人教版九年級數(shù)學(xué)上冊同步練習(xí) 第20課 《旋轉(zhuǎn)》全章復(fù)習(xí)與鞏固（原卷版+解析）

第20課《旋轉(zhuǎn)》全章復(fù)習(xí)與鞏固目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1、通過具體實例認識旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)．2、通過具體實例認識中心對稱，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點所連線段被對稱中心平分的性質(zhì)，了解平行四邊形、圓是中心對稱圖形．3、能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，欣賞旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用．4、探索圖形之間的變化關(guān)系(軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合)，靈活運用軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進行圖案設(shè)計．知識精講知識精講知識點01旋轉(zhuǎn)1.旋轉(zhuǎn)的概念：把一個圖形繞著某一點O的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角(如∠AOA′),如果圖形上的點A經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cA′，那么，這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點.要點詮釋：旋轉(zhuǎn)的三個要素：、和.2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):(1)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的(OA=OA′)；(2)對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于；(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形；要點詮釋：圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，既可以按順時針旋轉(zhuǎn)也可以按逆時針旋轉(zhuǎn).3.旋轉(zhuǎn)的作圖:在畫旋轉(zhuǎn)圖形時，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點，再將這些關(guān)鍵沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形．要點詮釋：作圖的步驟：(1)連接圖形中的每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；(2)把連線按要求(順時針或逆時針)繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度(旋轉(zhuǎn)角)；(3)在角的一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點的對應(yīng)點；(4)連接所得到的各對應(yīng)點.知識點02特殊的旋轉(zhuǎn)—中心對稱1.中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果它能夠與另一個圖形，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心．這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點．要點詮釋：(1)有兩個圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同；(2)位置必須滿足一個條件：將其中一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°能夠與另一個圖形重合(全等圖形不一定是中心對稱的，而中心對稱的兩個圖形一定是全等的).2.中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．要點詮釋：(1)中心對稱圖形指的是個圖形；(2)線段，平行四邊形，圓等等都是中心對稱圖形.知識點03平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)之間的對比平移軸對稱旋轉(zhuǎn)相同點都是全等變換(合同變換)，即變換前后的圖形全等．不

同

點定義把一個圖形沿某一方向移動一定距離的圖形變換．把一個圖形沿著某一條直線折疊的圖形變換．把一個圖形繞著某一定點轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換．圖形要素性質(zhì)能力拓展能力拓展考法01旋轉(zhuǎn)【典例1】如圖1，ΔACB與ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠ADE都是直角，點C在AE上，如果ΔACB經(jīng)逆時針旋轉(zhuǎn)后能與ΔADE重合.請指出其旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角度；②用圖1作為基本圖形，經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)可以得到圖2？【即學(xué)即練1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△DEF為等邊三角形，AB=DE，點B、C、D在x軸上，點A、E、F在y軸上，下面判斷正確的是()

A．△DEF是△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的.

B．△DEF是△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的.

C．△DEF是△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°得到的.

D．△DEF是△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°得到的.考法02中心對稱【典例2】如圖，△ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)．

⑴將△ABC向右平移4個單位長度，畫出平移后的△A1B1C1；

⑵畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A2B2C2；

⑶畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A3B3C3；

⑷在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，

△______與△______成軸對稱，對稱軸是______；

△______與△______成中心對稱，對稱中心的坐標(biāo)是______．

【即學(xué)即練2】如圖是正方形網(wǎng)格，請在其中選取一個白色的單位正方形并涂黑，使圖中黑色部分是一個中心對稱圖形．考法03平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)【典例3】如圖所示，△ABC，△ADE為等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．(1)如圖1，點E在AB上，點D與C重合，F(xiàn)為線段BD的中點．則線段EF與FC的數(shù)量關(guān)系是；∠EFD的度數(shù)為；(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，其中D、A、C在一條直線上，F(xiàn)為線段BD的中點．則線段EF與FC是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？證明你的結(jié)論；(3)若△ADE繞A點任意旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖③的位置，F(xiàn)為線段BD的中點，連接EF、FC，請你完成圖3，并直接寫出線段EF與FC的關(guān)系(無需證明)．【即學(xué)即練3】如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AC=2，AB=，△ACD是等邊三角形．

(1)求∠ABC的度數(shù)．

(2)以點A為中心，把△ABD順時針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形．

(3)求BD的長度．【典例4】如圖，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點E在線段AB上，CF⊥CE，CE=CF，EF交AC于G，連接AF．(1)填空：線段BE、AF的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；(2)當(dāng)=時，求證：=2；(3)若當(dāng)=n時，=，請直接寫出n的值．【典例5】已知：點P是正方形ABCD內(nèi)的一點，連結(jié)PA、PB、PC，(1)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的長.(2)若，請說明點P必在對角線AC上.【典例6】如圖1，小明將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片(如圖2)，量得它們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，使點B、C、F、D在同一條直線上，且點C與點F重合(在圖3～圖6中統(tǒng)一用F表示)

小明在對這兩張三角形紙片進行如下操作時遇到了三個問題，請你幫助解決.⑴將圖3中的△ABF沿BD向右平移到圖4的位置，使點B與點F重合，請你求出平移的距離；⑵將圖3中的△ABF繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)30°到圖5的位置，A1F交DE于點G，請你求出線段FG的長度；⑶將圖3中的△ABF沿直線AF翻折到圖6的位置，AB1交DE于點H，請證明：AH=DH.第20課《旋轉(zhuǎn)》全章復(fù)習(xí)與鞏固目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1、通過具體實例認識旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)．2、通過具體實例認識中心對稱，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點所連線段被對稱中心平分的性質(zhì)，了解平行四邊形、圓是中心對稱圖形．3、能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，欣賞旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用．4、探索圖形之間的變化關(guān)系(軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合)，靈活運用軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進行圖案設(shè)計．知識精講知識精講知識點01旋轉(zhuǎn)1.旋轉(zhuǎn)的概念：把一個圖形繞著某一點O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角(如∠AOA′),如果圖形上的點A經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cA′，那么，這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點.要點詮釋：旋轉(zhuǎn)的三個要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):(1)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等(OA=OA′)；(2)對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等；要點詮釋：圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，既可以按順時針旋轉(zhuǎn)也可以按逆時針旋轉(zhuǎn).3.旋轉(zhuǎn)的作圖:在畫旋轉(zhuǎn)圖形時，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點，再將這些關(guān)鍵沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形．要點詮釋：作圖的步驟：(1)連接圖形中的每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；(2)把連線按要求(順時針或逆時針)繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度(旋轉(zhuǎn)角)；(3)在角的一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點的對應(yīng)點；(4)連接所得到的各對應(yīng)點.知識點02特殊的旋轉(zhuǎn)—中心對稱1.中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心．這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點．要點詮釋：(1)有兩個圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同；(2)位置必須滿足一個條件：將其中一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°能夠與另一個圖形重合(全等圖形不一定是中心對稱的，而中心對稱的兩個圖形一定是全等的).2.中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．要點詮釋：(1)中心對稱圖形指的是一個圖形；(2)線段，平行四邊形，圓等等都是中心對稱圖形.知識點03平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)之間的對比平移軸對稱旋轉(zhuǎn)相同點都是全等變換(合同變換)，即變換前后的圖形全等．不

同

點定義把一個圖形沿某一方向移動一定距離的圖形變換．把一個圖形沿著某一條直線折疊的圖形變換．把一個圖形繞著某一定點轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換．圖形要素平移方向

平移距離對稱軸旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度性質(zhì)連接各組對應(yīng)點的線段平行(或共線)且相等．任意一對對應(yīng)點所連線段被對稱軸垂直平分．對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角．對應(yīng)線段平行(或共線)且相等．任意一對對應(yīng)點所連線段被對稱軸垂直平分．*對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，即：對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等．能力拓展能力拓展考法01旋轉(zhuǎn)【典例1】如圖1，ΔACB與ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠ADE都是直角，點C在AE上，如果ΔACB經(jīng)逆時針旋轉(zhuǎn)后能與ΔADE重合.請指出其旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角度；②用圖1作為基本圖形，經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)可以得到圖2？【答案與解析】①旋轉(zhuǎn)中心：點A；旋轉(zhuǎn)角度：45°(逆時針旋轉(zhuǎn))②以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將圖1順時針(或逆時針)旋轉(zhuǎn)90°三次得到圖2.【總結(jié)升華】此類題型要把握好旋轉(zhuǎn)的三個要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.【即學(xué)即練1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△DEF為等邊三角形，AB=DE，點B、C、D在x軸上，點A、E、F在y軸上，下面判斷正確的是()

A．△DEF是△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的.

B．△DEF是△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的.

C．△DEF是△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°得到的.

D．△DEF是△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°得到的.

【答案】A.考法02中心對稱【典例2】如圖，△ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)．

⑴將△ABC向右平移4個單位長度，畫出平移后的△A1B1C1；

⑵畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A2B2C2；

⑶畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A3B3C3；

⑷在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，

△______與△______成軸對稱，對稱軸是______；

△______與△______成中心對稱，對稱中心的坐標(biāo)是______．

【答案與解析】⑷△A2B2C2與△A3B3C3成軸對稱，對稱軸是y軸．

△A3B3C3與△A1B1C1成中心對稱，對稱中心的坐標(biāo)是(2，0)．

【總結(jié)升華】注意觀察中心對稱和旋轉(zhuǎn)對稱的關(guān)系.【即學(xué)即練2】如圖是正方形網(wǎng)格，請在其中選取一個白色的單位正方形并涂黑，使圖中黑色部分是一個中心對稱圖形．【答案】考法03平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)【典例3】如圖所示，△ABC，△ADE為等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．(1)如圖1，點E在AB上，點D與C重合，F(xiàn)為線段BD的中點．則線段EF與FC的數(shù)量關(guān)系是；∠EFD的度數(shù)為；(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，其中D、A、C在一條直線上，F(xiàn)為線段BD的中點．則線段EF與FC是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？證明你的結(jié)論；(3)若△ADE繞A點任意旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖③的位置，F(xiàn)為線段BD的中點，連接EF、FC，請你完成圖3，并直接寫出線段EF與FC的關(guān)系(無需證明)．【思路點撥】(1)易得△EFC是等腰直角三角形，那么EF=FC，∠EFD=90°．(2)延長線段CF到M，使CF=FM，連接DM、ME、EC，易證△BFC≌△DFM，進而可以證明△MDE≌△CAE，即可證明EF=FC，EF⊥FC；(3)基本方法同(2)．【答案與解析】解：(1)EF=FC，90°．(2)延長CF到M，使CF=FM，連接DM、ME、EC，如下圖2∵FC=FM，∠BFC=∠DFM，DF=FB，∴△BFC≌△DFM，∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，∴MD=AC，MD∥BC，∵ED=EA，∠MDE=∠EAC=135°，∴△MDE≌△CAE，∴ME=EC，∠DEM=∠CEA，∴∠MEC=90°，∴EF=FC，EF⊥FC(3)圖形如下，結(jié)論為：EF=FC，EF⊥FC．【總結(jié)升華】延長過三角形的中線構(gòu)造全等三角形是常用的輔助線方法，證明線段相等的問題可以轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的問題解決．【即學(xué)即練3】如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AC=2，AB=，△ACD是等邊三角形．

(1)求∠ABC的度數(shù)．

(2)以點A為中心，把△ABD順時針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形．

(3)求BD的長度．【答案】(1)Rt△ABC中，AC=2，AB=,∴BC=4，∴∠ABC=30°

(2)如圖所示：

(3)連接BE．

由(2)知：△ACE≌△ADB，

∴AE=AB，∠BAE=60°，BD=EC，

∴BE=AE=AB=，∠EBA=60°，

∴∠EBC=90°，

又BC=2AC=4，

∴Rt△EBC中，EC=【典例4】如圖，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點E在線段AB上，CF⊥CE，CE=CF，EF交AC于G，連接AF．(1)填空：線段BE、AF的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；(2)當(dāng)=時，求證：=2；(3)若當(dāng)=n時，=，請直接寫出n的值．【思路點撥】(1)在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥CE，可推出∠ECB=∠ACF，且CE=CF，由此可得△ECB≌△FCA，即得BE=AF，∠CBE=∠CAF，且∠CBE+∠CAB=90°，故∠CAF+∠CAB=90°，即BE⊥AF；(2)作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，可得出GM=GN，從而有S△AEG=2S△AFG，即證=2；(3)根據(jù)(2)的推理過程，知S△AEG=nS△AFG，則，即可求得n的值．【答案與解析】(1)解：∵∠ACB=90°，CF⊥CE，∴∠ECB=∠ACF．又AC=BC，CE=CF，∴△ECB≌△FCA．∴BE=AF，∠CBE=∠CAF，又∠CBE+∠CAB=90°，∴∠CAF+∠CAB=90°，即BE=AF，BE⊥AF．(2)證明：作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，∵△ACF可由△BCE繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°而得到，∴AF=BE，∠CAF=∠CBE=45°．∴AE=2AF，∠CAF=∠CAB，∴GM=GN．∴S△AEG=2S△AFG，∴EG=2GF，∴=2．(3)解：由(2)，得當(dāng)=n時，S△AEG=nS△AFG，則，∴當(dāng)n=時，=．【總結(jié)升華】此題綜合運用了全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能夠從特殊推廣到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律．【典例5】已知：點P是正方形ABCD內(nèi)的一點，連結(jié)PA、PB、PC，(1)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的長.(2)若，請說明點P必在對角線AC上.【思路點撥】通過旋轉(zhuǎn)，把PA、PB、PC或關(guān)聯(lián)的線段集中到同一個三角形，再根據(jù)兩邊的平方和等于第三邊求證直角三