17 微專題15　隨機變量及其分布 【正文】教師

微專題15隨機變量及其分布[備選理由]例1考查統(tǒng)計與概率的綜合應用;例2考查條件概率與概率性質(zhì)的應用;例3考查信息閱讀與遷移能力,利用概率與數(shù)學期望做出正確的決策問題.1[配例1使用][2023·山東濰坊模擬]某校舉行“強基計劃”數(shù)學核心素養(yǎng)測評,要求以班級為單位參賽,最終高三1班(45人)和高三2班(30人)進入決賽.決賽規(guī)則如下:現(xiàn)有甲、乙兩個紙箱,甲箱中有4個選擇題和2個填空題,乙箱中有3個選擇題和3個填空題,決賽由兩個環(huán)節(jié)組成,環(huán)節(jié)一,要求兩班級每位同學在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩個題目作答,作答后放回原箱,并分別統(tǒng)計兩班級學生測評成績的相關(guān)數(shù)據(jù);環(huán)節(jié)二,由1班班長王剛和2班班長李明進行比賽,并分別統(tǒng)計兩人的測評成績的相關(guān)數(shù)據(jù).兩個環(huán)節(jié)按照相關(guān)比賽規(guī)則分別累計得分,以累計得分的高低決定班級的名次.(1)環(huán)節(jié)一結(jié)束后,按照比例分配的分層隨機抽樣的方法從兩個班級抽取20名同學,并統(tǒng)計每位同學答對題目的數(shù)量,統(tǒng)計數(shù)據(jù)為:1班抽取同學答對題目個數(shù)的平均數(shù)為1,方差為1;2班抽取同學答對題目個數(shù)的平均數(shù)為1.5,方差為0.25.求這20人答對題目個數(shù)的平均數(shù)與方差.(2)環(huán)節(jié)二,王剛先從甲箱中依次抽取了兩個題目,答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中,然后李明再抽取題目,已知李明從乙箱中抽取的第1題是選擇題,求王剛從甲箱中取出的是兩個選擇題的概率.解:(1)由題意可知,應從1班抽取4575×20=12(人),從2班抽取3075×20=8(1班的樣本平均數(shù)為x=1,樣本方差為s12=1,2班的樣本平均數(shù)為y=1.5,樣本方差為s22=0.25,則總樣本平均數(shù)為ω=12×1+8×1.記總樣本方差為s2,則s2=12×[1+(1所以這20人答對題目個數(shù)的平均數(shù)為1.2,方差為0.76.(2)設(shè)事件A=“李明從乙箱中抽取的第1題是選擇題”,事件B1=“王剛從甲箱中取出的兩個題目都是選擇題”,事件B2=“王剛從甲箱中取出一個選擇題和一個填空題",事件B3=“王剛從甲箱中取出的兩個題目都是填空題”,則B1,B2,B3彼此互斥,且B1∪B2∪B3=Ω,P(B1)=C42C62=25,P(B2)=C41C21C6P(A|B1)=58,P(A|B2)=12,P(A|B3)=P(A)=P(B1)×P(A|B1)+P(B2)×P(A|B2)+P(B3)×P(A|B3)=25×58+815×12+115所求概率即是A發(fā)生的條件下B1發(fā)生的概率,即P(B1|A)=P(B1A)P(2[配例2使用][2023·長沙一中一模]國球是指在一個國家內(nèi)開展廣泛并在國際上居于領(lǐng)先地位的球類運動,中國的國球是乒乓球,乒乓球起源于英國的19世紀末.長沙市某社區(qū)為了豐富社區(qū)老人的退休生活,每年的重陽節(jié)定期舉行乒乓球比賽.通過資格賽和淘汰賽,該社區(qū)的李大爺和張大爺進入決賽爭奪冠軍,決賽采用五局三勝制,即選手率先獲得三局勝利時,比賽結(jié)束并贏得冠軍.根據(jù)以往李大爺和張大爺?shù)谋荣悇儇摂?shù)據(jù)分析,李大爺和張大爺實力相當,每局獲勝的可能性相同,每局比賽相互獨立.(1)求張大爺獲得乒乓球比賽冠軍的概率.(2)冠亞軍決賽結(jié)束后,社區(qū)組委會決定進行趣味性和觀賞性極強的“花式乒乓球”對抗賽,“花式乒乓球”對抗賽由劉大爺和周大爺進行比賽,比賽采用三局兩勝制,即選手率先獲得兩局勝利時,比賽結(jié)束并贏得冠軍.劉大爺和周大爺在一局比賽中獲勝的概率分別為23,13,且每局比賽相互獨立.比賽開始前,工作人員拿來兩盒新球,分別為“裝有2個白球與1個黃球”的白盒與“裝有1個白球與2個黃球”的黃盒(球除顏色外,其余相同).每局比賽前裁判員從盒中隨機取出一個球用于比賽,且局中不換球,該局比賽后,直接丟棄,裁判按照如下規(guī)則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致,且第一局從白盒中取球,記兩位大爺決出冠軍后,兩盒內(nèi)白球剩余的總個數(shù)為Y,求隨機變量Y解:(1)記張大爺獲得乒乓球比賽冠軍共進行的局數(shù)為隨機變量Z,則Z的可能取值為3,4,5,記事件A=“張大爺獲得乒乓球比賽冠軍”,則P(A)=P(Z=3)+P(Z=4)+P(Z=5)=123+C32×122×12×12+C4(2)設(shè)劉大爺和周大爺“花式兵兵球”對抗賽進行了X局比賽,易知X=2或X=3,則P(X=2)=232+132=59,故P(X=3)=1-P(記Wi(i=1,2,3)表示第i局從白盒中取出白球,Wi表示第i局從白盒中取出黃球Xi(i=1,2,3)表示第i局從黃盒中取出黃球,Xi表示第i局從黃盒中取出白球隨機變量Y的所有可能取值為1,2,3,所以P(Y=1)=P(X=2)P(W1W2)+P(X=3)[P(W1W2W3)+P(W1W2X3)+P(W1X2W3)]=59×23P(Y=2)=P(X=2)[P(W1W2)+P(W1X2)]+P(X=3)[P(W1W2X3)+P(W1X2X3)]=59×2P(Y=3)=P(X=2)P(W1X2)+P(X=3)P(W1X2X3)=59×13×23則Y的分布列為Y123P353214所以隨機變量Y的數(shù)學期望E(Y)=1×3581+2×3281+3×14813[配例3使用][2023·湖南懷化二模]某新華書店要在六一兒童節(jié)進行有獎促銷活動,凡在該書店購書達到規(guī)定金額的小朋友可參加雙人PK贏取“購書券”的游戲.游戲規(guī)則為:游戲共三局,每局游戲開始前,在不透明的箱中裝有5個號碼分別為1,2,3,4,5的小球(小球除號碼不同之外,其余完全相同).每局由甲、乙兩人先后從箱中不放回地各摸出一個小球(摸球者無法摸出小球號碼).若雙方摸出的兩球號碼之差為奇數(shù),則甲被扣除2個積分,乙增加2個積分;若號碼之差為偶數(shù),則甲增加n(n∈N*)個積分,乙被扣除n個積分.游戲開始時,甲、乙的初始積分均為零,游戲結(jié)束后,若雙方的積分不等,則積分較大的一方視為獲勝方,將獲得“購書券”獎勵;若雙方的積分相等,則均不能獲得獎勵.(1)設(shè)游戲結(jié)束后,甲的積分為隨機變量X,求X的分布列.(2)以(1)中的隨機變量X的數(shù)學期望為決策依據(jù),當游戲規(guī)則對甲獲得“購書券”獎勵更為有利時,記正整數(shù)n的最小值為n0.①求n0的值,并說明理由;②當n=n0時,求在甲至少有一局被扣除積分的情況下,甲仍獲得“購書券”獎勵的概率.解:(1)記“一局游戲后甲被扣除2個積分”為事件A,“一局游戲后乙被扣除n個積分”為事件B,由題可知P(A)=C21C31A22A52=35,則P(B當三局均為甲被扣除2個積分時,X=-6,當兩局為甲被扣除2個積分,一局為乙被扣除n個積分時,X=n-4,當一局為甲被扣除2個積分,兩局為乙被扣除n個積分時,X=2n-2,當三局均為乙被扣除n個積分時,X=3n,所以P(X=-6)=353=27125,P(X=n-4)=C32×3P(X=2n-2)=C31×35×252=36125,P(X=3n所以隨機變量X的分布列為X-6n-42n-23nP2754368(2)①由(1)易得E(X)=(-6)×27125+(n-4)×54125+(2n-2)×36125+3n×8顯然甲、乙雙方的積分之和恒為零,當游戲規(guī)則對甲獲得“購書券”獎勵更為有利時,則需E(X)=6n-所以n>3,即正整數(shù)n的最小值n0=4.②當n=4時,記“甲至少有一局被扣除積分”