重慶市萬州二中教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（含答案）

萬州二中教育集團(tuán)高2022級高二（下）三月質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（120分鐘150分命題人：數(shù)學(xué)備課組）一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若函數(shù)，則（）A．0 B． C． D．2．若函數(shù)在點(diǎn)處的切線與垂直，則（）A．2 B．0 C． D．3．在等差數(shù)列中，，，則（）A．4 B．5 C．6 D．84．函數(shù)在上的大致圖象為（）A． B． C． D．5．五一小長假前夕，甲、乙、丙三人從A，B，C，D四個旅游景點(diǎn)中任選一個前去游玩，其中甲到過A景點(diǎn)，所以甲不選A景點(diǎn)，則不同的選法有（）A．60 B．48 C．54 D．646．已知雙曲線：的焦距為，則的漸近線方程是（）A． B． C． D．7．若函數(shù)在單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)若對任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二．多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．設(shè)從東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆贩謩e有2，3，3，4條，現(xiàn)要從一面上山，從剩余三面中的任意一面下山，則下列結(jié)論正確的是（）A．從東面上山有20種走法 B．從西面上山有27種走法C．從南面上山有30種走法 D．從北面上山有32種走法10．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿足，對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)在上為增函數(shù) B．是函數(shù)的極小值點(diǎn)C．函數(shù)必有2個零點(diǎn) D．11．已知函數(shù)，其中，則（）．A．不等式對恒成立B．若直線與函數(shù)的圖象有且只有兩個不同的公共點(diǎn)，則的取值范圍是C．方程恰有3個實根D．若關(guān)于的不等式恰有1個負(fù)整數(shù)解，則的取值范圍為三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知數(shù)列，，，4成等差數(shù)列且，，成等比數(shù)列，則的值是______．13．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的總成本（萬元），已知產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，則產(chǎn)量定為______件時，總利潤最大．14．如圖，對于曲線所在平面內(nèi)的點(diǎn)，若存在以為頂點(diǎn)的角，使得對于曲線上的任意兩個不同的點(diǎn)A，B，恒有成立，則稱角為曲線的相對于點(diǎn)的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線的相對于點(diǎn)的“確界角”．已知曲線：（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線的相對于點(diǎn)的“確界角”為，則______．四．解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知等比數(shù)列的公比為整數(shù)，且，，數(shù)列的前項和為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的通項公式．16．（15分）已知函數(shù)．（1）若，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求該切線的方程；（2）討論的單調(diào)性．17．（15分）已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)到的最大距離是短半軸長的倍，且橢圓過點(diǎn)．記坐標(biāo)原點(diǎn)為，圓過O、A兩點(diǎn)且與直線相交于兩個不同的點(diǎn)，（，在第一象限，且在的上方），，直線與橢圓相交于另一個點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）求的面積．18．（17分）已知函數(shù)，是大于0的常數(shù)，記曲線在點(diǎn)處的切線為，在軸上的截距為，．（1）若函數(shù)，，且在存在最小值，求的取值范圍．（2）當(dāng)時，求的取值范圍．19．（17分）柯西不等式是數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的，其形式為：，等號成立條件為或，，至少有一方全為0．柯西不等式用處很廣，高中階段常用來證明一些距離最值問題，還可以借助其放縮達(dá)到降低題目難度的目的．?dāng)?shù)列滿足，．（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列．（2）證明：；（3）證明：．?dāng)?shù)學(xué)參考答案一．單選1．A【詳解】，所以．故選：A．2．D【詳解】，，即函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率是，直線的斜率是，所以，解得．點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則，，所以D選項是正確的．3．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得公差，進(jìn)而求得．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，所以．故選：C4．A【詳解】依題意，，即函數(shù)為奇函數(shù)，選項C，D不滿足；當(dāng)時，，而，即，選項B不滿足，選項A符合要求．故選：A5．B【詳解】因甲不選A景點(diǎn)，應(yīng)該分步完成：第一步，先考慮甲在B，C，D三個景點(diǎn)中任選一個，有3種選法；第二步，再考慮乙和丙，從A，B，C，D中分別任選一個景點(diǎn)，有中選法．由分步乘法計數(shù)原理，可得不同選法有：種．故選：B．6．C【詳解】因為焦距為，故，故，故故漸近線方程為，故選：C．7．C【詳解】因為，所以，因為在單調(diào)遞減，所以，即，令，所以在上恒成立，令，，故，即，解得，故選：C．8．A【詳解】由可得，當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，由可得．設(shè)，則，．設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的最小值為，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，又滿足，故，即，故實數(shù)的取值范圍為．故選：A二．多選9．ABD10．BD【詳解】因為，所以，因為導(dǎo)函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則，所以是增函數(shù)；當(dāng)時，，則，所以是減函數(shù)；故A錯誤，B正確；又，則，當(dāng)時，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時，有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，可能有1個或2個零點(diǎn)，故C錯誤；因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即，整理得，故D正確；故選：BD11．AD【詳解】對于選項A，，當(dāng)或時，，所以在，上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以在出取得極小值，，在處取得極大值，，而時，恒有成立，所以的最小值是，即，對恒成立，故A正確；對于B選項，若函數(shù)與直線有且只有兩個交點(diǎn)，由A選項分析，函數(shù)的大致圖象如下，由圖知，當(dāng)或時，函數(shù)與直線有且只有兩個交點(diǎn)，故B錯誤；對于C選項，由，得，解得，令，和，而，由圖象知，和分別有兩解：綜上，方程共有4個根，C錯誤；對于D選項，直線過原點(diǎn)，且，，記，，易判斷，，不等式恰有1個負(fù)整數(shù)解，即曲線在的圖象下方對應(yīng)的值恰有1個負(fù)整數(shù)，由圖可得，即，故D正確．故選：AD三．填空12．13．25【詳解】設(shè)產(chǎn)品單價為，因為產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)成反比，所以，（其中為非零常數(shù)），又生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，所以，故，所以，記生產(chǎn)件產(chǎn)品時，總利潤為，所以，則，由，得；由，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時，取最大值，即產(chǎn)量定為25件時，總利潤最大．故答案為：2514．0【詳解】當(dāng)時，過原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)，，，則切線方程為，又切線過點(diǎn)，所以，所以．設(shè)，，則為增函數(shù)，且，所以，，當(dāng)時，過原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)，，，則切線為，又切線過點(diǎn)，所以，又，，，因為，所以兩切線垂直，所以，．故答案為：0．四．解答題15．【解答】解：（1）由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，，，化簡整理，得，解得（舍去），或，，．（2）由題意，設(shè)，則數(shù)列的前項和，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足上式，，，，，，．16．【解答】解：（1）若，則，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，即，解得，所以，所以切線的方程為，即．（2）函數(shù)，，，令，，則為開口向上，對稱軸為，，又，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上，單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，①若，即時，，所以在上，單調(diào)遞增，②若，即時，有兩個根，，若，即時，，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．17．【解答】解：（1）由題意有：，又，所以，所以陏圓的方程為，又點(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，，，，，因為，所以，①圓過點(diǎn)與且與直線相交于兩個不同的點(diǎn)，，則圓心的坐標(biāo)為，又，所以，解得，②由①②解得，，所以，，所以直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去得，解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以，又到直線的距離，所以的面積．18．【解答】解：（1）（2）函數(shù)，求導(dǎo)得，所以切線方程為：，令，得，由，得，又，則，解得，又，得，即，令，，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，而，，則由，得，所以的取值范圍是．19．【解答】（I）解：，．故是