山東省淄博市淄川區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

山東省淄博市淄川區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△FPM為等邊三角形時(shí)，其面積為（）A．2

B．4 C．6 D．4參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用拋物線的定義得出PM垂直于拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)P（，m），求出△PMF的邊長(zhǎng)，寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離的公式得到FM，列出方程求出m的值，得到等邊三角形的邊長(zhǎng)，從而求出其面積．【解答】解：據(jù)題意知，△PMF為等邊三角形，PF=PM，∴PM⊥拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)P（，m），則M（﹣1，m），等邊三角形邊長(zhǎng)為1+，F(xiàn)（1，0）所以由PM=FM，得1+=，解得m=2，∴等邊三角形邊長(zhǎng)為4，其面積為4故選D．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與拋物線的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合把握所學(xué)知識(shí)和基本的運(yùn)算能力．2.復(fù)數(shù)等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A3.下列命題錯(cuò)誤的是（） A．“若x≠a且x≠b，則x2﹣（a+b）x+ab≠0”的否命題是“若x=a或x=b，則x2﹣（a+b）x+ab=0” B．若p∧q為假命題，則p，q均為假命題 C．命題“?x0∈（0，+∞）lnx0=x0﹣1”的否定是“?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．“x＞2”是“＜”的充分不必要條件 參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用． 【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；簡(jiǎn)易邏輯． 【分析】A．根據(jù)否命題的定義進(jìn)行判斷． B．根據(jù)復(fù)合命題的真假關(guān)系進(jìn)行判斷． C．根據(jù)含有量詞的命題的否定進(jìn)行判斷． D．根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷． 【解答】解：A．“若x≠a且x≠b，則x2﹣（a+b）x+ab≠0”的否命題是“若x=a或x=b，則x2﹣（a+b）x+ab=0”，正確， B．若p∧q為假命題，則p，q至少有一個(gè)為假命題，故B錯(cuò)誤， C．命題“?x0∈（0，+∞）lnx0=x0﹣1”的否定是“?x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，正確， D．由＜得x＞2或x＜0，即“x＞2”是“＜”的充分不必要條件，正確， 故選：B 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，但難度不大． 4.為了了解我校今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1：2：3，第2小組的頻數(shù)為12,則抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)是（ ）A.12 B.24 C.48 D.56參考答案：C根據(jù)題意可知，第1,3組的頻數(shù)為6,18，前3組的頻率和為，所以抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，故選C.

5.已知圓C1的方程為(x－2)2+(y－1)2=，橢圓C2的方程為，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，試求：

（I）直線AB的方程；

（II）橢圓C2的方程.參考答案：（I）由e=，得=，a2=2c2,b2=c2。

...........2分

設(shè)橢圓方程為+=1。又設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)。由圓心為(2,1)，得x1+x2=4,y1+y2=2。

又+=1，+=1，兩式相減，得+=0。

∴

...........5分

∴直線AB的方程為y－1=－(x－2)，即y=－x+3。

...........6分（II）將y=－x+3代入+=1，得3x2－12x+18－2b2=0又直線AB與橢圓C2相交，∴Δ=24b2－72>0。

...........8分由|AB|=|x1－x2|==,得·=。解得

b2=8，

...........11分故所求橢圓方程為+=1

...........12分略6.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A.1 B.0 C.－1 D.－1或1參考答案：B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的概念，得到復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，并且虛部不為0求出m．【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=m（m+1）+（m2－1）i（i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，所以，解得m=0；故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念；如果復(fù)數(shù)a+bi（a，b是實(shí)數(shù)）是純虛數(shù)，那么a=0并且b≠0．7.在三棱錐P﹣ABC中，D為底面ABC的邊AB上一點(diǎn)，M為底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，則三棱錐P﹣AMD與三棱錐P﹣ABC的體積比為（）A． B． C．D．參考答案：D【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合向量等式可得AD=，DM=，且∠ABC=∠ADM，進(jìn)一步得到△ADM與△ABC面積的關(guān)系得答案．【解答】解：如圖，設(shè)三棱錐P﹣ABC的底面三角形ABC的面積為S，高為h，∵，，∴AD=，DM=，且∠ABC=∠ADM，∴=．∴=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積的求法，考查平面向量在求解立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用，是中檔題．8.在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為A. B. C. D.參考答案：C9..“∵四邊形ABCD為矩形，∴四邊形ABCD的對(duì)角線相等”，以上推理省略的大前提為（

）A.正方形都是對(duì)角線相等的四邊形B.矩形都是對(duì)角線相等的四邊形C.等腰梯形都是對(duì)角線相等的四邊形D.矩形都是對(duì)邊平行且相等的四邊形參考答案：B【分析】用三段論形式推導(dǎo)一個(gè)結(jié)論成立，大前提應(yīng)該是結(jié)論成立的依據(jù)，由四邊形ABCD為矩形，得到四邊形ABCD的對(duì)角線相等的結(jié)論，得到大前提.【詳解】∵由四邊形ABCD為矩形，得到四邊形ABCD的對(duì)角線相等的結(jié)論，

∴大前提一定是矩形的對(duì)角線相等.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查用三段論形式推導(dǎo)一個(gè)命題成立，是常見(jiàn)的考查形式，三段論中所包含的三部分，每一部分都可以作為考查的內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題10.袋中裝有3個(gè)黑球、2個(gè)白球、1個(gè)紅球，從中任取兩個(gè)，互斥而不對(duì)立的事件是（）A．“至少有一個(gè)黑球”和“沒(méi)有黑球”B．“至少有一個(gè)白球”和“至少有一個(gè)紅球”C．“至少有一個(gè)白球”和“紅球黑球各有一個(gè)”D．“恰有一個(gè)白球”和“恰有一個(gè)黑球”參考答案：C【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件．【分析】利用對(duì)立事件、互斥事件的定義求解．【解答】解：在A中：“至少有一個(gè)黑球”和“沒(méi)有黑球”既不能同時(shí)發(fā)生，也不能同時(shí)不發(fā)生，故這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；在B中：“至少有一個(gè)白球”和“至少有一個(gè)紅球”能夠同時(shí)發(fā)生，故這兩個(gè)事件不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；在C中：“至少有一個(gè)白球”和“紅球黑球各有一個(gè)”不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，故這兩個(gè)事件是互斥而不對(duì)立的事件，故C正確；在D中：“恰有一個(gè)白球”和“恰有一個(gè)黑球”能夠同時(shí)發(fā)生，故這兩個(gè)事件不是互斥事件，故D錯(cuò)誤．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義：為n個(gè)正數(shù)p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，則數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an=

．參考答案：6n﹣4【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn，由已知可得，可求得sn，再利用an=sn﹣sn﹣1求得通項(xiàng)【解答】解：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn，由已知可得，∴，當(dāng)n≥2時(shí)，；當(dāng)n=1時(shí)，a1=s1=2適合上式，∴an=6n﹣4．故答案為：6n﹣4【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用an與Sn的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則____________．參考答案：略13.母線長(zhǎng)為1的圓錐的側(cè)面積為，則此圓錐展開(kāi)圖的中心角為

▲

參考答案：14.若三角形內(nèi)切圓的半徑為，三邊長(zhǎng)為,,，則三角形的面積等于根據(jù)類比推理的方法，若一個(gè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，四個(gè)面的面積分是,,，則四面體的體積______________.參考答案：略15.已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的整數(shù)解構(gòu)成等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)，則數(shù)列的第四項(xiàng)為（）A．3 B．﹣1 C．2 D．3或﹣1參考答案：D【考點(diǎn)】84：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】解不等式x2﹣2x﹣3＜0，得等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)為0，1，2或2，1，0，由此能求出該數(shù)列的第四項(xiàng)．【解答】解：解不等式x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，∵不等式x2﹣2x﹣3＜0的整數(shù)解構(gòu)成等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)，∴等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)為0，1，2或2，1，0，∴該數(shù)列的第四項(xiàng)為3或﹣1．故選：D．16.設(shè)f（x）=.利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值為_(kāi)__

__.w.參考答案：17.已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿分14分)已知四棱錐的三視圖如下圖所示，是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn).(1)求四棱錐的體積；

(2)是否不論點(diǎn)在何位置，都有？證明你的結(jié)論；參考答案：解：(1)由三視圖可知，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱底面，且.………………3′..

∴,即四棱錐的體積為….7′

(2)不論點(diǎn)在何位置，都有.

證明如下：連結(jié)，∵是正方形，∴.

∵底面，且平面，∴.

又∵，∴平面.

∵不論點(diǎn)在何位置，都有平面.

-∴不論點(diǎn)在何位置，都有.

……14′19.已知橢圓＞b＞的離心率為且橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.斜率為的直線過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)且與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M（0，m）.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求m的取值范圍.（3）試用m表示△MPQ的面積S，并求面積S的最大值.參考答案：解：（1）依題意可得解得

從而所求橢圓方程為…4分（2）直線的方程為由可得該方程的判別式△=＞0恒成立.設(shè)則………………5分可得設(shè)線段PQ中點(diǎn)為N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為………………6分線段PQ的垂直平分線方程為 令，由題意………………7分 又，所以0＜＜…………………8分

（3）點(diǎn)M到直線的距離

于是

由可得代入上式，得即＜＜.…………10分設(shè)則而＞00＜m＜＜0＜m＜所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，有最大值……11分所以當(dāng)時(shí)，△MPQ的面積S有最大值…12分略20.(本小題滿分12分)如圖所示,四棱錐的底面為等腰梯形,,對(duì)角線與交于點(diǎn),底面.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若四棱錐的體積,求二面角的平面角的正弦值.參考答案：(Ⅰ)證明

在等腰梯形中,知,

又,所以,故,

即,又底面,得,

且,所以面,即.………5分(Ⅱ)由,

于是,得.法一

由兩兩垂直,故以為原點(diǎn),

分別以為軸建系如圖;

則,

,

設(shè)平面的法向量為,則由

得,令,得,即

同理可得平面的一個(gè)法向量為,設(shè)二面角的平面角為,

則,又,故.……………12分

法二

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),連接,則

由知面,

所以(三垂線定理)

所以為二面角的平面角.

由等面積知,故,,由余弦定理有,即,即求.21.已知圓M過(guò)兩點(diǎn)C(1,-1),D(-1,1),且圓心M在x+y-2=0上.(1)求圓M的方程.(2)設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓M的兩條切線,A,B為切點(diǎn),求四邊形PAMB面積的最小值.參考答案：(1)設(shè)圓M的方程為:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).根據(jù)題意,得解得a=b=1,r=2,故所求圓M的方程為(x-1)2+(y-1)2=4.(2)因?yàn)樗倪呅蜳AMB的面積S=S△PAM+S△PBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|,而|PA|==,即S=2.因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直線3x+4y+8=0上找一點(diǎn)P,使得|PM|的值最小,所以|PM|min==3,所以四邊形PAMB面積的最小值為S=2=2=2.略22.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形