數(shù)學(xué)模型中的反問(wèn)題逆問(wèn)題

8數(shù)學(xué)模型中的反問(wèn)題向下運(yùn)動(dòng)向上運(yùn)動(dòng)風(fēng)箏

數(shù)學(xué)模型竟賽中有很多涉及反問(wèn)題。如2010國(guó)賽中A題和2011年美賽中A題都涉及反問(wèn)題。顧名思義，反問(wèn)題是相對(duì)于正問(wèn)題而言的。正問(wèn)題的定義為：按著自然順序來(lái)研究事物的演化過(guò)程或分布形態(tài)，起著由因推果的作用。自然順序的定義為：不受任何限制和約定俗成的順序，一般地都認(rèn)為他們是自然而然的，無(wú)須多加解釋的。在一般地語(yǔ)境下，認(rèn)為這些順序都是是前提條件的。如時(shí)間順序、空間順序、因果順序，等等。純粹的自然順序的例子是第一，第二，第三這種升序；或者反過(guò)來(lái)的倒序；約定俗成的例子是上北下南左西右東。反問(wèn)題的定義為：根據(jù)事物的演化結(jié)果，由可觀測(cè)的現(xiàn)象來(lái)探求事物的內(nèi)部規(guī)律或所受的外部影響，由表及里，索隱探秘，起著倒果求因的作用?？梢钥闯觯?、反兩方面都是科學(xué)研究的重要內(nèi)容。但相對(duì)正問(wèn)題，反問(wèn)題求解難大，計(jì)算量大。許多人知道求解問(wèn)題的思路，但由于選用計(jì)算方法不適當(dāng)，在幾天內(nèi)求不出計(jì)算結(jié)果，失去獲獎(jiǎng)時(shí)機(jī)。盡管一些經(jīng)典反問(wèn)題的研究可以追溯很早，反問(wèn)題這一學(xué)科的興起卻是近幾十年來(lái)的事情。在科學(xué)研究中經(jīng)常要通過(guò)間接觀測(cè)來(lái)探求位于不可達(dá)、不可觸之處的物質(zhì)的變化規(guī)律；生產(chǎn)中經(jīng)常要根據(jù)特定的功能對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行設(shè)計(jì)，或按照某種目的對(duì)流程進(jìn)行控制。這些都可以提出為某種形式的反問(wèn)題?？梢?jiàn)，反問(wèn)題的產(chǎn)生是科學(xué)研究不斷深化和工程技術(shù)迅猛開(kāi)展的結(jié)果，而計(jì)算技術(shù)的革命又為它提供了重要的物質(zhì)根底?，F(xiàn)在，反問(wèn)題的研究已經(jīng)普及現(xiàn)代化生產(chǎn)、生活、研究的各個(gè)領(lǐng)域。簡(jiǎn)單的概括缺乏以說(shuō)明問(wèn)題，我們下面具體介紹一些常見(jiàn)的反問(wèn)題類型，希望大家能夠?qū)λ幸粋€(gè)概括的了解.第一節(jié)反問(wèn)題的例子例1物體下落距離L與時(shí)間T，正問(wèn)題是：物體的高度，測(cè)量下落時(shí)間，即t=t(x).反問(wèn)題是：物體下落時(shí)間，求物體的高度。當(dāng)人們不知道自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律x=0.5gT2之前，能用時(shí)鐘測(cè)量物體下落時(shí)間，但反過(guò)來(lái)，給定下落時(shí)間，測(cè)量物體高度比擬難。對(duì)于沒(méi)有讀中學(xué)的人，能完成時(shí)鐘測(cè)量物體下落時(shí)間的試驗(yàn)。但給他物體下落時(shí)間，測(cè)量物體的下落高度是不容易的事情。例2年齡與身高。正問(wèn)題是，根據(jù)年齡T，每周歲測(cè)身高H，得到身高H與年齡T的關(guān)系H=H(T).反問(wèn)題是：身高H，求年齡T，即求關(guān)系T=H(T).例3速度V與軌道形狀z=f(x)，其摩擦系數(shù)為μ，z為高度，初始速度為V0，末速度為Ve=V(y=H).正問(wèn)題是，軌道形狀z=f(x)，求末速度為Ve.反問(wèn)題是：給定末速度為Ve.求軌道形狀z=f(x)。對(duì)大學(xué)生，正問(wèn)題能求出來(lái)，但反問(wèn)題有些難。由上面幾個(gè)例子，可以在數(shù)學(xué)上定義正問(wèn)題為y=f(x)，定義域?yàn)镈，值域?yàn)閂。反問(wèn)題為x=g(y).由高等數(shù)學(xué)可知，假設(shè)函數(shù)f(x)在D上是單調(diào)的，那么反函數(shù)g(y)存在且唯一。相對(duì)正問(wèn)題而言，反問(wèn)題計(jì)算量大，選用適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法是成功求解反問(wèn)題的關(guān)鍵。因而要求在求反問(wèn)題之前，要求學(xué)生掌握根本的計(jì)算方法。

第二節(jié)計(jì)算方法2.1方程求根在數(shù)學(xué)建模中，求解方程的根是經(jīng)常遇到的。常用求根方法有迭代法，二分法，牛頓法，極小值法，一維尋查法，格子法。2.1.1設(shè)函數(shù)f(x)=x-g(x)有一根x*,那么f(x*)=0,或x*-g(x*)=0;或x*=g(x*);定義求根的迭代公式為：定理:假設(shè)導(dǎo)數(shù)g’的絕對(duì)值小于1,即|g’|≤L<1,那么迭代收斂。證：由于x*=g(x*)，那么 xk+1-x*=g(xk)-g(x*)=g’(ξ)(xk-x*)有 |xk+1-x*|<L|xk-x*|<L2|xk-1-x*|<Lk+1|x0-x*|因?yàn)長(zhǎng)<1,那么極限Lk-->0,故xkx*.證畢。例求f(x)=x-x*x的零點(diǎn)。解：這里g(x)=x*x,g’(x)=2x,那么當(dāng)|x|<0.5時(shí)，|g’(x)|<1,即|x|<0.5時(shí)，迭代公式 .xk+1=xk2收斂。取x0=0.1,計(jì)算得X1=x02=0.12=10-2X2=x12=(10-2)2=10-4……..最后求得xkx*=0.實(shí)際上，我們知道x=0為x=x*x的解，但它還有一解x=1;由于|2x|=|2*1|=2,那么用上面迭代公式x=g(x)=x*x求不出解x=1.它需要構(gòu)造另一種迭代公式. xk+1=g(xk)=√xk容易驗(yàn)證當(dāng)x=1時(shí)，|g’|<1.取x0=2,計(jì)算得X1=x00.5=20.5≈1.414X2=x10.5=(20.5)0.5=20.25≈1.1189X3=x30.5=(20.25)0.5=20.125≈1.090……..最后求得xkx*=1.由上面例子可知，對(duì)同一函數(shù)f(x)，它的不同零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的迭代公式不同。2.1.2在高等數(shù)學(xué)里，我們已學(xué)習(xí)下面定理。定理：設(shè)f(a)f(b)<0,f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)可導(dǎo)，那么至少有一個(gè)(a,b)中的點(diǎn)x*，使f(x*)=0.取a0=a,b0=b,x1=(a0+b0)/2,那么點(diǎn)x*屬于子區(qū)間[a0,x1]，或子區(qū)間[x1,b0]。假設(shè)屬于子區(qū)間[a0,x1]，取a1=a0,b1=x1.否那么屬于子區(qū)間[x1,b0]，取a1=x1,b1=b0.得到點(diǎn)x*屬于子區(qū)間[a1,b1]，且b1-a1=0.5(b0-a0)，即區(qū)間長(zhǎng)度只有原始區(qū)間的一半。類似上面方法，取x2=(a1+b1)/2,那么點(diǎn)x*屬于子區(qū)間[a1,x2]，或子區(qū)間[x2,b1]。假設(shè)屬于子區(qū)間[a1,x2]，取a2=a1,b2=x2.否那么屬于子區(qū)間[x2,b1]，取a2=x2,b2=b1.得到點(diǎn)x*屬于子區(qū)間[a2,b2]，且b2-a2=0.5(b1-a1)=0.25(b0-a0),即區(qū)間長(zhǎng)度只有原始區(qū)間的四分之一。這種方法一直分二去，得點(diǎn)x*屬于子區(qū)間[ai,bi],和數(shù)列{xi},且bi-ai=0.5i(b0-a0)0,xix*.例.求f(x)=1-x2在區(qū)間[0.5,2]上的零點(diǎn)。解這里a0=0.5,b0=2;有f(a0)=f(0.5)=1-0.52=0.75,f(b0)=f(2)=1-22=-3,有f(a0)f(b0)=0.75*(-3)<0,故在[0.5,2]上f(x)有一零點(diǎn)x*.取x1=(a0+b0)/2=(0.5+2)/2=1.25,有f(x1)=f(1.25)=-0.5625,f(a0)f(x1)=0.75*(-0.5625)<0,那么在區(qū)間[a0,x1]中有零點(diǎn)x*,故取a1=a0=0.5,b1=x1=1.25,x2=(a1+b1)/2=0.875,計(jì)算得f(x2)=f(0.875)=1-(0.875)2=0.2343,F(a1)f(x2)=0.75*0.2343>0,那么零點(diǎn)x*在區(qū)間[x2,b1]=[0.875,1.25]中，故取a2=0.875,b2=1.25.如此計(jì)算下去，當(dāng)bi-ai<ε=0.3時(shí)，求得xi=x3=1.0625。它為x*的近似值。二分法的計(jì)算步驟為：1)輸入a0,b0,誤差限ε；2)假設(shè)f(a0)f(b0)>0,無(wú)根，停止計(jì)算。否那么轉(zhuǎn)下一步；3)取x1=(a0+b0)/2,假設(shè)f(a0)f(x1)<0,取a1=a0,b1=x1;否那么取a1=x1,b1=b0;4)假設(shè)b1-a1<ε,輸出近似根x*=(a1+b1)/2;否那么a1a0,b1二分法能用圖形來(lái)說(shuō)明，其示意圖見(jiàn)圖2.1,圖中給出了點(diǎn)a0,b0,x1,x2,x3,它們根據(jù)二分法計(jì)算。由圖可知，當(dāng)二分次數(shù)增加時(shí)，中間點(diǎn)xi相互靠近，收斂于零點(diǎn)x*.圖2.1二分法示意圖2.1.3定型：假設(shè)x*為f(x)的零點(diǎn)，那么它為F(x)=f2(x)的極小值點(diǎn)。證：由于F(x)非負(fù)，F(xiàn)(x*)=f2(x*)=00=0,

那么x*為F(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)。我們?nèi)菀椎茫憾ɡ恚杭僭O(shè)F(x)=f2(x),F(x*)=0,那么f(x*)=0.可見(jiàn)，f(x)的零點(diǎn)計(jì)算問(wèn)題能化為極小值計(jì)算問(wèn)題。它常用一維尋查法求解。一維尋查法比擬簡(jiǎn)單，它的計(jì)算步驟為1)輸入初始點(diǎn)d0,步長(zhǎng)h,誤差ε；2)計(jì)算函數(shù)值F(d0),F(d0-h),F(d0+h);3)假設(shè)F(d0)<min{F(d0-h),F(d0+h)};轉(zhuǎn)第6步。4)假設(shè)F(d0)>F(d0-h),取d1=d0-h;否那么取d1=d0+h;5)令d1d0,h2h,轉(zhuǎn)第2步。6)取a=d0-h,b=d0+h,用二分法求極值點(diǎn)。二分法求極值點(diǎn)的原理與求根原理類似。由下面定理給出：定理：設(shè)F(x)在[a,b]上連續(xù)，且0≤F(x),假設(shè)c為[a,b]中的點(diǎn)，且F(c)<min{F(a),F(b)},那么F(x)在[a,b]上存在極小值點(diǎn)x*.上面定理用反證法容易證明。二分法求極值點(diǎn)的步驟為，取a0=a,b0=b,c0=c=(a0+b0)/2;h=(b-a)/2;中點(diǎn)x0=(a0+c0)/2;y0=(c0+b0)/2;假設(shè)F(z0)=min{F(a0),F(b0),F(x0),F(c0),F(y0)},z0為{a0,c0,b0,x0,y0}中的一點(diǎn)，取h1=h/2,a1=z1-h1,c1=z1,b1=z1+h1;容易計(jì)算出(b1-a1)=0.5(b0-a0);即長(zhǎng)度只有原區(qū)間的一半。用類似方法，取中點(diǎn)x1=(a1+c1)/2;y1=(c1+b1)/2;假設(shè)F(z1)=min{F(a1),F(b1),F(x1),F(c1),F(y1)},z1為{a1,c1,b1,x1,y1}中的點(diǎn)，取h2=h/4,a2=z2-h2,c2=z2,b2=z2+h2;有(b1-a1)=0.5(b1-a1)=0.25(b0-a0);那么長(zhǎng)度只有初始區(qū)間長(zhǎng)度的四分之一。如此下去，我們得到點(diǎn)ai,ci,bi,且(bi-ai)=0.5i(b0-a0)0.可以證明，xix*為極小值點(diǎn)。 由上面討論可知，求極小值點(diǎn)分為兩步，先求極點(diǎn)所在的區(qū)間[a,b],然后用二分法逐步縮小區(qū)間，求出極小值點(diǎn)。其計(jì)算過(guò)程可以用圖2.2說(shuō)明。圖中函數(shù)F只有一個(gè)極小值點(diǎn)。給定初值d0和步長(zhǎng)h,求出d0+h為最小值，取2h,計(jì)算得d0+2h也為最小，再取4h,計(jì)算得d0+2h也為最.圖2.2極小值示意圖例.用極小值法求函數(shù)f(x)=1-x*x的零點(diǎn)，x0=1.4,h=0.1.解.令F(x)=f2(x*)=(1-x2)2先用一維尋查法求含有根的區(qū)間[a,b].計(jì)算F(x0-h)=F(1.3)=0.4761;F(x0)=F(1.4)=0.9216;F(x0+h)=F(1.5)=1.5612;比擬3個(gè)數(shù)值，x1=1.3時(shí)F=0.4761最小。將步長(zhǎng)放大2倍，取h=0.2,計(jì)算F(x1-h)=F(1.1)=0.0441;F(x1)=F(1.3)=0.4761;F(x1+h)=F(1.5)=1.5612;比擬3個(gè)數(shù)值，x2=1.1時(shí)F=0.0441最小。再將步長(zhǎng)放大2倍，取h=0.4,計(jì)算F(x2-h)=F(0.7)=0.216;F(x2)=F(1.1)=0.0441;F(x2+h)=F(1.5)=1.5612;比擬3個(gè)數(shù)值，x3=1.1時(shí)F=0.0441最小。因而取a=0.7,b=1.5.再用二分法求極值點(diǎn)。取a0=0.7,b0=1.2,c0=0.95,h=0.25;中點(diǎn)x0=(a0+c0)/2=0.825;y0=(c0+b0)/2=1.075;計(jì)算得F(0.7)=0.216;F(0.825)=0.102;F(0.95)=0.0095;F(1.075)=0.02421;F(1.2)=0.1936;當(dāng)z1=0.95時(shí)，函數(shù)F(0.95)=0.0095最小。那么取a1=0.825,c1=0.95,b1=1.075;x1=0.8875;y1=1.0125;計(jì)算得F(0.825)=0.102;F(0.8875)=0.04509,F(0.95)=0.0095;F(1.0125)=6.328e-4,F(1.075)=0.02421;給定誤差ε=0.1時(shí)，假設(shè)(bi-a1)/4<ε,輸出近似根x*=1.0125.格子法對(duì)于高維問(wèn)題，格子法是求極值點(diǎn)的常用方法。它的思想與二分法類似，根本原理為，給定非負(fù)的高維函數(shù)y=F(X),初始點(diǎn)X0,步長(zhǎng)h,將每個(gè)坐標(biāo)分量加上h和減去h,求最小值y0=min{F(X0),F(X-h),F(X+h)},和對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)X1,假設(shè)X1=X0，取hh/2,步長(zhǎng)減半，否那么取h2h,步長(zhǎng)加倍，再將X1的每個(gè)坐標(biāo)分量加上h和減去h,求最小值點(diǎn)X2，如此下去，直到步長(zhǎng)h<ε為止。最后Xi為近似最小值點(diǎn)。例.求方程式組的極小解：x-y(x+y)-1=0;y(x+y)-y-2=0;解：令 F(x,y)=[x-y(x+y)-1]2+[y(x+y)-y-2]2取初值點(diǎn)X0=(0,0),步長(zhǎng)h=0.8;計(jì)算得：F(-0.8,0)=7.24;F(0.8,0)=4.04F(0,0)=5.0;F(0,-0.8)=3.00;F(0,0.8)=7.可知X1=(0,-0.8)為最小值點(diǎn)，取加倍步長(zhǎng)h=1.6,計(jì)算中心得：F(-1.6,0.8)=20.9;F(1.6,0.8)=4.923;F(0,0.8)=3.0;F(0,-2.4)=83.6;F(0,0.8)=7.32;那么X2=X1=(0,-0.8)為最小值點(diǎn)，取減半步長(zhǎng)h=0.8,繼續(xù)計(jì)算，最后求得近似極小值點(diǎn)(1.3175,-1.5675).滿足誤差ε=0.01.2.1.在反問(wèn)題計(jì)算中，多項(xiàng)式擬合是常用的方法，其根本原理是：給定測(cè)量數(shù)據(jù)(xi,yi),i=1,2,…,m,求一個(gè)多項(xiàng)式 .y=a0+a1x+a2x2+…+anxn將數(shù)據(jù)代入得上式可寫為矩陣表達(dá)式：Y=XA這里：兩邊乘以X的轉(zhuǎn)置XT有XTY=XTXA故有當(dāng)n=1時(shí)，y=a+bx為線性函數(shù)，可以由上式求出具體表達(dá)式：式中E(X)為X的平均值，E(Y)為Y的平均值。D(X)為X的方差。上式與最小二乘法得到的結(jié)果相同。例.數(shù)據(jù)(0,0),(1,1),(2,4),(3,8)，求一元回歸函數(shù)y=a+bx?解.我們求得m=4E(X)=(0+1+2+3)/4=7/4;D(X)=((-7/4)^2+(-3/4)^2+(1/4)^2+(5/4)^2)/4=1.3125E(Y)=(0+1+4+8)/4=13/4E(XY)=(0*0+1*1+2*4+3*8)/4=33/4計(jì)算得：b=1.9524;a=-0.1667;那么一元回歸為：Y=-0.1667+1.9524x數(shù)值積分在數(shù)學(xué)模型竟賽中，能求出分析解的積分太少，大多只能用數(shù)值方法離散計(jì)算。設(shè)h為步長(zhǎng)， a=x0<x1<…<xn=bxk=a+khzk=xk+0.5h積分用復(fù)化中點(diǎn)公式計(jì)算例.計(jì)算f(x)=x2在區(qū)間[-1,1]上的積分。解.取步長(zhǎng)h=1,得區(qū)間[-1,0],[0,1],中點(diǎn)z0=-0.5,z1=0.5;積分為 I=h[f(z0)+f(z1)]=(-0.5)^2+(0.5)^2=0.5實(shí)際精確值為0.6667,相差0.1667;假設(shè)取更小的步長(zhǎng)，誤差將變小。對(duì)于二維積分，其積分區(qū)域?yàn)镈，將區(qū)域D劃分為假設(shè)干四邊形，第k個(gè)四邊形中點(diǎn)坐標(biāo)為Xk,面積為Sk,那么用復(fù)化中點(diǎn)計(jì)算例.計(jì)算f(x,y)=x2+y2在區(qū)域[0,2;0,2]]上的積分。解.取步長(zhǎng)h=1,得子區(qū)域[0,1;0,1],[0,1;1,2],[1,2;0,1],[1,2;1,2];中點(diǎn)為P1=(0.5,0.5);P2=(0.5,1.5);P3=(1.5,0.5);P4=(1.5,1.5);子區(qū)域面積Sk=1.0;積分為I=f(P1)S1+f(P2)S2+f(P3)S3+f(P4)S4=f(P1)+f(P2)+f(P3)+f(P4)=0.5^2+0.5^2+0.5^2+1.5^2+1.5^2+0.5^2+1.5^2+1.5^2=10實(shí)際精確值為10.667,相差0.667,相對(duì)誤差為0.667/10.667=0.0625.在可接受范圍之內(nèi)。當(dāng)然，取小的步長(zhǎng)，能縮小誤差值。微分方程數(shù)值解設(shè)初值問(wèn)題.y'=f(x,y);y(x0)=y0取步長(zhǎng)為h,點(diǎn)x1=x0+h,x2=x1+h,x3=x2+h,…導(dǎo)數(shù)y’(x1)=(y1-y0)/h,那么有.y1=y0+hf(x0,y0).y2=y1+hf(x1,y1)………例.給定初值問(wèn)題,y’=1+xy,y(0)=1;h=0.1;求y(0.2)?解.y1=y0+hf(x0,y0)=1+0.1f(0,1)=1+0.1(1+0*1)=1.1y2=y1+hf(x1,y1)=1+0.1f(0.1,1.1)=1+0.1(1+0.1*1.1)=1.111那么近似有y(0.2)=1.111

第三節(jié)反問(wèn)題數(shù)學(xué)模型求解例1物體下落距離L與時(shí)間T，正問(wèn)題是：物體的高度，測(cè)量下落時(shí)間，即t=t(x).反問(wèn)題是：物體下落時(shí)間，求物體的下落距離。解設(shè)距離L與時(shí)間有多項(xiàng)式關(guān)系：L=a+bT+cT2+dT3選取取不同距離Li，測(cè)量下落時(shí)間Ti，i=1,2,…,n;構(gòu)造函數(shù)Q(a,b,c,d):Q(a,b,c,d)=Σ[a+bTi+cTi2+dTi3-Li]2取A=(a,b,c,d)T,用最小二乘法，求出上式的極小值A(chǔ)=〔XTX〕XTY這里Y=(L1,L2,…,Ln)T，X=(X1,X2,X3,X4);X1=(1,1,…,1)',X2=(T1,T2,…,Tn)',X3=((T12,T22,…,Tn2)',X4=((T13,T23,…,Tn3)'.例如測(cè)量得一組數(shù)據(jù)為表3.1物體下落時(shí)間T與距離LTLTLTL0.10.049051.612.1753.145.5630.20.195711.713.7393.248.5450.30.437111.815.3983.351.6210.40.773041.917.1523.454.7920.51.20352193.558.0570.61.72842.120.9423.661.4170.72.34782.222.9793.764.8710.83.06182.325.113.868.420.93.87022.427.3363.972.06314.77312.529.656475.8021.15.77052.632.0714.179.6321.26.86242.734.5814.283.5631.38.04882.837.1844.387.5761.49.32982.939.8834.491.7121.510.705342.6764.595.874由上面數(shù)據(jù)計(jì)算得：a=-0.00126;b=0.04469;c=4.7295;d=-0.0007893;L=-0.00126+0.04469T+4.7295T2-0.0007893T3上式近似于公式L=0.5gT2.例2年齡與身高。正問(wèn)題是，根據(jù)年齡T，每周歲測(cè)身高H，得到身高H與年齡T的關(guān)系H=H(T).反問(wèn)題是：身高H，求年齡T，即求關(guān)系T=H(T).解設(shè)年齡T與身高H的關(guān)系為 T=a+bH根據(jù)下面數(shù)據(jù)表3.2年齡T與身高HTHTH1399111248101203571112946612138575131476841415679315165810216174求得a=30,b=9;即有 H=30+9T例3速度V與軌道形狀z=f(x)，其摩擦系數(shù)為μ，z為高度，初始速度為V0，給定末速度為Ve=V(y=H),.求軌道形狀z=f(x)。解設(shè)y0=f(x0),y1=f(x1),在區(qū)間[x0,x1],物體速度近似取v0,由能量守恒定理，設(shè)M為物體質(zhì)量，V1=V(x=x1)為x=x1處的速度，有初始(動(dòng)+勢(shì))能=結(jié)束(動(dòng)+勢(shì))能+磨擦力作功Wf其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：0.5MV02+gMy0=0.5MV12+gMy1+EfWf=μ(Mgcos(a1)+Rn)ΔS1=μ[Mg(x1-x0)+RnΔS1]式中a1為線段y0—y1與x軸的夾角，Wf為物體在x0--x1段移動(dòng)時(shí)磨擦力作的功，ΔS1為線段的長(zhǎng)度。Rn為離心力，定義為：R為曲率半徑。取y’=(y1-y0)/h,y”=(y2-2y1+y0)/h2.將區(qū)間劃分為[x0,x1],[x1,x2],…,[xn-h,xn],xi=x0+ih,h為步長(zhǎng)，yi=f(xi)為對(duì)應(yīng)函數(shù)值，當(dāng)?shù)趇-1點(diǎn)的速度Vi-1，那么第i點(diǎn)的速度Vi為0.5MVi2=0.5MVi-12-gM(yi-yi-1)-WfWf=μ(Mgcos(ai)+Rn)ΔSi=μ[Mg(xi-xi-1)+RnΔSi]式中ai為線段yi-1—yi與x軸的夾角，Ef為物體在xi-1--xi段移動(dòng)時(shí)磨擦力作的功，ΔSi為線段的長(zhǎng)度。將區(qū)間劃分為[x0,x1],i=1,2,…,n.當(dāng)給定函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xi時(shí)值yi,用上面的公式能計(jì)算出末速度V(x=H).設(shè)Y={y1,y2,…,yn}為y在世點(diǎn)值組成的向量，與末速度V有關(guān)系V=V(Y),給定Y=Yk,得V=Vk,那么計(jì)算出數(shù)據(jù)(Yk,Vk),k=1,2,…,m,令Y=a+bV+cV2+dV3只要求出常數(shù)a,b,c,d,對(duì)速度Ve,我們就可以求出對(duì)應(yīng)Y=Ye.然后用插值方法求出曲線y=f(x).考慮一個(gè)具體的例子，設(shè)y=f(x)定義在區(qū)間[0,1],且f(x=1)=0.5;末速度Ve=4,初始速度V0=10,摩擦系數(shù)為μ=0.01,單位取為焦?fàn)?，米，牛頓。將[0,1]劃分為兩個(gè)區(qū)間[0,.5],[.5,1],由于y0=0,y2=0.5,那么只有一個(gè)未知量y1.改變y1值，求得V值。表3.3速度與坐標(biāo)y1的關(guān)系y1v1(x=0.5)v2(x=1.0)曲率半徑R0.0254.92083.87250.685940.054.86793.93460.657060.0754.81333.99470.619280.14.75654.05220.571370.1254.69644.10650.5120.154.63094.15610.439860.1754.55494.19750.353650.24.45334.22080.25220.2254.24814.18090.13454設(shè)速度v=v2與坐標(biāo)y1的關(guān)系.y1=a+bv+cv2我們求得a=7.6919;b=-4.2762;c=0.59305;即有.y1=7.6919-4.2762v+0.59305v2取v=v2=4,得y1=0.0759.

第四節(jié)具有反問(wèn)題的數(shù)模竟賽題--單板滑雪例4.1美賽2011問(wèn)題A：?jiǎn)伟寤?/p>

請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)單板滑雪場(chǎng)〔現(xiàn)為“半管”或“U型池”〕的形狀，以便能使熟練的單板滑雪選手最大限度地產(chǎn)生垂直騰空。

“垂直騰空“是超出“半管”邊緣以上的最大的垂直距離。

制定形狀時(shí)要優(yōu)化其他可能的要求，如：在空中產(chǎn)生最大的身體扭轉(zhuǎn)。

在制定一個(gè)“實(shí)用”的場(chǎng)地時(shí)可能需要權(quán)衡哪些因素？解單板滑雪場(chǎng)“U型池”見(jiàn)圖4.1,可以使單板愛(ài)好者們，從一面墻到另一面之間移動(dòng)，跳躍并做把戲動(dòng)作。墻面形狀對(duì)運(yùn)動(dòng)速度有影響，運(yùn)動(dòng)軌跡是三維的，為了簡(jiǎn)化，只考慮二維截面。由于對(duì)稱性，只考慮一面墻，由于只有墻的形狀可以改變，平底局部不能改變，因而墻面形狀局部。二維截面的墻面見(jiàn)圖4.2,圖中L為墻面寬度，h’為高度，h為運(yùn)發(fā)動(dòng)離開(kāi)墻面后上升高度。G為運(yùn)發(fā)動(dòng)身體重量，F(xiàn)u為離心力。設(shè)墻面曲線為y=f(x),運(yùn)發(fā)動(dòng)進(jìn)入初始速度為V0,末速度為Ve。當(dāng)f(x)時(shí)，根據(jù)力學(xué)原理，能計(jì)算出末速度,這是正問(wèn)題。假設(shè)給定末速度，求曲線f(x),這是反問(wèn)題?？芍磫?wèn)題比正問(wèn)題難得多。當(dāng)曲線f(x)未知時(shí)，它要滿足條件f(0)=0,f(L)=h’,f’(0)=0,1/f’(L)=0.即運(yùn)發(fā)動(dòng)沿水平方向進(jìn)入弧曲線，沿垂直方向離開(kāi)弧曲線。A1無(wú)磨擦當(dāng)不考慮磨擦損失時(shí)，由能量守恒原理，有式中m為運(yùn)發(fā)動(dòng)質(zhì)量，H=h+h’,有H的計(jì)算式：故垂直騰空高度h=H-h’.它說(shuō)明當(dāng)不考慮磨擦?xí)r，垂直騰空高度與曲線形狀無(wú)關(guān)。A2有磨擦當(dāng)計(jì)及磨擦?xí)r，設(shè)運(yùn)發(fā)動(dòng)從點(diǎn)x=x0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)x=x1時(shí)，速度為v1，由能量守恒原理，有式中μ為磨擦系數(shù)，F(xiàn)n為作用在曲線法向上分力，ds為曲線段長(zhǎng)度,且有Fn=mgcosθ+mv2/RFnds=mgdx+mv2/Rdsθ為切線角，R為曲率半徑：取速度v=v0,由上面公式計(jì)算得速度v1.用類似的方法，將區(qū)間[0,L]劃分為x0=0,x1,x2,…,xn=L.依次計(jì)算出速度v1,v2,…,Vn.再改孌曲線值y1,y2,…,yn=h’,求出對(duì)應(yīng)速度，根據(jù)此題要求，要計(jì)算出最大速度Vn對(duì)應(yīng)的f(x)，那么從所有計(jì)算結(jié)果中，選出最大的Vn對(duì)應(yīng)值y1,y2,…,yn。再用曲線擬合的方法計(jì)算f(x).在實(shí)際計(jì)算中，μ=0.1,初始f(x)為圓弧計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4.1,由表可知，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后，垂直騰空高度h增加近20%.表4.1:ThecomparisonfinalvelocityofinitialshapeandoptimalInitialVelocity(:)〔m/s〕FinalVelocityofinitialshape()〔m/s〕FinalVelocityofoptimalshape()〔m/s〕Maximumverticalheightofinitialshape()(m)Maximumverticalheightofoptimalshape()(m)Increasingpercentageofheight(%)1710.66611.68185.8042636.96247219.95451811.521912.56756.7731728.05826818.97331912.362513.44047.7975219.21654918.19842013.190714.30298.87727410.437417.57432114.008715.156910.0124311.72117.0645A3空氣阻力運(yùn)發(fā)動(dòng)速度高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將產(chǎn)生空氣阻力：K為空氣阻力系數(shù)，A為迎風(fēng)面積，ρ氣體密度，v’運(yùn)動(dòng)速度。那么有能量關(guān)系為損失動(dòng)能、磨擦力作功、勢(shì)能、阻力作功。然后根據(jù)上面方法求出末速度Vn,和垂直騰空高度h。A4扭轉(zhuǎn)要求運(yùn)發(fā)動(dòng)騰空后，在空中產(chǎn)生最大的身體扭轉(zhuǎn)。產(chǎn)生的方法是：運(yùn)發(fā)動(dòng)用腳作用于U池。見(jiàn)圖4.3。設(shè)E為運(yùn)發(fā)動(dòng)離開(kāi)U型池作的功，E1為旋轉(zhuǎn)能量，ω為旋轉(zhuǎn)角速度，E2=E-E1為向上增加能量，E4為運(yùn)動(dòng)到池邊，速度為Vn的能量，E5=E4+E2為離開(kāi)U型池向上運(yùn)動(dòng)的能量那么有那么在空中停留時(shí)間T為式中A為運(yùn)發(fā)動(dòng)總轉(zhuǎn)動(dòng)角度。將h代入上式得求得A2最大值時(shí)的ω值再計(jì)算出V1，V2，V，得角度為計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4.2，由表可知，身體扭轉(zhuǎn)角增加15%。表4.2身體扭轉(zhuǎn)Speedleavingthecourse(m/s)Pushingenergy(J)Leanedangle()ThemaximumtwistwithoutslantAngle()Themaximumtwistwithslantangle()Improvingpercentage(%)13310081.23202022901313320075.732051235915Table7:Theimprovementofsettingslantangle

第五節(jié)具有反問(wèn)題的數(shù)模竟賽題--儲(chǔ)油罐例5.1；2010年國(guó)賽A題儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定一內(nèi)容通常加油站都有假設(shè)干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過(guò)預(yù)先標(biāo)定的罐容表〔即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系〕進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，對(duì)于實(shí)際儲(chǔ)油罐(見(jiàn)圖5.1)，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)〔縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b〕之間的一般關(guān)系。請(qǐng)利用罐體變位后在進(jìn)/出油過(guò)程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。二逆問(wèn)題數(shù)學(xué)模型本文只考慮儲(chǔ)油罐的縱傾和橫傾變位，認(rèn)為儲(chǔ)油罐整體是鋼性的。設(shè)儲(chǔ)油罐內(nèi)液體體積V與油浮顯示油位高度h之間的函數(shù)關(guān)系為式中為縱傾角，為橫傾角。再設(shè)為高度時(shí)的液體體積測(cè)量值,，定義理論計(jì)算值與測(cè)量值的誤差函數(shù)：(2.1)由于環(huán)境條件，測(cè)量值對(duì)應(yīng)的變位傾角是未知的，但可以從上面公式求極值得到:(2.2)當(dāng)V為傾角的線性函數(shù)時(shí)：(2.3)上式中，,為函數(shù)，那么有的表達(dá)式：(2.4)利用最小二乘法，得極值解為：(2.5)式中：(2.6)對(duì)于一般情形，當(dāng)傾角較小時(shí)，取V的線性項(xiàng)有較高的精確度，也能作為迭代初值。由上面討論可知，當(dāng)罐內(nèi)液體體積的測(cè)量值和理論計(jì)算值，變位傾角可以由極值計(jì)算。下一節(jié)將討論液體體積理論計(jì)算方法。三．罐內(nèi)液體體積理論計(jì)算設(shè)Oxyz為儲(chǔ)油罐貼體坐標(biāo)系，Oxy平面為儲(chǔ)油罐截面積最大的截面所在的平面，z軸垂直于Oxy平面。再設(shè)液面所在的平面P的法向量為n=(A,B,C)，它由傾角決定，對(duì)應(yīng)平面方程為(3.1)式中點(diǎn)(x0,y0,z0)為油浮子在液面上的點(diǎn)。本文假設(shè)油浮子始終在液面上。平面Oxy將儲(chǔ)油罐截為上外表,和下外表。設(shè)Dxy為平面z=0在儲(chǔ)油罐內(nèi)部區(qū)域，那么罐內(nèi)液體體積V為：(3.2)根據(jù)平面P與油罐上下外表之間的關(guān)系，式中F由下面公式表示出：(3.3)由于罐內(nèi)液體體積V為二重積分，當(dāng)油罐上下外表用簡(jiǎn)單函數(shù)表示時(shí)，我們能求出積分表達(dá)式。當(dāng)罐面比擬復(fù)雜時(shí)，可以用數(shù)值方法計(jì)算。在下面實(shí)例中，可將平面Dxy以步長(zhǎng)dxdy分成N個(gè)小區(qū)域，將每一個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)的油柱近似為直方體，然后對(duì)所有N個(gè)直方體進(jìn)行離散求和。四臥式圓筒球形封頭型油罐4.1上下外表和油面臥式圓筒球形封頭型油罐的空間直角坐標(biāo)系見(jiàn)圖1,圖中取Oxyz為貼體坐標(biāo)系，中截面在Oxy平面上，取為上節(jié)中二重積分區(qū)域Dxy,L為儲(chǔ)油罐主體〔圓柱體〕的長(zhǎng)度，r為儲(chǔ)油罐主體的截面園半徑，q為兩端球冠體的高。圖1油罐的空間直角坐標(biāo)系的建立設(shè)油浮子始終作為油面上的點(diǎn)，坐標(biāo)為，這里為油浮顯示油位高度，儲(chǔ)油罐縱傾角為，橫傾角為。4.2計(jì)算結(jié)果根據(jù)前面定義的誤差函數(shù),利用2010全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題()所給出的實(shí)際測(cè)量的前302個(gè)數(shù)據(jù)，采用變步長(zhǎng)遍歷搜索得誤差函數(shù)最小值對(duì)應(yīng)的油罐縱傾角為α=2.1度，橫傾角為β=4.3度.利用局部測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算參數(shù)，另一局部測(cè)量數(shù)據(jù)檢驗(yàn)計(jì)算的參數(shù)是科學(xué)研究中常用的方法[8]。4.3檢驗(yàn)變位參數(shù)正確性運(yùn)用求得的與的值得到體積與的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)A題所給出的實(shí)際測(cè)量剩余的后299個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。那么模型所得數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差，如下列圖10所示。圖2模型計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相對(duì)誤差由圖中相對(duì)誤差圖可知，模型的計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差不超過(guò)5%，或計(jì)算值與實(shí)測(cè)值吻合精度高于95%.實(shí)際計(jì)算得標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.0348,平均絕對(duì)誤差小于0.01,可以認(rèn)為所建立的模型是正確的。4.4罐容表標(biāo)定值油罐