第五講 多屬性決策方法(高級運(yùn)籌學(xué)課件)

第五章多屬性決策(Multi-attributeDecision-making)§5.1求解多屬性決策問題的準(zhǔn)備工作5.1.1決策矩陣設(shè)可供選擇的方案集為:方案的屬性集為:決策矩陣為:y1…yj…ynx1y11…y1j…y1n………………xiyi1…yij…yin………………xmym1…ymj…ymn例9.1學(xué)校擴(kuò)建問題。設(shè)某地區(qū)現(xiàn)有6所學(xué)校，由于無法完全容納該地區(qū)適齡兒童，需要擴(kuò)建其中的一所。在擴(kuò)建時既要滿足學(xué)生就近入學(xué)的要求，又要使擴(kuò)建的費(fèi)用盡可能小。(至于所擴(kuò)建學(xué)校的教學(xué)質(zhì)量我們稍后再考慮。)經(jīng)過調(diào)研，獲得如表9.2所示的決策矩陣。學(xué)校序號費(fèi)用/(萬元)平均就讀距離/(km)1601.02500.83441.24362.05441.56302.4例9.2研究生院評估。為了客觀地評價我國研究生教育的實(shí)際狀況和各研究生院的教學(xué)質(zhì)量，國務(wù)院學(xué)位委員會辦公室組織過一次研究生院的評估。為了取得經(jīng)驗(yàn)，先選5所研究生院，收集有關(guān)數(shù)據(jù)資料進(jìn)行了試評估。表9.3中所給出的是為了介紹各種數(shù)據(jù)預(yù)處理方法的需要而選的幾種典型屬性和經(jīng)過調(diào)整了的數(shù)據(jù)。ji人均專著y1/(本/人)生師比y2科研經(jīng)費(fèi)y3/(萬元/年)逾期畢業(yè)率y4/(%)10.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.952.822841.29.1.2數(shù)據(jù)預(yù)處理數(shù)據(jù)預(yù)處理又稱屬性值的規(guī)范化，主要有三個作用：(1)屬性值有多種類型。有的屬性值越大越好。有的屬性值越小越好，有的屬性值越接近于某個值越好。因此，需要對決策矩陣中的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，使表中任一屬性下性能越優(yōu)的方案變換后的屬性值越大。(2)無量綱化。多目標(biāo)間的不可公度性，要求僅用數(shù)值的大小來反映屬性值的優(yōu)劣。(3)歸一化。即把表中數(shù)均變換到[0,1]區(qū)間上。數(shù)據(jù)處理的本質(zhì)是要給出某個指標(biāo)的屬性值在決策人評價方案優(yōu)劣時的實(shí)際價值。1、線性變換原始的決策矩陣為Y={yij},變換后的決策矩陣記為Z={zij},i=1,…,m,j=1,…,n。設(shè)yjmax是決策矩陣第j列中的最小值。若j為效益型屬性，則

zij=yij/yjmax

(9.1)采用上式進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理時，經(jīng)過變換的最差屬性值不一定為0，最佳屬性值為1。若j為成本型屬性，可以令

zij=1-yij/yjmax(9.2)經(jīng)過(9.2)變換后的最佳屬性值不一定為1，最差為0。成本型屬性也可以用下式進(jìn)行變換：

zij’=yjmin/yij

(9.2’)用式(9.2’)變換后的屬性最差不一定為0,最佳為1,且是非線性變換。表9.4表9.3經(jīng)線性變換后的屬性值表ijz1(y1)z3(y3)z4(y4)z4’(y4)10.03571.00000.00000.255320.07140.80000.53190.545530.21430.25200.36170.400040.10710.60000.17020.307751.00000.05680.74471.00002、標(biāo)準(zhǔn)0-1變換從表9.4可知，屬性值進(jìn)行線性變換后，若屬性j的最優(yōu)值為1，則最差值一般不為0;若最差值為0,最優(yōu)值就往往不為1。為了使每個屬性變換后的最優(yōu)值為1且最差值為0,可以進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)0-1變換。對效益型屬性j,令

表9.5表9.3經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)0-1變換后的屬性值ijz1(y1)z3(y3)z4(y4)10.00001.00000.000020.03700.78800.714230.18520.20700.485740.07410.57590.228651.00000.00001.00003、最優(yōu)值為給定區(qū)間時的變換設(shè)給定的最優(yōu)屬性區(qū)間為[yj0,yj*],yj’為無法容忍下限，yj’’為無法容忍上限，則變換后的屬性值zij與原屬性值yij之間的函數(shù)圖形為一般梯形。ij生師比y2z2151.0000270.83333100.3333440.6666520.0000表9.6表9.3之屬性2的數(shù)據(jù)處理14、向量規(guī)范化無論成本型屬性還是效益型屬性，向量規(guī)范化均用下式進(jìn)行變換：這種變換也是線性的，但是它與前面介紹的幾種變換不同，從變換后屬性值的大小上無法分辨屬性值的優(yōu)劣。它的最大特點(diǎn)是，規(guī)范化后，各方案的同一屬性值的平方和為1，因此常用于計算各方案與某種虛擬方案(如理想點(diǎn)或負(fù)理想點(diǎn))的歐式距離的場合。表9.7表9.3經(jīng)向量規(guī)范化后的屬性值表中最右一列是屬性2經(jīng)式(9.5)變換后的值再進(jìn)行向量規(guī)范化的結(jié)果。ijz1(y1)z3(y3)z4(y4)z2’(z2)10.03460.69560.64820.666620.06930.55650.30340.555530.20780.17530.41370.222240.10390.41740.53780.444450.96950.03980.16550.00005、原始數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理有些時候某個目標(biāo)的各方案屬性值往往相差極大，或者由于某種特殊原因只有某個方案特別突出。如果按一般方法對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，該屬性在評價中的作用將被不適當(dāng)?shù)乜浯?。為此可以采用類似于評分法的統(tǒng)計平均方法。方法之一是設(shè)定一個百分制平均值M，將方案集X中各方案該屬性的均值定位于M，再用下式進(jìn)行變換：其中，是各方案屬性j的均值，m為方案個數(shù)，M的取值可在0.5-0.75之間。式(9.7)可以有多種變形，例如：其中，σj方案集X中各方案關(guān)于指標(biāo)j的屬性值的均方差，當(dāng)高端均方差大于2.5σj時變換的值均為1.00。這種變換的結(jié)果與專家打分的結(jié)果比較吻合。表9.8表9.3之屬性1用不同方法處理結(jié)果比較ij人均專著y1(本/人)線性變換用式(9.7)(M=0.7)用式(9.7’)10.10.03570.59500.662520.20.07140.61000.675030.60.21430.67000.725040.30.10710.62500.687552.81.00001.00001.0000６、專家打分?jǐn)?shù)據(jù)的預(yù)處理有時某些性能指標(biāo)很難或根本不能用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計數(shù)據(jù)來衡量其優(yōu)劣。通常要請若干個同行專家對被評價對象按指標(biāo)打分。再用各專家打分的平均值作為相應(yīng)指標(biāo)的屬性并據(jù)此確定被評價對象的優(yōu)劣。為了改變無形中造成的各專家意見重要性不同的狀況，使各位專家的意見在評價中起同樣的重要作用，應(yīng)該把所有專家的打分值規(guī)范到相同的分值區(qū)間[M0,M*]。M0和M*的選值不同對評價結(jié)果并無影響，只要所有專家的打分值都規(guī)范到該區(qū)間就行。具體算法為若選M0=0,M*=1，上式就與效益型屬性的標(biāo)準(zhǔn)0-1變換式(9.3)相同。§9.1.3方案的篩選１、選優(yōu)法又稱優(yōu)勢法，是利用非劣解的概念(即優(yōu)勢原則)去淘汰一批劣解:若方案Ｘ中方案xi與方案xk相比時，方案xi至少有一個屬性值嚴(yán)格優(yōu)于方案xk，而且方案xi的其余所有屬性值均不劣于方案xk,則稱方案xi比方案xk占優(yōu)勢，或稱方案xk與方案xi相比處于劣勢；處于劣勢的方案xk可以從方案集X中刪除。２、滿意值法又稱邏輯乘法(即與門)。不失一般性，設(shè)各屬性均為效益型。這種方法對每個屬性都提供一個能夠被接受的最低值，稱為切除值，記作yj0(j=1,…,n),只有當(dāng)方案xi的各屬性值yij均不低于相應(yīng)的切除值時，即yij≥yj0,j=1,2,…，n均滿足時，方案xi才被保留；只要有一個屬性值yij<yj0,方案xi就被刪除。３、邏輯和法意為“或門”，這種方法與滿意值法的思想正好相反，它為每個屬性規(guī)定一個閥值yj*(j=1,…,n),方案xi只要有一個屬性的值yij優(yōu)于閥值yj*，即yij≥yj*,j=1或2或…n時，方案xi就被保留。§9.2確定權(quán)的常用方法

權(quán)包含并反映下列幾重因素(1)決策人對目標(biāo)的重視程度；(2)各目標(biāo)屬性值的差異程度；(3)各目標(biāo)屬性值的可靠程度。9.2.1最小二乘法9.2.2本征向量法

與最小二乘法類似，使用這種方法同樣需要求得矩陣A，為了便于比較第i個目標(biāo)對第j個目標(biāo)的相對重要性，給出aij的值。表9.9目標(biāo)重要性判斷矩陣A中元素的取值相對重要程度定義1同等重要3略微重要5相當(dāng)重要7明顯重要9絕對重要2,4,6,8兩個相鄰判斷的中間值

CI與表9.10所給同階矩陣的隨機(jī)指標(biāo)RI(randomindex)之比為一致性比率CR(consistencerate),即CR=CI/RI(9.16)比例CR可以用來判定矩陣A能否被接受。若CR>0.1，說明A中各元素aij的估計一致性太差，應(yīng)重新估計。若CR<0.1,則可認(rèn)為A中aij的估計基本一致，這時可用(9.14)式求得w,作為n個目標(biāo)的權(quán)。由CR=0.1和表9.10中的RI值，用式(9.15)和式(9.16)，可以求得與n相應(yīng)臨界本征值：由上式算得的λmax’見表9.10。在用該法確定權(quán)時，可以用λmax-n來度量A中各元素aij(I,j=1,2,…,n)的估計的一致性。為此引入一致性指標(biāo)CI:表9.10n階矩陣的隨機(jī)指標(biāo)RI和相應(yīng)的臨界本征值λmax’n2345678910R0.000.580.901.121.241.321.411.451.49λmax’3.1164.275.456.627.798.9910.1611.349.2.3最低層目標(biāo)權(quán)重的計算1、樹狀結(jié)構(gòu)由樹干向樹梢，求樹杈各枝相對于樹杈的權(quán)。求出各組權(quán)后，只要將上一層次目標(biāo)的權(quán)與該目標(biāo)相關(guān)的下一層目標(biāo)的權(quán)相乘即得下一層目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)。(a)樹狀結(jié)構(gòu)(b)網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)2、網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)設(shè)多目標(biāo)決策問題的目標(biāo)共有k+1級，其中第k-1、k和k+1級如下圖所示，我們構(gòu)造一個“第k+1級的某個元素xi對k-1級的某個元素z的優(yōu)先函數(shù)”(優(yōu)先函數(shù)表示第k+1級中各元素x1,x2,…,xi,…,xs對第k-1級中的元素z的相對的重要即優(yōu)先性)，我們將此函數(shù)記作w,則第k-1級Z第k級第k+1級y1x1y2yjyr-1yrx2x3xixs-1xswz(yj)wyj(xi)…………可以記作：wk+1=Bk?wk(9.21)

設(shè)想在第k-1級上還有第k-2級，其中的元素為u，而第k-1級中有z1,…,zm共m個元素，則可以用Bk-1?wk-1去代替wk,得wk+1=Bk?Bk-1?…?wk-1如此繼續(xù)下去就可以找到最低層各元素對最上層元素的相對重要性—權(quán):

wk+1=Bk?Bk-1?…?B1w1(9.22)在求得最低層各目標(biāo)的權(quán)wk+1后，結(jié)合最低層各目標(biāo)的規(guī)范化屬性值行向量yi=[yi1,yi2,…,yin],就很容易用加權(quán)和法或其他方法評價各方案的優(yōu)劣。

§9.3加權(quán)和法9.3.1一般加權(quán)和法加權(quán)和法的求解步驟很簡單：(1)屬性表規(guī)范化，得zij,i=1,…,m;j=1,…,n。(2)確定各指標(biāo)的權(quán)系數(shù),wj,j=1,…,n。(3)根據(jù)指標(biāo)Ci的大小排出方案i(i=1,…,m)的優(yōu)劣。加權(quán)和法常常被不適當(dāng)?shù)厥褂?，因?yàn)樵S多人不清楚使用加權(quán)和法意味著承認(rèn)如下假設(shè)：(1)指標(biāo)體系為樹狀結(jié)構(gòu)，即每個下級指標(biāo)只與一個上級指標(biāo)相關(guān)聯(lián)；(2)每個屬性的邊際價值是線性的(優(yōu)劣與屬性值大小成比例)，每兩個屬性都是相互價值獨(dú)立的；(3)屬性間的完全可補(bǔ)償性：一個方案的某屬性無論多差都可用其他屬性來補(bǔ)償。9.3.2字典序法字典序法是在w1》w2》w3》…》wn(符號》表示遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于)時的加權(quán)和法，即某個目標(biāo)w1特別重要，它與重要性處于第二位的目標(biāo)又比重要性處于第三位的目標(biāo)重要得多…。實(shí)質(zhì)上字典序法是單目標(biāo)決策，首先只根據(jù)最重要目標(biāo)的屬性值的優(yōu)劣來判斷方案集X中各方案的優(yōu)劣；只有當(dāng)兩個或多個方案的最重要目標(biāo)的屬性值相同時，再比較它們的第二重要的目標(biāo)的屬性值；如此繼續(xù)，直到排定所有方案的優(yōu)劣次序?yàn)橹埂?.3.3層次分析法(AHP)層次分析法的求解步驟如下：(1)由決策人利用表9.9構(gòu)造矩陣A。(2)用本征向量法求λmax和w。(3)矩陣A的一致性檢驗(yàn)。若最大本征值λmax大于表9.10中給出的同階矩陣相應(yīng)的λmax’時不能通過一致性檢驗(yàn)，應(yīng)該重新估計矩陣A，直到λmax小于λmax’通過一致檢驗(yàn)時，求得的w有效；(4)方案排序。例9.3設(shè)某高校擬從三個候選人中選一人擔(dān)任中層領(lǐng)導(dǎo)，候選人的優(yōu)劣用六個屬性去衡量，這六個屬性是:(1)健康狀況(2)業(yè)務(wù)知識(3)書面表達(dá)能力(4)口才(5)道德水平(6)工作作風(fēng)。9.5TOPSIS法1、TOPSIS法的解題思路

TOPSIS是逼近理想解的排序方法(techniquefororderpreferencebysimilaritytoidealsolution)，它借助多屬性問題的理想解和負(fù)理想解給方案集X中各方案排序。

理想解x*是一個方案集X中并不存在的虛擬的最佳方案，它的每個屬性值都是決策矩陣中該屬性的最好的值；而負(fù)理想解x0則是虛擬的最差方案，它的每個屬性值都是決策矩陣中該屬性最差的值。在n維空間中，將方案集X中的各備選方案xi與理想解x*和負(fù)理想解x0的距離進(jìn)行比較，既靠近理想解又遠(yuǎn)離負(fù)理想解的方案就是方案集X中的最佳方案；并可以據(jù)此排定方案集X中各備選方案的優(yōu)先序。TOPSIS法的思路可以用下圖來說明。圖9.5理想解和負(fù)理想解示意圖x1x5x4x0x2x6x3x*f2f13、用TOPSIS法求解例9.2(1)對表9.3所示屬性值向量規(guī)范化，所得屬性矩陣見表9.7。(2)設(shè)權(quán)向量仍為w={0.2,0.3,0.4,0.1},得加權(quán)的向量規(guī)范化屬性矩陣如下:ijz1’z2’z3’z4’10.006920.200000.278240.0648220.013860.166670.222600.0303430.041560.666670.070120.0413740.020790.133330.166960.0537850.193900.00000.159200.01665(3)由上表和式(9.34)、式(9.35)，得理想解x*為(0.1939,0.2000,0.2872,0.01655)負(fù)理想解x0為(0.00692,0.0000,0.01592,0.06482)(4)分別用式(9.36)和式(9.37)求各方案到理想點(diǎn)的距離di*和負(fù)理想點(diǎn)的距離di0,列于下表。(5)計算排隊指示值Ci*(見上表),由Ci*值的大小可確定各方案的排序?yàn)椋篸i*di0Ci*10.19310.65430.772120.19180.43540.657730.21940.25280.529740.21970.20220.479350.65430.19310.22549.6基于估計相對位置的方案排隊法1、方案優(yōu)先關(guān)系的表述(1)指向圖用小圓表示方案，稱為節(jié)點(diǎn)；有向弧表示優(yōu)先關(guān)系，箭頭從表示優(yōu)方案的節(jié)點(diǎn)出發(fā)指向代表劣方案的節(jié)點(diǎn)。x3x1x2x5x4(2)表示優(yōu)先關(guān)系的0-1矩陣x1x2x3x4x5x111110x201000x301111x410011x5000019.7ELECTRE法9.7.1級別高于關(guān)系的定義與性質(zhì)

2、級別高于關(guān)系的圖形表示設(shè)X={x1,x2,x3,x4,x5},且x1Ox2,x2Ox3,

x2Ox4,

x3Ox5,

x4Ox1,x5Ox3,則X上的級別主于關(guān)系可以用下圖表示。圖中有向弧的發(fā)出節(jié)點(diǎn)稱為起點(diǎn)，有向弧箭頭所指的節(jié)點(diǎn)稱為終點(diǎn)。x2圖9.7級別高于關(guān)系的指向圖x1x4x3x53、級別高于關(guān)系的使用通過方案成對比較確定級別高于關(guān)系后，就可以利用這種關(guān)系畫出相應(yīng)指向圖，并用級別高于關(guān)系指向圖來刪除級別較低的方案。

(1)如果某