人教版八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題 專題17.6勾股定理與弦圖問題專項提升訓練（重難點培優(yōu)30題）（原卷版+解析）

專題17.6勾股定理與弦圖問題專項提升訓練（重難點培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎過關題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．(2023春·江蘇無錫·八年級?？计谥校摆w爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab=24，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長為（

）A．13 B．10 C．15 D．92．(2023春·四川成都·八年級四川省蒲江縣蒲江中學?？计谥校┤鐖D所示的正方形圖案是用4個全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面積為25，正方形EFGH的面積為1，若用x、y分別表示直角三角形的兩直角邊(x>y)，下列三個結論：①xA．①②③ B．①② C．①③ D．②③3．(2023秋·廣東潮州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形拼成一個大的正方形，是我國古代數(shù)學的驕傲，巧妙地利用面積關系證明了勾股定理．已知小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a、b且ab=6，則圖中大正方形的邊長為（

）A．5 B．13 C．4 D．34．(2023秋·河南信陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若AC=6,BC=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（

）A．52 B．68 C．72 D．765．(2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會(ICME?7)的會徽，主體圖案是由圖2的一連串直角三角形演化而成，其中OA1=A1A2=AA．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．(2023春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）我國三國時期數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖①所示．在圖②中，若正方形ABCD的邊長為14，正方形IJKL的邊長為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長為（

）A．8 B．9 C．10 D．117．(2023秋·江西·八年級?？计谥校摆w爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則EF的長為（

）A．9 B．92 C．328．(2023秋·福建福州·八年級?？计谥校├萌鐖D所示的方法驗證了勾股定理，其中兩個全等的直角三角形的邊AE，EB在一條直線上，證明中用到的面積相等關系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四邊形AECD＝S四邊形DEBC9．(2023春·浙江衢州·八年級校聯(lián)考期中）我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD，連接AC，交BE于點P，如圖所示，若正方形ABCD的面積為28，AE+EB=7，則S△CFPA．3 B．3.5 C．4 D．710．(2023秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC:BC=4:3，這個直角三角形三邊上分別有一個正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作直角邊之比為4:3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形，圖③是2次操作后的圖形．如果圖①中的直角三角形的周長為12，那么10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為（

）A．225 B．250 C．275 D．300二、填空題11．(2023春·陜西西安·八年級西安市曲江第一中學?？计谥校┲袊糯鷶?shù)學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位，體現(xiàn)了數(shù)學研究中的繼承和發(fā)展．下圖是3世紀我國漢代的數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的圖案，人們稱它為“趙爽弦圖”．此圖中四個全等的直角三角形可以圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形．如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則a+b212．(2023秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將圖1中的菱形紙片沿對角線剪成4個全等的直角三角形，拼成如圖2的四邊形ABCD（相鄰紙片之間不重處，無縫隙）．若四邊形ABCD的面積為13，中間空白處的四邊形EFGH的面積為1，直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，則a+b213．(2023秋·浙江杭州·八年級杭州外國語學校?？计谥校┯伤膫€全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示．過點D作DF的垂線交小正方形對角線EF的延長線于點G，連接CG．若AE＝2BE＝25cm，則線段CG＝_____cm．14．(2023春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5，短直角邊為2，圖3中陰影部分的面積為S，那么S的值為______．15．(2023春·四川成都·八年級成都嘉祥外國語學校?？计谥校┤鐖D，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE為四個全等的直角三角形，BD與CH、EG、AF分別交于點M、O、N，且滿足DN=DC，則兩個陰影部分的面積和與四邊形ABCD面積的比值為___________．16．(2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學家趙爽在注解《周牌算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的一個大正方形．如圖，若拼成的大正方形為正方形ABCD，面積為9，中間的小正方形為正方形EFGH，面積為2，連結AC，交BG于點P，交DE于點M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP?S△CGP=17．(2023春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┕垂啥ɡ肀挥涊d于我國古代的數(shù)學著作《周碑算經(jīng)》中，漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1,S2,S18．(2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會徽取材于我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖，如果大正方形的面積是49，小正方形的面積為4，直角三角形的較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，下列四個說法：①a2+b2=49,②a?b=4,19．(2023秋·北京·八年級101中學?？计谥校﹫D①是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若直角三角形的一個銳角為30°，將各三角形較短的直角邊分別向外延長一倍，得到圖②所示的“數(shù)學風車”，設AB＝2，則圖中陰影部分面積為__________．20．(2023春·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其面積標記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為S2??????，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則三、解答題21．（2023春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．將Rt△ABC繞點O依次旋轉90°、180°和(1)請利用這個圖形證明勾股定理；(2)圖2所示的徽標，是我國古代弦圖的變形，該圖是由其中的一個Rt△ABC繞中心點O順時針連續(xù)旋轉3次，每次旋轉90°得到的，如果中間小正方形的面積為1cm2，這個圖形的總面積為113cm222．(2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）我國三國時期的數(shù)學家趙爽利用四個全等的直角三角形拼成如圖1的“弦圖”（史稱“趙爽弦圖”）．(1)弦圖中包含了一大一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c，結合圖1，試驗證勾股定理；(2)如圖2，將四個全等的直角三角形緊密地拼接，形成“勾股風車”，已知外圍輪廊（粗線）的周長為24，OC=3，求該“勾股風車”圖案的面積；(3)如圖3，將八個全等的直角三角形（外圍四個和內(nèi)部四個）緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S23．(2023秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期中）如圖，“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若圖中大正方形的面積為42，小正方形的面積為5，求(a+b)24．(2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，將長為2a+3，寬為2a的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成如圖2所示的“趙爽弦圖”，得到大小兩個正方形．(1)用關于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長；(2)已知圖2中小正方形面積為36，求大正方形的面積？25．(2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）【知識背景】我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結論．像3、4、5這樣為三邊長能構成直角三角形的3個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．請你觀察下列三組勾股數(shù)：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)…分析其中的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．當勾為3時，股4=12×(9?1)當勾為5時，股12=12×(25?1)當勾為7時，股24=12×(49?1)(1)如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時，請用含有n的式子表示股和弦，則股＝，弦＝，則據(jù)此規(guī)律第四組勾股數(shù)是．(2)若a=m2?1,b=2m,c=m2+1，其中m>1且26．(2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖2）．(1)利用圖2正方形面積的等量關系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結論用字母表示：；(2)用圖1這樣的兩個直角三角形構造圖3的圖形，滿足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，∠AED=∠ACB=90°，求證（1）中的定理結論；(3)如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）27．(2023春·江西撫州·八年級統(tǒng)考期中）我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度之間關系的有關問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學方法，請你用等面積法來探究下列兩個問題：(1)如圖①是著名的“趙爽弦圖”，由四個全等的直角三角形拼成，請用它驗證勾股定理；(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，AC=4，BC=3，求CD(3)如圖①，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求a+b228．(2023春·福建泉州·八年級泉州七中?？计谥校┪覀冎溃幸粋€內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角所對的邊叫斜邊（（如圖①所示）．數(shù)學家還發(fā)現(xiàn)：在一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方和等于斜邊長的平方，即如果一個直角三角形的內(nèi)條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那么a2(1)直接填空：如圖①，若a=3，b=4，則(2)觀察圖②，其中兩個相同的直角三角形邊AE、EB在一條直線上，請利用幾何圖形的之間的面積關系，試說明a2(3)如圖③所示，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8，BC=10，利用上面的結論求29．(2023秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期中）我國三國時期數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用了“弦圖”．如圖，由4個全等的直角三角形(RtΔAFB?RtΔBGC?RtΔCHD?RtΔDEA)和與一個小正方形EFGH恰好拼成一個大正方形(1)根據(jù)題意，寫出下列數(shù)量關系（用a，b表示）：AE=BF=CG=DH=，AF=BG=CH=DE=，EF=FG=GH=HE=；(2)現(xiàn)假設你未知勾股定理，請證明：a230．(2023秋·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖1所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”（邊長為c的大正方形中放四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c）．(1)請根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理的推理過程；探索研究：(2)小亮將“弦圖”中的2個三角形進行了運動變換，得到圖2，請利用圖2證明勾股定理；問題解決：(3)如圖2，若a=6，b=8，此時空白部分的面積為__________；(4)如圖3，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成風車狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為24，OC=3，求該風車狀圖案的面積．專題17.6勾股定理與弦圖問題專項提升訓練（重難點培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎過關題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．(2023春·江蘇無錫·八年級?？计谥校摆w爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab=24，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長為（

）A．13 B．10 C．15 D．9【答案】D【分析】根據(jù)小正方形的面積=大正方形的面積-4個直角三角形的面積，求得小正方形的面積，再計算其算術平方根即可．【詳解】因為小正方形的面積=129?1所以小正方形的邊長為81=9故選D．【點睛】本題考查了弦圖的計算，熟練掌握圖形的面積分割法計算，會求算術平方根是解題的關鍵．2．(2023春·四川成都·八年級四川省蒲江縣蒲江中學?？计谥校┤鐖D所示的正方形圖案是用4個全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面積為25，正方形EFGH的面積為1，若用x、y分別表示直角三角形的兩直角邊(x>y)，下列三個結論：①xA．①②③ B．①② C．①③ D．②③【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質、直角三角形的性質、直角三角形面積的計算公式及勾股定理解答即可．【詳解】解：∵△ABC為直角三角形，∴根據(jù)勾股定理得：x2由圖可知，x?y=EF，即為小正方形的邊長，∵正方形EFGH的面積為1∴EF=1，∴x?y=1，故②正確；由圖可知，四個直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，即4×1∴xy=12，故③正確．∵x+y2=∴x+y=7，故④不正確，∴正確結論有①②③．故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理及正方形和三角形的邊的關系，此圖被稱為“弦圖”，熟悉勾股定理并認清圖中的關系是解題的關鍵．3．(2023秋·廣東潮州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形拼成一個大的正方形，是我國古代數(shù)學的驕傲，巧妙地利用面積關系證明了勾股定理．已知小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a、b且ab=6，則圖中大正方形的邊長為（

）A．5 B．13 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)大正方形面積等于4個三角形面積與小正方形面積和即可求解．【詳解】解：∵直角三角形的兩直角邊分別為a、b且ab=6，∴S△=12大正方形的面積為：4S△+小正方形面積=4×3＋1＝13，所以大正方形的邊長為13．故選B．【點睛】本題考查勾股弦圖的應用，算術平方根，掌握勾股弦圖的應用，算術平方根是解題關鍵．4．(2023秋·河南信陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若AC=6,BC=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是（

）A．52 B．68 C．72 D．76【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理求出BD的長度，然后利用外圍周長=4×(BD+AD)即可求解．【詳解】由題意可知CD=2AC=12∵∠BCD=90°,BC=5∴BD=C∴風車的外圍周長是4×(BD+AD)=4×(13+6)=76故選：D．【點睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解題的關鍵．5．(2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會(ICME?7)的會徽，主體圖案是由圖2的一連串直角三角形演化而成，其中OA1=A1A2=AA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理分別計算OA2、OA3、OA4、OA5，…即可得出【詳解】解：由勾股定理得，OAOAOAOA…OA∵OA5?O∴5∴n=5或20或45或80，∴符合條件的n有4個，故選：D．【點睛】本題主要考查勾股定理，圖形的變化類，解答本題的關鍵是找到規(guī)律得出OA6．(2023春·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）我國三國時期數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖①所示．在圖②中，若正方形ABCD的邊長為14，正方形IJKL的邊長為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】根據(jù)正方形面積公式，由面積的和差關系可得8個直角三角形的面積，進一步得到1個直角三角形的面積，再由面積的和差關系可得正方形EFGH的面積，進一步求出正方形EFGH的邊長．【詳解】解：一個直角三角形的面積：（14×14?2×2）÷8＝（196?4）÷8＝192÷8＝24，正方形EFGH的面積為：24×4＋2×2＝96＋4＝100，∴正方形EFGH的邊長為10．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，關鍵是熟練掌握正方形面積公式，以及面積的和差關系，難點是得到正方形EFGH的面積．7．(2023秋·江西·八年級?？计谥校摆w爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則EF的長為（

）A．9 B．92 C．32【答案】C【分析】首先根據(jù)已知條件易得，中間小正方形的邊長為：a-b；接下來根據(jù)ab=8，大正方形的面積為25求出小正方形的邊長，然后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：a-b，∵每一個直角三角形的面積為：12ab=1從圖形中可得，大正方形的面積是4個直角三角形的面積與中間小正方形的面積之和，∴4×1∴(a?b)2∴a-b=3，∴EF=32故選：C．【點睛】本題考查勾股定理，解題的關鍵是熟練運用勾股定理．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．8．(2023秋·福建福州·八年級?？计谥校├萌鐖D所示的方法驗證了勾股定理，其中兩個全等的直角三角形的邊AE，EB在一條直線上，證明中用到的面積相等關系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCDC．S△EDA+S△CEB＝S△CDED．S四邊形AECD＝S四邊形DEBC【答案】B【分析】利用梯形面積等于3個三角形面積之和解答即可．【詳解】解：由題意可得：S△EDA故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的證明依據(jù)．此類證明要轉化成該圖形面積的兩種表示方法，從而轉化成方程達到證明的結果．9．(2023春·浙江衢州·八年級校聯(lián)考期中）我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD，連接AC，交BE于點P，如圖所示，若正方形ABCD的面積為28，AE+EB=7，則S△CFPA．3 B．3.5 C．4 D．7【答案】B【分析】先證明△AEP?△CGMASA，則S△AEP=S△CGM，所以兩三角形面積的差是中間正方形面積的一半，設AE=x，BE=7?x，根據(jù)勾股定理得：A【詳解】∵正方形ABCD的面積為28，∴AB設AE=x，∵AE+EB=7，∴BE=7?x，Rt△AEB中，由勾股定理得：AE∴x2∴2x∵AH⊥BE，BE⊥CF，∴AH∥∴∠EAP=∠GCM，∵“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD，∴△AEB?△CGD，∴AE=CG，∴△AEP?△CGMASA∴S△AEP=S∴S△CFP∵S矩形則S△CFP?S故選：B．【點睛】本題主要考查了“趙爽弦圖”，多邊形面積，勾股定理等知識點，首先要求學生正確理解題意，然后利用勾股定理和三角形全等的性質解題．10．(2023秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC:BC=4:3，這個直角三角形三邊上分別有一個正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作直角邊之比為4:3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形，圖③是2次操作后的圖形．如果圖①中的直角三角形的周長為12，那么10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為（

）A．225 B．250 C．275 D．300【答案】D【分析】根據(jù)題意分別計算出圖①、圖②和圖③的面積，得出規(guī)律即可求解．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，∴設AC=4x，則BC=3x，根據(jù)勾股定理得，AB=A∵3x+4x+5x=12，∴x=∴AB=5，BC=3，AC=4，∴圖①中正方形面積和為：32圖②中所有正方形面積和，即1次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：32圖③中所有正方形面積和，即2次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：3?∴n次操作后的圖形中所有正方形的面積和為25n+50，∴10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為：25×10+50=300，故D正確．故答案為：25n+50．【點睛】本題主要考查了圖形規(guī)律，直角三角形的性質、勾股定理、正方形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．二、填空題11．(2023春·陜西西安·八年級西安市曲江第一中學?？计谥校┲袊糯鷶?shù)學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位，體現(xiàn)了數(shù)學研究中的繼承和發(fā)展．下圖是3世紀我國漢代的數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的圖案，人們稱它為“趙爽弦圖”．此圖中四個全等的直角三角形可以圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形．如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則a+b2【答案】49【分析】根據(jù)題意和圖形，可以得到a2+b2=c2，c2=25，a?b2=1然后變形即可得到ab【詳解】解：由圖可得，a2+b∴a2∵小正方形的面積是1，∴a?b2∴a2∴ab=12，∴(a+b)2=a2=25+2×12=25+24=49；故答案為：49．【點睛】本題考查勾股定理、完全平方公式，解答本題的關鍵是求出ab的值，利用數(shù)形結合的思想解答．12．(2023秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將圖1中的菱形紙片沿對角線剪成4個全等的直角三角形，拼成如圖2的四邊形ABCD（相鄰紙片之間不重處，無縫隙）．若四邊形ABCD的面積為13，中間空白處的四邊形EFGH的面積為1，直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，則a+b2【答案】25【分析】由菱形的性質可得四邊形ABCD是正方形，可得AD2=13=a2+b2，中間空白處的四邊形EFGH也是正方形，可得（b-a）2=1，求出2ab=12，即可求解．【詳解】解：由題意得：四邊形ABCD和四邊形EFGH是正方形，∵正方形ABCD的面積為13，∴AD2=13=a2+b2①，∵中間空白處的四邊形EFGH的面積為1，∴（b-a）2=1，∴a2-2ab+b2=1②，①-②得：2ab=12，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25，故答案為：25．【點睛】本題考查了菱形的性質，正方形的性質，勾股定理，完全平方公式等知識，掌握菱形的性質，求出2ab=12是解題的關鍵．13．(2023秋·浙江杭州·八年級杭州外國語學校?？计谥校┯伤膫€全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示．過點D作DF的垂線交小正方形對角線EF的延長線于點G，連接CG．若AE＝2BE＝25cm，則線段CG＝_____cm．【答案】5【分析】過點G作GT⊥CF交CF的延長線于T，設BH交CF于M，AE交DF于N．根據(jù)全等三角形的性質得到BE＝AN＝CM＝DF＝5，AE＝BM＝CF＝DN＝25，根據(jù)正方形的性質得到∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，根據(jù)勾股定理即可得到答案．【詳解】解：如圖，過點G作GT⊥CF交CF的延長線于T，設BH交CF于M，AE交DF于N．∵BE＝AN＝CM＝DF＝5，AE＝BM＝CF＝DN＝25，∴EN＝EM＝MF＝FN＝5，∵四邊形ENFM是正方形，∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，∵GT⊥TF，DF⊥DG，∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，∴TG＝FT＝DF＝DG＝5，∴CT＝35，∴CG＝(35故答案為：52．【點睛】本題考查了全等三角形的性質，正方形的性質，勾股定理，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．14．(2023春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5，短直角邊為2，圖3中陰影部分的面積為S，那么S的值為______．【答案】21【分析】陰影部分由四個全等的三角形和一個小正方形組成，分別求三角形和小正方形面積即可．【詳解】由題意作出如下圖，陰影部分由四個與△ABD全等的三角形和一個邊長為BD的正方形組成由題意得：AB=CD=2，BC=5，BD=BC?CD=3∴S△ABDS∴S=4故答案為：21．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，根據(jù)正方形的面積公式和三角形形的面積公式得出它們之間的關系是解題的關鍵．15．(2023春·四川成都·八年級成都嘉祥外國語學校校考期中）如圖，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE為四個全等的直角三角形，BD與CH、EG、AF分別交于點M、O、N，且滿足DN=DC，則兩個陰影部分的面積和與四邊形ABCD面積的比值為___________．【答案】1?【分析】設AE=BF=a，AF=DE=b，先證明Rt△ADE≌Rt△NDEHL，得出AE=NE=a，然后根據(jù)等積法求出【詳解】解：∵△ABF、△BCG、△CDH、△DAE為四個全等的直角三角形，∴AD=CD=BC=AB，∠AED=90°=∠DEN，四邊形ABCD是正方形，AE=BF=CG=DH，AF=BE，又DN=DC，∴AD=DN，又DE=DE，∴Rt△ADE≌∴AE=NE，設AE=BF=a，AF=DE=b，則NE=a，∴S△ABD在Rt△ABF中，A∴S△ABD∴12∴a2∴a2+2ab+∴a=2?1b∴S陰影S四邊形∴兩個陰影部分的面積和與四邊形ABCD面積的比值為22故答案為：1?2【點睛】本題考查了勾股定理的應用、全等三角形的判定與性質等知識，根據(jù)等積法求出a=216．(2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學家趙爽在注解《周牌算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形與1個小正方形拼成的一個大正方形．如圖，若拼成的大正方形為正方形ABCD，面積為9，中間的小正方形為正方形EFGH，面積為2，連結AC，交BG于點P，交DE于點M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP?S△CGP=【答案】①③④【分析】根據(jù)正方形得性質、勾股定理、平行線的性質、全等三角形的判定與性質和梯形面積的計算逐項判斷即可．【詳解】解：∵四邊形EFGH為正方形，∴∠AEM=∠HEF=∠FGH=∠CGP=90°，EM∥PF，AF∥CH，AD=BC，∴∠EAM=∠GCP，由題意得，Rt△AED?∴AE=CG，在△AEM和△CGP中，∠AEM=∠CGPAE=CG∴△CGP≌△AEMASA，故①正確；由①得S△AEM∴S=S=1=1∵S正方形∴S△AFP用x，y表示直角三角形的兩條邊(x<y)，∵大正方形面積為9，小正方形面積為2，∴x2+y∴直角三角形的面積和為4×1于是得到(x+y)2解得x+y=4；即DH+HC=4，故③正確；∵CG=DH，HG=2∴DH+CH=2DH+HG=2DH+2∴DH=4?∴CH=CG+HG=DH+HG=2?2故④正確，故答案為：①③④．【點睛】本題考查了正方形得性質、勾股定理、平行線的性質、全等三角形的判定與性質和梯形面積的計算，解決此題的關鍵是熟練地運用這些性質和讀懂題目意思并把圖形聯(lián)系起來．17．(2023春·江蘇泰州·八年級?？计谥校┕垂啥ɡ肀挥涊d于我國古代的數(shù)學著作《周碑算經(jīng)》中，漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1,S2,S【答案】2【分析】根據(jù)正方形的面積和勾股定理即可求解．【詳解】解：設全等的直角三角形的兩條直角邊為a、b且a>b，由題意可知：S1=(a+b)2，因為S1(a+b)23(a所以3SS2的值是8所以正方形EFGH的邊長為8=故答案為：22【點睛】本題考查了正方形的面積、勾股定理，解決本題的關鍵是隨著正方形的邊長的變化表示面積．18．(2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期中）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會徽取材于我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖，如果大正方形的面積是49，小正方形的面積為4，直角三角形的較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，下列四個說法：①a2+b2=49,②a?b=4,【答案】①③##③①【分析】分別求出小正方形及大正方形的邊長，然后根據(jù)面積關系得出a與b的關系式，依次判斷所給關系式即可．【詳解】解∶由題意可得小正方形的邊長=2，大正方形的邊長=7，故可得a?b=2，即②錯誤；a2+b小正方形的面積+四個直角三角形的面積等于大正方形的面積，即可得2ab+4=49，即③正確；根據(jù)③可得2ab=45，故可得(a+b)2=a綜上可得①③正確，故答案為∶①③【點睛】本題考查了勾股定理及直角三角形的知識，根據(jù)所給圖形，利用面積關系判斷a與b的關系是解答本題的關鍵．19．(2023秋·北京·八年級101中學?？计谥校﹫D①是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若直角三角形的一個銳角為30°，將各三角形較短的直角邊分別向外延長一倍，得到圖②所示的“數(shù)學風車”，設AB＝2，則圖中陰影部分面積為__________．【答案】8+43##【詳解】解：如圖，設AC＝x，則BC＝AD＝2+x，∵∠ADC＝30°，∴AC=∴AD=3AC∴2+x=3x∴x=3∴AC=3∵將各三角形較短的直角邊分別向外延長一倍，DE=AC=∴圖中陰影部分面積＝4×12AC2＝4×故答案為8+43【點睛】本題考查旋轉角的定義以及直角三角形的性質，本題關鍵在于用AB表示出AC的長度20．(2023春·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其面積標記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為S2??????，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則【答案】122020【分析】根據(jù)題意求出面積標記為S2的正方形邊長，得到S2，同理求出S3，根據(jù)規(guī)律解答．【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長為1，∴面積標記為S2的正方形邊長為22則S2=（22）2=12=面積標記為S3的正方形邊長為22×22=則S3=（12）2=14=……，則S2021的值為：12故答案為：12【點睛】本題考查的是勾股定理、正方形的性質，根據(jù)勾股定理求出等腰直角三角形的邊長是解題的關鍵．三、解答題21．（2023春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．將Rt△ABC繞點O依次旋轉90°、180°和(1)請利用這個圖形證明勾股定理；(2)圖2所示的徽標，是我國古代弦圖的變形，該圖是由其中的一個Rt△ABC繞中心點O順時針連續(xù)旋轉3次，每次旋轉90°得到的，如果中間小正方形的面積為1cm2，這個圖形的總面積為113cm2【答案】(1)見解析(2)52【分析】（1）從整體和部分分別表示正方形的面積即可證明；（2）設Rt△ABC的較長直角邊為a，短直角邊為b，斜邊為c，則有a?b=3，4×12【詳解】（1）證明：∵正方形的邊長為c，∴正方形的面積等于c2∵正方形的面積還可以看成是由4個直角三角形與1個邊長為a?b的小正方形組成的，∴正方形的面積為：4×1∴c2（2）解：設Rt△ABC的較長直角邊為a，短直角邊為b，斜邊為c根據(jù)題意得，a?b=3，4×1又∵c===121∴c=11cm故徽標的外圍周長為：4×11+2故答案為：52．【點睛】本題主要考查了勾股定理的證明，勾股定理的應用，完全平方公式等知識，運用整體思想求出斜邊c的長，是解題的關鍵．22．(2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）我國三國時期的數(shù)學家趙爽利用四個全等的直角三角形拼成如圖1的“弦圖”（史稱“趙爽弦圖”）．(1)弦圖中包含了一大一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c，結合圖1，試驗證勾股定理；(2)如圖2，將四個全等的直角三角形緊密地拼接，形成“勾股風車”，已知外圍輪廊（粗線）的周長為24，OC=3，求該“勾股風車”圖案的面積；(3)如圖3，將八個全等的直角三角形（外圍四個和內(nèi)部四個）緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S【答案】(1)證明見詳解(2)“勾股風車”圖案的面積為24(3)5【分析】（1）根據(jù)圖形可知S大正方形（2）已知圖形的周長，可求出直角三角形的斜邊長，已知OC=3，則可求出直角三角形的兩條直角邊，由此即可求出“勾股風車”圖案的面積；（3）八個全等的直角三角形，且圖形的面積是由三角形和正方形組成，S1+2S2+【詳解】（1）證明：由圖①可知S大正方形∵S大正方形∴c2即c2（2）解：四個全等的直角三角形，外圍輪廊（粗線）的周長為24，OC=3，設AC=∴4AB+4AC=24，即4AB+4x=24，∴AB=6?x，在Rt△OAB中，AB2=OB∴(6?x)2=32+∴OA=3+1=4，OB=3，∴S△OAB∴“勾股風車”圖案的面積是6×4=24．（3）解：設AE=m，AH=n，∴S1=4×12mn+∴S1∴S2【點睛】本題主要考查勾股定理，理解直角三角形三邊關系是解題的關鍵．23．(2023秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期中）如圖，“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若圖中大正方形的面積為42，小正方形的面積為5，求(a+b)【答案】(a+b)【分析】根據(jù)正方形的面積公式和三角形的面積公式即可求出(b?a)2=5，【詳解】解：小正方形面積=(b?a)4個小直角三角形的面積=4×12ab∴2ab=37∴(a+b)2=(b?a)2+4ab【點睛】此題考查的是全等三角形的性質和完全平方公式的變形，掌握全等三角形的性質、正方形的面積公式、三角形的面積公式和完全平方公式的變形是解決此題的關鍵．24．(2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，將長為2a+3，寬為2a的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成如圖2所示的“趙爽弦圖”，得到大小兩個正方形．(1)用關于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長；(2)已知圖2中小正方形面積為36，求大正方形的面積？【答案】(1)a+3(2)90【分析】（1）用直角三角形較長的直角邊減去較短的直角邊即可；（2）先根據(jù)小正方形的面積求出a的值，再根據(jù)正方形的面積＝邊長的平方求解即可．【詳解】（1）解：∵直角三角形較短的直角邊=1較長的直角邊=2a+3，∴小正方形的邊長=2a+3?a=a+3；（2）解：小正方形的面積=(a+3)∴a+3=6或a+3=?6，∴a=3，或a=?9（舍去），∴2a+3=9，∴大正方形的面積=9【點睛】本題考查了以弦圖為背景的計算，整式的加減，利用平方根的定義解方程，數(shù)形結合是解題的關鍵．25．(2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）【知識背景】我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結論．像3、4、5這樣為三邊長能構成直角三角形的3個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．請你觀察下列三組勾股數(shù)：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)…分析其中的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．當勾為3時，股4=12×(9?1)當勾為5時，股12=12×(25?1)當勾為7時，股24=12×(49?1)(1)如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時，請用含有n的式子表示股和弦，則股＝，弦＝，則據(jù)此規(guī)律第四組勾股數(shù)是．(2)若a=m2?1,b=2m,c=m2+1，其中m>1且【答案】(1)12(n2(2)見解析【分析】（1）如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時，則股=12(n2（2）根據(jù)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2【詳解】（1）解：如果勾用n（n≥3，且n為奇數(shù)）表示時，則股=12(當n=9時，12(n∴第四組勾股數(shù)是(9,40,41)．故答案為：12(n2?1)（2）證明：∵a=m2?1,b=2m,c=m2∴(m∴a2∴以a,b,c為邊的△ABC是直角三角形．【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理、完全平方式的應用等知識，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題關鍵．26．(2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個小正方形拼成一個大正方形（如圖2）．(1)利用圖2正方形面積的等量關系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結論用字母表示：；(2)用圖1這樣的兩個直角三角形構造圖3的圖形，滿足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，∠AED=∠ACB=90°，求證（1）中的定理結論；(3)如圖，由四個全等的直角三角形拼成的圖形，設CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）【答案】(1)c(2)見解析(3)m【分析】（1）由大正方形的面積的兩種表示列出等式，可求解；（2）由四邊形ABCD的面積兩種計算方式列出等式，即可求解；（3）分別求出a，b，由勾股定理可求解．【詳解】（1）解：∵大正方形的面積=c2，大正方形的面積∴c2∴c2故答案為：c2（2）證明：如圖：連接BD，∵Rt△ABC∴∠ADE=∠BAC，∴∠DAE+∠ADE=90°=∠DAE+∠BAC，∴∠DAB=90°，∵S四邊形ABCD=∴12∴c2（3）解：由題意可得：CE=CD+DE，GH=AG?AH，∴m=a+b，n=b?a，∴a=m?n2，∴BD∴正方形BDFA的面積為m2【點睛】本題考查了全等三角形的性質，正方形的性質，勾股定理等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．27．(2023春·江西撫州·八年級統(tǒng)考期中）我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長度之間關系的有關問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學方法，請你用等面積法來探究下列兩個問題：(1)如圖①是著名的“趙爽弦圖”，由四個全等的直角三角形拼成，請用它驗證勾股定理；(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，AC=4，BC=3，求CD(3)如圖①，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求a+b2【答案】(1)見解析(2)CD=(3)25【分析】（1）分別用兩種方法求出大正方形的面積，根據(jù)面積相等列等式，即可證明；（2）先根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)等面積法即可求解；（3）根據(jù)（1）的結果，可得c2=a2+【詳解】（1）∵S大正方形=c2，又∵S大正方形∴c2即c2（2）由勾股定理得：BC2+AC2∴32∴AB=5，∵