即可.【詳解】由題設(shè)，，所以，甲組數(shù)據(jù)中，故第70百分位數(shù)為24，A錯(cuò)；甲乙組數(shù)據(jù)的極差都為5，B對(duì)；乙組數(shù)據(jù)從小到大為，故其中位數(shù)為，C錯(cuò)；由上易知：甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，所以甲的方差為，乙的方差為，故兩組數(shù)據(jù)的方差相同，D對(duì).故選：BD43．（2024·廣東深圳·?？家荒＃┠撤b公司對(duì)1-5月份的服裝銷量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：月份編號(hào)x12345銷量y（萬件）5096142185227若與線性相關(guān)，其線性回歸方程為，則下列說法正確的是（

）A．線性回歸方程必過 B．C．相關(guān)系數(shù) D．6月份的服裝銷量一定為272.9萬件【答案】AB【分析】對(duì)于A，由回歸直線過樣本中心點(diǎn)判斷，對(duì)于B，將樣本中心點(diǎn)代入回歸方程求解，對(duì)于C，由的值分析判斷，對(duì)于D，將代入回歸方程求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋跃€性回歸方程必過，所以A正確；對(duì)于B，由線性回歸直線必過，所以，解得，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以相關(guān)系數(shù)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以可預(yù)測(cè)6月份的服裝銷量約為272.9萬件，所以D錯(cuò)誤．故選：AB．44．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）為調(diào)研加工零件效率，調(diào)研員通過試驗(yàn)獲得加工零件個(gè)數(shù)與所用時(shí)間（單位：）的5組數(shù)據(jù)為：，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：，則（

）A．B．回歸直線必過點(diǎn)C．加工60個(gè)零件的時(shí)間大約為D．若去掉，剩下4組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程會(huì)有變化【答案】BC【分析】求得數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)可判斷B；結(jié)合回歸方程可求出可判斷A；將代入回歸方程求得預(yù)測(cè)值可判斷C；根據(jù)恒過，可判斷D.【詳解】，，所以恒過，所以，解得：，故A錯(cuò)誤；B正確；所以，令，則，故加工60個(gè)零件的時(shí)間大約為，故C正確；因?yàn)楹氵^，所以剩下4組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程不會(huì)有變化，故D錯(cuò)誤.故選:BC.45．（2024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）已知變量關(guān)于的回歸方程為，若對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)與線性相關(guān)．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：12345則當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，可得出，求出、的值，將、的值代入，求出的值，可得出變量關(guān)于的回歸方程，然后令，可得出的值.【詳解】令，由可得，如下表所示：由表格中的數(shù)據(jù)可得，，則有，解得，故，當(dāng)時(shí)，.故選：C.46．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而許多人被睡眠時(shí)長(zhǎng)過短?質(zhì)量不高等問題所困擾.2023年3月21日是第23個(gè)世界睡眠日，這一天某研究小組隨機(jī)調(diào)查了某高校100名學(xué)生在某一天內(nèi)的睡眠情況，將所得數(shù)據(jù)按照分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：(1)求的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該校所有學(xué)生每一天的平均睡眠時(shí)長(zhǎng)（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)每一天睡眠時(shí)長(zhǎng)不低于7.75小時(shí)認(rèn)定為睡眠充足，以頻率代替概率，樣本估計(jì)總體，在該高校學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，求至少有兩人每一天睡眠時(shí)長(zhǎng)充足的概率.【答案】(1)，7.295（小時(shí)）(2)0.104【分析】（1）根據(jù)頻率之和為求得，根據(jù)平均數(shù)的求法求得平均數(shù).（2）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件概率計(jì)算公式求得所求概率.【詳解】（1），解得，依題意，該校學(xué)生每一天的平均睡眠時(shí)長(zhǎng)為：（小時(shí)）；（2）100名學(xué)生的睡眠充足的頻率為，以頻率代替概率，樣本估計(jì)總體，該校學(xué)生睡眠充足的概率為0.2，所以至少有兩人睡眠時(shí)長(zhǎng)充足的概率為.47．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”是黨中央作出的重大戰(zhàn)略決策，新能源汽車、電動(dòng)汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對(duì)于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用．為了解某市電動(dòng)汽車的銷售情況，調(diào)查了該市某電動(dòng)汽車企業(yè)近6年產(chǎn)值情況，數(shù)據(jù)如下表所示：年份201820192020202120222023編號(hào)x123456產(chǎn)值y/百萬輛91830515980(1)若用模型擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（精確到0.01）；(2)為了進(jìn)一步了解車主對(duì)電動(dòng)汽車的看法，從某品牌汽車4S店當(dāng)日5位購買電動(dòng)汽車和3位購買燃油汽車的車主中隨機(jī)選取4位車主進(jìn)行采訪，記選取的4位車主中購買電動(dòng)汽車的車主人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望，參考數(shù)據(jù)：，其中．參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率截距的最小二乘估計(jì)分別為．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）令，利用最小二乘法求出，即可得解；（2）分析可知，利用超幾何分布可得出隨機(jī)變量的分布列，利用超幾何分布的期望公式可求【詳解】（1）令，，則，，所以，所以（2）由題意得，，，，，分布列為：1234數(shù)學(xué)期望48．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）某校為了豐富學(xué)生課余生活，體育節(jié)組織定點(diǎn)投籃比賽．為了解學(xué)生喜歡籃球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：喜歡籃球不喜歡籃球合計(jì)男生40女生30合計(jì)(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷該校學(xué)生喜歡籃球與性別有關(guān)？(2)籃球指導(dǎo)老師從喜歡籃球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生進(jìn)行投籃示范．已知這兩名男生投進(jìn)的概率均為，這名女生投進(jìn)的概率為，每人投籃一次，假設(shè)各人投籃相互獨(dú)立，求3人投進(jìn)總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析；與性別有關(guān).(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全列聯(lián)表，再計(jì)算出卡方值并與邊界值比較即可；（2）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算出概率分布列，最后再利用期望公式即可.【詳解】（1）依題意，列聯(lián)表如下：喜歡籃球不喜歡籃球合計(jì)男生6040100女生3070100合計(jì)90110200零假設(shè):該校學(xué)生喜歡籃球與性別無關(guān)，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為該校學(xué)生喜歡籃球與性別有關(guān).（2）依題意，的可能值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：數(shù)學(xué)期望.計(jì)數(shù)原理49．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）如圖，小明從街道的處出發(fā)，到處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，若中途共轉(zhuǎn)向3次，則小明到老年公寓可以選擇的不同的最短路徑的條數(shù)是（

）

A．8 B．12 C．16 D．24【答案】D【分析】根據(jù)分步分類計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】中途共三次轉(zhuǎn)向可以分為兩類:第一類，第一次向右轉(zhuǎn)，第二次向上轉(zhuǎn)，第三次向右轉(zhuǎn)，此時(shí)有種方法，第二類，第一次向上轉(zhuǎn)，第二次右轉(zhuǎn)，最后向上轉(zhuǎn)，此時(shí)共有種方法.故總的方法有24種，故選：D.50．（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，甲、乙、丙三名同學(xué)計(jì)劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有種．【答案】【分析】先求出三人選書沒有要求的選法，再排除三人選擇的書完全相同的選法即可.【詳解】若三人選書沒有要求，則有種，若三人選擇的書完全相同，則有種，所以三人選擇的書不全相同，不同的選法有種.故答案為：.51．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，最憶是杭州”，名為“蹤琮”、“蓮蓮”、“宸宸”的三個(gè)吉祥物，是一組承載深厚文化底蘊(yùn)的機(jī)器人為了宣傳杭州亞運(yùn)會(huì)，某校決定派5名志愿者將這三個(gè)吉祥物安裝在學(xué)?？萍紡V場(chǎng)，每名志愿者只安裝一個(gè)吉祥物，且每個(gè)吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為（

）A．50 B．36 C．26 D．14【答案】A【分析】按照和分組討論安排.【詳解】（1）按照分3組安裝，①若志愿者甲單獨(dú)安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，②若志愿者甲和另一個(gè)人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，（2）按照分3組安裝，①若志愿者甲單獨(dú)安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，②若志愿者甲和另兩個(gè)人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，故共有種，故選：A.52．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？家荒＃┠持袑W(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔考試，，，，，共5名同學(xué)參加比賽，決出第1