廣東省東莞市某中學2022-2023學年高一年級下冊學期期中考試數(shù)學試題二

廣東省東莞市東華高級中學2022-2023學年高一下學期期

中考試數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知復數(shù)z滿足（2+i）z=2-4i,貝V的虛部為（）

A--2iB-2iC--2D-2

2-己知麗=￡+5$，麗=-2（&-而），PQ=3（a-h）'則（）

A.M,N,P三點共線B.M,N,。三點共線

C.M,P,0三點共線D.N,P,。三點共線

3.如果復數(shù)（/_5團+6）+（/_3叫是純虛數(shù)，則實數(shù)〃?的值為（）

A.2或3B.0或3C.0D.2

4.在V/8C中，若3b=26asinB，cosA=cosC<則V/18C形狀為（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

5.如圖，是1963年在陜西寶雞賈村出土的一口“何尊”（尊為古代的酒器，用青銅

制成），尊內(nèi)底鑄有12行、122字銘文.銘文中寫道“唯武王既克大邑商，則廷告于天,

曰：'余其宅茲中國，自之辟民’”，其中宅茲中國為“中國”一詞最早的文字記載.

“何尊”可以近似看作是圓臺和圓柱組合而成，經(jīng)測量，該組合體的深度約為30cm，

上口的內(nèi)徑約為20cm，圓柱的深度和底面內(nèi)徑分別約為20cm,16cm，則“何尊”的容

積大約為（）

試卷第11頁,共33頁

A-5500cm3B-6000cm3C-6500cm3D-7000cm3

6.如圖，在四棱錐P-NBCD中，尸。1平面N8C7TCD1BC,CD//AB'

AB=2BC=2CD=2PD，則異面直線?”與2。所成角的余弦值為（）

A.組B.比C.2J/￡D.7。

3366

7.已知某長方體的上底面周長為16,與該長方體等體積的一個圓柱的軸截面是面積

為16的正方形，則該長方體高的取值范圍是（）

A.（0,兀］B.（0,4兀］

C［TT,+OO）D.［4兀,+8）

8.平行于圓錐底面的截面將圓錐分為體積相等的兩部分，則圓錐側(cè)面被截面分成上、

下兩部分的面積之比為（）

A.1.8B.］：7C.］：孤D.1：（兇'_1）

二、多選題

9.己知〃?、”表示直線，a、p、y表示平面，則下列推理不正確的是（）

A.?？谙?機，〃ua=>mlln

B?=m加為且〃//月

C.mH0,nllp?加ua,nuana//B

D.allp，a=m,=機〃〃

試卷第21頁，共33頁

10?如圖，在V/8C中，若點°，E'歹分別是8C，4C，Z3的中點，設40，

b交于一點0,則下列結(jié)論中成立的是（）

——1—1-

B.AD=-AC+-AB

22

—2—2―?—2—?2—

C.A0=-AC+-ABD.0C=-AC--AB

3333

II.下列說法正確的是（）

A-若；且則3J

B.若zjZ2為復數(shù)，則區(qū)可七小㈤

C.設弓5是非零向量，若|"司=卜一耳，則4用=0

D.設Z］，為復數(shù)，若.+Z?|=B—2卜則行=0

12.在棱長為2的正方體中，點E為棱的中點，點尸是正方形

44GA內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法中正確的是（）

A.直線5G與直線ZC夾角為60°

B.平面BQE截正方體所得截面為等腰梯形

C.若EF=#，則動點尸的軌跡長度為2乃

D.若/E〃平面8GE，則動點尸的軌跡長度為石

試卷第31頁，共33頁

三、填空題

13.長方體中由一個頂點出發(fā)的三個側(cè)面的面積分別為邑、邑，則該長方體的體

積為一.

14.在矩形“8CZ）中，E為邊40的中點，48=1，BC=2,分別以A、。為圓心，i

為半徑作圓弧砧、EC（E在線段NO上）.由兩圓弧￡5、EC及邊8c所圍成的平面

圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積為.

15.若復數(shù)z滿足z產(chǎn)"-i，則建

16.如圖，在V0N8中，尸為線段48上一點，則萬=x?+y無，若萬=3萬，

I明=4,|茄|=2,且宓與麗的夾角為60。，則方.標的值為一.

四、解答題

17.已知非零向量￡,各夾角為。，且￡=（1,0）.

⑴當5=C，G）時，求'；

⑵若。=60。，且R+WR/）,求*2年

試卷第41頁，共33頁

18.如圖，三棱柱Z8C由18cl的側(cè)棱垂直于底面，其高為2cm，底面三角形的邊長

分別為3cm，4cm*5cm'

(1)以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個圓柱，求剩余部分幾何體的體積/:

(2)求該三棱柱的外接球的表面積與內(nèi)切球的體積.

19.已知V'BC的三內(nèi)角48,C,而=(2sin/,l)與歷=(3,sinZ+Gcos/)共線.

(1)求角A的大小；

⑵若4=2，V/8C的周長為6，求VN8C面枳s

20.已知V/8C的頂點分別為Z(q,4)，8(0,6)，C(c,0).

⑴若a=3，6=0，c=5,求sin"的值；

(2)若虛數(shù)x=2+ai(a>0)是實系數(shù)方程Y_cx+5=0的根，且NN是鈍角，求b的取

值范圍.

21.如圖，已知四棱錐P-NBCD的底面為直角梯形，/8//。,/。/18=90",/3/_1_底面

ABCD,—cf…是啊勺中點.

試卷第51頁，共33頁

(1)求證：/加=0/；

⑵若N是PC的中點，求證:DN//平面/A/C.

22.某學校為落實雙減政策，豐富學生的課外活動，計劃在校園內(nèi)增加室外活動區(qū)域

(如圖所示V/8C),如圖，已知兩教學樓以直線小4表示，且4〃4,是過道，

A是小之間的一定點路口，并且點A到小/2的距離分別為2,6,B是直線上的

動點，連接力8,過點A作NB/C=120。，且使得ZC交直線4于點C(點8,C分別

⑴寫出活動區(qū)域V/8C面積S關于角a的函數(shù)解析式s(0；

(2)求函數(shù)sg)的最小值.

試卷第61頁，共33頁

參考答案:

1.c

【分析】計算z=_2i，確定虛部得到答案.

24i2i

【詳解】Z=2z￡=(-)(-)=zl2i=_2i>故虛部為-2.

2+i(2+i)(2-i)5

故選：C

2.B

【分析】根據(jù)向量線性運算求而，由此證明礪=而，根據(jù)向量共線性質(zhì)判斷結(jié)論.

【詳解】...標=_21+麗，~PQ=3(a-by

:.Nd=NP+PQ=-2a+Sb+3(a-b)=a+5b)

■：MN=：a+5b':.MN=NQ'

由平面向量共線定理可知，礪與而為共線向量，

又?.?而與而有公共點N，N，。三點共線，

故選：B.

3.D

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義進行求解.

【詳解】因為(〃/_5w+6)+(/_3m)i是純虛數(shù)，

所以卜2-5m+6=0,解得相=2

m2一3陽w0,

故選：D.

4.C

【分析】首先利用正弦定理化邊為角求出sinZ的值，再結(jié)合z=c，以及三角形的內(nèi)角和

可求出/夕進而可得正確選項?

答案第11頁，共22頁

【詳解】因為3b=2缶sinB，

所以3sin8=2sin/4sin5)

因為0"<8<180°

所以sinBwO'

所以siM=叵可得"=60o或120°,

2

又因為cos4=cosC，0°<Z<180°，0°<C<180"

所以N/=NC

所以4=60°，ZC=60'N8=180°-60°-60°=60°，

所以V48c為等邊三角形.

故選：C.

5.C

【分析】根據(jù)圓柱以及圓臺的體積公式計算，即可得答案?

【詳解】由題意可知圓臺的高為30-20=10(cm),

故組合體的體積大約為兀區(qū)2207t(&J.8x16+1械)M)2*=醫(yī)鄴b

故選：C

6.A

【分析】根據(jù)異面直線所成角的概念，作,DEHBC'EFHPA,則/DE/7是異面直線PN與

8C所成的角(或補角)，解三角形即可.

【詳解】分別取的中點E,尸，連接BD,DE,DF,EF.過點F作HFLBD，垂足為H,

答案第21頁，共22頁

CD//AB,AB=2CD,所以CZ5//EB,CD=EB，四邊形為平行四邊形，有

DE//BC.又EFHPA，則NDE尸是異面直線尸4與8c所成的角（或補角）.

CD工BC，CZ）//AB）則有。

設8C=2,則DE=AE=EB=CD=PD=2,AD=BD=4AErBE。=2卮

PA=NAD?+PD2=26,EF=0,

FH=\,DH=岳DF=4FH?DH?=6

2224+3-3_V3

故cos/DEF=DE+EF-DF

2DEEF2x2x6-3

則異面直線"'與'C所成角的余弦值為史.

3

故選：A

7.C

【分析】運用長方體、圓柱體積公式及基本不等式求解即可.

【詳解】不妨設該長方體底面的長和寬分別為。，b,高為隊則a+b=8,

軸截面是面積為16的正方形的圓柱，其底面圓的半徑為2,高為4,

答案第31頁，共22頁

體積為4x2和觥="卜，則/,=啊，又因為0<?/±史丫=16，所以

ab-（2）ab16

故〃之16兀%一二.

16

故選：C.

8.D

【分析】分別表示出原來圓錐與截后的小圓錐的體積，根據(jù)被截成的兩部分體積相等可以

得到幺=蚯，即可求出上下兩部分的面積之比.

r

【詳解】設原來的圓錐體積為匕底面半徑為七高為H,側(cè)面積為S,母線長為L,

被截面分截后，上面小圓錐的體積為匕，底面半徑為廠，高為兒側(cè)面積為母線長為

I,

因為匕=2,即有些竺=2，

匕r2h

又因為@=乜，所以&=2,即有￡=蚯，且上=￡,

3

rhrrIr

而S=兀陽S|=”，

故圓錐側(cè)面被截面分成上、下兩部分的面積之比為

§卜_￡_Ttkl_r/_

sjS-S「就L_r廠（孫2口—「小1，

故選：D

9.ABC

【分析】根據(jù)已知條件判斷線線、線面以及面面的位置關系，可得出合適的選項.

【詳解】對于A選項，若an/?=〃?，〃ua,則小、”平行或相交，A錯；

答案第41頁，共22頁

對于B選項，若anp=機，mlIn>則"ua,”〃夕或〃〃a，”u0或〃〃a，〃//夕，B錯：

對于C選項，m//p,///￡,加ua,“ua,則a、夕平行或相交，C錯；

對于D選項，a//￡，?fl/=/?,pHy=n,由面面平行的性質(zhì)定理可得m//〃，D對.

故選：ABC.

10.AB

【分析】利用向量的加減法則進行判斷.

【詳解】根據(jù)向量減法可得苑=撫_刀，故A正確；

因為“是'。的中點，所以近=■!■祝+工荏，故B正確；

22

由題意知°是V48C的重心，

貝ij同=21萬=2x1(就+1萬)=，就,故c錯誤；

332、>33

___2__21——1—1-1___1一?__1__

OC=__CF=--x-(CB+CA')=__CB--CA=(CA+AB)--CA=-AC——AB,故D

332333333

錯誤.

故選：AB.

11.BC

【分析】由平面向量數(shù)量積運算，結(jié)合平面向量的模的運算及復數(shù)模的運算逐一判斷即可.

【詳解】對于A項，若m且i6,則〉色4)=0,即：力(￡二)或小1故

A項錯誤；

對于B項，設Z|=a+6i，z2=c+di>(a,b,c,deR)，

222222222222B

則|z,|=|ac-bd+(ad+bc)i|=ylac+bd+ad+hc=yl(a+b)(c+d)=|z,||z2故

項正確；

答案第51頁，共22頁

對于C項，因為￡、吊為非零向量，戶+力=值_司，

222

所以（￡+即=（1斤，即:^+b+2a.h=a+h-2a-h）

所以75=0,故C項正確；

對于D項，當％=1，z2=i時，滿足I4+Z2RZLZ2I，但不滿足44=0,故D項錯誤.

故選：BC.

12.ABD

【分析】對A,根據(jù)zc的平行線確定直線8G與直線/C夾角即可；

對B,根據(jù)面面平行的性質(zhì)，作出平面BCE截正方體所得截面分析即可；

對c,由題意。尸=2,動點F的軌跡為以。為圓心的四分之一圓弧4G上，再根據(jù)弧長

公式求解即可；

對D,先判斷過A且平行于平面3CE的平面截正方體的面，再分析廠的軌跡即可

【詳解】對A,連接4G，48,BG，/C，可得正V48G，根據(jù)正方體的性質(zhì)，A,C,PAC-

故直線BC,與直線AC夾角為直線8G與直線4G的夾角為60。，故A正確：

°!

「；

IJ

Ti

對B,根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得平面8C￡截/。鼻4的交線E尸〃CG，故平面8GE截

答案第61頁，共22頁

,。的交點戶為的中點，故PB=JAB。+AP2=gc：+DF=g,故截面為等腰梯

形EPBq，故B正確;

對C,若JEF?一RE2=2,故動點廠的軌跡為以A為圓心的四分之_

圓弧4G上，其長度為］X2=7T,故c錯誤;

對D,取8c中點0,連接如圖.由B,截面為等腰梯形燈＞8G，易得AD"BC\，

DQ〃PB，故平面平面BEG，故P的軌跡為線段0°，其長度為疹不—后，

故D正確；

答案第71頁，共22頁

D

P

故選：ABD

13.JESS

【分析】由題求出三個側(cè)面的面積，進而求出長方體的體積.

如圖所示從長方體中由頂點”出發(fā)的三個側(cè)面為矩形矩形力。CB、矩形

它們的面積分別為SrS［、S3，設===c,

貝I￡=ac、M="bS、=bc，所以S「S?-$3=(abc)2，

即該長方體的體積為邪、$$?

故答案為：歷可百

14?版

【分析】由已知可得，旋轉(zhuǎn)得到的幾何體為圓柱去掉兩個半徑為1的半球，該幾何體的表

面包括圓柱的側(cè)面以及兩個半球的表面，分別求出圓柱的側(cè)面積以及球的表面積即可得出

答案.

答案第81頁，共22頁

【詳解】由已知可得，該幾何體為圓柱去掉兩個半徑為1的半球.

圓柱的底面半徑r=l,母線/=2，所以圓柱的側(cè)面積為2兀匍t=.

兩個半球的表面積為2x」x4兀甫t=.

2

該幾何體的表面包括圓柱的側(cè)面以及兩個半球的表面，所以幾何體的表面積為版.

故答案為：

8兀

15'-l+2//2z-l

【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的周期、復數(shù)的四則計算可得答案.

【詳解】因為r=1，i2O2l=i2O2O/=i，

則由二產(chǎn)=2-1得，z=22=_[_2i,‘z=T+2i.

i

故答案為：__1+2i>

16.-3

【分析】利用向量線性運算及平面向量基本定理，用麗，德表示而與方，然后利用數(shù)量

積的運算律求解即可

【詳解】因為"P=308,所以萬=3萬=3（萬一萬），

44

所以而.方=（厲+萬）.（赤-方）=（;方+;麗）.（礪-次）

答案第91頁，共22頁

=二為2+之歷2」0.麗

=-—xl6+—x4-—x4x2xcos60°=-3，

442442

即麗.存=-3，

故答案為：-3

17.(l)0=y

⑵百

【分析】（1）利用向量數(shù)量積運算公式和夾角余弦公式進行求解；（2）根據(jù)向量垂直得

到口fl=M=1，再求出標-2,，進而求出B-叫

【詳解】(1)當g=(T⑹時,a-6=(-l)xl+0xV3=-lW=J(_i)2+行

(=2

a-h_(-1)_1

所以cos0=

麗F2,

?0云

（2）?.?（。+山（。詞，；.（4+5)?("?=0,gp=b2

..“ri=M,

答案第101頁，共22頁

...a=(1,0),...H=W=1

\a-2ft|=J(q-2可=^|tz|+4|ft|-4a-b=Ja|+4@『-4忖.陣0$60。

=Jl+4-4xlxlx；

=W>

18.(l)r=(12-27t)cm3

(2)外接球的表面積為29兀cm?,內(nèi)切球的體積為331cm3

3

【分析】(1)求出三棱柱的體積，得到三角形ABC的內(nèi)切圓的半徑，進而去除圓柱的體

積，相減即可答案；

(2)結(jié)合第一問得到內(nèi)切球半徑，求出內(nèi)切球體積，再根據(jù)將三棱柱補形為長方體得到外

接球半徑，求出外接球的表面積.

【詳解】(1)因為底面三角形的邊長分別為3cm，4cm，5cm，

由勾股定理逆定理可知：底面三角形為直角三角形，兩直角邊分別為3cm，4cm，

又因為三棱柱4G的側(cè)棱垂直于底面，其高為2cm，

所以=；x3x4x2=l2(cm3).

答案第111頁，共22頁

B

/[?G、、、

./、z\―

——^——JC1

設圓柱底面圓的半徑為八

ntl”2x-x3x4

則廠=2SMBC=2=i，

-AB+SC+AC~3+4+5

圓柱體積臉,=兀區(qū)尸*2=2(cm3).

所以剩下的幾何體的體積p=(12-27c)cm3.

(2)由(1)可知該直三棱柱的內(nèi)切球半徑為心口，

44

則內(nèi)切球球的體積H=—Ttktci%—

33

直三棱柱ABCSQ0G可補形為棱長分別為3cm,4cm,2cm的長方體，

它的外接球的球半徑“滿足2R=>/32+42+22=729,即氏=叵cm.

所以，該直三棱柱的外接球的表面積為S=4元

7T

19.⑴/弓

⑵6

答案第121頁，共22頁

【分析】(1)由向量共線的坐標表示，結(jié)合二倍角和輔助角公式可化簡得到

sin(24—結(jié)合的范圍可確定24-二叱一，由此可得；

(2)利用余弦定理可構造方程求得從，代入三角形面積公式即可求得結(jié)果.

【詳國軍］(1)?玩'萬共線，...2sin4卜in/+>Acos/)_3=0,

即2sin24+2>/5sinZcos4-3=l-cos24+Gsin24-3=2sin^2A-^\-2=0，

;.sin(2/圖=1，又小(。，兀)，g/-詈(L，

圾一，解得：A=^.

623

⑵???々=2'V48C的周長為6'."+6=4，

由余弦定理得：/=b2+c2_26ccos4=(b+c)2-3bc=16-3bc=4，解得：加=4,

4ABe的面積S=1加sin力=lx4x3=G?

222

20.⑴也

5

(2)6>U且6x3.

43

【分析】(1)根據(jù)坐標，可作圖，利用方格圖，在構造的直角三角形中，利用三角函數(shù)定

義，可得答案;

答案第131頁，共22頁

(2)根據(jù)一元二次方程的根的性質(zhì)，以及余弦定理，可得答案.

【詳解】(1)(1)因為。=3,6=0，c=5,所以4(3,4),5(0,0)，C(5,0).

所以|N81=四+甲=5，|AC|=>/(5-3)2+42=2>/5'18cl=5,

如圖'因V'所—七￥

⑵將x=2+ai代入x2-cx+5=0得(2+ai)2-c(2+ai)+5=0,

展開得9-。2-2。+(44_改乂=0,即[9-/-2。=0,

[4a-ac=0

a=0{a=-1{ci=1

解得<9(舍去)或jc=4(舍去)或jc=4，

c=—ii

12

所以4(1,4),B(0,b)，C(4,0),則荏=(一1/一4)，/=(3,-4)?

因為N4是鈍角，所以在.太<0且A,B,C三點不共線，

LLU1LXLB

即力//。=(一1,一―4)?(3,-4)=-3—4仍一4)<0且一1..一4

、3-4

解得Z>>U且以3.

43

21.(1)證明見解析;(2)證明見解析.

【詳解】試題分析：

答案第141頁，共22頁

(1)利用垂直，構造等腰三角形，證明結(jié)論成立；

(2)通過構造平行四邊形，證明ON〃切，結(jié)合直線與平面平行的判定定理，證明得到直

線與平面平行.

試題解析：

(1)設E為的中點，則可得EM_L平面/5CD

AM2=AE2+ME2,MC2=CE2+ME-且ZE=EC

所以

Q)DE〃BC,O為DE中點，

所以°O〃8C,嗎BC,且ODJsc,MN="c

22

所以“NDO為平行四邊形，從而DN〃OM

￡W<Z平面4WC，OMu平面4WC

故ON〃平面4WC，

點睛：一是推證線面平行時，一定要說明一條直線在平面外，一條直線在平面內(nèi).

二是推證面面平行時，一定要說明一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一平面.

三是利用線面平行的性質(zhì)定理把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必須說明經(jīng)過已知直線的平

面與已知平面相交，則該直線與交線平行.

答案第151頁，共22