新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)講義 等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合運用（解析版）

新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)90分講義專題等差數(shù)列、等

比數(shù)列綜合運用

【典型例題】

例1.(2023春?江蘇南京?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且

?=0,αl+?+α7=6,將外,4，4，生去掉一項后，剩下三項依次為等比數(shù)列｛2｝的前三項,

則”=()

A.22^MB.2"gC.23^nD.2^+3

【答案】C

［解析］在等差數(shù)列｛aJ中，3q=4+4+%=6,解得％=2,而ab=0,即有公差

”=忙&=_1,

6-4

等差數(shù)列｛%｝的通項q=4+(〃-4)d=6-n,則%=4嗎=30=2,%=1,顯然去掉％,

%，%，生成等比數(shù)列，則數(shù)列低｝的首項為々=%=4,公比勺=￡=；,

所以b,,=Zw"T=4χ(g)"T=23τ.

故選：C

例2.(2023秋?青海西寧?高三?？计谀?設(shè)等比數(shù)列｛4“｝的前〃項和為若邑，S<,,S6

成等差數(shù)列，且%=6,則%=()

A.-1B.-3C.-5D.-7

【答案】B

，

【解析】：S3S9,$6成等差數(shù)列，??.2S9=S3+S6,由題意q*l,2(S9-S6)-S3-S6

/X/?W+4+1.1

Λ2(α7+?+?)=-(?÷?+?)>可得〃.”=一萬，所以4=一不

“4十"十%乙Z

?'?q∣=??3=6×(-^)=-3.

故選:B.

例3.(多選題)(2023?全國?高三專題練習(xí))下列說法正確的是()

A.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，則數(shù)列*"”｝是等比數(shù)列

B.已知數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，則數(shù)列｛lna,J是等差數(shù)列

C.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列且%eN*,數(shù)列出｝是等比數(shù)列，則數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列

D.已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列且瑪eN',數(shù)列出｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列

【答案】AC

【解析】設(shè)4=〃"+%,=end+k=ek?(√/)n,故A正確.

Ina“中，a,,>0,但｛5｝中可能q<0,不成立，故B錯誤.

n

設(shè)/=加/+生〃,“€?4歡€2,且勺€^,bn=mq,則%片=/為常數(shù)，故

%

C正確.

設(shè)a"="q",aneN',aπ=nd+k,則％=OW)d+A,ba^-ba=mq"d(q-?).

當(dāng)g≠l時，,的"d(q-l)不恒為定值，故D錯誤.

故選：AC

例4.(2023春?安徽?高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，

且勺%=34,設(shè)等差數(shù)列也｝的前〃項和為S,,,若a=4,貝IJS=.

【答案】27

【解析】因為數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，月

所以生9=3%,解得4=3或%=0(舍)

即α4=4=3,又因為數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列,

則S=9(、；%)=94=27.

9

故答案為：27.

例5.(2023?全國?模擬預(yù)測)在數(shù)列｛《,｝中，42=5,數(shù)列｛3q-。向｝是首項為2,公差為4

的等差數(shù)列，bll=an-2n.

⑴證明：數(shù)列也｝為等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛q,｝的前〃項和

【解析】(1)由題意得3?！?4角=2+("—l)x4=4"-2,即=30,,-4〃+2,

?,??÷∣-2(w+l)=3(?-2rt).X?,,=?-2∕7,.?.?ιι+,=3?.

Vb2=a2-4=]=3?l,二4=；,則々HO,

???數(shù)列｛2｝是首項為g，公比為3的等比數(shù)列.

(2)由(1)得2=gχ3"T=3"-2,

2

J.an=bn+2n≈y-+2n

：.S,,=al+a2++all

=(3-1+30÷3l+??+3Z,^2)÷2(1÷2+3+÷n)

1-32

∏-l÷φ+l).

26v7

例6.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知公差不為。的等差數(shù)列｛〃“｝滿足：①2%+%=7,②

%，%，出成等比數(shù)列；③醺=15.從①②③中選擇兩個作為條件，證明另一個成立.

【解析】選①②：

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則2q+%=2t∕,+αl+4d=3q+4d=7,

又因為4，&，“9成等比數(shù)列，所以a；=4，%，即(4∣+S")?=(α∣+3")(α∣+8〃)，√≠0.

聯(lián)立解得：q="=l?

所以4=〃.

所以Ss=也嚴(yán)

2

選①③:

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則2q+%=2?,+?,+4d=3q+4d=7,

5(α∣+%)5(2q+4d)

———1?

22

聯(lián)立解得：q=d=l.

所以?！?〃，%=4,?6=6,a9=9,

aj=a4a9,所以%，％，一成等比數(shù)列.

選②③：

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

因為內(nèi),&,%成等比數(shù)列，所以"：=”「內(nèi)，即(α∣+5d)2=(α∣+3d)(α∣+83),

5(q+%)5(2q+4d)

———1?

22

聯(lián)立解得：al=d=?,

所以4=〃.

所以2%+%=7.

例7.(2023春?云南曲靖?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知等比數(shù)列｛《,｝滿足％=8%,且生+%=-9,

S,,為數(shù)列｛%｝的前"項和.

(1)求他“｝的通項公式；

(2)Sm,a,,ai(m√∈N?)能否構(gòu)成等差數(shù)列，若能，則求見，的值;若不能，則說明理由.

【解析】(D設(shè)數(shù)列伍“｝公比為夕，因為4=8%,

所以F=g'=8,即q=2,

ai

又因為%+%=-9,

所以1+8/=-9,即/=-1,

所以a=//?=-2'-2；

(2)假設(shè)鼠,生，4能構(gòu)成等差數(shù)列，

則上=.2x25，

1-2

化簡得;-2"'T-2"2=-2',BP2m-27+2,-'=l>又m,ieN,

因為等號右邊為奇數(shù)，且2"，-2'為偶數(shù)，所以2"必為奇數(shù)，

所以i=1,Sim=I,

此時Sl+al=2a7,故Sm,a1,al能構(gòu)成等差數(shù)列.

例8.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)｛m｝是首項為1的等比數(shù)列，己知α/,342,9公成等差

數(shù)列，求等比數(shù)列｛m｝的公比.

【解析】設(shè)公比為q,因為數(shù)列｛α”｝是首項為1的等比數(shù)列，

所以α(T=IXg"I

且M3a2,9編成等差數(shù)列，

所以2χ3a2=a∣+9aj,

所以6cuq=a∣+9a∣q2,

即9q2-6q+l=0,

解得制.

例9.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝是一個公比為4(q>0,qxl)的等比數(shù)列，

4=1，S,是數(shù)列｛%｝的前〃項和，再從條件①、②、③這三個條件中選擇一個作為已知，解

答下列問題:條件①:44,3%,2%成等差數(shù)列滌件②：S,,=2““-1;條件③:&=7.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項公式；

(2)令2=21og2a“-7,求數(shù)列｛4｝的前n項和Tn的最小值.

注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【解析】⑴選①，因為4%,3%2q成等差數(shù)列，

所以6。3=4%+2%,即6。2夕=4%+2。2鄉(xiāng)2，

又?≠0,所以3q=2+d,解得q=2或夕=1(舍去)，

則％=W-',

所以數(shù)列｛4｝的通項公式=2"τ.

選②,當(dāng)〃≥2時,4=S"-S"7=2(%-%),即有q=2”,τ,

所以公比4=2,而4=1,則a,,="4-=?"。

所以數(shù)列｛q｝的通項公式q=2"τ.

選③，&=綽二Q=7,即有d+g-6=O,解得9=2或g=-3(舍去)，

ι-q

則a“=q〃=2"T,

所以數(shù)列｛q｝的通項公式可=2"τ.

(2)由(1)知"=2"-9,

所以7；=2(1+2+…+")-9"=2X^∣^-9"="2-8W=("-4)2-16

所以當(dāng)〃=4時，，的最小值為-16.

例10.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛q｝的前."項之積為s,,=2k(〃eN").

(1)求數(shù)列｛。,,｝的通項公式；

⑵設(shè)公差不為0的等差數(shù)列也,｝中，4=1,,求數(shù)歹U｛%?｝的前n項和T1,.

請從①以=4；②4+仇=8這兩個條件中選擇一個條件，補充在上面的問題中并作答.

注：如果選擇多個條件分別作答，則按照第一個解答計分.

【解析】(1)當(dāng)腹=1時，α∣=S1=I

SΛ(n-?)-(Λ-1)(7:-2)

當(dāng)“≥2時，an=-^-=22=2"T

k-,Λ-l

綜上，an=2"-'.

(2)若選①b；=b4,

設(shè)等差數(shù)列｛d｝的公差為d(dwθ),

因為4=1,其心，

所以(l+d)2=l+?∕(d≠0),解得d=l

所以，?=n,

'

所以，a,l+bll=2-'+n,

所以，7；,=(1+2+22++2"^1)+(l+2++n)

1-2n(n+i]c〃ι1/?

=----+-----=2-1+—+1

1-222v7

所以，。=2"-1+，(〃+1)

若選②"+4=8,

設(shè)等差數(shù)列｛2｝的公差為d(d*0),

因為a+&=8,所以々=4,

又因為a=1,所以4=l+3d,解得d=l

所以，b,l=n,

所以，a,,+hn=2"-'+n,

所以，7；,=(1+2+22++2,,-')+(l+2++〃)=匕^+〃("+1)=2"_1+1〃(〃+1)

所以，。=2"-1+，(〃+1)

例11.(2023秋.湖南湘潭.高三校聯(lián)考期末)已知等差數(shù)列｛4｝和等比數(shù)列也｝滿足,

al=2,?1=IM2+生=10,b2b3——a4.

⑴求數(shù)列｛4｝,色｝通項公式

c

(2)設(shè)數(shù)列｛?,｝中滿足cn=a,,+b,,,求和c∣+C3+。5++2n-∣

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d，等比數(shù)列｛2｝的公比為夕，

則ci-,+/=4+d+4+2d=4+3d=10,疥軍d.=2,

.?.an=4+(〃—1”=2+2(〃-1)=2〃，

2

b2bi=blc∕btq=/=_%=-8,解得q=-2,

.也=姑Z=(—2廣,

即《,=2〃，?=(-2)n^';

(2)由(D得C(I=2〃+(-2)i,

α+

.?.Cl+<?+c5++C2"-l=(∣+6++%,l)+(4+4+?,>-l)

"(4+見“T)J(I-/")”(2+4"-2)1-(-2廣24"I

=-2—F^=-2—+T√Ξ^^=2M+T^i?

例12.(2023?四川?校聯(lián)考一模)已知等差數(shù)列｛5｝與正項等比數(shù)列｛4｝滿足

al=b]=2,?3=a1=a2+a4,

⑴求數(shù)列應(yīng)｝和色｝的通項公式；

⑵記數(shù)列｛%｝的前20項的和為S?.,數(shù)列也｝的前〃項和為，,求滿足Z,≥SR的n的最小

值.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝與正項等比數(shù)歹∣J｛a｝公差，公比分別為d,q(q>0),

因為q=?1=2,?3=OI=a1+a4,

所以2q2=2+6d=2+d+2+3d,解得d=lq=2,

所以，數(shù)列｛《,｝的通項公式為0“=〃+1

數(shù)列低｝的通項公式為2=2".

(2)由(1)得S2o=2°x(j+21)=23O,7；,==2"t'-2,

21—2

所以7］,≥Sa,,即為2"+∣-2≥230,即為2"≥116,

因為y=2，單調(diào)遞增，26=64<116<128=27,

所以，滿足2"≥116的正整數(shù)〃最小值為7

【技能提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知等比數(shù)列｛%｝和等差數(shù)列低｝∕eN*,滿足

4=4=2,%>0,%=4,。5—4=24,貝lJ%-2%=()

A.-2B.1C.4D.6

【答案】D

［解析］設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的公比和等差數(shù)列｛b,,｝的公差分別為dd.

因為q=2,%>0,所以q>0.

由題意得20=2+2d,

又2?∕-(2+24)=24,解得g=2,d=3,

所以α,,=2,,,?=3?-1,

6

J9fy,α6-2?=2-2X(3×10-1)=64-58=6,

故選：D.

2.(2023春?廣西南寧?高三南寧三中?？紝ｎ}練習(xí))設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若

?2=2,且%,?3,%-2成等差數(shù)列，則'=()

A.7B.12C.15D.31

【答案】C

【解析】設(shè)公比為q(qwθ),因為的,4，4-2成等差數(shù)列，所以2%=%+%-2,

則2x2q=2+2q2-2,解得：q=2或0（舍去）.

因為%=2,所以q=l,故S=------=15.

111-2

故選：C

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列包｝中，4=3,若4，%+1，4+3

成等比數(shù)列，則公差4=（）

A.—1或2B.2C.I或一2D.1

【答案】B

【解析】由題意可得3+1）2=%（%+3）,即（α2+d+l）2=%3+3d+3）

即出2+2%（〃+1）+（1+1）2=%2+3%（1+1）

所以（d+l）2=%（d+l）

山題意可>。，貝IJd>0,所以d+l>0

所以d+l=%,所以d=%T=2

故選：B

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若等差數(shù)列｛%｝和等比數(shù)列也｝滿足4=%%=A=2也=16,

則｛q｝的公差為（）

A.1B.-1C.-2D.2

【答案】A

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,等比數(shù)列出｝的公比為q

.a2=b2=2

.?ax+d=bx?q,又4=々

4+d=q?q=2

又b§=biq4=%?q"=（%?q）?q3=2q3-16

.?.q=2,ClT=1,d=1

故選：A

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知｛%｝是等差數(shù)列，｛〃,｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且

4=4=1，4+。3=24，々-3。2=7,則“一%=（）

A.7B.4C.1D.-2

【答案】C

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為"，等比數(shù)列｛〃｝的公比為4>0,

a2+a,=羽(l+O+(l+2d)=2q22+34=2d…d=2

由題意可得:則/-3(l+d)=7，'q4-3d=10'肝得4=2或

b5-3a2-7

《?d=2（舍?去），

[q=-2

故d-4=/-（l+3d）=l.

故選：C.

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）等比數(shù)列的公比為-2,且4+2,a3+2,%-7成等差

數(shù)列，則｛《,｝的前10項和為（）.

【答案】A

【解析】由于6+2,4+2,%-7成等差數(shù)列,

所以2(%+2)=4+2+%-7,

即21q×(-2)2+2]=q+2+qx(-2)"-7,

解得“∣=1，

所以SK)==-341?

1-(-2)3

故選：A

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知公差不為。的等差數(shù)列｛4｝,滿足%,%，4成等比數(shù)

列，｛%｝的前”項和為5"，則含言的值為（）

Jit-??

3I2

A.-B.-C.3D.-

233

【答案】B

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為“，且dHθ,

又滿足q,%，%成等比數(shù)列，即42=q%,可得（q+2"Y=4（q+34）,

所以4+41=0,

Sf%+%_Y_1

則所以

S4-52%+%—3d3S4-S23,

故選：B.

8.（2023秋?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝與各項均為整數(shù)的等比數(shù)列｛〃｝

的首項分別為4=1，々=2,且/=%,將數(shù)列｛%｝，｛〃｝中所有項按照從小到大的順

序排列成一個新的數(shù)列｛c,,｝（重復(fù)的項只計一次），則數(shù)列｛%｝的前40項和為（）

A.1843B.2077C.2380D.2668

【答案】B

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,等比數(shù)歹U｛〃｝的公比為9,由4=%，?=?.

得%f+?+5d=2q>解得IJd?=3'

根據(jù)題意，a2=h2=4,?=?4=16,α2,=?6=64,故々=2,?3=8,4=32可與”“一起

排列,故%=%=109

｛?,｝:1,2,4,7,8,10,13,16,19,22,,109,

故數(shù)列｛%｝的前40項和為：

C,+c2++c40=色節(jié)?>37+a+b3+b5=("I?JZ+2+8+32=2035+42=2077.

故選：B

9.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，S“為等比數(shù)列｛2｝的前〃項和，

S6

且4,+%=l,%+%>=31,a2=bi,ai=b2,貝IJU=()

A.-B.IC.-D.-

8848

【答案】D

+仆=1?[2。[+5d=1?ftz=—7

【解析】設(shè)等差數(shù)列(4的公差為"，由~5得C解得1/」。，

[%+α∣o=31[24∣+15"=31U=3?

則4,=3〃-10,所以々=4=_4,b2=a4=2,

設(shè)等比數(shù)列圾｝的公比為心則q=-J,

故選：D.

10.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛q,｝是等比數(shù)列，且％,2%,4%成等差數(shù)列,

則公比4=()

A.—B.-C.~D.1

842

【答案】C

【解析】因為《，2出，44成等差數(shù)列，

所以4g=α∣+4%,

2

所以4qq=q+4al?,

所以4d-4q+l=0,所以（2q-l）2=0,所以q=；.

故選：C

11.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知在等比數(shù)列｛為｝中，a1a5=?2ab,等差數(shù)列低｝的前〃

項和為5“，且2仇=%，貝∣JS∣7=（）

A.96B.102C.118D.126

【答案】B

［解析］在等比數(shù)列｛4｝中，a1a5=I2a6,

.??d=12%,

???=12,

在等差數(shù)列低｝中，

2?,=<z6=12,

*'?”>=6,

.?.S17=∣7（P∣;如）=［74=102,

故選：B.

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛/｝為等差數(shù)列，且3。，3,3"，成等比數(shù)列，則由

為（）

A.1B.—C.15D.3

2

【答案】A

【解析】設(shè)數(shù)列m｝的公差為d,

因為3T3,3?成等比數(shù)列，所以3”《=3?,

所以q+/=2al+6d=2,

所以q+3d=e=1，

故選：A.

13.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知1,《，生，4成等比數(shù)列，1,4，打，與，4成等差

數(shù)列，則色言的值是（）

48

A.-B.-C.2D.1

55

【答案】B

【解析】VI,%,%，4成等比數(shù)列，1,b∣,?2,?3,4成等差數(shù)列，

Λax??=4,2?2=1+4,?2=I^,

4?4_4_8

則虧=3=J

2

故選：B.

二、多選題

14.（2023春?安徽阜陽?高三阜陽市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題正確的是（）

A.若｛α,｝｛2｝均為等比數(shù)列且公比相等，則｛%+2｝也是等比數(shù)列

B.｛%｝為等比數(shù)列，其前〃項和為S“，則S“,S,,,-S,,,S3,,也成等比數(shù)列

C.｛q｝為等差數(shù)列，則｛2冊｝為等比數(shù)列

D.｛q,｝的前〃項和為S,,,則“％>0（〃∈N*）”是“｛S“｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件

【答案】CD

【解析】對于A,｛《,｝、｛%｝均為等比數(shù)列且公比相等，當(dāng)4+4=0時,數(shù)列｛4+勿｝不是等

比數(shù)列，故選項A錯誤；

對于B,當(dāng)?shù)缺葦?shù)列｛q｝為3,-3,3,-3,3,—3,3,—3,時，當(dāng)〃為偶數(shù)時，Sn=O1則

5,,,S2π-SΠ,53Π-S?“不能構(gòu)成等比數(shù)列，故選項B錯誤；

對于C,設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則替=2"*"f=2"常數(shù)，所以｛%｝為等差數(shù)列，則

｛24｝為等比數(shù)列，故選項C正確；

對于D,數(shù)列應(yīng)｝中，對任意”wN*.α,>0,則S,=S,ι+α,,>S,ι∕≥2;所以數(shù)列｛S,｝是

遞增數(shù)列，充分性成立；

當(dāng)數(shù)列阻｝是遞增數(shù)列時，S,,>Sl^,n≥2,即S,τ+4>S.T,所以〃≥2時，a,,>0,如數(shù)

列-1,2,2,2,.；不滿足題意,所以必要性不成立,則“4,>0（〃eN*）”是“｛S,｝為遞增數(shù)列”

的充分不必要條件，故選項D正確，

故選：CD.

15.（2023?全國?高三專題練習(xí)）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個選項中正確的有（）

A.若數(shù)列｛%｝的前〃項和SM=加+加+c（a,b,C為常數(shù)）,則數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列

B.若數(shù)列｛4｝的前n項和S“=2n+'-2,則數(shù)列｛叫為等比數(shù)列

C.數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列，S”為前〃項和，則S,,,52Π-5I,,S3,,-邑“，…仍為等差數(shù)列

D.數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，S11為前〃項和，則S“，S2,,-Sn,S3,,-邑“，…仍為等比數(shù)列

【答案】BC

【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：

對于選項A：因為S“=卬尸+b〃+c,al=Sl=a+h+c,

22

當(dāng)“≥2時，all=S11-S,,.l=(^an+?n+c)-^z(n-l)+6(π-l)+cJ=2α?n+?-a,

a+b+c,(n=1),、

所以4,=c//、c\,所以只有當(dāng)c=。時,數(shù)列｛%｝成等差數(shù)列,故A錯誤；

2a-n+b-a?n≥2)

對于選項B：因為S,,=2向-2,al=S,=2,

n+,r,,

當(dāng)〃≥2時，?=?-S,,.,=(2-2)-(2-2)=2",當(dāng)〃=1時，al=2=2,符合上式，

所以4=2"，則數(shù)列｛%｝成等比數(shù)列，故BLE確；

對于選項C：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，S,為前〃項和，則S“，S2,,-S,,,S3n-52n,L是公差

為Md(d為｛%｝的公差)的等差數(shù)列，故C正確；

對于選項D：令??=(-1)",則S2,S4-52,56-54,c是常數(shù)列0,0,0,,顯然不是等比

數(shù)列，故D錯誤.

故選：BC.

16.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列｛4｝的公差和首項都不等于0,且％,a5,as

成等比數(shù)列，則下列說法正確的是()

A.B.?+?+?=2cd=2D.%=2d

1

a3+ai3a3+ai7

【答案】AD

【解析】由題設(shè)，若｛/｝的公差和首項分別為d，4,而a；=%為，

.?.(4+4d)2=(q+2d)(q+7d),整理得Old=2d?,又公差和首項都不等于0,

?'?g=2d,故D正確，c錯誤；

■：az+aw=2af,,

a+a+a_3a_3t∕+15J_21J_7

26w61故A正確，B錯誤.

a}+a4a3+α420l+5d9d3

故選：AD

17.(2023?全國?高三專題練習(xí))在公比4為整數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，S.是數(shù)列｛《｝的前〃項

和，若4+4=18,%+%T2,則下列說法正確的是()

A.q-2

B.數(shù)列｛S.+2｝是等比數(shù)列

C.S8=510

D.數(shù)列｛lg%｝是公差為2的等差數(shù)列

【答案】ABC

,

【解析】q+4=i8,a2+ai=12,β1(∣+?)=i8,4(9+^)=12,公比q為整數(shù).

解得4=9=2.

"2-1

St,+2=2"÷',數(shù)列⑸+2｝是公比為2的等比數(shù)列.

9

S8=2-2=510.

Igan="lg2.數(shù)列｛IgqJ是公差為Ig2的等差數(shù)列.

綜上可得：只有ABC正確.

故選：ABC.

三、填空題

18.(2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高三?？奸_學(xué)考試)在等差數(shù)列｛4｝中，公差d不為0,4=9,且

4，出，應(yīng)成等比數(shù)列，當(dāng)〃=時，數(shù)列｛%｝的前〃項和5“有最大值.

【答案】5

2

［解析】依題意，d=ala5,即(9+3d)=9χ(9+4d),整理得屋=_2d,而dH0,解得d=—2,

于是得4=4+("T)d=-2"+ll,顯然數(shù)列｛%｝是遞減等差數(shù)列，a5>0,a6<0,

所以當(dāng)〃=5時-，數(shù)列｛an｝的前“項和Sn有最大值.

故答案為：5.

19.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知｛%｝是等差數(shù)列，q=l,公差5“為其前〃項

和，若q,出，生成等比數(shù)列，則$8=.

【答案】64

【解析】因為％,?2.%成等比數(shù)列

2

.?.a；=aias,g∣J(1+J)=1+46/

解得d=2或&=0(舍)

Sii=8q+28d=8+28×2=64

故答案為：64

20.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列｛《,｝的公差不為零，且生,?3，與成等比數(shù)

則歲=

列,

a2+a4

【答案】］Q

【解析】因為等差數(shù)列｛〃〃｝的公差d不為零，則由以；=。2旬，

a4+a6_a5a2+3d6a2_8

知(生+辦=%(%+7d),d=5a21

a2+a4%生+d6的3

Q

故答案為：—.

21.(2023?全國?高三專題練習(xí))等差數(shù)列｛%｝的公差為2,前〃項和為S,,,若與，4，4構(gòu)

成等比數(shù)列，則S/I=.

【答案】?(?+!)

【解析】由題設(shè),a：=%%,則(q+6)2=(q+2)(q+14),可得q=2,

所以q=q+("-Dd=2”,故Szt=幽CJ="("+I).

故答案為：〃(〃+1)

22.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知正項等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S,,且仁=9,若

3出,〃仆59成等比數(shù)列，則等差數(shù)列的通項公式%=.

【答案】2n-l,fιwN.

【解析】等差數(shù)列｛a,l｝中Sg=9("；%)=9生，

設(shè)公差為d,=3a2?S9,

：.(%+91)2=3(%-3d).9%，

解得4=2或d=T3(舍)，

an=2n-?,neN+.

故答案為：2n-?,∏GN+

23.(2023?全國?高三專題練習(xí))公比不為1的等比數(shù)列｛4｝中，若4，%，小成等差數(shù)列，則

數(shù)列｛4“｝的公比為.

【答案】

【解析】山題意：｛%｝為等比數(shù)列，％，為，組成等差數(shù)列，則2%=4+%,??.2a∣q2=q+aq,

.?.2/=1+曬=1或4=一；，又因為等比數(shù)列｛4｝的公比不為1,???q=-g.

故答案為：

24.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，數(shù)列出｝是等比數(shù)列，4+%=肋,

始也=64,則-SF

【答案】?

【解析】由題意得2%=4+4=8%,

所以％=4萬,

h6h1hs=h.=M,

所以4=4,

所以?4?10=?7=16,

~.44;F（π?1

所以COS---------——=COS-----------=COS——=-

4—她O4-16I3）2'

故答案為：?

25.（2023?全國?高三專題練習(xí)）寫出同時滿足以下三個條件的數(shù)列｛a,,｝的一個通項公式4=

.①｛%｝不是等差數(shù)列，②｛。；｝是等比數(shù)列，③｛4｝是遞增數(shù)列.

【答案】2"

【解析】因忖｝是等比數(shù)列，令端=4",當(dāng)4>0時，α,,=2?Vn∈N?,?+l>?,｛α,,｝是遞

增數(shù)列，

令m,n,k是互不相等的三個正整數(shù)，且相<〃<A,若%,α,,,ak成等差數(shù)列，則%,+巴=2%,

即2'"+2*=2x2"，則有l(wèi)+2"w=2"+f,顯然4-加、”+1一切都是正整數(shù),2k~m<2"F都

是偶數(shù)，

于是得1+2"-'"是奇數(shù)，從而有1+2=2"*"'不成立，即品a不成等差數(shù)列，數(shù)列｛4｝

不成等差數(shù)列，

所以an=2”.

故答案為：T

26.（2023?全國?高三專題練習(xí)）等差數(shù)列｛q｝的公差為2,若內(nèi)，生，%成等比數(shù)列，則4=

【答案】4

【解析】由題意，a；=6,%=（4+S）?=（α∣+4）（α∣+14）nα∣=4.

故答案為：4.

27.（2023秋?北京石景山?高三統(tǒng)考期末）等比數(shù)列｛%｝中，4q,2%,%成等差數(shù)列，若

4=ι,則公比q=.

【答案】2

【解析】因為4《,2a2,4成等差數(shù)列,

所以402=03+4q,

可得4qg=qq2+4at,

因為q≠0,所以4g=∕+4,

解得：9=2,

故答案為：2.

28.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知等比數(shù)列｛4,,｝的前"項和S,,="+62”,且%，9,%成等

差數(shù)列，則a-b的值為.

【答案】-2

【解析】因為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和S,,=a+bT,

當(dāng)“≥2時；an=S,-S^=(a+h-T)-(a+h-T-')=h-X-'.

0

當(dāng)〃=1時，al=St=a+2b=b?2,

所以α+6=0①，

.又出,9,%成等差數(shù)列，

4

所以02+%=18,即2?+2?b=18②

.由①(§)解得α=-1力=1，

所以4-%=-2.

故答案為：-2

29.(2023春?北京?高三北京二中?？奸_學(xué)考試)等差數(shù)列｛《,｝中，4=1°且%，%，4。成

等比數(shù)列，數(shù)歹∣J｛%｝前20項的和邑。=—

【答案】200或330

【解析】設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,貝加=%-d=10-d,

aβ=aA+2d=1O+2J,<7IO=a4+6d=10+6J,

由“3，46,“10成等比數(shù)列，得Wlo=6C，

即(10-4)(10+64)=(10+2df,

整理得IOd2-1Od=0,解得"=O或4=1，

當(dāng)d=O時，S20=204=200；

當(dāng)d=1時,a1=a4-3d=10-3×l=7f

70×iQ

于是S2.=204+??d=20x7+190=330,

故答案為200或330.

30.(2023春?天津?高三校聯(lián)考階段練習(xí))等比數(shù)列｛4｝中，各項都是正數(shù)，且4,；。,,2%成

等差數(shù)列，則％'+α艮=.

?14+?15

【答案】√2-l

【解析】；等比數(shù)列｛4｝中，各項都是正數(shù)，且為,2%成等差數(shù)列，故公比夕為正數(shù)

且不等于1.

.a3=at+Ia2,即a4=α1+2a、q,

即為"-2g-l=0,解得g=l+λ∕i,

%+44%+頷J=6[

"?14+?15式%+%）q

故答案為：√2-l.

四、解答題

31.（2023春?上海普陀?高三曹楊二中校考階段練習(xí)）設(shè)S,,為數(shù)列｛《,｝的前〃項和，已知

S,,二——〃+mi.

“22

⑴證明：｛/｝是等差數(shù)列；

⑵若為，“7，%成等比數(shù)列,求S”的最小值.

2

【解析】⑴證明：因為5,=-g∕+g"+”4,,SP2Sn+n=2nan+n①,

2

當(dāng)“≥2時，2Sn,l+(?-1)=2(?-1)?-1+(n-1)②

22

①-②得,2S“+n-2S?_l-(n-1)=2nan+n-2(n-I)an.∣—(n—1),

即2afl+2n-l=2natl-2(n-\)alt_]+1,

即2(n-l)an-2(n-l)an,1=2(n-l),

所以%-?！ㄒ粅二1，Λ≥2?n∈N*?

所以｛%｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)可得∕=a∣+3,%=a∣+6,/=q+8,

又久,%,旬成等比數(shù)列，所以姆=%?%,

即(q+6)=(q+3)?(a∣+8),解得q=-12,

所以4r=-12+(〃-I)XI=力-13,

625

所以當(dāng)九=12或"=13時，Sn取得最小值，（Sjn,n=S12=S13=-X

32.(2023秋?江蘇無錫?高三統(tǒng)考期末)已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，公差d≠0,4

是4,小的等比中項,S5=25.

⑴求｛%｝的通項公式；

(2)若數(shù)列也｝滿足4=T,b,,+bn+l=sn,求%.

【解析】(1)設(shè)｛%｝公差為d,

ac

,gn??za'''^[4(4+12d)=(α∣+24)2

由題意得V5(5-1)-I7v',,

5a1+——-~-d=25q+2d=5

解得.?.%=l+2("-l)=2"-l.

/人(1+2H-1)∕I9C

(2)bn+%=---------=n-.①

仇+1+仇+2=(〃+1))②

②一①得，bn+2-bn=2n+i,

■；匕1=-1,；?d=2.

?20=?20-?l8+?18-?16+L+b4-b2+b2

(37+5)×9

=37+33+29+L+5+2=?^-------L—÷2=191.

2

33.(2023秋?重慶?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)已知等差數(shù)列｛4,,｝的前〃項和為S.，56=6?+9,

且即、如、必成等比數(shù)列.

⑴求明;

⑵求數(shù)列｛同｝的前20項和.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d，

山S6=6π1+9得601+154=6(α∣+2</)+9,解得d=3,

2

因為a；=4%，(β∣÷7^)=(?,+3J)(αl+51√),整理可得34∣+171=0,解得“=-17,

所以，an-ai+(rt-l)i/=-17+3(rt-l)=3rt-20.

(2)當(dāng)n≤6時，?=3n-20<0；當(dāng)“27時，?=3w-20>0.

所以，數(shù)列｛《,｝的前20項和為

/、/、(2+17)×6(l+40)×14C

-(4+4++?)+(d?+?++?o)=------2------+-------2------=344.

34.(2023,全國,高三專題練習(xí))己知數(shù)列｛”,,｝,aγ=3,a2=5,數(shù)列低｝為等比數(shù)列，滿

足b,,+∣=an+ibll-anbn,且打，2ai,b5成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝和｛2｝的通項公式；

巴，（"為奇數(shù)）

（2）記數(shù)列｛%｝滿足：Cll=P'為偶數(shù)j，求數(shù)列｛%｝的前2〃項和L.

【解析】（1）由題意，bll+l=a,^b,l-a,lbl,,al=3,a2=5,令〃=1得2々=%，又?jǐn)?shù)列電｝為

等比數(shù)列,所以%=2",即數(shù)列｛%｝為公比為2等比數(shù)列.

所以由bπ+l=an+λbn-aπbn可得2b,,=aπ+ibll-a,,bn即%-4=2,數(shù)列｛4｝是首項為3,公差為2

的等差數(shù)列，

數(shù)列｛a,J的通項公式：α,,=3+2(a-l)=2"+15wN*).

由打，24,々成等差數(shù)列，得：b2+b5=4a4,2?l+16?,=36,?,=2,有2=2".

2〃+1,（〃為奇數(shù)）

(2)由(1)知%=,,數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項是首項為3,公差為4的等差數(shù)

2",（〃為偶數(shù)）

列，偶數(shù)項是以首項為4,公比為4的等比數(shù)列.

τ/?,,,ι,?α〃(〃—1).4(1—4”)

豈“=(4+?3+α+???+?-∣)+z(fe+?+?÷???+?)=3"+----------4+—~--

5n2L1—4

4

=2n2+n+-(4β-l).

35.(2023秋?河北唐山?高三統(tǒng)考期末)已知｛可｝是等差數(shù)列，也｝是公比不為1的等比數(shù)

歹∣J,q=b[=2,?=b2,a5=?3.

⑴求數(shù)列｛4｝,也｝的通項公式；

⑵若集合M=｛∕J九=q,w,AeN*,且l≤Z4100｝,求〃中所有元素之和.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,等比數(shù)列｛2｝的公比為4,4*1,

q=4=2

依題意<2+d=2q,解得4=3,J=4.

2+4d=2∕

所以為=4〃-2也=2x3'i.

(2)設(shè)〃“=%,即2χ3MT=4"2,即3<=2"1,

因為1≤1≤100,所以1≤2"1≤199,βpi≤3",^l≤199.

由于3*V199<35,所以0≤，〃一1<4,解得l≤m≤5,m∈N*,

所以M中所有元素之和為2x(-3，)=242.

1-3

36.（2023秋?湖南長沙?高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）己知等比數(shù)列｛q｝的首項4=1,

公比為q,前W項和為s“，且其，邑，既成等差數(shù)列.

⑴求｛4｝的通項?！?；

（Qγγ—2k—]

（2）若2=;o,Λ∈N?,求｛%｝的前〃項和小

【解析】（1）若q=l,而首項4=1,則S3=3,S4+S5=9,2S3WS4+S5,不合題意，故4≠1.

則山2S3=S4+S5可得，2χ口=》+口n∕+g-2=0,所以q=-2,

?-q?