運(yùn)籌學(xué)講義-運(yùn)籌學(xué)完整講義

運(yùn)籌學(xué)講義--運(yùn)籌學(xué)完整講義緒論（1）運(yùn)籌學(xué)簡(jiǎn)述（2）運(yùn)籌學(xué)的主要內(nèi)容（3）本課程的教材及參考書（4）本課程的特點(diǎn)和要求（5）本課程授課方式與考核（6）運(yùn)籌學(xué)在工商管理中的應(yīng)用本章主要內(nèi)容：3/25/2024運(yùn)籌學(xué)簡(jiǎn)述運(yùn)籌學(xué)（OperationsResearch） 系統(tǒng)工程的最重要的理論基礎(chǔ)之一，在美國(guó)有人把運(yùn)籌學(xué)稱之為管理科學(xué)(ManagementScience)。運(yùn)籌學(xué)所研究的問題，可簡(jiǎn)單地歸結(jié)為一句話：“依照給定條件和目標(biāo)，從眾多方案中選擇最佳方案”故有人稱之為最優(yōu)化技術(shù)。3/25/2024運(yùn)籌學(xué)簡(jiǎn)述運(yùn)籌學(xué)的歷史“運(yùn)作研究(OperationalResearch)小組”:解決復(fù)雜的戰(zhàn)略和戰(zhàn)術(shù)問題。例如：如何合理運(yùn)用雷達(dá)有效地對(duì)付德軍的空襲對(duì)商船如何進(jìn)行編隊(duì)護(hù)航，使船隊(duì)遭受德國(guó)潛艇攻擊時(shí)損失最少；在各種情況下如何調(diào)整反潛深水炸彈的爆炸深度，才能增加對(duì)德國(guó)潛艇的殺傷力等。3/25/2024運(yùn)籌學(xué)的主要內(nèi)容數(shù)學(xué)規(guī)劃（線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、目標(biāo)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃等）圖論存儲(chǔ)論排隊(duì)論對(duì)策論排序與統(tǒng)籌方法決策分析3/25/2024本課程的教材及參考書選用教材《運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用》胡運(yùn)權(quán)主編（第5版）高等教育出版社參考教材《運(yùn)籌學(xué)教程》胡運(yùn)權(quán)主編（第2版）清華出版社《管理運(yùn)籌學(xué)》韓伯棠主編（第2版）高等教育出版社《運(yùn)籌學(xué)》(修訂版)錢頌迪主編清華出版社3/25/2024本課程的特點(diǎn)和要求先修課：高等數(shù)學(xué)，基礎(chǔ)概率、線性代數(shù)特點(diǎn)：系統(tǒng)整體優(yōu)化；多學(xué)科的配合；模型方法的應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)的研究的主要步驟：真實(shí)系統(tǒng)系統(tǒng)分析問題描述模型建立與修改模型求解與檢驗(yàn)結(jié)果分析與實(shí)施數(shù)據(jù)準(zhǔn)備3/25/2024本課程授課方式與考核學(xué)科總成績(jī)平時(shí)成績(jī)（40％）課堂考勤（50％）平時(shí)作業(yè)（50％）期末成績(jī)（60％）講授為主，結(jié)合習(xí)題作業(yè)3/25/2024運(yùn)籌學(xué)在工商管理中的應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)在工商管理中的應(yīng)用涉及幾個(gè)方面：生產(chǎn)計(jì)劃運(yùn)輸問題人事管理庫(kù)存管理市場(chǎng)營(yíng)銷財(cái)務(wù)和會(huì)計(jì)另外，還應(yīng)用于設(shè)備維修、更新和可靠性分析，項(xiàng)目的選擇與評(píng)價(jià)，工程優(yōu)化設(shè)計(jì)等。3/25/2024Chapter1線性規(guī)劃

(LinearProgramming)LP的數(shù)學(xué)模型圖解法單純形法單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法LP模型的應(yīng)用本章主要內(nèi)容：3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型1.規(guī)劃問題生產(chǎn)和經(jīng)營(yíng)管理中經(jīng)常提出如何合理安排，使人力、物力等各種資源得到充分利用，獲得最大的效益，這就是規(guī)劃問題。線性規(guī)劃通常解決下列兩類問題：（1）當(dāng)任務(wù)或目標(biāo)確定后，如何統(tǒng)籌兼顧，合理安排，用最少的資源（如資金、設(shè)備、原標(biāo)材料、人工、時(shí)間等）去完成確定的任務(wù)或目標(biāo)（2）在一定的資源條件限制下，如何組織安排生產(chǎn)獲得最好的經(jīng)濟(jì)效益（如產(chǎn)品量最多、利潤(rùn)最大.）3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例1.1如圖所示，如何截取x使鐵皮所圍成的容積最大？xa3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例1.2某企業(yè)計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。這些產(chǎn)品分別要在A、B、C、D、四種不同的設(shè)備上加工。按工藝資料規(guī)定，單件產(chǎn)品在不同設(shè)備上加工所需要的臺(tái)時(shí)如下表所示，企業(yè)決策者應(yīng)如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，使企業(yè)總的利潤(rùn)最大？3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型解：設(shè)x1、x2分別為甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，則數(shù)學(xué)模型為：maxZ=2x1+3x2

x1≥0,x2≥0s.t.2x1+2x2≤12x1+2x2≤84x1≤164x2≤123/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型2.線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型由三個(gè)要素構(gòu)成決策變量Decisionvariables目標(biāo)函數(shù)Objectivefunction約束條件Constraints其特征是：（1）問題的目標(biāo)函數(shù)是多個(gè)決策變量的線性函數(shù)，通常是求最大值或最小值；（2）問題的約束條件是一組多個(gè)決策變量的線性不等式或等式。

怎樣辨別一個(gè)模型是線性規(guī)劃模型？

3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型目標(biāo)函數(shù)：約束條件：3.線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式簡(jiǎn)寫為：3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型向量形式：其中：3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型矩陣形式：其中：3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型3.線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式特點(diǎn)：(1)目標(biāo)函數(shù)求最大值（有時(shí)求最小值）(2)約束條件都為等式方程，且右端常數(shù)項(xiàng)bi都大于或等于零(3)決策變量xj為非負(fù)。3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型（2）如何化標(biāo)準(zhǔn)形式目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)換如果是求極小值即，則可將目標(biāo)函數(shù)乘以(-1)，可化為求極大值問題。也就是：令，可得到上式。即

若存在取值無約束的變量，可令其中：變量的變換3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型約束方程的轉(zhuǎn)換：由不等式轉(zhuǎn)換為等式。稱為松弛變量稱為剩余變量變量的變換可令，顯然3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例1.3將下列線性規(guī)劃問題化為標(biāo)準(zhǔn)形式用替換，且解:（１）因?yàn)閤3無符號(hào)要求，即x3取正值也可取負(fù)值，標(biāo)準(zhǔn)型中要求變量非負(fù)，所以3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型(2)第一個(gè)約束條件是“≤”號(hào)，在“≤”左端加入松馳變量x4，x4≥0,化為等式；(3)第二個(gè)約束條件是“≥”號(hào)，在“≥”左端減去剩余變量x5，x5≥0；(4)第3個(gè)約束方程右端常數(shù)項(xiàng)為-5，方程兩邊同乘以(-1),將右端常數(shù)項(xiàng)化為正數(shù)；(5)目標(biāo)函數(shù)是最小值，為了化為求最大值，令z′=-z,得到maxz′=-z，即當(dāng)z達(dá)到最小值時(shí)z′達(dá)到最大值，反之亦然;3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)形式如下：3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型4.線性規(guī)劃問題的解線性規(guī)劃問題求解線性規(guī)劃問題，就是從滿足約束條件(2)、(3)的方程組中找出一個(gè)解，使目標(biāo)函數(shù)(1)達(dá)到最大值。3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型

可行解：滿足約束條件②、③的解為可行解。所有可行解的集合為可行域。

最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值的可行解。

基：設(shè)A為約束條件②的m×n階系數(shù)矩陣(m<n)，其秩為m，B是矩陣A中m階滿秩子矩陣（∣B∣≠0），稱B是規(guī)劃問題的一個(gè)基。設(shè)：稱B中每個(gè)列向量Pj(j=12……m)為基向量。與基向量Pj

對(duì)應(yīng)的變量xj為基變量。除基變量以外的變量為非基變量。3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型

基解：某一確定的基B，令非基變量等于零，由約束條件方程②解出基變量，稱這組解為基解。在基解中變量取非0值的個(gè)數(shù)不大于方程數(shù)m，基解的總數(shù)不超過

基可行解：滿足變量非負(fù)約束條件的基本解，簡(jiǎn)稱基可行解。可行基：對(duì)應(yīng)于基可行解的基稱為可行基。非可行解可行解基解基可行解3/25/2024線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例1.4求線性規(guī)劃問題的所有基矩陣。解:約束方程的系數(shù)矩陣為2×5矩陣r(A)=2，2階子矩陣有10個(gè)，其中基矩陣只有9個(gè)，即3/25/2024圖解法線性規(guī)劃問題的求解方法一般有兩種方法圖解法單純形法兩個(gè)變量、直角坐標(biāo)三個(gè)變量、立體坐標(biāo)適用于任意變量、但必需將一般形式變成標(biāo)準(zhǔn)形式下面我們分析一下簡(jiǎn)單的情況——只有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問題，這時(shí)可以通過圖解的方法來求解。圖解法具有簡(jiǎn)單、直觀、便于初學(xué)者窺探線性規(guī)劃基本原理和幾何意義等優(yōu)點(diǎn)。3/25/2024圖解法maxZ=2X1+X2

X1+1.9X2≥3.8X1-1.9X2

≥3.8s.t.X1+1.9X2≤10.2X1-1.9X2≤-3.8X1，X2≥0例1.5用圖解法求解線性規(guī)劃問題3/25/2024圖解法x1x2oX1-1.9X2=3.8(≥)X1+1.9X2=3.8(≥)X1-1.9X2=-3.8(≤)X1+1.9X2=10.2(≤)4=2X1+X2

20=2X1+X2

17.2=2X1+X2

11=2X1+X2

Lo：0=2X1+X2

（7.6，2）DmaxZminZ此點(diǎn)是唯一最優(yōu)解，且最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值maxZ=17.2可行域maxZ=2X1+X23/25/2024圖解法maxZ=3X1+5.7X2x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1-1.9X2=-3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)（7.6，2）DL0：0=3X1+5.7X2

maxZ（3.8，4）34.2=3X1+5.7X2

藍(lán)色線段上的所有點(diǎn)都是最優(yōu)解這種情形為有無窮多最優(yōu)解，但是最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值maxZ=34.2是唯一的?？尚杏?/25/2024圖解法minZ=5X1+4X2x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)DL0：0=5X1+4X2

maxZminZ8=5X1+4X2

43=5X1+4X2

（0，2）可行域此點(diǎn)是唯一最優(yōu)解3/25/2024圖解法246x1x2246無界解(無最優(yōu)解)maxZ=x1+2x2例1.6x1+x2=4(≥)x1+3x2=6(≥)3x1+x2=6(≥)maxZminZ3/25/2024x1x2O10203040102030405050無可行解(即無最優(yōu)解)maxZ=3x1+4x2例1.73/25/2024圖解法 學(xué)習(xí)要點(diǎn)： 1.通過圖解法了解線性規(guī)劃有幾種解的形式（唯一最優(yōu)解；無窮多最優(yōu)解；無界解；無可行解） 2.作圖的關(guān)鍵有三點(diǎn)： (1)可行解區(qū)域要畫正確 (2)目標(biāo)函數(shù)增加的方向不能畫錯(cuò) (3)目標(biāo)函數(shù)的直線怎樣平行移動(dòng)3/25/2024單純形法基本原理凸集：如果集合C中任意兩個(gè)點(diǎn)X1、X2，其連線上的所有點(diǎn)也都是集合C中的點(diǎn)，稱C為凸集。凸集凸集不是凸集頂點(diǎn)3/25/2024單純形法基本原理定理1：若線性規(guī)劃問題存在可行解，則該問題的可行域是凸集。定理2：線性規(guī)劃問題的基可行解X對(duì)應(yīng)可行域(凸集)的頂點(diǎn)。定理3：若問題存在最優(yōu)解，一定存在一個(gè)基可行解是最優(yōu)解。（或在某個(gè)頂點(diǎn)取得）3/25/2024單純形法的計(jì)算步驟單純形法的思路找出一個(gè)初始可行解是否最優(yōu)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)基本可行解（找出更大的目標(biāo)函數(shù)值）最優(yōu)解是否循環(huán)核心是：變量迭代結(jié)束3/25/2024單純形法的計(jì)算步驟單純形表3/25/2024單純形法的計(jì)算步驟例1.8用單純形法求下列線性規(guī)劃的最優(yōu)解解：1）將問題化為標(biāo)準(zhǔn)型，加入松馳變量x3、x4則標(biāo)準(zhǔn)型為:3/25/2024單純形法的計(jì)算步驟2）求出線性規(guī)劃的初始基可行解，列出初始單純形表。檢驗(yàn)數(shù)3/25/2024單純形法的計(jì)算步驟3）進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)如果表中所有檢驗(yàn)數(shù)，則表中的基可行解就是問題的最優(yōu)解，計(jì)算停止。否則繼續(xù)下一步。4）從一個(gè)基可行解轉(zhuǎn)換到另一個(gè)目標(biāo)值更大的基可行解，列出新的單純形表確定換入基的變量。選擇，對(duì)應(yīng)的變量xj作為換入變量，當(dāng)有一個(gè)以上檢驗(yàn)數(shù)大于0時(shí)，一般選擇最大的一個(gè)檢驗(yàn)數(shù)，即：，其對(duì)應(yīng)的xk作為換入變量。確定換出變量。根據(jù)下式計(jì)算并選擇θ

，選最小的θ對(duì)應(yīng)基變量作為換出變量。 3/25/2024單純形法的計(jì)算步驟用換入變量xk替換基變量中的換出變量，得到一個(gè)新的基。對(duì)應(yīng)新的基可以找出一個(gè)新的基可行解，并相應(yīng)地可以畫出一個(gè)新的單純形表。5）重復(fù)3）、4）步直到計(jì)算結(jié)束為止。 3/25/2024單純形法的計(jì)算步驟換入列bi/ai2，ai2>04010換出行將3化為15/311801/301/3101－1/3303005/30－4/3乘以1/3后得到103/5－1/51801－1/5－2/5400－1－13/25/2024單純形法的計(jì)算步驟例1.9用單純形法求解解：將數(shù)學(xué)模型化為標(biāo)準(zhǔn)形式：不難看出x4、x5可作為初始基變量，列單純形表計(jì)算。3/25/2024單純形法的計(jì)算步驟20－x221/3150120753017131/30－90－22560x111017/31/31250128/9-1/92/335/300-98/9-1/9-7/33/25/2024單純形法的計(jì)算步驟 學(xué)習(xí)要點(diǎn)： 1.線性規(guī)劃解的概念以及3個(gè)基本定理 2.熟練掌握單純形法的解題思路及求解步驟3/25/2024單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法人工變量法： 前面討論了在標(biāo)準(zhǔn)型中系數(shù)矩陣有單位矩陣，很容易確定一組基可行解。在實(shí)際問題中有些模型并不含有單位矩陣，為了得到一組基向量和初基可行解，在約束條件的等式左端加一組虛擬變量，得到一組基變量。這種人為加的變量稱為人工變量，構(gòu)成的可行基稱為人工基，用大M法或兩階段法求解，這種用人工變量作橋梁的求解方法稱為人工變量法。3/25/2024單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法例1.10用大M法解下列線性規(guī)劃解：首先將數(shù)學(xué)模型化為標(biāo)準(zhǔn)形式系數(shù)矩陣中不存在單位矩陣，無法建立初始單純形表。3/25/2024單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法故人為添加兩個(gè)單位向量，得到人工變量單純形法數(shù)學(xué)模型：其中：M是一個(gè)很大的抽象的數(shù)，不需要給出具體的數(shù)值，可以理解為它能大于給定的任何一個(gè)確定數(shù)值；再用前面介紹的單純形法求解該模型，計(jì)算結(jié)果見下表。3/25/2024單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法→→→3/25/2024單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法 解的判別：1）唯一最優(yōu)解判別：最優(yōu)表中所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)非零,則線規(guī)劃具有唯一最優(yōu)解。2）多重最優(yōu)解判別：最優(yōu)表中存在非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為零,則線則性規(guī)劃具有多重最優(yōu)解（或無窮多最優(yōu)解）。3）無界解判別：某個(gè)λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）則線性規(guī)劃具有無界解。4）無可行解的判斷：當(dāng)用大M單純形法計(jì)算得到最優(yōu)解并且存在Ri>0時(shí)，則表明原線性規(guī)劃無可行解。5）退化解的判別：存在某個(gè)基變量為零的基本可行解。3/25/2024單純形法的進(jìn)一步討論－人工變量法單純性法小結(jié):3/25/2024A3/25/2024線性規(guī)劃模型的應(yīng)用 一般而言，一個(gè)經(jīng)濟(jì)、管理問題凡是滿足以下條件時(shí)，才能建立線性規(guī)劃模型。要求解問題的目標(biāo)函數(shù)能用數(shù)值指標(biāo)來反映，且為線性函數(shù)存在著多種方案要求達(dá)到的目標(biāo)是在一定條件下實(shí)現(xiàn)的，這些約束可用線性等式或不等式描述3/25/2024線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用人力資源分配問題例1.11某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時(shí)間段內(nèi)所需司機(jī)和乘務(wù)人員人數(shù)如下表所示：設(shè)司機(jī)和乘務(wù)人員分別在各時(shí)間段開始時(shí)上班，并連續(xù)工作8小時(shí)，問該公交線路應(yīng)怎樣安排司機(jī)和乘務(wù)人員，即能滿足工作需要，又使配備司機(jī)和乘務(wù)人員的人數(shù)減少?3/25/2024線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用解：設(shè)xi表示第i班次時(shí)開始上班的司機(jī)和乘務(wù)人員人數(shù)。此問題最優(yōu)解：x1＝50，x2＝20，x3＝50，x4＝0，x5＝20，x6＝10，一共需要司機(jī)和乘務(wù)員150人。3/25/2024線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用2.生產(chǎn)計(jì)劃問題 某廠生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種產(chǎn)品，都分別經(jīng)A、B兩道工序加工。設(shè)A工序可分別在設(shè)備A1和A2上完成，有B1、B2、B3三種設(shè)備可用于完成B工序。已知產(chǎn)品Ⅰ可在A、B任何一種設(shè)備上加工；產(chǎn)品Ⅱ可在任何規(guī)格的A設(shè)備上加工，但完成B工序時(shí)，只能在B1設(shè)備上加工；產(chǎn)品Ⅲ只能在A2與B2設(shè)備上加工。加工單位產(chǎn)品所需工序時(shí)間及其他各項(xiàng)數(shù)據(jù)如下表，試安排最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃，使該廠獲利最大。3/25/2024線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用3/25/2024線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用解：設(shè)xijk表示產(chǎn)品i在工序j的設(shè)備k上加工的數(shù)量。約束條件有：3/25/2024線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用目標(biāo)是利潤(rùn)最大化，即利潤(rùn)的計(jì)算公式如下：帶入數(shù)據(jù)整理得到：3/25/2024線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用因此該規(guī)劃問題的模型為：3/25/2024線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用3.套裁下料問題例：現(xiàn)有一批某種型號(hào)的圓鋼長(zhǎng)8米，需要截取2.5米長(zhǎng)的毛坯100根，長(zhǎng)1.3米的毛坯200根。問如何才能既滿足需要，又能使總的用料最少？解：為了找到一個(gè)省料的套裁方案，必須先設(shè)計(jì)出較好的幾個(gè)下料方案。其次要求這些方案的總體能裁下所有各種規(guī)格的圓鋼，以滿足對(duì)各種不同規(guī)格圓鋼的需要并達(dá)到省料的目的，為此可以設(shè)計(jì)出4種下料方案以供套裁用。3/25/2024線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用設(shè)按方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ下料的原材料根數(shù)分別為xj(j=1，2,3,4)，可列出下面的數(shù)學(xué)模型：3/25/2024線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用4.配料問題例：某人每天食用甲、乙兩種食物（如豬肉、雞蛋），其資料如下：?jiǎn)杻煞N食物各食用多少，才能既滿足需要、又使總費(fèi)用最省？21.5原料單價(jià)1.007.5010.000.10.151.70.751.101.30A1A2A3

最低需要量

甲乙含量食物成分3/25/2024線性規(guī)劃在管理中的應(yīng)用解：設(shè)Xj表示Bj種食物用量3/25/2024Chapter2對(duì)偶理論

(DualityTheory)線性規(guī)劃的對(duì)偶模型對(duì)偶性質(zhì)對(duì)偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價(jià)格對(duì)偶單純形法本章主要內(nèi)容：3/25/2024線性規(guī)劃的對(duì)偶模型 設(shè)某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，生產(chǎn)中需4種設(shè)備按A，B，C，D順序加工，每件產(chǎn)品加工所需的機(jī)時(shí)數(shù)、每件產(chǎn)品的利潤(rùn)值及每種設(shè)備的可利用機(jī)時(shí)數(shù)列于下表：產(chǎn)品數(shù)據(jù)表問：充分利用設(shè)備機(jī)時(shí)，工廠應(yīng)生產(chǎn)甲和乙型產(chǎn)品各多少件才能獲得最大利潤(rùn)？1.對(duì)偶問題的現(xiàn)實(shí)來源3/25/2024線性規(guī)劃的對(duì)偶模型解：設(shè)甲、乙型產(chǎn)品各生產(chǎn)x1及x2件，則數(shù)學(xué)模型為：反過來問：若廠長(zhǎng)決定不生產(chǎn)甲和乙型產(chǎn)品，決定出租機(jī)器用于接受外加工，只收加工費(fèi)，那么４種機(jī)器的機(jī)時(shí)如何定價(jià)才是最佳決策？3/25/2024線性規(guī)劃的對(duì)偶模型在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的時(shí)代，廠長(zhǎng)的最佳決策顯然應(yīng)符合兩條：

（1）不吃虧原則。即機(jī)時(shí)定價(jià)所賺利潤(rùn)不能低于加工甲、乙型產(chǎn)品所獲利潤(rùn)。由此原則，便構(gòu)成了新規(guī)劃的不等式約束條件。（2）競(jìng)爭(zhēng)性原則。即在上述不吃虧原則下，盡量降低機(jī)時(shí)總收費(fèi)，以便爭(zhēng)取更多用戶。設(shè)A、B、C、D設(shè)備的機(jī)時(shí)價(jià)分別為y1、y2、y3、y4，則新的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型為：3/25/2024線性規(guī)劃的對(duì)偶模型把同種問題的兩種提法所獲得的數(shù)學(xué)模型用表2表示，將會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象。原問題與對(duì)偶問題對(duì)比表3/25/2024線性規(guī)劃的對(duì)偶模型2.原問題與對(duì)偶問題的對(duì)應(yīng)關(guān)系原問題（對(duì)偶問題）對(duì)偶問題（原問題）3/25/2024線性規(guī)劃的對(duì)偶模型（1）對(duì)稱形式 特點(diǎn)：目標(biāo)函數(shù)求極大值時(shí)，所有約束條件為≤號(hào)，變量非負(fù);目標(biāo)函數(shù)求極小值時(shí)，所有約束條件為≥號(hào)，變量非負(fù).已知P，寫出D3/25/2024線性規(guī)劃的對(duì)偶模型例2.1寫出線性規(guī)劃問題的對(duì)偶問題解：首先將原問題變形為對(duì)稱形式3/25/2024線性規(guī)劃的對(duì)偶模型3/25/2024線性規(guī)劃的對(duì)偶模型(2)非對(duì)稱型對(duì)偶問題 若給出的線性規(guī)劃不是對(duì)稱形式，可以先化成對(duì)稱形式再寫對(duì)偶問題。也可直接按教材表2-2中的對(duì)應(yīng)關(guān)系寫出非對(duì)稱形式的對(duì)偶問題。3/25/2024線性規(guī)劃的對(duì)偶模型3/25/2024線性規(guī)劃的對(duì)偶模型例2.2寫出下列線性規(guī)劃問題的對(duì)偶問題.解：原問題的對(duì)偶問題為3/25/2024對(duì)偶性質(zhì)例2.3分別求解下列2個(gè)互為對(duì)偶關(guān)系的線性規(guī)劃問題分別用單純形法求解上述2個(gè)規(guī)劃問題，得到最終單純形表如下表：3/25/2024對(duì)偶性質(zhì)原問題最優(yōu)表對(duì)偶問題最優(yōu)表3/25/2024對(duì)偶性質(zhì)原問題與其對(duì)偶問題的變量與解的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 在單純形表中，原問題的松弛變量對(duì)應(yīng)對(duì)偶問題的變量，對(duì)偶問題的剩余變量對(duì)應(yīng)原問題的變量。3/25/2024對(duì)偶性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱性定理：對(duì)偶問題的對(duì)偶是原問題minW=Ybs.t.YA≥CY≤0maxZ=CXs.t.AX≥bX≥03/25/2024對(duì)偶性質(zhì)性質(zhì)2

弱對(duì)偶原理(弱對(duì)偶性)：設(shè)和分別是問題(P)和(D)的可行解，則必有推論1:原問題任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值是其對(duì)偶問題目標(biāo)函數(shù)值的下屆；反之，對(duì)偶問題任意可行解的目標(biāo)函數(shù)值是其原問題目標(biāo)函數(shù)值的上界。推論2:

在一對(duì)對(duì)偶問題（P）和（D）中，若其中一個(gè)問題可行但目標(biāo)函數(shù)無界，則另一個(gè)問題無可行解；反之不成立。這也是對(duì)偶問題的無界性。3/25/2024對(duì)偶性質(zhì)推論3：在一對(duì)對(duì)偶問題（P）和（D）中，若一個(gè)可行（如P），而另一個(gè)不可行（如D），則該可行的問題目標(biāo)函數(shù)值無界。性質(zhì)3

最優(yōu)性定理：如果是原問題的可行解，是其對(duì)偶問題的可行解，并且:則是原問題的最優(yōu)解，是其對(duì)偶問題的最優(yōu)解。3/25/2024對(duì)偶性質(zhì)性質(zhì)4強(qiáng)對(duì)偶性：若原問題及其對(duì)偶問題均具有可行解，則兩者均具有最優(yōu)解，且它們最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值相等。 還可推出另一結(jié)論：若（LP）與（DP）都有可行解，則兩者都有最優(yōu)解，若一個(gè)問題無最優(yōu)解，則另一問題也無最優(yōu)解。性質(zhì)5

互補(bǔ)松弛性：設(shè)X0和Y0分別是P問題和D問題的可行解，則它們分別是最優(yōu)解的充要條件是：其中：Xs、Ys為松弛變量3/25/2024對(duì)偶性質(zhì)性質(zhì)5的應(yīng)用： 該性質(zhì)給出了已知一個(gè)問題最優(yōu)解求另一個(gè)問題最優(yōu)解的方法，即已知Y＊求X＊或已知X＊求Y＊互補(bǔ)松弛條件由于變量都非負(fù)，要使求和式等于零，則必定每一分量為零，因而有下列關(guān)系：若Y＊≠0，則Xs必為0；若X＊≠0，則Ys必為0利用上述關(guān)系，建立對(duì)偶問題（或原問題）的約束線性方程組，方程組的解即為最優(yōu)解。3/25/2024對(duì)偶性質(zhì)例2.4

已知線性規(guī)劃的最優(yōu)解是X＊=(6,2,0)T,求其對(duì)偶問題的最優(yōu)解Y＊。解：寫出原問題的對(duì)偶問題，即標(biāo)準(zhǔn)化3/25/2024對(duì)偶性質(zhì)設(shè)對(duì)偶問題最優(yōu)解為Y＊＝(y1，y2),由互補(bǔ)松弛性定理可知，X＊和Y＊滿足：即：因?yàn)閄1≠0，X2≠0，所以對(duì)偶問題的第一、二個(gè)約束的松弛變量等于零，即y3＝0，y4＝0，帶入方程中：解此線性方程組得y1=1,y2=1,從而對(duì)偶問題的最優(yōu)解為：Y＊=(1,1)，最優(yōu)值w=26。3/25/2024對(duì)偶性質(zhì)例2.5已知線性規(guī)劃的對(duì)偶問題的最優(yōu)解為Y＊=(0,-2)，求原問題的最優(yōu)解。解:對(duì)偶問題是標(biāo)準(zhǔn)化3/25/2024對(duì)偶性質(zhì)設(shè)對(duì)偶問題最優(yōu)解為X＊＝(x1，x2，x3)T,由互補(bǔ)松弛性定理可知，X＊和Y＊滿足：將Y＊帶入由方程可知，y3＝y(tǒng)5＝0，y4＝1?！遹2=-2≠0∴x5＝0又∵y4=1≠0∴x2＝0將x2，x5分別帶入原問題約束方程中，得：解方程組得：x1=-5,x3=-1,所以原問題的最優(yōu)解為X＊=(-5,0,-1)，最優(yōu)值z(mì)=-123/25/2024對(duì)偶性質(zhì)原問題與對(duì)偶問題解的對(duì)應(yīng)關(guān)系小結(jié)3/25/2024思考題判斷下列結(jié)論是否正確，如果不正確，應(yīng)該怎樣改正？1）任何線性規(guī)劃都存在一個(gè)對(duì)應(yīng)的對(duì)偶線性規(guī)劃.2）原問題第i個(gè)約束是“≤”約束，則對(duì)偶變量yi≥0.3）互為對(duì)偶問題，或者同時(shí)都有最優(yōu)解，或者同時(shí)都無最優(yōu)解.4）對(duì)偶問題有可行解，則原問題也有可行解.5）原問題有多重解，對(duì)偶問題也有多重解.6）對(duì)偶問題有可行解，原問題無可行解，則對(duì)偶問題具有無界解.7）原問題無最優(yōu)解，則對(duì)偶問題無可行解.8）對(duì)偶問題不可行，原問題可能無界解.9）原問題與對(duì)偶問題都可行，則都有最優(yōu)解.10）原問題具有無界解，則對(duì)偶問題不可行.11）對(duì)偶問題具有無界解，則原問題無最優(yōu)解.12）若X*、Y*是原問題與對(duì)偶問題的最優(yōu)解，則X*=Y*.3/25/2024對(duì)偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價(jià)格1.影子價(jià)格的數(shù)學(xué)分析：定義：在一對(duì)P和D中，若P的某個(gè)約束條件的右端項(xiàng)常數(shù)bi（第i種資源的擁有量）增加一個(gè)單位時(shí)，所引起目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值z(mì)*的改變量稱為第i種資源的影子價(jià)格，其值等于D問題中對(duì)偶變量yi*。由對(duì)偶問題得基本性質(zhì)可得：3/25/2024對(duì)偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價(jià)格2.影子價(jià)格的經(jīng)濟(jì)意義1）影子價(jià)格是一種邊際價(jià)格 在其它條件不變的情況下，單位資源數(shù)量的變化所引起的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的變化。即對(duì)偶變量yi就是第i種資源的影子價(jià)格。即：

3/25/2024對(duì)偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價(jià)格2）影子價(jià)格是一種機(jī)會(huì)成本 影子價(jià)格是在資源最優(yōu)利用條件下對(duì)單位資源的估價(jià)，這種估價(jià)不是資源實(shí)際的市場(chǎng)價(jià)格。因此，從另一個(gè)角度說，它是一種機(jī)會(huì)成本。若第i種資源的單位市場(chǎng)價(jià)格為mi，則有當(dāng)yi*>mi時(shí)，企業(yè)愿意購(gòu)進(jìn)這種資源，單位純利為yi*－mi，則有利可圖；如果yi*<mi，則企業(yè)有償轉(zhuǎn)讓這種資源，可獲單位純利mi－yi

*，否則，企業(yè)無利可圖，甚至虧損。結(jié)論：若yi*>mi則購(gòu)進(jìn)資源i，可獲單位純利yi*－mi

若yi*<mi則轉(zhuǎn)讓資源i，可獲單位純利mi－yi3/25/2024對(duì)偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價(jià)格3）影子價(jià)格在資源利用中的應(yīng)用根據(jù)對(duì)偶理論的互補(bǔ)松弛性定理:Y*Xs=0,YsX*=0表明生產(chǎn)過程中如果某種資源bi未得到充分利用時(shí)，該種資源的影子價(jià)格為0；若當(dāng)資源資源的影子價(jià)格不為0時(shí)，表明該種資源在生產(chǎn)中已耗費(fèi)完。3/25/2024對(duì)偶問題的經(jīng)濟(jì)解釋－影子價(jià)格4）影子價(jià)格對(duì)單純形表計(jì)算的解釋單純形表中的檢驗(yàn)數(shù)其中cj表示第j種產(chǎn)品的價(jià)格;表示生產(chǎn)該種產(chǎn)品所消耗的各項(xiàng)資源的影子價(jià)格的總和,即產(chǎn)品的隱含成本。當(dāng)產(chǎn)值大于隱含成本時(shí)，即，表明生產(chǎn)該項(xiàng)產(chǎn)品有利，可在計(jì)劃中安排；否則，用這些資源生產(chǎn)別的產(chǎn)品更有利，不在生產(chǎn)中安排該產(chǎn)品。3/25/2024對(duì)偶單純形法 對(duì)偶單純形法是求解線性規(guī)劃的另一個(gè)基本方法。它是根據(jù)對(duì)偶原理和單純形法原理而設(shè)計(jì)出來的，因此稱為對(duì)偶單純形法。不要簡(jiǎn)單理解為是求解對(duì)偶問題的單純形法。對(duì)偶單純形法原理對(duì)偶單純形法基本思路： 找出一個(gè)對(duì)偶問題的可行基，保持對(duì)偶問題為可行解的條件下，判斷XB是否可行（XB為非負(fù)），若否，通過變換基解，直到找到原問題基可行解（即XB為非負(fù)），這時(shí)原問題與對(duì)偶問題同時(shí)達(dá)到可行解，由定理4可得最優(yōu)解。3/25/2024對(duì)偶單純形法找出一個(gè)DP的可行基LP是否可行（XB≥0）保持DP為可行解情況下轉(zhuǎn)移到LP的另一個(gè)基本解最優(yōu)解是否循環(huán)結(jié)束3/25/2024對(duì)偶單純形法例2.9用對(duì)偶單純形法求解：解:（1）將模型轉(zhuǎn)化為求最大化問題，約束方程化為等式求出一組基本解，因?yàn)閷?duì)偶問題可行，即全部檢驗(yàn)數(shù)≤0（求max問題）。3/25/2024對(duì)偶單純形法3/25/2024對(duì)偶單純形法3/25/2024對(duì)偶單純形法原問題的最優(yōu)解為：X*=（2,2,2,0,0,0），Z*=72其對(duì)偶問題的最優(yōu)解為：Y*=（1/3,3,7/3），W*=723/25/2024對(duì)偶單純形法對(duì)偶單純形法應(yīng)注意的問題：

用對(duì)偶單純形法求解線性規(guī)劃是一種求解方法，而不是去求對(duì)偶問題的最優(yōu)解初始表中一定要滿足對(duì)偶問題可行，也就是說檢驗(yàn)數(shù)滿足最優(yōu)判別準(zhǔn)則最小比值中的絕對(duì)值是使得比值非負(fù)，在極小化問題σj≥0，分母aij<0這時(shí)必須取絕對(duì)值。在極大化問題中，σ

j≤0，分母aij<0，總滿足非負(fù)，這時(shí)絕對(duì)值符號(hào)不起作用，可以去掉。如在本例中將目標(biāo)函數(shù)寫成這里σj≤0在求θk時(shí)就可以不帶絕對(duì)值符號(hào)。3/25/2024對(duì)偶單純形法對(duì)偶單純形法與普通單純形法的換基順序不一樣，普通單純形法是先確定進(jìn)基變量后確定出基變量，對(duì)偶單純形法是先確定出基變量后確定進(jìn)基變量；普通單純形法的最小比值是其目的是保證下一個(gè)原問題的基本解可行，對(duì)偶單純形法的最小比值是其目的是保證下一個(gè)對(duì)偶問題的基本解可行對(duì)偶單純形法在確定出基變量時(shí)，若不遵循規(guī)則，任選一個(gè)小于零的bi對(duì)應(yīng)的基變量出基，不影響計(jì)算結(jié)果，只是迭代次數(shù)可能不一樣。3/25/2024本章小結(jié) 學(xué)習(xí)要點(diǎn)： 1.線性規(guī)劃解的概念以及3個(gè)基本定理 2.熟練掌握單純形法的解題思路及求解步驟3/25/2024Chapter3運(yùn)輸規(guī)劃

(TransportationProblem)運(yùn)輸規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型表上作業(yè)法運(yùn)輸問題的應(yīng)用本章主要內(nèi)容：3/25/2024運(yùn)輸規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型例3.1某公司從兩個(gè)產(chǎn)地A1、A2將物品運(yùn)往三個(gè)銷地B1,B2,B3，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運(yùn)往各銷地每件物品的運(yùn)費(fèi)如下表所示，問：應(yīng)如何調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)輸費(fèi)用最小？3/25/2024運(yùn)輸規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型解：產(chǎn)銷平衡問題：總產(chǎn)量=總銷量＝500設(shè)xij為從產(chǎn)地Ai運(yùn)往銷地Bj的運(yùn)輸量，得到下列運(yùn)輸量表：MinC=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23s.t.x11+x12+x13=200

x21+x22+x23=300

x11+x21=150

x12+x22=150

x13+x23=200xij≥0(i=1、2；j=1、2、3）3/25/2024運(yùn)輸規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型運(yùn)輸問題的一般形式：產(chǎn)銷平衡A1、A2、…、Am表示某物資的m個(gè)產(chǎn)地；B1、B2、…、Bn表示某物質(zhì)的n個(gè)銷地；ai表示產(chǎn)地Ai的產(chǎn)量；bj表示銷地Bj的銷量；cij表示把物資從產(chǎn)地Ai運(yùn)往銷地Bj的單位運(yùn)價(jià)。設(shè)xij為從產(chǎn)地Ai運(yùn)往銷地Bj的運(yùn)輸量，得到下列一般運(yùn)輸量問題的模型：3/25/2024運(yùn)輸規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型變化：1）有時(shí)目標(biāo)函數(shù)求最大。如求利潤(rùn)最大或營(yíng)業(yè)額最大等；2）當(dāng)某些運(yùn)輸線路上的能力有限制時(shí)，在模型中直接加入約束條件（等式或不等式約束)；3）產(chǎn)銷不平衡時(shí)，可加入假想的產(chǎn)地（銷大于產(chǎn)時(shí)）或銷地（產(chǎn)大于銷時(shí)）。定理:設(shè)有m個(gè)產(chǎn)地n個(gè)銷地且產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問題，則基變量數(shù)為m+n-1。3/25/2024表上作業(yè)法表上作業(yè)法是一種求解運(yùn)輸問題的特殊方法，其實(shí)質(zhì)是單純形法。3/25/2024表上作業(yè)法例3.2某運(yùn)輸資料如下表所示：?jiǎn)枺簯?yīng)如何調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)輸費(fèi)用最?。?/25/2024表上作業(yè)法解：第1步求初始方案方法1：最小元素法基本思想是就近供應(yīng)，即從運(yùn)價(jià)最小的地方開始供應(yīng)（調(diào)運(yùn)），然后次小，直到最后供完為止。3113101927410583416333/25/2024表上作業(yè)法總的運(yùn)輸費(fèi)＝(3×1)+(6×4)+(4×3)+(1×2)+(3×10)+(3×5)=86元 元素差額法對(duì)最小元素法進(jìn)行了改進(jìn)，考慮到產(chǎn)地到銷地的最小運(yùn)價(jià)和次小運(yùn)價(jià)之間的差額，如果差額很大，就選最小運(yùn)價(jià)先調(diào)運(yùn)，否則會(huì)增加總運(yùn)費(fèi)。例如下面兩種運(yùn)輸方案。15510總運(yùn)費(fèi)是z=10×8+5×2+15×1=105最小元素法：3/25/2024表上作業(yè)法51510總運(yùn)費(fèi)z=10×5+15×2+5×1=85后一種方案考慮到C11與C21之間的差額是8－2=6，如果不先調(diào)運(yùn)x21，到后來就有可能x11≠0，這樣會(huì)使總運(yùn)費(fèi)增加較大，從而先調(diào)運(yùn)x21，再是x22，其次是x12用元素差額法求得的基本可行解更接近最優(yōu)解，所以也稱為近似方案。3/25/2024表上作業(yè)法方法2：Vogel法1）從運(yùn)價(jià)表中分別計(jì)算出各行和各列的最小運(yùn)費(fèi)和次最小運(yùn)費(fèi)的差額，并填入該表的最右列和最下行。3113101927410583/25/2024表上作業(yè)法2）再?gòu)牟钪底畲蟮男谢蛄兄姓页鲎钚∵\(yùn)價(jià)確定供需關(guān)系和供需數(shù)量。當(dāng)產(chǎn)地或銷地中有一方數(shù)量供應(yīng)完畢或得到滿足時(shí)，劃去運(yùn)價(jià)表中對(duì)應(yīng)的行或列。重復(fù)1)和2)，直到找出初始解為至。31131019274105853/25/2024表上作業(yè)法71135215××3/25/2024表上作業(yè)法7135275×××3×3/25/2024表上作業(yè)法113515×××3×631××2該方案的總運(yùn)費(fèi):(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元3/25/2024表上作業(yè)法第2步最優(yōu)解的判別（檢驗(yàn)數(shù)的求法） 求出一組基可行解后，判斷是否為最優(yōu)解，仍然是用檢驗(yàn)數(shù)來判斷，記xij的檢驗(yàn)數(shù)為λij由第一章知，求最小值的運(yùn)輸問題的最優(yōu)判別準(zhǔn)則是：所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)都非負(fù)，則運(yùn)輸方案最優(yōu)求檢驗(yàn)數(shù)的方法有兩種：閉回路法位勢(shì)法（▲）3/25/2024表上作業(yè)法閉回路的概念為一個(gè)閉回路，集合中的變量稱為回路的頂點(diǎn)，相鄰兩個(gè)變量的連線為閉回路的邊。如下表3/25/2024表上作業(yè)法例下表中閉回路的變量集合是{x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35,x31}共有8個(gè)頂點(diǎn)，這8個(gè)頂點(diǎn)間用水平或垂直線段連接起來，組成一條封閉的回路。一條回路中的頂點(diǎn)數(shù)一定是偶數(shù)，回路遇到頂點(diǎn)必須轉(zhuǎn)90度與另一頂點(diǎn)連接，表3－3中的變量x32及x33不是閉回路的頂點(diǎn)，只是連線的交點(diǎn)。3/25/2024表上作業(yè)法閉回路例如變量組不能構(gòu)成一條閉回路，但A中包含有閉回路

變量組變量數(shù)是奇數(shù)，顯然不是閉回路，也不含有閉回路；3/25/2024表上作業(yè)法用位勢(shì)法對(duì)初始方案進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)：1）由

ij=Cij-（Ui+Vj）計(jì)算位勢(shì)Ui，Vj，因?qū)兞慷杂?/p>

ij=0，即Cij-（Ui+Vj）=0，令U1=02）再由

ij=Cij-（Ui+Vj）計(jì)算非基變量的檢驗(yàn)數(shù)

ij3113101927410584363130-1-531029（1）（2）（1）（-1）（10）（12）當(dāng)存在非基變量的檢驗(yàn)數(shù)

kl≥0，說明現(xiàn)行方案為最優(yōu)方案，否則目標(biāo)成本還可以進(jìn)一步減小。3/25/2024表上作業(yè)法當(dāng)存在非基變量的檢驗(yàn)數(shù)

kl<0且

kl=min{ij}時(shí)，令Xkl進(jìn)基。從表中知可選X24進(jìn)基。第3步確定換入基的變量第4步確定換出基的變量以進(jìn)基變量xik為起點(diǎn)的閉回路中，標(biāo)有負(fù)號(hào)的最小運(yùn)量作為調(diào)整量θ，θ對(duì)應(yīng)的基變量為出基變量，并打上“×”以示換出作為非基變量。3/25/2024表上作業(yè)法311310192741058436313(＋)(－)(＋)(－)調(diào)整步驟為：在進(jìn)基變量的閉回路中標(biāo)有正號(hào)的變量加上調(diào)整量θ，標(biāo)有負(fù)號(hào)的變量減去調(diào)整量θ，其余變量不變，得到一組新的基可行解。然后求所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)重新檢驗(yàn)。1253/25/2024表上作業(yè)法當(dāng)所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)均非負(fù)時(shí)，則當(dāng)前調(diào)運(yùn)方案即為最優(yōu)方案，如表此時(shí)最小總運(yùn)費(fèi)：Z=(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元3113101927410585363120-2-531039（0）（2）（2）（1）（12）（9）3/25/2024表上作業(yè)法表上作業(yè)法的計(jì)算步驟：分析實(shí)際問題列出產(chǎn)銷平衡表及單位運(yùn)價(jià)表確定初始調(diào)運(yùn)方案（最小元素法或Vogel法）求檢驗(yàn)數(shù)（位勢(shì)法）所有檢驗(yàn)數(shù)≥0找出絕對(duì)值最大的負(fù)檢驗(yàn)數(shù)，用閉合回路調(diào)整，得到新的調(diào)運(yùn)方案得到最優(yōu)方案，算出總運(yùn)價(jià)3/25/2024表上作業(yè)法表上作業(yè)法計(jì)算中的問題：（1）若運(yùn)輸問題的某一基可行解有多個(gè)非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為負(fù)，在繼續(xù)迭代時(shí)，取它們中任一變量為換入變量均可使目標(biāo)函數(shù)值得到改善，但通常取σij<0中最小者對(duì)應(yīng)的變量為換入變量。（2）無窮多最優(yōu)解 產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問題必定存最優(yōu)解。如果非基變量的σij＝0，則該問題有無窮多最優(yōu)解。3/25/2024表上作業(yè)法⑵退化解：

※表格中一般要有(m+n-1)個(gè)數(shù)字格。但有時(shí)在分配運(yùn)量時(shí)則需要同時(shí)劃去一行和一列，這時(shí)需要補(bǔ)一個(gè)0，以保證有(m+n-1)個(gè)數(shù)字格作為基變量。一般可在劃去的行和列的任意空格處加一個(gè)0即可。

※利用進(jìn)基變量的閉回路對(duì)解進(jìn)行調(diào)整時(shí)，標(biāo)有負(fù)號(hào)的最小運(yùn)量（超過2個(gè)最小值）作為調(diào)整量θ，選擇任意一個(gè)最小運(yùn)量對(duì)應(yīng)的基變量作為出基變量，并打上“×”以示作為非基變量。3/25/2024表上作業(yè)法1241148310295116(0)(2)(9)(2)(1)(12)81242814如下例中σ11檢驗(yàn)數(shù)是0，經(jīng)過調(diào)整，可得到另一個(gè)最優(yōu)解。3/25/2024表上作業(yè)法11443137782106×3×416×06×××在x12、x22、x33、x34中任選一個(gè)變量作為基變量，例如選x34例：用最小元素法求初始可行解3/25/2024運(yùn)輸問題的應(yīng)用求極大值問題目標(biāo)函數(shù)求利潤(rùn)最大或營(yíng)業(yè)額最大等問題。3/25/2024運(yùn)輸問題的應(yīng)用求解方法： 將極大化問題轉(zhuǎn)化為極小化問題。設(shè)極大化問題的運(yùn)價(jià)表為C，用一個(gè)較大的數(shù)M（M≥max{cij}）去減每一個(gè)cij得到矩陣C′，其中C′=（M－cij）≥0,將C′作為極小化問題的運(yùn)價(jià)表，用表上用業(yè)法求出最優(yōu)解。3/25/2024運(yùn)輸問題的應(yīng)用例3.3下列矩陣C是Ai（I=1，2，3）到Bj的噸公里利潤(rùn),運(yùn)輸部門如何安排運(yùn)輸方案使總利潤(rùn)最大.3/25/2024運(yùn)輸問題的應(yīng)用得到新的最小化運(yùn)輸問題，用表上作業(yè)法求解即可。3/25/2024運(yùn)輸問題的應(yīng)用產(chǎn)銷不平衡的運(yùn)輸問題 當(dāng)總產(chǎn)量與總銷量不相等時(shí),稱為不平衡運(yùn)輸問題.這類運(yùn)輸問題在實(shí)際中常常碰到,它的求解方法是將不平衡問題化為平衡問題再按平衡問題求解。當(dāng)產(chǎn)大于銷時(shí)，即：數(shù)學(xué)模型為：3/25/2024運(yùn)輸問題的應(yīng)用由于總產(chǎn)量大于總銷量，必有部分產(chǎn)地的產(chǎn)量不能全部運(yùn)送完，必須就地庫(kù)存，即每個(gè)產(chǎn)地設(shè)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，假設(shè)該倉(cāng)庫(kù)為一個(gè)虛擬銷地Bn+1，bn+1作為一個(gè)虛設(shè)銷地Bn+1的銷量(即庫(kù)存量)。各產(chǎn)地Ai到Bn+1的運(yùn)價(jià)為零，即Ci,n+1=0,（i=1，…，m）。則平衡問題的數(shù)學(xué)模型為：具體求解時(shí),只在運(yùn)價(jià)表右端增加一列Bn+1，運(yùn)價(jià)為零,銷量為bn+1即可3/25/2024運(yùn)輸問題的應(yīng)用當(dāng)銷大于產(chǎn)時(shí)，即：數(shù)學(xué)模型為：由于總銷量大于總產(chǎn)量,故一定有些需求地不完全滿足,這時(shí)虛設(shè)一個(gè)產(chǎn)地Am+1，產(chǎn)量為：3/25/2024運(yùn)輸問題的應(yīng)用銷大于產(chǎn)化為平衡問題的數(shù)學(xué)模型為：具體計(jì)算時(shí)，在運(yùn)價(jià)表的下方增加一行Am+1，運(yùn)價(jià)為零。產(chǎn)量為am+1即可。3/25/2024運(yùn)輸問題的應(yīng)用例3.4求下列表中極小化運(yùn)輸問題的最優(yōu)解。因?yàn)橛校?/25/2024運(yùn)輸問題的應(yīng)用所以是一個(gè)產(chǎn)大于銷的運(yùn)輸問題。表中A2不可達(dá)B1，用一個(gè)很大的正數(shù)M表示運(yùn)價(jià)C21。虛設(shè)一個(gè)銷量為b5=180-160=20，Ci5=0，i=1,2,3,4，表的右邊增添一列，得到新的運(yùn)價(jià)表。3/25/2024運(yùn)輸問題的應(yīng)用下表為計(jì)算結(jié)果。可看出：產(chǎn)地A4還有20個(gè)單位沒有運(yùn)出。3/25/2024運(yùn)輸問題的應(yīng)用3.生產(chǎn)與儲(chǔ)存問題例3.5某廠按合同規(guī)定須于當(dāng)年每個(gè)季度末分別提供10、15、25、20臺(tái)同一規(guī)格的柴油機(jī)。已知該廠各季度的生產(chǎn)能力及生產(chǎn)每臺(tái)柴油機(jī)的成本如右表。如果生產(chǎn)出來的柴油機(jī)當(dāng)季不交貨，每臺(tái)每積壓一個(gè)季度需儲(chǔ)存、維護(hù)等費(fèi)用0.15萬元。試求在完成合同的情況下，使該廠全年生產(chǎn)總費(fèi)用為最小的決策方案。3/25/2024運(yùn)輸問題的應(yīng)用解：設(shè)xij為第i季度生產(chǎn)的第j季度交貨的柴油機(jī)數(shù)目，那么應(yīng)滿足：交貨：

x11=10生產(chǎn)：x11+x12+x13+x14≤25

x12+x22=15x22+x23+x24≤35x13+x23+x33=25x33+x34≤30x14+x24+x34+x44=20x44≤10把第i季度生產(chǎn)的柴油機(jī)數(shù)目看作第i個(gè)生產(chǎn)廠的產(chǎn)量；把第j季度交貨的柴油機(jī)數(shù)目看作第j個(gè)銷售點(diǎn)的銷量；設(shè)cij是第i季度生產(chǎn)的第j季度交貨的每臺(tái)柴油機(jī)的實(shí)際成本，應(yīng)該等于該季度單位成本加上儲(chǔ)存、維護(hù)等費(fèi)用?？蓸?gòu)造下列產(chǎn)銷平衡問題：3/25/2024運(yùn)輸問題的應(yīng)用由于產(chǎn)大于銷，加上一個(gè)虛擬的銷地D，化為平衡問題，即可應(yīng)用表上作業(yè)法求解。3/25/2024運(yùn)輸問題的應(yīng)用該問題的數(shù)學(xué)模型：Minf=10.8x11+10.95x12+11.1x13+11.25x14+11.1x22+11.25x23 +11.4x24+11.0x33+11.15x34+11.3x44

3/25/2024運(yùn)輸問題的應(yīng)用最優(yōu)生產(chǎn)決策如下表，最小費(fèi)用z＝773萬元。3/25/2024Chapter4整數(shù)規(guī)劃

(IntegerProgramming)整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用分支定界法分配問題與匈牙利法本章主要內(nèi)容：3/25/2024整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃（簡(jiǎn)稱：IP） 要求一部分或全部決策變量取整數(shù)值的規(guī)劃問題稱為整數(shù)規(guī)劃。不考慮整數(shù)條件，由余下的目標(biāo)函數(shù)和約束條件構(gòu)成的規(guī)劃問題稱為該整數(shù)規(guī)劃問題的松弛問題。若該松弛問題是一個(gè)線性規(guī)劃，則稱該整數(shù)規(guī)劃為整數(shù)線性規(guī)劃。整數(shù)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式：3/25/2024整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)線性規(guī)劃問題的種類：純整數(shù)線性規(guī)劃：指全部決策變量都必須取整數(shù)值的整數(shù)線性規(guī)劃。混合整數(shù)線性規(guī)劃：決策變量中有一部分必須取整數(shù)值，另一部分可以不取整數(shù)值的整數(shù)線性規(guī)劃。0-1型整數(shù)線性規(guī)劃：決策變量只能取值0或1的整數(shù)線性規(guī)劃。3/25/2024整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃的典型例子例4.1工廠A1和A2生產(chǎn)某種物資。由于該種物資供不應(yīng)求，故需要再建一家工廠。相應(yīng)的建廠方案有A3和A4兩個(gè)。這種物資的需求地有B1,B2,B3,B4四個(gè)。各工廠年生產(chǎn)能力、各地年需求量、各廠至各需求地的單位物資運(yùn)費(fèi)cij，見下表：工廠A3或A4開工后，每年的生產(chǎn)費(fèi)用估計(jì)分別為1200萬或1500萬元?，F(xiàn)要決定應(yīng)該建設(shè)工廠A3還是A4，才能使今后每年的總費(fèi)用最少。3/25/2024整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用解：這是一個(gè)物資運(yùn)輸問題，特點(diǎn)是事先不能確定應(yīng)該建A3還是A4中哪一個(gè)，因而不知道新廠投產(chǎn)后的實(shí)際生產(chǎn)物資。為此，引入0-1變量：再設(shè)xij為由Ai運(yùn)往Bj的物資數(shù)量，單位為千噸；z表示總費(fèi)用，單位萬元。則該規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型可以表示為：3/25/2024整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用混合整數(shù)規(guī)劃問題3/25/2024整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例4.2現(xiàn)有資金總額為B。可供選擇的投資項(xiàng)目有n個(gè)，項(xiàng)目j所需投資額和預(yù)期收益分別為aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由于種種原因，有三個(gè)附加條件：若選擇項(xiàng)目1，就必須同時(shí)選擇項(xiàng)目2。反之不一定項(xiàng)目3和4中至少選擇一個(gè)；項(xiàng)目5,6,7中恰好選擇2個(gè)。應(yīng)該怎樣選擇投資項(xiàng)目，才能使總預(yù)期收益最大。3/25/2024整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用解：對(duì)每個(gè)投資項(xiàng)目都有被選擇和不被選擇兩種可能，因此分別用0和1表示，令xj表示第j個(gè)項(xiàng)目的決策選擇，記為：投資問題可以表示為：3/25/2024整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例4.3指派問題或分配問題。人事部門欲安排四人到四個(gè)不同崗位工作，每個(gè)崗位一個(gè)人。經(jīng)考核四人在不同崗位的成績(jī)（百分制）如表所示，如何安排他們的工作使總成績(jī)最好。3/25/2024整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用設(shè)數(shù)學(xué)模型如下：要求每人做一項(xiàng)工作，約束條件為：3/25/2024整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用每項(xiàng)工作只能安排一人，約束條件為：變量約束：3/25/2024整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃問題解的特征：整數(shù)規(guī)劃問題的可行解集合是它松弛問題可行解集合的一個(gè)子集，任意兩個(gè)可行解的凸組合不一定滿足整數(shù)約束條件，因而不一定仍為可行解。整數(shù)規(guī)劃問題的可行解一定是它的松弛問題的可行解（反之不一定），但其最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值不會(huì)優(yōu)于后者最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值。3/25/2024整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例4.3設(shè)整數(shù)規(guī)劃問題如下首先不考慮整數(shù)約束，得到線性規(guī)劃問題（一般稱為松弛問題）。3/25/2024整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用用圖解法求出最優(yōu)解為：x1＝3/2,x2=10/3，且有Z=29/6 現(xiàn)求整數(shù)解(最優(yōu)解):如用舍入取整法可得到4個(gè)點(diǎn)即(1，3),(2，3),(1，4),(2，4)。顯然，它們都不可能是整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。x1x2⑴⑵33(3/2,10/3) 按整數(shù)規(guī)劃約束條件，其可行解肯定在線性規(guī)劃問題的可行域內(nèi)且為整數(shù)點(diǎn)。故整數(shù)規(guī)劃問題的可行解集是一個(gè)有限集，如右圖所示。其中(2,2),(3,1)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值最大，即為Z=4。3/25/2024整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃問題的求解方法：分支定界法和割平面法匈牙利法（指派問題）3/25/2024分支定界法1）求整數(shù)規(guī)劃的松弛問題最優(yōu)解； 若松弛問題的最優(yōu)解滿足整數(shù)要求，得到整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解,否則轉(zhuǎn)下一步；2）分支與定界： 任意選一個(gè)非整數(shù)解的變量xi，在松弛問題中加上約束：xi≤[xi]和xi≥[xi]+1組成兩個(gè)新的松弛問題，稱為分枝。新的松弛問題具有特征：當(dāng)原問題是求最大值時(shí)，目標(biāo)值是分枝問題的上界；當(dāng)原問題是求最小值時(shí)，目標(biāo)值是分枝問題的下界。 檢查所有分枝的解及目標(biāo)函數(shù)值，若某分枝的解是整數(shù)并且目標(biāo)函數(shù)值大于（max）等于其它分枝的目標(biāo)值，則將其它分枝剪去不再計(jì)算，若還存在非整數(shù)解并且目標(biāo)值大于(max)整數(shù)解的目標(biāo)值，需要繼續(xù)分枝，再檢查，直到得到最優(yōu)解。分支定界法的解題步驟：3/25/2024分支定界法例4.4用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問題解：首先去掉整數(shù)約束，變成一般線性規(guī)劃問題(原整數(shù)規(guī)劃問題的松馳問題)LPIP3/25/2024分支定界法用圖解法求松弛問題的最優(yōu)解，如圖所示。x1x2⑴⑵3(18/11,40/11)⑶21123x1＝18/11,x2=40/11Z=－218/11≈(－19.8)即Z也是IP最小值的下限。對(duì)于x1＝18/11≈1.64，取值x1≤1，x1≥2對(duì)于x2=40/11≈3.64，取值x2≤3，x2≥4先將（LP）劃分為（LP1）和（LP2）,取x1≤1,x1≥23/25/2024分支定界法分支：分別求出（LP1）和（LP2）的最優(yōu)解。3/25/2024分支定界法先求LP1,如圖所示。此時(shí)在B點(diǎn)取得最優(yōu)解。x1＝1,x2=3,Z(1)＝－16找到整數(shù)解，問題已探明，此枝停止計(jì)算。x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BAC同理求LP2,如圖所示。在C點(diǎn)取得最優(yōu)解。即:x1＝2,x2=10/3,Z(2)＝－56/3≈－18.7∵Z(2)<Z(1)＝－16∴原問題有比－16更小的最優(yōu)解，但x2不是整數(shù)，故繼續(xù)分支。3/25/2024分支定界法在IP2中分別再加入條件：x2≤3,x2≥4得下式兩支：分別求出LP21和LP22的最優(yōu)解3/25/2024分支定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BACD先求LP21,如圖所示。此時(shí)D在點(diǎn)取得最優(yōu)解。即x1＝12/5≈2.4,x2=3,Z(21)＝-87/5≈-17.4<Z(1)=-16但x1＝12/5不是整數(shù)，可繼續(xù)分枝。即3≤x1≤2。求LP22，如圖所示。無可行解，故不再分枝。3/25/2024分支定界法在（LP21）的基礎(chǔ)上繼續(xù)分枝。加入條件3≤x1≤2有下式：分別求出（LP211）和（LP212）的最優(yōu)解3/25/2024分支定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BACDEF先求（LP211）,如圖所示。此時(shí)在E點(diǎn)取得最優(yōu)解。即x1＝2,x2=3,Z(211)＝－17找到整數(shù)解，問題已探明，此枝停止計(jì)算。求（LP212），如圖所示。此時(shí)F在點(diǎn)取得最優(yōu)解。即x1＝3,x2=2.5,Z(212)＝－31/2≈－15.5>Z(211)

如對(duì)LP212繼續(xù)分解，其最小值也不會(huì)低于－15.5，問題探明,剪枝。3/25/2024分支定界法原整數(shù)規(guī)劃問題的最優(yōu)解為:x1=2,x2=3,Z*=－17以上的求解過程可以用一個(gè)樹形圖表示如右：LP1x1=1,x2=3Z(1)＝－16LPx1=18/11,x2=40/11Z(0)＝－19.8LP2x1=2,x2=10/3Z(2)＝－18.5LP21x1=12/5,x2=3Z(21)＝－17.4LP22無可行解LP211x1=2,x2=3Z(211)＝－17LP212x1=3,x2=5/2Z(212)＝－15.5x1≤1x1≥2x2≤3x2≥4x1≤2x1≥3＃＃＃＃3/25/2024分支定界法例4.5用分枝定界法求解解:先求對(duì)應(yīng)的松弛問題（記為L(zhǎng)P0）用圖解法得到最優(yōu)解X＝(3.57,7.14),Z0=35.7,如下圖所示。3/25/2024分支定界法1010松弛問題LP0的最優(yōu)解X=(3.57,7.14),Z0=35.7x1x2oABC3/25/2024分支定界法10x2oABCLP1LP234LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8①②LP2:X=(4,6.5),Z2=35.53/25/2024分支定界法10x1x2oABCLP1LP2134LP21:X=(4.33,6),Z21=35.3363/25/2024分支定界法10x1x2oACLP1346LP211:X=(4,6),Z211=34LP212:X=(5,5),Z212=355LP2123/25/2024分支定界法上述分枝過程可用下圖表示：LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7LP1:X=(3,7.6)Z1=34.8LP2:X=(4,6.5)Z2=35.5x1≤3x1≥4LP21:X=(4.33,6)Z21=35.33x2≤6LP211:X=(4,6)Z211=34LP212:X=(5,5)Z212=35x1≤4x1≥5LP22無可行解x2≥73/25/2024小結(jié)學(xué)習(xí)要點(diǎn)：掌握一般整數(shù)規(guī)劃問題概念及模型結(jié)構(gòu)掌握分支定界法原理能夠用分支定界法求解一般整數(shù)規(guī)劃問題課后練習(xí)：3/25/2024分配問題與匈牙利法指派問題的數(shù)學(xué)模型的標(biāo)準(zhǔn)形式： 設(shè)n個(gè)人被分配去做n件工作，規(guī)定每個(gè)人只做一件工作，每件工作只有一個(gè)人去做。已知第i個(gè)人去做第j件工作的效率（時(shí)間或費(fèi)用）為Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假設(shè)Cij≥0。問應(yīng)如何分配才能使總效率（時(shí)間或費(fèi)用）最高？設(shè)決策變量3/25/2024分配問題與匈牙利法指派問題的數(shù)學(xué)模型為：3/25/2024分配問題與匈牙利法克尼格定理:

如果從分配問題效率矩陣[aij]的每一行元素中分別減去(或加上)一個(gè)常數(shù)ui，從每一列中分別減去(或加上)一個(gè)常數(shù)vj，得到一個(gè)新的效率矩陣[bij]，則以[bij]為效率矩陣的分配問題與以[aij]為效率矩陣的分配問題具有相同的最優(yōu)解。3/25/2024分配問題與匈牙利法指派問題的求解步驟：1)變換指派問題的系數(shù)矩陣(cij)為(bij)，使在(bij)的各行各列中都出現(xiàn)0元素，即從(cij)的每行元素都減去該行的最小元素；再?gòu)乃眯孪禂?shù)矩陣的每列元素中減去該列的最小元素。2)進(jìn)行試指派，以尋求最優(yōu)解。在(bij)中找盡可能多的獨(dú)立0元素，若能找出n個(gè)獨(dú)立0元素，就以這n個(gè)獨(dú)立0元素對(duì)應(yīng)解矩陣(xij)中的元素為1，其余為0，這就得到最優(yōu)解。3/25/2024分配問題與匈牙利法找獨(dú)立0元素，常用的步驟為：從只有一個(gè)0元素的行開始，給該行中的0元素加圈，記作◎。然后劃去◎所在列的其它0元素，記作?；這表示該列所代表的任務(wù)已指派完，不必再考慮別人了。依次進(jìn)行到最后一行。從只有一個(gè)0元素的列開始（畫?的不計(jì)在內(nèi)），給該列中的0元素加圈，記作◎；然后劃去◎所在行的0元素，記作?，表示此人已有任務(wù)，不再為其指派其他任務(wù)了。依次進(jìn)行到最后一列。若仍有沒有劃圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有兩個(gè)，比較這行各0元素所在列中0元素的數(shù)目，選擇0元素少這個(gè)0元素加圈(表示選擇性多的要“禮讓”選擇性少的)。然后劃掉同行同列的其它0元素?？煞磸?fù)進(jìn)行，直到所有0元素都已圈出和劃掉為止。3/25/2024分配問題與匈牙利法若◎元素的數(shù)目m等于矩陣的階數(shù)n（即：m＝n），那么這指派問題的最優(yōu)解已得到。若m<n,則轉(zhuǎn)入下一步。3)用最少的直線通過所有0元素。其方法：

對(duì)沒有◎的行打“√”；對(duì)已打“√”

的行中所有含?元素的列打“√”

；再對(duì)打有“√”的列中含◎元素的行打“√”

；重復(fù)①、②直到得不出新的打√號(hào)的行、列為止；對(duì)沒有打√號(hào)的行畫橫線，有打√號(hào)的列畫縱線，這就得到覆蓋所有0元素的最少直線數(shù)l。注：l應(yīng)等于m，若不相等，說明試指派過程有誤，回到第2步，另行試指派；若l＝m<n，表示還不能確定最優(yōu)指派方案，須再變換當(dāng)前的系數(shù)矩陣，以找到n個(gè)獨(dú)立的0元素，為此轉(zhuǎn)第4步。3/25/2024分配問題與匈牙利法4)變換矩陣(bij)以增加0元素 在沒有被直線通過的所有元素中找出最小值，沒有被直線通過的所有元素減去這個(gè)最小元素；直線交點(diǎn)處的元素加上這個(gè)最小值。新系數(shù)矩陣的最優(yōu)解和原問題仍相同。轉(zhuǎn)回第2步。3/25/2024分配問題與匈牙利法例4.6有一份中文說明書，需譯成英、日、德、俄四種文字，分別記作A、B、C、D?，F(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人，他們將中文說明書譯成不同語(yǔ)種的說明書所需時(shí)間如下表所示，問如何分派任務(wù)，可使總時(shí)間最少？3/25/2024分配問題與匈牙利法解：1）變換系數(shù)矩陣，增加0元素。－52）試指派（找獨(dú)立0元素）◎◎◎??找到3個(gè)獨(dú)立零元素但m=3<n=

43/25/2024分配問題與匈牙利法3）作最少的直線覆蓋所有0元素

◎◎◎??√√√獨(dú)立零元素的個(gè)數(shù)m等于最少直線數(shù)l，即l＝m=3<n=4；4）沒有被直線通過的元素中選擇最小值為1，變換系數(shù)矩陣，將沒有被直線通過的所有元素減去這個(gè)最小元素；直線交點(diǎn)處的元素加上這個(gè)最小值。得到新的矩陣，重復(fù)2）步進(jìn)行試指派3/25/2024分配問題與匈牙利法000000試指派◎◎◎??◎得到4個(gè)獨(dú)立零元素，所以最優(yōu)解矩陣為：即完成4個(gè)任務(wù)的總時(shí)間最少為：2＋4＋1+8=153/25/2024分配問題與匈牙利法例4.7已知四人分別完成四項(xiàng)工作所需時(shí)間如下表，求最優(yōu)分配方案。3/25/2024分配問題與匈牙利法解：1）變換系數(shù)矩陣，增加0元素?！?◎??◎◎2）試指派（找獨(dú)立0元素）獨(dú)立0元素的個(gè)數(shù)為4,指派問題的最優(yōu)指派方案即為甲負(fù)責(zé)D工作，乙負(fù)責(zé)B工作，丙負(fù)責(zé)A工作，丁負(fù)責(zé)C工作。這樣安排能使總的工作時(shí)間最少，為4＋4＋9＋11＝28。3/25/2024分配問題與匈牙利法例4.8已知五人分別完成五項(xiàng)工作耗費(fèi)如下表，求最優(yōu)分配方案。3/25/2024分配問題與匈牙利法-1-2解：1）變換系數(shù)矩陣，增加0元素。3/25/2024分配問題與匈牙利法◎?◎◎◎??2）試指派（找獨(dú)立0元素）獨(dú)立0元素的個(gè)數(shù)l＝4<5，故畫直線調(diào)整矩陣。3/25/2024分配問題與匈牙利法◎?◎◎◎??√√√選擇直線外的最小元素為1；直線外元素減1，直線交點(diǎn)元素加1，其他保持不變。3/25/2024分配問題與匈牙利法◎?◎?◎?◎?√√√√√√√l=m=4<n=5選擇直線外最小元素為1，直線外元素減1，直線交點(diǎn)元素加1，其他保持不變，得到新的系數(shù)矩陣。3/25/2