高中數(shù)學(xué)考試壓軸題講義-動點(diǎn)軌跡成曲線坐標(biāo)關(guān)系是關(guān)鍵（含答案）

專題2動點(diǎn)軌跡成曲線，坐標(biāo)關(guān)系是關(guān)鍵

【題型綜述】

1.動點(diǎn)軌跡問題解題策略一般有以下幾種：

(1)直譯法：一般步驟為：①建系，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；②設(shè)點(diǎn)，設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x,y);③列式，列出動

點(diǎn)P所礴尺的關(guān)系式；④代換，依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x,y的方程式，

并化簡；⑤證明，證明所求方程即為符合條件的動點(diǎn)軌跡方程.

(2)定義法：先根據(jù)條件得出動點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點(diǎn)的軌跡方程；

(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動點(diǎn)P(無，y)依賴于另一動點(diǎn)。(尤o,yo)的變化而變化，并且。(尤o,yo)又在某已知曲線

上，則可先用x,y的代數(shù)式表示尤o,州，再將電，澗代入已知曲線得要求的軌跡方程；

(4)參數(shù)法：當(dāng)動點(diǎn)尸(x,y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點(diǎn)可用時，可考慮將無，y均用一

中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程.

2.解軌跡問題注意：

(1)求點(diǎn)的?軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、

位置、大小等.

(2)要驗(yàn)證曲線上的點(diǎn)是否都滿足方程，以方程解為坐標(biāo)點(diǎn)是否都在曲線上，補(bǔ)上在曲線上而不滿足方程

解得點(diǎn)，去掉滿足方程的解而不再曲線上的點(diǎn).

【典例指引】

類型一代點(diǎn)法求軌跡方程

例112017課標(biāo)n,理】設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C：—+y2=l±,過M作x軸的垂線，垂足

2

為M點(diǎn)P滿足=

(1)求點(diǎn)尸的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且OPPQ=1。證明：過點(diǎn)P且垂直于。。的直線/過C的左焦點(diǎn)凡

【解析】

類型二定義法求軌跡方程

例2.1201-6高考新課標(biāo)1卷】設(shè)圓12+,2+2%—15=0的圓心為4直線/過點(diǎn)8(1,0)且與無軸不重合,/

交圓A于C,D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

(-D證明|E4|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

(II)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線G,直線/交Ci于MN兩點(diǎn)，過B且與I垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊

形面積的取值范圍.

【解析】

類型三參數(shù)法求軌跡方程

例3[2016高考新課標(biāo)in文數(shù)]已知拋物線C：=2x的焦點(diǎn)為歹，平行于x軸的兩條直線分別交C于

A3兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，。兩點(diǎn).

(I)若R在線段上，R是尸。的中點(diǎn)，證明AR//RQ；

(II)若APQE的面積是AA3R的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程.

【解析】

類型四直譯法求軌跡方程

例4.已知動圓c過點(diǎn)。。,0),且在y軸上截得的弦長為2.

(I)求圓心c的軌跡方程;

11

(II)過點(diǎn)。(1,0)的直線/交軌跡C于兩點(diǎn)，證明:-----------1-----------

例Z以「為定值，并求出

這個定值.

【解析】

點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題

涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、

定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).

【擴(kuò)展鏈接】

1.若一個圓G內(nèi)含于另一個圓。2，則與大圓內(nèi)切與小圓外切的圓的圓心的軌跡為一橢圓，兩圓的圓心為焦

點(diǎn)，其長軸長為兩圓半徑之和；

2.在一個圓內(nèi)有一點(diǎn)，則過該點(diǎn)且與已知圓相切的圓的圓心的點(diǎn)的軌跡為一橢圓，且其長軸長為已知圓的

半徑。

3.過兩點(diǎn)的兩條直線的斜率之積為一負(fù)常數(shù)加的點(diǎn)的軌跡為一橢圓（兩點(diǎn)除外）。兩定點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)，

兩定點(diǎn)間的距離為長軸長。（-1（加＜0時，焦點(diǎn)在X軸上；當(dāng)加＜-1時，焦點(diǎn)在y軸上）

4.將圓的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）拉伸或縮短為原來的加倍，該圓變成橢圓；

5.連接圓內(nèi)一定點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)的線段的垂直平分線與圓上該點(diǎn)到圓心的連線的交點(diǎn)的軌跡為一橢圓。方

橢圓的長半軸與圓的半徑長相等；

6.兩個同心圓較大圓上任一點(diǎn)與圓心的連線與小圓交于一點(diǎn)，從大圓上該點(diǎn)作x軸的垂線，則過小圓交點(diǎn)

向該垂線作垂線，其垂足的點(diǎn)的軌跡為橢圓。

【新題展示】

1.12019河南鄭州一模（節(jié)選）】設(shè)M點(diǎn)為圓c：x2+y2=4上的動點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上的投影為N,動點(diǎn)P滿足

2PN=7^MN,動點(diǎn)P的軌跡為E.

（I）求E的方程;

【思路引導(dǎo)】

（I）設(shè)尸（x,y）,M（xo,yo）,由已知條件建立二者之間的關(guān)系，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法可得軌跡方程；

22

2.12019四川綿陽二診】己知橢圓C：++上二1的左右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,直線1：y=kx+m與橢圓C交

84

于A,B兩點(diǎn).O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若直線1過點(diǎn)Fi,且IAF2I十IBF2I=吧2求直線1的方程；

3

（2）若以AB為直徑的圓過點(diǎn)。，點(diǎn)P是線段AB上的點(diǎn)，滿足OPLAB,求點(diǎn)P的軌跡方程.

【思路引導(dǎo)】

⑴設(shè)4（尤1,力），2（尤2,”）.聯(lián)立12V=?+2）'整理得（1+2公）爐+8入+8q一8=0.根據(jù)弦長公式四|=峽,

"（x+2y-8=0,3

1+k22

代入整理得-----=-，解得k=±l.得到直線/的方程.

l+2k23

v—kx+m,

22'整理得（2N+l）N+4左mx+2M2-8=0.結(jié)

!x+2y-8=0,

-_8

合韋達(dá)定理及條件OA-OB二0,整理得3根2=8N+8.從而有|0尸F(xiàn)=-（定值），得到點(diǎn)尸的軌跡是圓，且去掉

3

圓與x軸的交點(diǎn).寫出點(diǎn)尸的軌跡方程即可.

3.12019安徽江南十校第二次聯(lián)考】已知兩個定點(diǎn)A（T,0），B（2,0）,動點(diǎn)P（x,y）到點(diǎn)A的距離是它到點(diǎn)B距離

的2倍.

(1)求P點(diǎn)的軌跡E；

(2)若過點(diǎn)C(l,l)作軌跡E的切線，求此切線的方程.

【思路引導(dǎo)】

(1)利用兩點(diǎn)間的距離公式列方程，化簡后可求得軌跡E的方程.(2)由于軌跡E是圓，故設(shè)切線方程為點(diǎn)

斜式，然后利用圓心到直線的距離等于半徑列方程，求得切線的斜率.驗(yàn)證斜率不存在時直線也滿足題意,

由此求得題目所求的切線方程，有兩條.

411

4.12019湖北黃岡、華師附中等八校聯(lián)考(節(jié)選)】已知點(diǎn)F(4,0),H(—,0),△ABC的兩頂點(diǎn)A(-2,0),B(一,0),

82

且點(diǎn)C滿足|CA|=2|CB|

(1)求動點(diǎn)C的軌跡方程；

⑵設(shè)J=(5,0),，=(0,3),0c'=(>6c,b-6c)，求動點(diǎn)C’的軌跡方程；

【思路引導(dǎo)】

(1)設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)，代入|CA|=2|CB|,化簡后求得動點(diǎn)C的軌跡方程.(2)設(shè)出c'點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量相等

列方程，轉(zhuǎn)化為C的坐標(biāo)，代入(1)中的方程可求得c'的方程.

5.【2019廣東江門調(diào)研(節(jié)選)】在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，A(-2,0),B(2,0),P為不在x軸上的動點(diǎn)，直線PA、

PB的斜率滿足kpA(<pB=---

(1)求動點(diǎn)P的軌跡「的方程；

【思路引導(dǎo)】

1

(1)設(shè)P(x,y),將kpAkpB=--利用斜率公式進(jìn)行化簡整理即可得點(diǎn)P軌跡方程；

6.12019廣西柳州1月模擬(節(jié)選)】已知點(diǎn)F(-1,0),直線I：x=-4,P為平面內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線I的

垂線，垂足為點(diǎn)H,且?F-?(PF+；巾)=0.

(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；

【思路引導(dǎo)】

(1)設(shè)動點(diǎn)P(x,y),則H(-4,y),由『F-；pj4a+=0展開計(jì)算得到x,y的關(guān)系式即可；

【同步訓(xùn)練】

1.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點(diǎn)/(1,0),直線/：%=—1,點(diǎn)p在直線/上移動，R是線段PF與y

軸的交點(diǎn),年王點(diǎn)區(qū)做點(diǎn)Q滿足：RQ^FP,PQll.

（1）求動點(diǎn)Q的軌跡的方程；

（2）記。的軌跡的方程為E,過點(diǎn)廠作兩條互相垂直的曲線E的弦AB.CD,設(shè)AB.CD的中點(diǎn)分

別為M,N.問直線MN是否經(jīng)過某個定點(diǎn)？如果是，求出該定點(diǎn)，如果不是，說明理由.

【思路引導(dǎo)】（1）由已知條件知，點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，RQ是線段FP的垂直平?分線，點(diǎn)Q的軌跡E是

以F為焦點(diǎn)，1為準(zhǔn)線的拋物線，寫出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)出直線AB的方程，把A、B坐標(biāo)代入拋物線方程，再利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可得N

的坐標(biāo)，求出直線MN的斜率，得到直線MN的方程并化簡，可看出直線MN過定點(diǎn).

【詳細(xì)解析】

2.已知點(diǎn)4為圓/+/=8上一動點(diǎn)，4N1X軸于點(diǎn)N,若動點(diǎn)Q滿足的=加（以+（1—㈤力V（其中m為非零常

數(shù)）

（1）求動點(diǎn)Q的軌跡方程；

（2）若「是一個中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且面積為8的正方形，當(dāng)m=｝時，得到動點(diǎn)Q的軌跡為曲線

C,過點(diǎn)P（-4,0）的直線均曲線C相交于瓦F兩點(diǎn)，當(dāng)線段EF的中點(diǎn)落在正方形F內(nèi)（包括邊界）時，求直線I斜

率的取值范圍.

【思路引導(dǎo)】（-1）由相關(guān)點(diǎn)法得到Q點(diǎn)軌跡；（2）求出線段E,F中點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)G在正方形F內(nèi)（包括邊界）的

4k8k2

,,,--------n-----------2+2,

條件是|"“叱即1+曹1授，解出來即可.

[V>-x-2,4k8k

------>--------2,

,1+2廿1+2k2

【詳細(xì)解析】

3.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知定圓M:（x+l『+y2=36,動圓N過點(diǎn)E（l,0）且與圓加相切，記

動圓圓心N的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)設(shè)AP是曲線C上兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為3(異于點(diǎn)P),若直線AP,5P分別交x軸

于點(diǎn)S,T,證明：|OS|.|OT|為定值.

【思路引導(dǎo)】(1)由兩圓關(guān)系得等量關(guān)系+=再根據(jù)橢圓定義確定軌跡形狀及

標(biāo)準(zhǔn)方程，(2)解析幾何中定值問題，往往通過計(jì)算給予證明，先設(shè)坐標(biāo)，列直線方程，求出與工

軸交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)在橢圓上這一條件進(jìn)行代入消元，化簡計(jì)算為定值.

【詳細(xì)解析】

13

4.己知圓C］：*2+y2=「2(r>0)與直線by=］久+相切，點(diǎn)4為圓C］上一動點(diǎn)，4VJ.X軸于點(diǎn)N,且動點(diǎn)M滿

足。％+2扇=(2遂-2)血，設(shè)動點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求動點(diǎn)M的軌跡曲線C的方程；

(2)若直線I與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)P、Q且滿足以PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)。，求線段PQ長度的取值范

圍.

【思路引導(dǎo)】(1)由圓。/2+'2=戶”>0)與直線=在相切，可得「=望^=3.然后設(shè)動點(diǎn)

M(x,y)4(x0,y0),即可求解.

(2)設(shè)出直線珀勺，分斜率存在和不存在兩種情形，以-PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)。可轉(zhuǎn)化為麗?而=0.再

把直線方程和橢圓方程?聯(lián)立

【詳細(xì)解析】

2

5.己知橢圓亍+丁=1,過點(diǎn)”(—1,0)作直線/交橢圓于A5兩點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求中點(diǎn)尸的軌跡方程；

(2)求A04B的面積的最大值，并求此時直線/的方程.

【思路引導(dǎo)】(1)利用點(diǎn)差法，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求中點(diǎn)尸的軌跡方程；

(2)令/:x=/zy-1代入尤2+4>2=4,利用韋達(dá)定理，表示出A04B面積，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求

A04B面積的最大值?，及此時直線/的方程.

【詳細(xì)解析】

6.已知圓。:/+y=4與％軸交于A3兩點(diǎn)，點(diǎn)加為圓。上異于A3的任意一點(diǎn)，圓。在點(diǎn)M處

的切線與圓。在點(diǎn)A3處的切線分別交于C,。，直線AD和交于點(diǎn)P,設(shè)尸點(diǎn)的軌跡為曲線E.

A|一、JO?

\二__^

U—1;

(1)求曲線E的方程；

(2)曲線E與y軸正半軸交點(diǎn)為H,則曲線E是否存在直角頂點(diǎn)為H的內(nèi)接等腰直角三角形

RtAGHK,若存在，求出所有滿足條件的&AGHK的兩條直角邊所在直線的方程，若不存在，請

說明理由.

【思路引導(dǎo)】(1)設(shè)皿冊")，則M處的切線為％x+yQ=4,切線CD與AC,BD組方程組可求得C,D點(diǎn)

坐標(biāo)，再直線AD,BC組方程組，解點(diǎn)交點(diǎn)P軌跡方程。注意消參，需要用到點(diǎn)M在圓上。同時注意曲線

方程變量范圍。⑵設(shè)G：丁=履+1，則/儂：＞=一5x+1，/GH與橢,圓組方程組，可求得GH,同理求

k

得HK,再利用GH=HK進(jìn)行分類討論。

【詳細(xì)解析】

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)耳卜6,0),圓&:必+V一26工一13=0,以動點(diǎn)尸為圓心的圓經(jīng)過

點(diǎn)片，且圓尸與圓鳥內(nèi)切.

(I)求動點(diǎn)尸的軌跡E的方程；

(II)若直線/過點(diǎn)(1,0)，且與曲線E交于A3兩點(diǎn)，則在1軸上是否存在一點(diǎn)。(7,0)(/。0),使得％軸

平分NADB?若存在，求出/的值；若不存在，?請說明理由.

【思路引導(dǎo)】⑴根據(jù)兩圓內(nèi)切得|產(chǎn)用+伊鳥|=4,再根據(jù)橢圓定義得動點(diǎn)P的軌跡E的方程；⑵工軸

平分就是直線的斜率相反，設(shè)直線/：x="y+l,根據(jù)斜率坐標(biāo)公式得

2狙］%+(17)(%+%)=0，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理代入化簡可得

”9-4)=0,即得/=4.

【詳細(xì)解析】

8.已知點(diǎn)A(l,0)、6(4,0),動點(diǎn)p滿足|尸目=2歸山，設(shè)動點(diǎn)尸的軌跡為曲線C,將曲線C上所有點(diǎn)的

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄瑱M坐標(biāo)不變，得到曲線E.

（1）求曲線￡1的方程；

（2）A3是曲線E上兩點(diǎn)，且|AB|=2,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AAOB面積的最大值.

【思路引導(dǎo)】⑴由直接法,即利用坐標(biāo)表示條件|「目=2|尸山，并化簡可得Y+>2=4,再根據(jù)伸縮變換

得曲線E的方程為二+丁2=1.（2）設(shè)直線A3方程為：y^kx+t,由點(diǎn)到直線距離公式可得三角形高

4-

d1“

d=r-^,由三角形面積公式可得5=彳*24=利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)

J1+左22J1+42

定理及弦長公式可得r=,代入消元可得S一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值.

【詳細(xì)解析】

9..已知點(diǎn)A3的坐標(biāo)分別為（-后,0）,（、回,0）,直線AM,3"相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是-g,

點(diǎn)M的軌跡為曲線E.

（I）求E的方程;

（H）過點(diǎn)尸（1,0）作直線/交曲線E于P,Q兩點(diǎn)，交V軸于R點(diǎn)，若RP=4PF,RQ=X2QF,證明:

4+辦為定值.

【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)出動點(diǎn)M坐標(biāo)為（x,y）,把斜率之積用坐標(biāo)表示出來化簡可得E的方程（注意有些點(diǎn)

不合要求）；

（2）解析幾何中的定值問題，設(shè)點(diǎn)P,Q,R的坐標(biāo)分別為尸,Q（%,%），氏（°，%）?由尺尸=4尸尸，

可求得玉,力,并代入曲線E的方程，得4的方程，同理得4的方程，這樣發(fā)現(xiàn)4,劣是方程

X2+4X+2-2y0?=0的兩個實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可得4+右.

【詳細(xì)解析】

22

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，”（再，%），N（X2,為）是橢圓亍+]=1上的點(diǎn)，且占工2+2%%=0，設(shè)動

點(diǎn)P滿足OP=OM+2ON.

（1）求動點(diǎn)P的軌跡C方程;

（2）若直線/：y=x+m（根RO）與曲線C相交于A,8兩個不同點(diǎn)，求AOAB面積的最大值.

22

【思路引導(dǎo)】（1）利用向量關(guān)系OP=OM+2ON可得動點(diǎn)P的軌跡C的方程為—+^=1.

2010

（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程可得面積函數(shù)S^BC9義,蘇義,。―病）/^義療+（：—療）=50,注

意等號成立的條件.

【詳細(xì)解析】

11.已知圓C：（x—1），/=/（r>i）,設(shè)A為圓C與％軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓C的弦AM,

并使弦AM的中點(diǎn)恰好落在y軸上.

（I）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；

（?II）延長交曲線后于點(diǎn)N,曲線石在點(diǎn)N處的切線與直線AM交于一點(diǎn)8,試判斷以點(diǎn)5為圓心,

線段長為半徑的圓與直線MN的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【思路引導(dǎo)】（1）由題意得A（l一—,0）,設(shè)中點(diǎn)為。［0,］：則

CD1AM^CDAM=Q得到關(guān)于的方程就是點(diǎn)M的軌跡E的方程.（2）設(shè)直線的方程為

%=沖+1,求出直線4舷、BN的方程并聯(lián)立得到3點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)距離公式求出怛。再由點(diǎn)8到直線

MN的距離公式求出距離d,d=\BD\，則線段BC長為半徑的圓與直線MN相切.

【詳細(xì)解析】

12.已知點(diǎn)〃（-3,0）,點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)N在直線尸。上，且滿足

MPPN=0,PN=^NQ.

（1）當(dāng)點(diǎn)尸在y軸上移動時，求點(diǎn)N的軌跡c的方程；

（2）過點(diǎn)T［-g,。］做直線/與軌跡C交于A3兩點(diǎn)，若在工軸上存在一點(diǎn)E（x0,0）,使得AAE3是以點(diǎn)

E為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求直線/的斜率上的取值范圍.

【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)動點(diǎn)N（x,y）,由于點(diǎn)P在丁軸上，點(diǎn)Q在光軸的正半軸上，于是可以根據(jù)條件

尸N=gNQ表示出p[o,￡],Q（3x,O）,再根據(jù)〃尸.網(wǎng)=0,坐標(biāo)表示后整理可求出N點(diǎn)的軌跡方程，

注意曲線上點(diǎn)坐標(biāo)的取值范圍；

（2）由題分析，直線/的斜率顯然存在且不為0,于是可設(shè)/方程為y=+左。0）,與曲線C的方

程聯(lián)立，消去未知數(shù)x,得到關(guān)于y的一元二次方程，設(shè)于是得出力+%,%%，

根據(jù)弦長公式求出\AB\,若在x軸上存在一點(diǎn)￡（xo,O）,使得AAE3是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則點(diǎn)F

到％軸的距離不大于3M耳，轉(zhuǎn)化為關(guān)于左的不等式，可以求出取值范圍.

【詳細(xì)解析】

專題2動點(diǎn)軌跡成曲線，坐標(biāo)關(guān)系是關(guān)鍵

【題型綜述】

1.動點(diǎn)軌跡問題解題策略一般有以下幾種：

(2)直譯法：一般步驟為：①建系，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；②設(shè)點(diǎn)，設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x,y);③列式，列出動

點(diǎn)P所.滿足的關(guān)系式；④代換，依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x,y的方程式，

并化簡；⑤證明，證明所求方程即為符合條件的動點(diǎn)軌跡方程.

(2)定義法：先根據(jù)條件得出動點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點(diǎn)的軌跡方程；

(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動點(diǎn)尸(無，y)依賴于另一動點(diǎn)。(無o,阿的變化而變化，并且Q(xo,yo)又在某已知曲線

上，則可先用x,y的代數(shù)式表示xo,外，再將xo,以代入已知曲線得要求的軌跡方程；

(4)參數(shù)法：當(dāng)動點(diǎn)尸(無，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點(diǎn)可用時，可考慮將x,y均用一

中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程.

2.解軌跡問題注意：

(1)求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、

位置、大小等.

(2)要驗(yàn)證曲線上的點(diǎn)是否都滿足方程，以方程解為坐標(biāo)點(diǎn)是否都在曲線上，補(bǔ)上在曲線上而不滿足方程

解得點(diǎn)，去掉滿足方程的解而不再曲線上的點(diǎn).

【典例指引】

類型一代點(diǎn)法求軌跡方程

例1【2017課標(biāo)H,理】設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C：萬+/=1上，過M作無軸的垂線，垂足

為M點(diǎn)P滿足=

(2)求點(diǎn)尸的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)。在直線x=-3上，且=證明：過點(diǎn)P且垂直于0。的直線/過C的左焦點(diǎn)凡

【解析】⑴設(shè)尸刀(如先)：設(shè)N(毛,0),NP=(x-%=

由點(diǎn)=&而7得毛=乂盟=坐j。

21

因?yàn)椤埃ㄈ鏙'o）在C上，所以+1=

因此點(diǎn)P的軌跡方程為k+/=2。

（2）由題意知尸（一1,0）。設(shè)Q（—31）,尸（加間,則

OQ=（^-3,t^PF=（-1一m,-n）,OQ?PF=3+3m-tn,

OP=（m,n）,PQ=（一3—機(jī)/一〃）。

由QP?PQ=1得一3加一加2+m一〃2=1,又由（1）知用2+〃2=2,故

3+3m-tn=0o

所以0。,尸尸=0,即。。，夕尸。又過點(diǎn)尸存在唯一直線垂直于O。，所以過點(diǎn)尸且垂直于。。的直線/過

C的左焦點(diǎn)尸。學(xué)科&網(wǎng)

類型二定義法求軌跡方程

例2.【2016高考新課標(biāo)1卷】設(shè)圓九2+,2+2X—15=0的圓心為4直線/過點(diǎn)8（1,0）且與無軸不重合』

交圓A于CQ兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

（I）證明|EA|+怛同為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線G,直線/交Ci于兩點(diǎn)，過B且與I垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊

形MPNQ面積的取值范圍.

【解析】（I）因?yàn)閨XD曰4CI,E5//4C,故ZEBD=NACD=ZADC,

所以|屆故|E4|+|W|=|E4|+|EDR4D|.

又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x++y2=16從而|拉）|=4于斤以|EA\+\EB\=A.

由題設(shè)得4-1：0）,3（1,0）」1=2：由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為：

y+y=l＜J*0）.

（II）當(dāng)/與x軸不垂直時,設(shè)/的方程為＞=奴工-1）（kH0）,,M（XI，M）,N（X2,乃＞

y=A(x-l)

22

由《/i，2得(4標(biāo)+3)x-8公x+4k-12=0.

—+—=1

43

8k2_4左2—12

貝1J再+/=

—4/+3

所以|MN|=J1+K|凡—%1=1箕：；)

過點(diǎn)5(1,0)且與I垂直的直線m：y=--(x-l),A到m的距離為,2，所以

k"2+1

IPQ|=2^42-(-^==)^=4H.故四邊形MPNQ的面積

可得當(dāng)I與X軸不垂直時,四邊形MPNQ面積的取值范圍為［12,873).

當(dāng)/與x軸垂直時，其方程為x=1.||=3,|P。|=8,四邊形MPNQ的面積為12.

綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為［12,88).學(xué)科&網(wǎng)

類型三參數(shù)法求軌跡方程

例3(2016高考新課標(biāo)III文數(shù)］已知拋物線C：/=2%的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線IJ分別交C于

A5兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于.P,Q兩點(diǎn).

(D若F在線段上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR//FQ；

(II)若APQR的面積是AA3R的面積的兩倍，求A3中點(diǎn)的軌跡方程.

【解析】由題設(shè)下(；。).設(shè)。沙=。4"'=6,則劭工0,目

，吟,0),吟冷尸(_*)?(—;圾.

工工工工/工

記過A,B兩點(diǎn)的直線為7,貝心的方程為2x-(a+b)y+ab=Q........3分

(I)由于尸在線段上，故1+而=0.

記⑷?的斜率為左，廢的斜率為無2,則左=9二匕=孑心-=工=出=-6=%，

1+a'cT—abaa

所以4rAF。...........5分

（U）設(shè)/與x軸的交點(diǎn)為。（再⑨，

則SAABF=510—dED|=510一。山—5，SAPQF=L-^1-

11I1\ci—b\

由題設(shè)可得萬心―4再—萬=\i,所以王=0（舍去），西=1.

設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為E（x,y）.

當(dāng)AB與x軸不垂直時，由&B=左原可得——=」-（xwl）.

a+bx-1

而—=y,所以V=x—l（xwl）.學(xué)科&網(wǎng)

當(dāng)A3與1軸垂直時，E與D重合，所以，所求軌跡方程為V=x—1....12分

類型四直譯法求軌跡方程

例4.已知動圓C過點(diǎn)Q（1,O）,且在y軸上截得的弦長為2.

（I）求圓心C的軌跡方程；

（II）過點(diǎn)Q（1,O）的直線/交軌跡C于4（芯,乂）,8（々,%）兩點(diǎn)，證明：J而+「審為定值，并求出

I丫八|I丫刀I

這個定值.

【解析】（I）設(shè)動圖圓心c坐標(biāo)為（XJ）,

由題意得：動圓半徑廠=+）二

圓心到1軸的距離為卜I,

依題意有N2+l2=（g］『+y2j,

化簡得V2=2x,即動圓圓心C的軌跡方程為：V'2=2x

（ID①當(dāng)直線/的斜率不存在，則直線/的方程為：x=l

{:二得/=（L0）1（L-"|

y-xx

所以|04|=|2同=&,故1。+占=1為定值.

\QAf\QB\

②當(dāng)直線/的斜率存在，則設(shè)直線/的方程為：），=左（》一1）（左工0）,

{'，（”“得左型-（2左2+2）x+無°=0,所以再+。=21y：再吃=1,

y=2xk

即」T=----------^5--------+----------n--------，

以|例（--1）+4（?一1）+月

2

又點(diǎn)/（再/）雙孫丹）在拋物線丁=2x上，所以療=2xv2=2巧，

T曰1111

于XE:+p-=-----i-----1------i-----

以I磔『（再—1）+2不優(yōu)—1）+2七

11_再2+巧2+2

再，+1巧，+1再，-引+（xj+巧1+1

西.+乂-+2.

=—^=1.

項(xiàng)，+W，+2

綜合①②＞■—p-+-—-2為定值，目定值為1-

IMI。葉

點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉

及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定

值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).

【擴(kuò)展鏈接】

1.若一個圓G內(nèi)含于另一個圓。2,則與大圓內(nèi)切與小圓外切的圓的圓心的軌跡為一橢圓，兩圓的圓心為焦

點(diǎn)，其長軸長為兩圓半徑之和；

2.在一個圓內(nèi)有一點(diǎn)，則過該點(diǎn)且與已知圓相切的圓的圓心的點(diǎn)的軌跡為一橢圓，且其長軸長為已知圓的

半徑。?

3.過兩點(diǎn)的兩條直線的斜率之積為一負(fù)常數(shù)〃？的點(diǎn)的軌跡為一橢圓（兩點(diǎn)除外）。兩定點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)，

兩定點(diǎn)間的距離為長軸長。（-1〈根＜0時，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)機(jī)＜-1時，焦點(diǎn)在y軸上）

4.將圓的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）拉伸或縮短為原來的加倍，該圓變成橢圓；

5.連接圓內(nèi)一定點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)的線段的垂直平分線與圓上該點(diǎn)到圓心的連線的交點(diǎn)的軌跡為一橢圓。方

橢圓的長半軸與圓的半徑長相等；

6.兩個同心圓較大圓上任一點(diǎn)與圓心的連線與小圓交于一點(diǎn)，從大圓上該點(diǎn)作x軸的垂線，則過小圓交點(diǎn)

向該垂線作垂線，其垂足的點(diǎn)的軌跡為橢圓。

【新題展示】

1.12019河南鄭州一模(節(jié)選)】設(shè)M點(diǎn)為圓(：/+丫2=4上的動點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上的投影為N,動點(diǎn)P滿足

2PN=4MN,動點(diǎn)P的軌跡為E.

(I)求E的方程;

【思路引導(dǎo)】

(I)設(shè)尸(x,y),M(尤o,州)，由已知條件建立二者之間的關(guān)系，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法可得軌跡方程；

【解析】

(I)設(shè)點(diǎn)。僅0，丫0),P(x,y),由題意可知N(Xo,O)

2PN=抑/IN，2(x0-x,-y)=向0,-y0),

2

即X0=X,y0=-y

又點(diǎn)M在圓c/+y?=4上XQ+YQ=4

22

代入得上+上=1

43

22

即軌跡E的方程為L+上=i

43

22

2.12019四川綿陽二診】己知橢圓C：上+上二1的左右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,直線1：y=kx+m與橢圓C交

84

于A,B兩點(diǎn).O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若直線1過點(diǎn)Fi,且IAF2I十IBF2I=理2求直線1的方程；

3

(2)若以AB為直徑的圓過點(diǎn)O,點(diǎn)P是線段AB上的點(diǎn)，滿足OP_LAB,求點(diǎn)P的軌跡方程.

【思路引導(dǎo)】

82.

(1)設(shè)A(xi,yi),B(X2,”).聯(lián)立(2，管+2,整理得(1+2R)尤2+8/X+8R-8=0.根據(jù)弦長公式|4同=工

(x+2y-8=0,3

1+k2―

代入整理得-----=-，解得k=±l.得到直線/的方程.

1+21?3

V—kx+m,

22整理得(2N+l)N+4bnx+2zn2_8=0.結(jié)

{x+2y-8=0,

--8

合韋達(dá)定理及條件OA-OB=0,整理得3加2=8N+8.從而有|。尸F(xiàn)=-(定值)，得到點(diǎn)尸的軌跡是圓，且去掉

3

圓與x軸的交點(diǎn).寫出點(diǎn)尸的軌跡方程即可.

【解析】

82

(1)由橢圓定義得ABI+IAb2什固尸2|二4折8c,則|)引=工

3

因?yàn)橹本€/過點(diǎn)為(-2,0),所以根二2左即直線/的方程為產(chǎn)網(wǎng)x+2).

設(shè)A(xi,yi),B(X2,”).

聯(lián)立[2V=+2)'整理得(1+2N)X2+8FX+8N_8=0.

|x+2y-8=0,

_KKKK_a?-------------------------------------------gJ

22

X1+X2=---------，X1X2=------.由弦長公式|AB|=1(1+k)[(xx+x2)-4X1X2]=一

l+2k2l+2k2,3

1+k22

代入整理得-----=-,解得k=±l.所以直線/的方程為y=±(x+2),

l+2k23

BPx-y+2=0或x+y+2=0.

(2)設(shè)直線/方程尸fcv+根，A(xi,yi),8(x2,yi).

聯(lián)立!?及：m，整理得(242+1)x2+4的1￥+2/-8=0.

(x+2y-8=0,

-4km2m2-8--

Xi+X2=---------,X1X2=------.以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O,即OA?OB=0.

2k+12k2+1

OA?OB=?12+”丁2=0.將yi=履i+根，/二區(qū)2+根代入，整理得

-4km2m2-8、

(1+^2)XlX2+/：m(Xl+%2)+m2=0.將Xl+X2=----------，X1X2=------代入，

2k2+12k2+1

整理得3加2=8F+8.?.?點(diǎn)P是線段48上的點(diǎn)，滿足。P1AB,

一m8

設(shè)點(diǎn)。到直線A8的距禺為d,???\OP\=d,于是|0尸|2=解=——=-(定值),

k2+13

點(diǎn)尸的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，J為半徑的圓，且去掉圓與X軸的交點(diǎn).

,,8

故點(diǎn)P的軌跡方程為x+y=-(ywO).

3

3.12019安徽江南十校第二次聯(lián)考】已知兩個定點(diǎn)A(-l,0),B(2,0),動點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A的距離是它到點(diǎn)B距離

的2倍.

(1)求P點(diǎn)的軌跡E；

(2)若過點(diǎn)C(l,l)作軌跡E的切線，求此切線的方程.

【思路引導(dǎo)】

(1)利用兩點(diǎn)間的距離公式列方程，化簡后可求得軌跡E的方程.(2)由于軌跡E是圓，故設(shè)切線方程為點(diǎn)

斜式，然后利用圓心到直線的距離等于半徑列方程，求得切線的斜率.驗(yàn)證斜率不存在時直線也滿足題意,

由此求得題目所求的切線方程，有兩條.

【解析】

2222

⑴設(shè)動點(diǎn)P(x,y),則|PA|=2|PB|,坐標(biāo)代入得：J(x+l)+y=2j(X-2)+y>

化簡得：(x-3『+y2=4

所以動點(diǎn)P的軌跡E是以(3,0)為圓心，以2為半徑的圓；

(2)設(shè)1:丫-1=「-1)是圓￡的切線,則有:

|2k+1|3

Jk2+14

當(dāng)k不存在時，l:x=l恰好與圓E切于(2,0)點(diǎn)，

綜合得：切線方程為：*=1或3乂-4丫+1=0.

411

4.【2019湖北黃岡、華師附中等八校聯(lián)考(節(jié)選)】已知點(diǎn)F(4,0),H(—,0),△ABC的兩頂點(diǎn)A(-2,0),B(一,0),

82

且點(diǎn)C滿足|CA|=2|CB|

(1)求動點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)設(shè)J=(5,0),，=(0,3),OC'=(1?6c,B?6c)，求動點(diǎn)c'的軌跡方程；

【思路引導(dǎo)】

(1)設(shè)出C點(diǎn)的坐標(biāo)，代入|CA|=2|CB|，化簡后求得動點(diǎn)C的軌跡方程.(2)設(shè)出c'點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量相等

列方程，轉(zhuǎn)化為C的坐標(biāo)，代入(1)中的方程可求得c'的方程.

【解析】

22

(1)設(shè)動點(diǎn)C(x,y),其中ywO.由J(x+2y+y?=2(x+,+y?得:x+y=Q)

x

'_X-'2'2

⑵設(shè)點(diǎn)c'(x,y')，由x=5x,得5代入⑴中的方程得：L+L=

(y=3y,1y259

y=-

3

即曲線c'的軌跡方程為上+-=l(y#O).

259

5.12019廣東江門調(diào)研(節(jié)選)】在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，A(-2,0),B(2,0),P為不在x軸上的動點(diǎn)，直線PA、

1

PB的斜率滿足kpA(<pB=―-

(1)求動點(diǎn)P的軌跡「的方程；

【思路引導(dǎo)】

1

(1)設(shè)P(x,y),將kpAkpB=--利用斜率公式進(jìn)行化簡整理即可得點(diǎn)P軌跡方程；

【解析】

yV1

(1)設(shè)P(x,y)為軌跡「上任意一點(diǎn)，依題意，——X——

x+2X-24

2

整理化簡得：-+y=l(y^0)

4

6.12019廣西柳州1月模擬(節(jié)選)】已知點(diǎn)F(-1Q),直線l：x=-4,P為平面內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線I的

垂線，垂足為點(diǎn)H,且(PF-；曲)?(PF+；由)=0.

(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；

【思路引導(dǎo)】

(1)設(shè)動點(diǎn)P(x,y),則H(-4,y),由(PF-；叫屈+:力=0展開計(jì)算得到x,y的關(guān)系式即可；

【解析】

(1)設(shè)動點(diǎn)P(x,y),則H(-4,y),由(PF-；巾］(詬+:力=0,則而2=:而2,

所以(x+1)+y=-|x+4|,，化簡得++上=1.

故點(diǎn)P的軌跡c的方程為1+上=1.

43

【同步訓(xùn)I練】

1.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點(diǎn)/(1,0),直線/：%=-1,點(diǎn)P在直線/上移動，R是線段「歹與y

軸的交點(diǎn),—異壬點(diǎn)尺的點(diǎn)Q滿足：RQLFP,PQLI.

(1)求動點(diǎn)。的軌跡的方程；

(2)記。的軌跡的方程為E,過點(diǎn)歹作兩條互相垂直的曲線E的弦AB.CD,設(shè)AB.CD