統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布

統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布2024/3/25統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關(guān)于錢(qián)糧、戶口、地震、水災(zāi)等等的記載，說(shuō)明人們很早就開(kāi)始了統(tǒng)計(jì)的工作.但是當(dāng)時(shí)的統(tǒng)計(jì)，只是對(duì)有關(guān)事實(shí)的簡(jiǎn)單記錄和整理，而沒(méi)有在一定理論的指導(dǎo)下，作出超越這些數(shù)據(jù)范圍之外的推斷.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布到了十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，隨著近代數(shù)學(xué)和概率論的發(fā)展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)這門(mén)學(xué)科.數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門(mén)應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科.它是研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對(duì)所考察的問(wèn)題作出推斷和預(yù)測(cè)，直至為采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)是應(yīng)用面廣，分支較多.社會(huì)的發(fā)展不斷向統(tǒng)計(jì)提出新的問(wèn)題.計(jì)算機(jī)的誕生與發(fā)展，為數(shù)據(jù)處理提供了強(qiáng)有力的技術(shù)支持，數(shù)理統(tǒng)計(jì)與計(jì)算機(jī)的結(jié)合是必然的發(fā)展趨勢(shì).統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)不同于一般的資料統(tǒng)計(jì)，它更側(cè)重于應(yīng)用隨機(jī)現(xiàn)象本身的規(guī)律性進(jìn)行資料的收集、整理和分析.由于大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出它的規(guī)律性，因而從理論上講，只要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次觀察，被研究的隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來(lái).只允許我們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察試驗(yàn)，也就是說(shuō),我們獲得的只是局部觀察資料.但客觀上統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是研究怎樣有效地收集、整理、分析所獲得的有限的資料，對(duì)所研究的問(wèn)題,盡可能地作出精確而可靠的結(jié)論.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布

由于推斷是基于抽樣數(shù)據(jù)，抽樣數(shù)據(jù)又不能包括研究對(duì)象的全部信息.因而由此獲得的結(jié)論必然包含不肯定性.在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，不是對(duì)所研究的對(duì)象全體(稱為總體)進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)（抽樣），并通過(guò)這些數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行推斷.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布下面我們以一例進(jìn)行說(shuō)明：統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布某種子公司A，栽種了幾種類別的鮮花，收獲了大量的花籽，并把每25?；ㄗ言梢恍“鍪?一個(gè)零售商批發(fā)了若干包，并向顧客保證：在每包25粒花籽中至少有22粒將能發(fā)芽，否則的話可免費(fèi)調(diào)換另一包.每包要是有3粒不發(fā)芽，馬上免費(fèi)退換！每包25粒統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布每包25粒中至少有22粒將發(fā)芽所有的包都如此嗎？？這種類型的不肯定性，即不知道種子公司出售的小包中可接受的比例，它是由于對(duì)總體的真實(shí)狀態(tài)（天然狀態(tài)）無(wú)知所引起的不肯定性.零售商面臨如下兩種類型的不肯定性：(1)他對(duì)種子公司出售的小包中可接受（即至少有22?；ㄗ褜l(fā)芽）的包數(shù)所占比例是不清楚的.這是第一類不肯定性.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布(2)由于種子公司出售的花籽的貨單上，這類花籽共有一百萬(wàn)包，而零售商只購(gòu)買(mǎi)了200包，那些包是可接受的呢？？這就是盡管他知道了一百萬(wàn)包可接受的比例，但對(duì)他所購(gòu)買(mǎi)的200包，其中可接受的比例仍舊沒(méi)有“把握”.從中購(gòu)買(mǎi)200包共100萬(wàn)包因此他又面臨著另一類不肯定性；統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布零售商購(gòu)買(mǎi)的200包仍有可能“碰巧”是從不可接受的一萬(wàn)包中選取的.那些包是可接受的呢？？即使是0.99，即種子公司出售的一百萬(wàn)包中有99萬(wàn)包是可接受的，這樣他就要損失一筆資金.從中購(gòu)買(mǎi)200包共100萬(wàn)包統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布這一類不肯定性是由于“隨機(jī)性”所引起的.在已知的條件下，這種不肯定性的程度已在概率論部分作過(guò)討論.下面我們回到第一類不肯定性：零售商對(duì)種子公司出售的小包中可接受（即至少有22?；ㄗ褜l(fā)芽）的包數(shù)所占比例是多少?zèng)]有把握.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布零售商能夠根據(jù)試驗(yàn)的方法（請(qǐng)公司進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)）來(lái)改善他的處境.根據(jù)試驗(yàn)他能作出天然狀況是多少的決策.這就是抽取部分種籽進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，通過(guò)這部分中發(fā)芽數(shù)所占比例（頻率)來(lái)對(duì)的真值進(jìn)行推斷.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布(1)怎樣設(shè)計(jì)試驗(yàn)，決定觀察的數(shù)目；(2)怎樣利用試驗(yàn)觀察的結(jié)果作出一個(gè)“好”的推斷等.這都是數(shù)理統(tǒng)計(jì)所要研究的問(wèn)題.雖然他不能精確地和肯定地確定，但可以期望獲得一個(gè)（在某種意義下）比較好的推斷.這就涉及到統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布第一個(gè)問(wèn)題是怎樣進(jìn)行抽樣，使抽得的樣本更合理,并有更好的代表性？這是抽樣方法和試驗(yàn)設(shè)計(jì)問(wèn)題：最簡(jiǎn)單易行的是進(jìn)行隨機(jī)抽樣.第二個(gè)問(wèn)題是怎樣從取得的樣本去推斷總體？這種推斷具有多大的可靠性？這是統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題.本課程著重討論第二個(gè)問(wèn)題,即最常用統(tǒng)計(jì)推斷方法.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布

概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的重要應(yīng)用.但它們是并列的兩個(gè)學(xué)科，并無(wú)從屬關(guān)系.可見(jiàn)，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中必然要用到概率論的理論和方法.因?yàn)殡S機(jī)抽樣的結(jié)果帶有隨機(jī)性，不能不把它當(dāng)作隨機(jī)現(xiàn)象來(lái)處理.由此也可以說(shuō)，統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布統(tǒng)計(jì)方法具有“部分推斷整體”的特征.在結(jié)束本節(jié)之前，我們需要強(qiáng)調(diào)說(shuō)明一點(diǎn)：因?yàn)槲覀兪菑囊恍〔糠謽颖居^察值去推斷該全體對(duì)象（總體）情況，即由部分推斷全體.這里使用的推理方法是“歸納推理”.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布這種歸納推理不同于數(shù)學(xué)中的“演繹推理”，它在作出結(jié)論時(shí)，是根據(jù)所觀察到的大量個(gè)別情況，“歸納”起來(lái)所得，而不是從一些假設(shè)、命題、已知的事實(shí)等出發(fā)，按一定的邏輯推理去得出來(lái)的.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布

例如，在幾何學(xué)中要證明“等腰三角形底角相等”只須從“等腰”這個(gè)前提出發(fā)，運(yùn)用幾何公理，一步一步推出這個(gè)結(jié)論.

而一個(gè)習(xí)慣于統(tǒng)計(jì)思想的人，就可能想出這樣的方法：做很多大小形狀不一的等腰三角形，實(shí)地測(cè)量其底角，看差距如何，根據(jù)所得資料看看可否作出“底角相等”的結(jié)論.這樣做就是歸納式的方法.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布現(xiàn)在要問(wèn)：從局部觀察要對(duì)總體下結(jié)論有沒(méi)有片面性呢？結(jié)論是否可靠？顯然這里不僅依賴于進(jìn)行局部觀察的“樣本”是否具有總體的代表性，也依賴于對(duì)從這些樣本得到數(shù)據(jù)的合理加工、分析并得出論斷.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布我們對(duì)每個(gè)經(jīng)過(guò)合理手續(xù)選取的一個(gè)樣品也應(yīng)看到它所具有的兩重性：一方面它具有特殊性，因?yàn)樗吘故莻€(gè)別觀察值，不能反映總體的全面性質(zhì)，有片面性.因而統(tǒng)計(jì)上往往不采用由一次抽取的樣品來(lái)下結(jié)論.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布在這個(gè)基礎(chǔ)上再加上科學(xué)的推斷方法，對(duì)總體下的結(jié)論同樣也是可靠的.另一方面也要看到“普遍性即存在于特殊性之中”，即每個(gè)樣品的情況又必然反映總體的一些普遍性.當(dāng)樣品有一定數(shù)量時(shí)總體的普遍性是可以得到比較真實(shí)的反映的.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布但此時(shí)還應(yīng)記住畢竟是由“局部”推斷“整體”，因而仍可能犯錯(cuò)誤，結(jié)論往往又是在某個(gè)“可靠性水平”之下得出的.這種矛盾的特殊性與普遍性的辯證統(tǒng)一在統(tǒng)計(jì)學(xué)中貫穿始終，是我們應(yīng)該記住的基本思想.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布第二節(jié)樣本及抽樣分布統(tǒng)計(jì)量與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)統(tǒng)計(jì)三大抽樣分布幾個(gè)重要的抽樣分布定理課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布由樣本值去推斷總體情況，需要對(duì)樣本值進(jìn)行“加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來(lái).1.統(tǒng)計(jì)量這種不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量.它是完全由樣本決定的量.一、統(tǒng)計(jì)量與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布定義請(qǐng)注意:統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布幾個(gè)常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量樣本平均值它反映了總體均值的信息樣本方差它反映了總體方差的信息樣本標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布它反映了總體k階矩的信息樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩

k=1,2,…它反映了總體k階中心矩的信息統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的觀察值統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布2.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布二、統(tǒng)計(jì)三大抽樣分布記為分布1、定義:設(shè)相互獨(dú)立,都服從正態(tài)分布N(0,1),則稱隨機(jī)變量：

所服從的分布為自由度為n

的分布.分布是由正態(tài)分布派生出來(lái)的一種分布.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布分布的密度函數(shù)為來(lái)定義.其中伽瑪函數(shù)通過(guò)積分注統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布1.

設(shè)相互獨(dú)立,都服從正態(tài)分布則這個(gè)性質(zhì)叫分布的可加性.3．若近似正態(tài)分布N(0,1).(應(yīng)用中心極限定理可得)2．設(shè)且X1,X2相互獨(dú)立，統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布E(X)=n,D(X)=2n.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布概率密度函數(shù)為：

定義:設(shè)X～N(0,1),Y～,且X與Y相互獨(dú)立，則稱變量所服從的分布為自由度為n的t分布.2、t分布統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布由定義可見(jiàn)，3、F分布~F(n2,n1)定義:設(shè)U與V相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為n1及n2的F分布，n1稱為第自由度，n2稱為第二自由度，記作F~F(n1,n2).統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布即它的數(shù)學(xué)期望并不依賴于第一自由度n1.1.F分布的數(shù)學(xué)期望為:若n2>2若F~F(n1,n2)，F(xiàn)的概率密度為統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布2.F分布的分位數(shù)統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布三、幾個(gè)重要的抽樣分布定理統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布當(dāng)總體為正態(tài)分布時(shí)，給出幾個(gè)重要的抽樣分布定理.統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布

定理1(樣本均值的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，是樣本均值，則有統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布n取不同值時(shí)樣本均值的分布請(qǐng)注意:統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布

定理2(樣本方差的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有n取不同值時(shí)的分布統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布

定理3(樣本均值的分布)設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布

定理4(兩總體樣本均值差、樣本方差比的分布)分別是這兩個(gè)樣本的且X與Y獨(dú)立,X1,X2,…,是來(lái)自X的樣本,是取自Y的樣本,這兩個(gè)樣本的樣本方差,則有Y1,Y2,…,樣本均值，分別是統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布四、例題例1解統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布例2解統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分