函數(shù)與極限第二節(jié)

函數(shù)與極限第二節(jié)函數(shù)的概念與性質(zhì)極限的概念與性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性與極值習題與答案contents目錄01函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)是數(shù)學上的一個概念，它描述了兩個集合之間的關(guān)系。設(shè)$A$、$B$是兩個非空集合，如果存在一個法則使得對集合$A$中的任意元素$x$，通過這個法則，都能唯一確定集合$B$中的一個元素$y$與之對應(yīng)，則稱這個關(guān)系為從集合$A$到集合$B$的一個函數(shù)，記作$y=f(x)$。函數(shù)的定義函數(shù)可以通過解析式、表格、圖象等方式來表示。解析式表示法是一種常見的表示方法，它通過數(shù)學表達式來表示函數(shù)的關(guān)系。表格表示法通過列出輸入值和對應(yīng)的輸出值來表示函數(shù)關(guān)系。圖象表示法則通過繪制函數(shù)的曲線圖來表示函數(shù)關(guān)系。函數(shù)的表示函數(shù)的定義與表示函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的定義域和值域函數(shù)的定義域是指自變量可以取的值的集合，值域是指因變量可以取的值的集合。單調(diào)性如果對于任意$x_1<x_2$都有$f(x_1)leqf(x_2)$（或$f(x_1)geqf(x_2)$），則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減）。奇偶性如果對于所有$x$都有$f(-x)=f(x)$（或$f(-x)=-f(x)$），則稱函數(shù)為偶函數(shù)（或奇函數(shù)）。有界性如果存在一個正數(shù)M，使得對于所有x，都有|f(x)|≤M，則稱函數(shù)有界。一元函數(shù)與多元函數(shù)根據(jù)自變量的個數(shù)，函數(shù)可以分為一元函數(shù)和多元函數(shù)。一元函數(shù)只有一個自變量，而多元函數(shù)則有多個自變量。連續(xù)函數(shù)與離散函數(shù)根據(jù)函數(shù)的取值方式，函數(shù)可以分為連續(xù)函數(shù)和離散函數(shù)。連續(xù)函數(shù)是指函數(shù)的取值在定義域內(nèi)是連續(xù)不斷的，而離散函數(shù)則是指函數(shù)的取值在定義域內(nèi)是離散的。可微函數(shù)與不可微函數(shù)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否存在，函數(shù)可以分為可微函數(shù)和不可微函數(shù)?？晌⒑瘮?shù)是指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)都存在的函數(shù)，而不可微函數(shù)則是指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)不存在的函數(shù)。函數(shù)的分類02極限的概念與性質(zhì)極限的描述性定義當自變量趨近于某一特定值時，函數(shù)值無限接近于某一特定數(shù)，這個特定數(shù)就是函數(shù)的極限。極限的精確定義對于任意給定的正數(shù)$varepsilon$，存在一個正數(shù)$delta$，當$0<|x-x_0|<delta$時，有$|f(x)-L|<varepsilon$，其中$L$是函數(shù)的極限。極限的定義唯一性對于任意給定的函數(shù)，其極限值是唯一的。有界性函數(shù)的極限值所在的區(qū)間是有界的。局部有界性在自變量趨近于極限點的過程中，函數(shù)值是局部有界的。保序性在自變量趨近于極限點的過程中，函數(shù)值的相對大小關(guān)系保持不變。極限的性質(zhì)在自變量趨近于某一特定值時，函數(shù)值趨近于0。在自變量趨近于某一特定值時，函數(shù)值趨近于無窮大。無窮小量與無窮大量無窮大量無窮小量03導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點附近的變化率，是函數(shù)值的增量與自變量增量的比值在增量趨于0時的極限。幾何意義導(dǎo)數(shù)在幾何上表示函數(shù)圖像上某一點處的切線的斜率?；境醯群瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)對于常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)，可以推導(dǎo)出其導(dǎo)數(shù)公式。導(dǎo)數(shù)的四則運算導(dǎo)數(shù)的四則運算法則是導(dǎo)數(shù)計算的基礎(chǔ)，包括加、減、乘、除運算的導(dǎo)數(shù)公式。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以通過鏈式法則進行計算，即求內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)再乘以外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的計算通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，如果導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)單調(diào)遞增；如果導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)單調(diào)遞減。單調(diào)性判斷導(dǎo)數(shù)可以用來研究函數(shù)的極值和最值問題，當導(dǎo)數(shù)由正變負或由負變正時，函數(shù)在此點取得極值；而函數(shù)的最值可能在極值點或端點處取得。極值與最值通過求二階導(dǎo)數(shù)，可以判斷曲線的凹凸性，如果二階導(dǎo)數(shù)大于0，則曲線為凹；如果二階導(dǎo)數(shù)小于0，則曲線為凸。曲線的凹凸性導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用04函數(shù)的單調(diào)性與極值03單調(diào)性的判斷方法導(dǎo)數(shù)法、切線斜率法、差分法等。01單調(diào)遞增對于任意$x_1<x_2$，如果$f(x_1)<f(x_2)$，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。02單調(diào)遞減對于任意$x_1<x_2$，如果$f(x_1)>f(x_2)$，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。單調(diào)性的判斷極值定義函數(shù)在某點的值大于或小于其鄰近點的值，稱為函數(shù)在該點的極值。極值條件一階導(dǎo)數(shù)等于零，且二階導(dǎo)數(shù)不為零。極值計算求導(dǎo)數(shù)，令其一階導(dǎo)數(shù)等于零，解得可能的極值點，再判斷二階導(dǎo)數(shù)確定是否為極值點。極值的定義與計算030201利用極值尋找最優(yōu)解，如最大利潤、最小成本等。優(yōu)化問題在物理現(xiàn)象中，極值常常用來描述某一物理量的最大或最小值。物理問題在經(jīng)濟學中，極值可以用來分析經(jīng)濟變量的變化趨勢和拐點。經(jīng)濟問題極值的應(yīng)用05習題與答案習題010203(1)$lim_{xto0}frac{sinx}{x}$(2)$lim_{xto0}frac{tanx}{x}$1、求下列極限習題(3)$lim_{xto0}frac{sinx-x}{x^{3}}$(4)$lim_{xtoinfty}frac{x^{2}}{x^{4}+1}$2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(2)$f(x)=sqrt{x}$(1)$f(x)=x^{2}$習題(3)$f(x)=lnx$(4)$f(x)=e^{x}$習題答案011、求下列極限02(1)$lim_{xto0}frac{sinx}{x}=1$(2)$lim_{xto0}frac{tanx}{x}=1$03(3)$lim_{xto0}frac{sinx-x}{x^{3}}=-frac{1}{6}$(4)$lim_{xtoinfty}frac{x^{2}}{x^{4}+1}=0$答案0102032、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)$f^{prime}(x)=2x$