2024年上海市徐匯區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷含詳解

2023-2024學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二年級(jí)上學(xué)期

期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷

2024.1

一、填空題（本大題共有12小題，滿分48分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果,

每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得0分.

1.設(shè)A是一個(gè)隨機(jī)事件，則0（A）的取值范圍是.

2.已知向量”=（，）,（‘‘），a"。,則mn的值為.

3.拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，最多1枚正面朝上的概率為.

4萬(wàn)

4.球的體積是3,則球的表面積是

5.管理人員為了了解某水庫(kù)里大概有多少條魚(yú)，拖網(wǎng)打撈出1000條魚(yú)，在魚(yú)身處打上一個(gè)不會(huì)掉落的印記，再放

回水庫(kù)，一個(gè)月后再次捕撈1000條魚(yú)，發(fā)現(xiàn)其中有20條有印記的魚(yú)，問(wèn)：這個(gè)水庫(kù)里大概有條魚(yú).

6.在30。二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，它到另一個(gè)面的距離是則這個(gè)點(diǎn)到二面角的棱的距離為

7.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置邊長(zhǎng)為12的正三角形的直觀圖，則該直觀圖的面積為.

8.某個(gè)品種的小麥麥穗長(zhǎng)度（單位：cm）的樣本數(shù)據(jù)如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、

11,2、10.6、11.7,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.

9.如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AAi=8.若側(cè)面44/18水平放置時(shí)，液面恰好過(guò)AC,BC,

AiCi,SG的中點(diǎn).當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為

10.根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于10°即為入冬.將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄

數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有3組樣本①，②，③，依次計(jì)算得到結(jié)果如下：①平均數(shù)％<4且極差小于

或等于3；②平均數(shù)％<4且標(biāo)準(zhǔn)差s<4；③眾數(shù)等于5且極差小于或等于4,則3組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的

樣本組號(hào)是.

11.如圖，在正四棱柱.8-A4GR中，底面ABCD是正方形，且AB=2,明=4,經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)&和C各作

一個(gè)平面與平面平行，前者與平面A3CD交于自，后者與平面A8與人交于則異面直線4與4所成角的

余弦值為.

12.點(diǎn)。是正四面體44&44的中心，1°聞=1（'=123,4）,若0尸=404+404+404+4044,其中

0<4WI?=I，2,3,4）,則動(dòng)點(diǎn)「掃過(guò)的區(qū)域的體積為.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分16分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位

置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.已知直線應(yīng)0和平面e,若。//￡,貝是“匕的（）條件.

A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要

14.某家大型超市近10天的日客流量（單位:千人次）分別為：3.4、3.6、5.6、1.8、3.7、4.0、2.5、2.8、4.4、3.6.下列

圖形中不利于描述這些數(shù)據(jù)的是（）

A.散點(diǎn)圖B.條形圖C.莖葉圖D.扇形圖

15.甲、乙兩位同學(xué)將高三6次物理測(cè)試成績(jī)做成如圖所示的莖葉圖加以比較（成績(jī)均為整數(shù)滿分100分），乙同

學(xué)對(duì)其中一次成績(jī)記憶模糊，只記得成績(jī)不低于90分且不是滿分，則甲同學(xué)的平均成績(jī)超過(guò)乙同學(xué)的平均成績(jī)的

概率為

甲乙

87585668

5329■9

234

A.B.C.D.

555

16.已知點(diǎn)M為正方體ABC。-A4G2內(nèi)部（不包含表面）的一點(diǎn).給出下列兩個(gè)命題:

?。哼^(guò)點(diǎn)M有且只有一個(gè)平面與441和4G都平行；

%:過(guò)點(diǎn)M至少可以作兩條直線與441和qG所在的直線都相交.

則以下說(shuō)法正確的是（）

A.命題必是真命題，命題％是假命題B.命題必是假命題，命題%是真命題

C.命題名,%都是真命題D.命題%,%都是假命題

三、解答題(本大題滿分56分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)

域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟

17.某中學(xué)有高一年級(jí)學(xué)生600人，高二年級(jí)學(xué)生400人參加知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)用分層抽樣方法從中抽取100名學(xué)

生，對(duì)其成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.得到如下圖所示的頻率分布直方圖.

頻率/組距

0.030

0.025

0.020

0.015

0.0101—

0.005

O'405060708090100成績(jī)

(1)求從該校高一年級(jí)、高二年級(jí)學(xué)生中各抽取的人數(shù);

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校這1000名學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分(含60分)以上的人數(shù).

18.如圖，在直四棱柱ABC。—4月。1。中，AB!ICD.ABLBC.A\=AB=BC=2,CD=3,E為人內(nèi)的中

AF1

點(diǎn)，點(diǎn)戶在上，且滿足工方二￡

(i)求直四棱柱ABCD—A4G。的側(cè)面積

AG2

(2)設(shè)點(diǎn)G在4。上，且于K=試判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，并說(shuō)明理由.

19.甲乙兩人進(jìn)行某項(xiàng)比賽

(1)若比賽結(jié)果有勝利、失敗、平局三種，已知甲獲勝概率為0.4,甲不輸?shù)母怕蕿镼9,求甲乙兩人取得平

局的概率；

(2)若比賽結(jié)果只有勝利、失敗兩種，已知甲獲勝的概率為2對(duì)于甲來(lái)說(shuō)，一局定勝負(fù)和三局兩

2

勝兩種比賽方式比較，試問(wèn)哪種比賽方式對(duì)甲更有利？說(shuō)明你的理由.

(說(shuō)明：“三局兩勝”是常見(jiàn)比賽模式，指先贏得兩局者為勝，做多三局結(jié)束)

20.如圖，在多面體A5CDEF中，四邊形A3CD為正方形，DE1平面

ABCD,DE//BF,AD=DE=2,BF=L

2

E

(1)求證：AC±EF

2

(2)在線段DE上是否存在點(diǎn)G,使得直線BG與AD所成角的余弦值為?？若存在，求出點(diǎn)G到平面ACN的

距離，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.如圖，圓臺(tái)0Q的軸截面為等腰梯形44?！?，&。=244=24。1=4,5為底面圓周上異于4。的點(diǎn)

(1)若尸是線段中點(diǎn)，求證：￡P(guān)//平面4A3

(2)若AB=BC,設(shè)直線/為平面AA3與平面GCB的交線，點(diǎn)Qe/，BCi與平面QAC所成角為々，求sina

的最大值.

2023-2024學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二年級(jí)上學(xué)期

期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷

2024.1

一、填空題(本大題共有12小題，滿分48分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果,

每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得0分.

1.設(shè)A是一個(gè)隨機(jī)事件，則0(A)的取值范圍是.

【答案】［0』

【分析】根據(jù)概率的基本性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)事件的概率0W尸(A)Wl,

故答案為：［0,1］.

2.已知向量〃=(一機(jī)1,3),6=(2,若〃〃則相兒的值為.

【答案】-2

【分析】運(yùn)用向量平行坐標(biāo)運(yùn)算公式即可.

【詳解】Vallb，

—m13——1

---=—=一,斛得：m=-6,n=—,

2n13

mn=-2.

故答案為：-2.

3.拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，最多1枚正面朝上的概率為.

【答案】g##0.5

【分析】求一枚正面朝上的概率與沒(méi)有正面朝上的概率，利用加法公式，可得結(jié)果.

【詳解】拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，恰好一枚正面朝上的概率為A=3X(1)3=|,

沒(méi)有正面朝上的概率為2=§)3=",兩個(gè)事件互斥，

所以最多1枚朝上的概率為〃=Pi+。2=；.

故答案為：g.

4〃

4.球的體積是一，則球的表面積是

3

【答案】4兀

【分析】根據(jù)球的體積求得球的半徑，由此求得球的表面積.

【詳解】設(shè)球的半徑為，?，依題意一?r3=—,r=l,故球的表面積為4兀4兀.

33

故答案為4兀.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查球的體積和表面積有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.管理人員為了了解某水庫(kù)里大概有多少條魚(yú)，拖網(wǎng)打撈出1000條魚(yú)，在魚(yú)身處打上一個(gè)不會(huì)掉落的印記，再放

回水庫(kù)，一個(gè)月后再次捕撈1000條魚(yú)，發(fā)現(xiàn)其中有20條有印記的魚(yú)，問(wèn)：這個(gè)水庫(kù)里大概有條魚(yú).

【答案】50000

【分析】設(shè)這個(gè)水庫(kù)里大概有〃條魚(yú)，利用等比例性質(zhì)求”即可.

【詳解】令這個(gè)水庫(kù)里大概有〃條魚(yú)，由題意有幽=用-,可得”=50000條.

n1000

故答案：50000

6.在30。二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，它到另一個(gè)面的距離是10cm,則這個(gè)點(diǎn)到二面角的棱的距離為

【答案】20

【分析】畫(huà)出簡(jiǎn)圖，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系即可求解.

如簡(jiǎn)圖所示，兩平面相交于點(diǎn)/,PAVl,PA^a,MALl,MA^/3,PML/3,尸河=10,貝U為二面角

的平面角，則AP=20,即點(diǎn)P到二面角的棱/的距離為20.

故答案為：20

7.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的邊長(zhǎng)為12的正三角形的直觀圖，則該直觀圖的面積為.

【答案】976

【分析】斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形的直觀圖的面積是原圖面積的變倍.

4

【詳解】邊長(zhǎng)為12的正三角形的面積為3x122=36百，

4

斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)的直觀圖面積S=g368=976.

4

故答案為：9A/6.

8.某個(gè)品種的小麥麥穗長(zhǎng)度（單位：cm）的樣本數(shù)據(jù)如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、

11.2、10.6、11.7,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.

【答案】10.8

【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序后，運(yùn)用百分位數(shù)的運(yùn)算公式即可.

【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7,共有12個(gè),

所以12x80%=9.6,

所以這組數(shù)據(jù)第80百分位數(shù)是第10個(gè)數(shù)即：10.8.

故答案為：10.8

9.如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AAi=8.若側(cè)面A4bB由水平放置時(shí)，液面恰好過(guò)AC,BC,

AiCi,BiG的中點(diǎn).當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為_(kāi).

【答案】6

【分析】利用相似得到水的體積和容器體積的比，再結(jié)合水的體積相等列等式，解方程即可求解.

【詳解】當(dāng)側(cè)面AA山方水平放置時(shí)，水的形狀為四棱柱形，底面是梯形，

3

設(shè)△ABC的面積為S,貝US梯彩=—S,

4

3

水的體積丫水=—SxA4i=6S,

4

當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為人

則有V水=S/?=6S,得/?=6,

即當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為6.

故答案為：6.

10.根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于10C即為入冬.將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄

數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有3組樣本①，②，③，依次計(jì)算得到結(jié)果如下：①平均數(shù)是＜4且極差小于

或等于3；②平均數(shù)是＜4且標(biāo)準(zhǔn)差s44；③眾數(shù)等于5且極差小于或等于4,則3組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的

樣本組號(hào)是.

【答案】①③

【分析】用極差，平均數(shù)及眾數(shù)的概念結(jié)合條件判斷①③，舉反例判斷②.

【詳解】對(duì)于①，假設(shè)有數(shù)據(jù)大于或等于10，由極差小于或等于3

得到此數(shù)據(jù)中最小值為10-3=7,此時(shí)數(shù)據(jù)的平均數(shù)必然大于7,

與x<4矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤,

所以此組數(shù)據(jù)全部小于10,符合題意，故①正確；

對(duì)于②，舉反例：1,1,1,1,11,平均數(shù)x=3<4，且標(biāo)準(zhǔn)差s=4,

但不符合入冬指標(biāo)，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，因?yàn)楸姅?shù)為5,極差小于等于4,

則最大數(shù)不超過(guò)9,故③正確.

故答案為：①③.

11.如圖，在正四棱柱ABC。—A4CQ中，底面A3CD是正方形，且AB=2,M=4,經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A和C1各作

一個(gè)平面與平面。耳2平行，前者與平面A3CD交于乙，后者與平面交于小則異面直線4與6所成角的

余弦值為.

【答案席

【分析】利用平面與平面平行的性質(zhì)定理，得與?！?1,CD}//12,求用，與CR所成的角的余弦值即為所求.

【詳解】設(shè)平面CBJAC平面ABCD=m,因?yàn)閍〃平面C5Q1，所以m/4,

又因?yàn)槠矫鍭BCDH平面4月。12,且平面CBRn平面=用，，

所以耳?！?〃，

因?yàn)槠矫鍭BB^//平面DCC,DX,且平面CBQin平面DCCR=CD,,

同理可證C2〃4,異面直線4與4所成角即用n，a>i所成的NC。耳

在正四棱柱ABC。—中，底面A3CD是正方形，且A3=30=2,44=4,

22

3Q=V2+2=272，CR=CB}=6+42=2亞，

cosN04=*+4*街=20+尸=典

2xCDixBiA2X2A/5X2A/210

所以異面直線4與/，所成的角的余弦值為?.

10

故答案為：叵.

10

12.點(diǎn)o是正四面體4444的中心，|04|=1?=1，2,3,4)^8=404+432+4045+40%,其中

0<^<1(/=1,2,3,4),則動(dòng)點(diǎn)p掃過(guò)的區(qū)域的體積為.

【答案】

99

【分析】將正四面體44AA放入正方體中，得到正方體的體對(duì)角線是2|Q4j,從而得到該正方體的邊長(zhǎng)，再根

據(jù)條件得到產(chǎn)掃過(guò)的區(qū)域的體積即可.

【詳解】圖，作出正四面體4444，

將正四面體4444放入正方體中，如下圖所示:

則。是該正方體的中心，

設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為。，則/+/+/=1*2,解得：a=正,

3

又O尸=4客+4%+4%+4%，0<^<l(z=l,2,3,4),

則知P掃過(guò)的區(qū)域的邊界是以該正方體的六個(gè)面作延伸的六個(gè)全等的正方體的中心為頂點(diǎn)的正方體，其中兩個(gè)面

如下圖所示：

可得動(dòng)點(diǎn)P掃過(guò)的區(qū)域的體積為該正方體體積的2倍，

即動(dòng)點(diǎn)P掃過(guò)的區(qū)域的體積V=2x］半j=今8.

故答案為：丑叵.

9

二、選擇題（本大題共有4題，滿分16分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位

置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.已知直線和平面a,若alla,則“方，a”是“a”的（）條件.

A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要

【答案】B

【分析】充分性，以正方體為例，把直線和平面戊對(duì)應(yīng)正方體的棱和面，舉出反例即可；必要性利用線面平行

的性質(zhì)定理和空間平行線的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】必要性，若alla,則存在直線mua,a//m,

由于Z?_Lc,znua,得b_Lm,

因?yàn)閆?_L"z,a//m,所以b_La,必要性成立；

充分性：若平面A3CD為平面戊，直線4月為直線。，直線與G為直線力，滿足a//a,b±a,

但耳G〃平面A3CD,即b〃。，不滿足充分性;

所以是的必要非充分條件；

故選：B.

14.某家大型超市近10天的日客流量（單位:千人次）分別為：3.4、3.6、5.6、1.8、3.7、4.0、2.5、2.8、4.4、3.6.下列

圖形中不利于描述這些數(shù)據(jù)的是（）

A.散點(diǎn)圖B.條形圖C.莖葉圖D.扇形圖

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的特征以及各統(tǒng)計(jì)圖表的特征分析即可；

【詳解】解：莖葉圖、條形圖、扇形圖均能將數(shù)據(jù)描述出來(lái)，并且能夠體現(xiàn)出數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)；散點(diǎn)圖表示因變

量隨自變量而變化的大致趨勢(shì)，故用來(lái)描述該超市近10天的日客流量不是很合適；

故選：A

15.甲、乙兩位同學(xué)將高三6次物理測(cè)試成績(jī)做成如圖所示的莖葉圖加以比較（成績(jī)均為整數(shù)滿分100分），乙同

學(xué)對(duì)其中一次成績(jī)記憶模糊,只記得成績(jī)不低于90分且不是滿分，則甲同學(xué)的平均成績(jī)超過(guò)乙同學(xué)的平均成績(jī)的

概率為

甲上______

87585668

5329■9

234

A.-B.D.

5555

【答案】C

【分析】

首先求得甲的平均數(shù)，然后結(jié)合題意確定污損的數(shù)字可能的取值，最后利用古典概型計(jì)算公式求解其概率值即可.

_88+87+85+92+93+952

【詳解】由題意可得:漏=----------------------=90,

6

85+86+86+88+90+99+xF，

設(shè)被污損的數(shù)字為X,則：%乙=

6

Y

滿足題意時(shí)，/甲＞x乙,即：90＞89H—=＞犬＜6,

6

即x可能的取值為X=0』,2,3,4,5,

結(jié)合古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值：p=—=~.

105

故選c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖的識(shí)別與閱讀，平均數(shù)的計(jì)算方法，古典概型計(jì)算公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)

化能力和計(jì)算求解能力.

16.己知點(diǎn)M為正方體4q內(nèi)部（不包含表面）的一點(diǎn).給出下列兩個(gè)命題：

q］：過(guò)點(diǎn)M有且只有一個(gè)平面與A4和都平行；

%：過(guò)點(diǎn)M至少可以作兩條直線與A4和用G所在的直線都相交.

則以下說(shuō)法正確的是（）

A.命題處是真命題，命題生是假命題B.命題6是假命題，命題％是真命題

C.命題41，0都是真命題D.命題孫，％都是假命題

【答案】A

【分析】根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)異面直線定義和線面平行判斷即可.

【詳解】已知點(diǎn)”為正方體ABC?！?4G。內(nèi)（不包含表面）的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的平面為a,

如圖所示：

對(duì)于小,在平面A41n。與平面BBgC之間與平面與平面BB?C平行的平面均與AA1和B?平行，如平

面a

,當(dāng)點(diǎn)M為正方體ABC。-A4G。內(nèi)（不包含表面）的一點(diǎn)，滿足要求的平面有且只有一個(gè)，故命題處是真命

題；

對(duì)于%，A%〃平面5月G。，所以如果用點(diǎn)在面351GC上時(shí)，

過(guò)"的直線如果跟瓦C相交，則與A&異面，不會(huì)相交，所以命題為是假命題.

故選：A.

三、解答題（本大題滿分56分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)

域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟

17.某中學(xué)有高一年級(jí)學(xué)生600人，高二年級(jí)學(xué)生400人參加知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取100名學(xué)

生，對(duì)其成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.得到如下圖所示的頻率分布直方圖.

］頻率/組距

。0。5出土］土b,

516b738’0命力0最績(jī)

（1）求從該校高一年級(jí)、高二年級(jí)學(xué)生中各抽取的人數(shù)；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校這1000名學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分（含60分）以上的人數(shù).

【答案】（1）60人、40人

（2）750人

【分析】（1）根據(jù)分層抽樣計(jì)算方法計(jì)算可得；

（2）由頻率分布直方圖求出競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分（含60分）的頻率，即可估計(jì)人數(shù).

【小問(wèn)1詳解】

依題意從高一年級(jí)學(xué)生中抽取100x―咂—=60人，

600+400

從高二年級(jí)學(xué)生中抽取100x—以一=40人，

600+400

【小問(wèn)2詳解】

由頻率分布直方圖可得競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分（含60分）的頻率為（0.015+0.03+0.025+0.005）x10=0.75,

所以估計(jì)該校這1000名學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?0分（含60分）以上的人數(shù)為1000x0.75=750人.

18.如圖，在直四棱柱ABC?！?4Goi中，AB//CD,AB±BC,AAl=AB=BC=2,CD=3,E為的中

點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)在4。上，且滿足7K

（1）求直四棱柱ABC。—44GR側(cè)面積

A.G2

（2）設(shè)點(diǎn)G在4。上,且力=§,試判斷直線AG是否在平面4跖內(nèi),并說(shuō)明理由.

【答案】⑴14+26；

（2）在平面內(nèi)，理由見(jiàn)解析

【小問(wèn)1詳解】

由題意知AD=A/12+22=J5

則直四棱柱ABCD—吊與q的側(cè)面積為(AD+DC+BC+AB)xAAi=(+3+2+2)x2=14+2

【小問(wèn)2詳解】

過(guò)A作AHCD交CD于點(diǎn)H,

以AH,AB,方向?yàn)閤,%z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

則4（0,0,0）,6（0,2,0）,。（2,2,0）,。（2,—1,0）4（0,0,2）.

AF1

又E為48的中點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)在4C上，且滿足若=不

A.G2

點(diǎn)G在4。上，且六；=彳，

AXD3

則/、磯(224、/卜422、.AE=(/O,Ll、),AF=(|j2,2§4,J、

設(shè)n=(x,y,z)為平面的法向量，

y+z=0

則1224八

—x+—y+—z=(J

〔333

設(shè)y=l,可得〃=(14,-1).

4_22422

又AG=,AG”=-----------=0.

3，-3,3333

則直線AG在平面AEE內(nèi).

19.甲乙兩人進(jìn)行某項(xiàng)比賽

（1）若比賽結(jié)果有勝利、失敗、平局三種，已知甲獲勝的概率為0.4,甲不輸?shù)母怕蕿?.9,求甲乙兩人取得平

局的概率；

（2）若比賽結(jié)果只有勝利、失敗兩種，已知甲獲勝的概率為。（0<p<工），對(duì)于甲來(lái)說(shuō)，一局定勝負(fù)和三局兩

2

勝兩種比賽方式比較，試問(wèn)哪種比賽方式對(duì)甲更有利？說(shuō)明你的理由.

（說(shuō)明：“三局兩勝”是常見(jiàn)的比賽模式，指先贏得兩局者為勝，做多三局結(jié)束）

【答案】（1）0.5（2）一局定勝負(fù)對(duì)甲更有利

【分析】（1）甲不輸是甲獲勝與平局互斥的和事件，利用加法公式，求平局的概率；

（2）分別計(jì)算一局定輸贏和三局兩勝情況下甲獲勝的概率，比較大小.

【小問(wèn)1詳解】

甲乙兩人取得平局的概率為0.9-0.4=0.5.

【小問(wèn)2詳解】

對(duì)于甲來(lái)說(shuō)，一局定勝負(fù)的情況下，贏得比賽的概率為。，

三局兩勝的情況下，贏得比賽的概率為p2+2"（l—〃），因?yàn)閛<p<g,

p2+2p2（1-p^-p=3p2-2^-p=2p2-2p3+p2-p=（l-p（2p-l^<0,

所以p2+2p2（l—p）<〃，則一局定勝負(fù)對(duì)甲更有利.

20.如圖，在多面體A5CDEF中，四邊形A3CD為正方形，DE1平面

ABCD,DE//BF,AD^DE=2,BF^-.

（1）求證：AC±EF

2

（2）在線段上是否存在點(diǎn)G,使得直線BG與AD所成角的余弦值為§?若存在，求出點(diǎn)G到平面的

距離，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）也

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量法計(jì)算可得；

（2）設(shè)線段0E上存在一點(diǎn)G（0,0/）,使得5G與A。所成角的余弦值為：，利用空間向量法求出/?,再由向

量法求出點(diǎn)到平面的距離.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)樗倪呅蜛3CD為正方形，DE1平面A3CD,

如圖以。為原點(diǎn)，分別以D4,OC,OE的方向?yàn)樯n％z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

則。（0,0,0）,A（2,0,0）,3（2,2,0）,C（0,2,0）,E（0,0,2）,2^2,2,￡|,

所以AC=(—2,2,0),EE=[2,2,—q

所以/=—2x2+2x2+0=0,

所以ACJ_EE，所以AC，石戶.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)線段DE上存在一點(diǎn)G（0,0,/z）,0</z<2,使得BG與AD所成角的余弦值為|,

貝UBG=（—2,—2,/?）,又旬=（一2,0,0）,

所以IcosBG,AD\=4-=|,解得/z=1（負(fù)值舍去），

11，8+/x23

所以存在G（0,0,1）滿足條件，

所以AG=（—2,0,1）,依題意可得AC=（—2,2,O）,AF=[o,2,g）,

設(shè)〃=（x,y,z）為平面ACF的法向量,

AC-n=—2x+2y=0

設(shè)可得為=)

則AF,〃=2y+