2024年中考數學一輪復習-垂線段最短+北師大版（含答案）

2024年中考數學一輪復習-垂線段最短北師大版一、選擇題1．如圖是小明同學在體育課上跳遠后留下的腳印，他的跳遠成績是線段（）的長度，這樣測量的依據是（）A．AM，兩點之間，線段最短B．AM，兩點確定一條直線C．BN，垂線段最短D．BN，三角形兩邊之和大于第三邊2．如圖，斑馬線的作用是為了引導行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現的數學依據是（）A．垂線段最短B．兩點確定一條直線C．兩點之間，線段最短D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行3．如圖，從人行橫道線上的點P處過馬路，沿線路PB行走距離最短，其依據的數學道理是（）A．垂線段最短B．兩點之間線段最短C．兩點確定一條直線D．在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直4．如圖所示，△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，則下列結論：①BC＞CD；②AC＞AD；③AB＞AC；④BC＞AD．正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．如圖，在平面內過點O作已知直線m的垂線，可作垂線的條數有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數條6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點A．5 B．125 C．245 D7．點A為直線BC外一點，AC⊥BC于點C，AC=6．點P是直線BCA．1 B．3 C．5 D．78．如圖，⊙O的半徑為5cm，弦AB=8cm，P是弦A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．4≤9．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，點P為BC邊上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作A．3 B．2.5 C．2.410．如圖，在Rt△ABC中，以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交AC，AB于點E，F，再分別以E、F為圓心，以相同長度為半徑作弧，兩弧相交于點O，P為射線AO上任意一點，過點P作PM⊥AC，交AC于點M，連接PC，若AC=2A．321 B．C．4 D．k二、填空題11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步驟作圖：①在AC和AB上分別截取AD、AE，使AD=AE．②分別以點D和點E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內交于點M．③作射線AM交BC于點F．若點P12．如圖，在直角坐標系中，A(-4，0)，D是OA上一點，B是y正半軸上一點，且OB=AD，DE（1）當D是OA的中點時，DE=；（2）求OE的最小值13．如圖，在△ABC中，AC=4，∠A=60°，BD⊥AC交AC于點D，P為線段BD上的動點，則PC14．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，點M為對角線BD(不含點B)上任意一點，則AM+115．在直角坐標系中，O為原點，P是直線y=-x+4上的動點，則|OP|的最小值為三、作圖題16．如圖是4×4的正方形網格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．（1）在圖1中作銳角△ABC，使點C（2）在圖2中的線段AB上作點Q，使PQ最短．四、解答題17．如圖，在△ABC中，點P是BC邊上的動點，點M是AP的中點，PD⊥AB，垂足為D，PE⊥AC，垂足為E，連接MD，ME．（Ⅰ）求證：∠DME＝2∠BAC；（Ⅱ）若∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝62，連接DE，求△MDE五、綜合題18．【綜合與實踐】我國海域的島嶼資源相當豐富，總面積達72800多平方公里，有人居住的島嶼達450個.位于北部灣的某小島，外形酷似橄欖球，如圖10﹣1所示.如圖10﹣2所示，現把海岸線近似看作直線m，小島面對海岸線一側的外緣近似看作AB，經測量，AB的長可近似為250π海里，它所對的圓心角（∠AOB）的大小可近似為90°.（注：AB在m上的正投影為圖中線段CD，點O在m上的正投影落在線段CD上.）（1）求AB的半徑r；（2）因該島四面環(huán)海，淡水資源缺乏，為解決島上居民飲用淡水難的問題，擬在海岸線上，建造一個淡水補給站，向島上居民輸送淡水.為節(jié)約運輸成本，要求補給站到小島外緣AB的距離最近（即，要求補給站與AB上的任意一點，兩點之間的距離取得最小值.）；請你依據所學幾何知識，在圖10﹣2中畫出補給站位置及最短運輸路線.（保留畫圖痕跡，并做必要標記與注明；不限于尺規(guī)作圖，不要求證明.）（3）如圖10-3，若測得AC長為600海里，BD長為500海里，試求出（2）中的最小距離。19．如圖（1）如圖①，O為AB的中點，直線l1、l2分別經過點O、B，且l1∥l2，以點O為圓心，OA長為半徑畫弧交直線l2于點C，連接AC.求證：直線l1垂直平分AC；（2）如圖②，平面內直線l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩直線間距離相等，點P、Q分別在直線l1、l4上，連接PQ.用圓規(guī)和無刻度的直尺在直線l4上求作一點D，使線段PD最短.（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡）20．如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向，距離小島80nmile的點A處，它沿著點A的南偏東（1）漁船航行多遠與小島B的距離最近？（結果保留根號）（2）漁船到達距離小島B最近點后，按原航向繼續(xù)航行406nmile到點C處時突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島B上的救援隊求救，問：救援隊從21．如圖，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，邊AD與邊BC交于點P（不與點B，C重合），點B，E在AD異側，I為△APC的內心．（1）求證：∠BAD＝∠CAE；（2）設AP＝x，請用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）當AB⊥AC時，∠AIC的取值范圍為m°＜∠AIC＜n°，分別直接寫出m，n的值．

答案解析部分1．【答案】C【知識點】垂線段最短【解析】【解答】解：由題意可得：他的跳遠成績是線段BN的長度，這樣測量的依據是垂線段最短，

故答案為：C.【分析】根據圖形，結合垂線段最短求解即可。2．【答案】A【知識點】垂線段最短【解析】【解答】解：A、直線外一點到這條直線上各點的連線中，垂線段最短，故A符合題意；B、兩點確定一條直線，是直線的性質，故B不符合題意；C、連接兩點的所有線中，線段最短，故C不符合題意；D、平行線的一條性質，故D不符合題意．故答案為：A．

【分析】利用垂線段最短的定義求解即可。3．【答案】A【知識點】垂線段最短【解析】【解答】解：∵PB⊥AD，垂足為D，

∴沿線路PB行走距離最短，其依據的數學道理是垂線段最短.故答案為：A.

【分析】根據垂線段最短的性質進行解答，即可得出答案.4．【答案】C【知識點】垂線段最短【解析】【解答】解：①BC＞CD垂線段最短，故①正確；②AC＞AD垂線段最短，故②正確；③AB＞AC垂線段最短，故③正確；④BC與AD的大小不能確定，故④錯誤.故答案為：C．【分析】根據垂線段最短并結合圖形和各選項可求解.5．【答案】B【知識點】垂線段最短【解析】【解答】解：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，所以在平面內過點O作已知直線m的垂線，可作垂線的條數只有1條．故答案為：B．

【分析】考查垂線的相關性質，過直線上或直線外一點，有且只有一條直線與已知直線垂直，所以圖中過直線外一點O只可以作一條直線與直線m垂直。6．【答案】C【知識點】垂線段最短；勾股定理【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10

當CP⊥AB時，CP取得最小值，則CP=AC×BCAB=2457．【答案】D【知識點】垂線段最短【解析】【解答】解：∵AC⊥BC，

∴AP≥AC=6，

∴AP可能為7.

故答案為：D.

【分析】根據垂線段最短的性質可得AP≥AC，據此解答.8．【答案】D【知識點】垂線段最短；勾股定理【解析】【解答】解：過點O作OE⊥AB于點E，∵AB=8cm，∴AE=BE=12AB=12×8=4（cm），∵OA=5cm，∴OE=OA2-AE2=52-42=3（cm），∵垂線段最短，半徑最長，∴3cm＜OP＜5cm.故選：D.

【分析】過點O作OE⊥AB于點9．【答案】C【知識點】垂線段最短；平行四邊形的性質【解析】【解答】∵∠BAC=90°，AB=3，BC=5，

∴AC=BC2-AB2=4，

∵?PAQC，

∴PO=QO=12PQ，CO=AO=12AC，

當PQ最小時，PO最小，

因此當PO⊥BC時，PO最?。ㄈ鐖D），

∵∠ACB=∠P'CO，∠CP'O=∠CAB=90°，

∴△CAB∽△CP'O，

∴CO故答案為：C.

【分析】先證出當PO⊥BC時，PO最小，再證出△CAB∽△CP'O，求出OP'=65，即可得到PQ的最小值=2OP'=1210．【答案】B【知識點】垂線段最短；軸對稱的應用-最短距離問題【解析】【解答】解：如圖，過點P作PT⊥AB于T，過點C作CR⊥在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB∵CR∴1∴CR由作圖可知，AO平分∠CAB，∵PM⊥AC∴PM∴PC∵PC∴PC∴PC+PM故答案為：B．

【分析】過點P作PT⊥AB于T，過點C作CR⊥AB于R，先結合12?AB11．【答案】2【知識點】垂線段最短；含30°角的直角三角形；解直角三角形；作圖-角的平分線【解析】【解答】解：由題意可得射線AM是為∠CAB的角平分線，

在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴∠BAC=60°，

∵AM平分∠BAC，

∴∠CAF=∠BAF=12∠BAC=30°，

過點C作CE⊥AB于點N，交AF于點P，如圖，

在Rt△APN中，∠BAF=30°，

∴PN=12AP，

∴CP+12AP=CP+PN=CN，

根據點到直線的距離，垂線段最短，此時CP+PN最短，

在Rt△ACN中，∵∠CAN=60°，

∴sin∠CAN=sin60°=CNAC，

∴故答案為：23【分析】過點C作CE⊥AB于點N，交AF于點P，由尺規(guī)作圖的過程可得AF為∠BAC的角平分線，易得∠CAF=∠BAF=12∠BAC=30°，根據直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得PN=12AP，則CP+12AP=CP+PN=CN，根據點到直線的距離，垂線段最短，此時CP+PN最短，進而根據∠CAN的正弦函數及特殊銳角三角函數值可算出12．【答案】（1）2（2）2【知識點】垂線段最短；三角形的面積；勾股定理；相似三角形的判定與性質；線段的中點【解析】【解答】解：（1）∵A（-4，0），

∴OA=4.

∵OB=AD，D為OA的中點，

∴AD=OD=OB=2，

∴AB=AO2+∵∠AED=∠AOB=90°，∠A=∠A，

∴△ADE∽△ABO，

∴AD：AB=DE：BO，即2：25=DE：2，

∴DE=255.

故答案為：255.

（2）由線段最短的性質可得：當OE⊥AB時，OE取得最小值，此時點D、O重合，AO=BO=4，

∴AB=AO2+BO2=42.

∵S△ABO=12AO·BO=12AB·OE，

∴4×4=42×OE，

∴OE=22.

故答案為：22.

【分析】（1）由點A的坐標可得OA=4，根據已知條件可知OB=AD，結合中點的概念可得AD=OD=OB=2，利用勾股定理求出AB的值，根據兩角對應相等的兩個三角形相似可得△ADE∽△ABO，然后由相似三角形的性質進行計算；

（13．【答案】2【知識點】垂線段最短；三角形內角和定理；含30°角的直角三角形；銳角三角函數的定義【解析】【解答】解：過點P作PE⊥AB于點E，∵∠ADB=90°，∠A=60°，

∴∠ABD=30°，

∴PE=12PB，

∴PC+12PB=PC+PE，故當點C、P、E共線，且CE⊥AB時，取得最小值.

∵∠A=60°，CE⊥AB，AC=4，

∴CE=AC·cos60°=4×32=23.

故答案為：23.

【分析】過點P作PE⊥AB于點E，由內角和定理可得∠ABD=30°，根據含30°角的直角三角形的性質可得PE=12PB，則PC+12PB=PC+PE，故當點C、P、E共線，且CE⊥14．【答案】2【知識點】垂線段最短；含30°角的直角三角形；菱形的性質；銳角三角函數的定義【解析】【解答】解：過點A作AT⊥BC，過點M作MH⊥BC，

∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，

∴∠DBC=30°.

∵MH⊥BC，

∴∠BHM=90°，

∴MH=12BM，

∴AM+12BM=MA+MH.

∵AT⊥BC，

∴∠ATB=90°，

∴AT=AB·sin60°=4×32=23.

∵AM+MH≥AT，

∴AM+MH≥23，

∴AM+12BM的最小值為23.

故答案為：23.

【分析】過點A作AT⊥BC，過點M作MH⊥BC，根據菱形的性質可得∠DBC=30°，由含30°角的直角三角形的性質可得MH=12BM，則AM+115．【答案】2【知識點】垂線段最短；勾股定理；一次函數的性質【解析】【解答】解：根據題意，畫出一次函數的圖象，如圖，其中OP'⊥AB

根據垂線段最短，可知，|OP|的最小值是|OP'|。

設A、B分別是直線y=-x+4與y軸、x軸的交點，可求出A（0，4），B(4，0）

∴OB=4，∠ABO=45°

∴OP'=BP'

∵OP'2+BP'2=OB2

∴OP'=22

故答案為：22

【分析】根據一次函數的表達式畫出一次函數的圖象，再根據垂線段最短找到OP最小時P16．【答案】（1）解：如圖，△ABC（2）解：如圖，Q即為所求作的點；【知識點】垂線段最短；正方形的性質；作圖-三角形【解析】【分析】（1）先找出點K，它滿足∠AKB=90°，且AK=BK，然后找到如圖所示的點C，滿足∠ACB＜∠AKB，即∠ACB＜90°，且△ABC是等腰三角形，所以底角不可能大于或等于90°，所以△ABC是銳角三角形；

（2）根據垂線段最短，需要滿足PQ⊥AB，如圖，根據正方形的對角線互相垂直，找到點Q的位置即可。17．【答案】解：（Ⅰ）解法一：∵PD⊥AB，PE⊥AC，M為AP中點，∴DM＝EM＝12AP＝AM，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠2＝2∠1，∠6＝∠3+∠4＝2∠3，∴∠DME＝∠5+∠6＝2∠1+2∠3＝2∠BAC；解法二：∵PD⊥AB，PE⊥AC，M為AP中點，∴DM＝EM＝12AP＝AM＝PM，∴點A，D，P，E在以M為圓心，MA為半徑的圓上，∴∠DME＝2∠BAC；（Ⅱ）過點M作MN⊥DE于N，由（Ⅰ）知DM＝EM，∴∠DMN＝∠EMN＝12∠DME，DN＝EN，∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠BAC＝60°．由（Ⅰ）知，∠DME＝2∠BAC＝120°．∴∠DMN＝60°，∴DN＝DM?sin∠DMN＝32DM，∴DE＝2DN＝3DM，△MDE周長＝DM+DE+DE＝DM+DM+3DM＝（2+3）DM＝（2+3）×12AP，∴當AP最短時，△MDE周長最?。藭rAP⊥BC；當AP⊥BC時，∵∠B＝45°，∴AP＝22AB＝22×62＝6．∴△MDE周長最小值為（2+3【知識點】垂線段最短；三角形的外角性質；軸對稱的應用-最短距離問題；直角三角形斜邊上的中線【解析】【解答】解：（Ⅰ）解法一：∵PD⊥AB，PE⊥AC，M為AP中點，∴DM＝EM＝12AP＝AM∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠2＝2∠1，∠6＝∠3+∠4＝2∠3，∴∠DME＝∠5+∠6＝2∠1+2∠3＝2∠BAC；解法二：∵PD⊥AB，PE⊥AC，M為AP中點，∴DM＝EM＝12AP＝AM＝PM∴點A，D，P，E在以M為圓心，MA為半徑的圓上，∴∠DME＝2∠BAC；（Ⅱ）過點M作MN⊥DE于N，由（Ⅰ）知DM＝EM，∴∠DMN＝∠EMN＝12∠DME，DN＝EN∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠BAC＝60°．由（Ⅰ）知，∠DME＝2∠BAC＝120°．∴∠DMN＝60°，∴DN＝DM?sin∠DMN＝32DM∴DE＝2DN＝3DM，△MDE周長＝DM+DE+DE＝DM+DM+3DM＝（2+3）DM＝（2+3）×12AP∴當AP最短時，△MDE周長最?。藭rAP⊥BC；當AP⊥BC時，∵∠B＝45°，∴AP＝22AB＝22×62∴△MDE周長最小值為（2+3）×12×6＝6+3【分析】（Ⅰ）根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得DM=EM=12AP=AM，再由等邊對等角可得∠1=∠2，∠3=∠4，最后結合三角形外角的性質即可證明結論.

（Ⅱ）根據已知及第（Ⅰ）問的結論可知△MDE為頂角是120°的等腰三角形，過點M作MN⊥DE于N，由特殊角的三角函數值將△MDE的周長表示為（2+3）×12AP，進而將周長最小轉化為求AP18．【答案】（1）解：∵圓弧AB長為250π海里，它所對的圓心角為90°，圓的半徑為r，∴250π解得r=500(海里）答：該圓弧AB所在圓的半徑r為500海里。（2）解：結論：圖中點E表示所建補給站；線段EF表示最短運輸路線，如圖3，簡要畫法：先找出圓心O，作OE⊥m于點E，交圓弧AB于點F，則圖中點E表示所建補給站；線段EF表示最短運輸路線．（其他畫法參考給分）（3）解：）(法一)如圖4，作AT⊥OE于點T，作BU⊥OE于點U，∵∠AOB=90°，∴∠OAT+∠AOT=∠BOU+∠AOT=90°，∴∠OAT=∠BOU，又∵OA=OB，∴△ATO≌△OUB，∴AT=OU，OT=BU，∵AC=ET=600海里，BD=UE=500海里，∴UT=100海里設線段OT長為x海里，則線段AT長為（100+x）海里，由x2+(x+100)2=5002，∴x1=3000，x2=，400（舍去），∴OT=300海里，∴OE=OT+AC=900海里，∴FE=OE﹣r=900﹣500=400海里(法二)如圖5，過點O作MN//CD分別交CA，DB的延長線于點M，N，∵∠ACD=∠BDC=90°，∴四邊形CDNM是矩形，∵∠AOB=90°，∠MAO+∠AOM=∠BON+∠AOM=90°，∴∠MAO=∠BON，又∵OA=OB，∠M=∠N=90°，∴△AMO≌△ONB，∴AM=ON，OM=BN，∵AC=600海里，BD=500海里，設線段AM長為x海里，∴AM=ON=x海里，∴CM=DN=OE=（600+x）海里，∴BN=(600+x-500)海里=(100+x)海里，∵∠N=90°，∴ON2+BN2=OB2，∴x2+(x+100)2=5002，∴x1=300，x2=，400（舍去），∴AM=300海里，∴CM=AM+AC=900海里，∴OE=CM=900海里，∴FE=OE﹣OF=900﹣500=400海里。【知識點】垂線段最短；扇形的認識【解析】【分析】（1）由扇形弧度公式求出半徑即可。

（2）兩點之間垂線段最短

（3）利用全等三角形和相同長度關系，轉化長度求解。19．【答案】（1）證明：如圖①，連接OC，∵OB=OA，l1∥l2，∴直線l1平分AC，由作圖可知：OB=OA=OC，∴∠ACB=90°，∴l(xiāng)2垂直AC，∵l1∥l2，∴l(xiāng)1垂直AC，即直線l1垂直平分AC（2）解：如圖②，以l2與PQ的交點O為圓心，OP長為半徑畫弧交直線l3于點C，連接PC并延長交直線l4于點D，此時線段PD最短，點D即為所求.【知識點】垂線段最短；平行線的判定與性質；線段垂直平分線的判定；作圖-線段垂直平分線【解析】【分析】（1）如圖①，連接OC，由OB=OA，l1∥l2，可得直線l1平分AC，由OB=OA=OC，可求出∠ACB=90°，從而可得l1垂直AC，繼而得出結論；

（2）以l2與PQ的交點O為圓心，OP長為半徑畫弧交直線l3于點C，連接PC并延長交直線l4于點D，此時線段PD最短，點D即為所求.20．【答案】（1）解：過點B作BM⊥AC于點M由題意，知∠BAM=45°，則在Rt△ABM中，∠BAM=45°，∴BM=答：漁船航行402nmile與小島（2）解：∵BM=402nmile，∴tan∠∴∠MBC∴∠CBG在Rt△BCM中，∠MBC=60°，