2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習第10章第2講：排列與組合（附答案解析）

2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習第10章第2講：排列與組

合

【考試要求】1.理解排列、組合的概念2能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能利

用排列、組合解決簡單的實際問題.

?落實主干知識

【知識梳理】

1.排列與組合的概念

名稱定義

排列從n個不同元素中取按照一定的順序排成一列

組合出機個元素作為一組

2.排列數(shù)與組合數(shù)

(1)排列數(shù)：從〃個不同元素中取出皿，"W”)個元素的所有丕圓幽的個數(shù)，用符號的表示.

(2)組合數(shù)：從〃個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數(shù),用符號組表示.

3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

n!

(1)A，一〃1)(〃—2)…1)—/、?5,m￡N*,且/nW").

m)!

公式

A"'n!

⑵C；7—A，〃一./mWN,且加特別地,cS=i

(1)0!=1；A；；—n!.

性質(zhì)

(2)C；?=C「〃；C；"C#+W

【常用結(jié)論】

1.排列數(shù)、組合數(shù)常用公式

⑴A?=(〃f+1)A”.

(2)A7=〃A；燈.

(3)(n+1)!—n!=〃?〃！.

⑷比￡=〃C，|.

⑸+…+c"+a;=cWJ.

2.解決排列、組合問題的十種技巧

(1)特殊元素優(yōu)先安排.

(2)合理分類與準確分步.

第1頁共12頁

(3)排列、組合混合問題要先選后排.

(4)相鄰問題捆綁處理.

(5)不相鄰問題插空處理.

(6)定序問題倍縮法處理.

(7)分排問題直排處理.

(8)“小集團”排列問題先整體后局部.

(9)構(gòu)造模型.

(10)正難則反，等價轉(zhuǎn)化.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.(X)

(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(J)

(3)若組合式C%=C化則成立.(X)

⑷A7="("-1)(〃-2)…(X)

【教材改編題】

1.A1+C，等于()

A.35B.47C.45D.57

答案B

解析A1+C*=4X3+裝*=47.

2.從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項活動，則男、女生都有的選法種數(shù)是()

A.18B.24C.30D.36

答案C

解析選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的方法有C3C!=18(種)，選出的3人中有1名

男同學(xué)2名女同學(xué)的方法有CKg=12(種)，故3名學(xué)生中男、女生都有的選法有C2Q+C1C3

=30(#).

3.將4名學(xué)生分別安排到甲、乙、丙三地參加社會實踐活動，每個地方至少安排一名學(xué)生參

加，則不同的安排方案共有種.

答案36

解析第一步，先從4名學(xué)生中任取兩人組成一組，與剩下2人分成三組，有C%=6(種)不同

的方法；第二步，將分成的三組安排到甲、乙、丙三地，則有Ag=6(種)不同的方法.故共有

6X6=36(種)不同的安排方案.

■探究核心題型

題型一排列問題

第2頁共12頁

例1（1）中國國家滑雪隊將開展自由式滑雪項目中的空中技巧、雪上技巧、障礙追逐和U型

場地技巧四個項目表演，現(xiàn)安排兩名男隊員和兩名女隊員組隊參演，參演選手每人展示其中

一個不同的項目，雪上技巧項目必須由女隊員展示，則所有不同出場順序與項目展示方案種

數(shù)為（）

A.576B.288C.144D.48

答案B

解析根據(jù)題意，雪上技巧項目必須由女隊員展示，有2種情況，剩下3人表演其他3個項

目，有Ag=6（種）情況，而4個項目之間的排法有M=24（種）順序，則有2X6X24=288（種）

展示方案.

（2）用0,1,2,345這六個數(shù)字可以組成個無重復(fù)數(shù)字且不大于4310的四位偶數(shù).

答案110

解析①當千位上排1或3時，符合題意的共有AjAjA?個.

②當千位上排2時，符合題意的共有AjA］個.

③當千位上排4時，形如40XX,42XX的偶數(shù)各有Ag個符合題意，形如41XX的偶數(shù)有

A〃A!個符合題意，形如43XX的偶數(shù)只有4310和4302這兩個數(shù)符合題意.

故共有A1AIA1+A1A1+2A"AJA!+2=110（個）符合題意.

思維升華對于有限制條件的排列問題，分析問題時，有位置分析法、元素分析法，在實際

進行排列時，一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，

對于分類過多的問題可以采用間接法.

跟蹤訓(xùn)練1（1）（2023?武漢模擬）源于探索外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀獲得了長足的發(fā)

展.太空中的環(huán)境為某些科學(xué)實驗提供了有利條件，宇航員常常在太空旅行中進行科學(xué)實

驗.在某次太空旅行中，宇航員們負責的科學(xué)實驗要經(jīng)過5道程序，其中A,B兩道程序既

不能放在最前，也不能放在最后，則該實驗不同程序的順序安排共有（）

A.18種B.36種C.72種D.108種

答案B

解析先排A,B兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，則在第2,3,4道程序選兩

個放A,B,共有種放法；再排剩余的3道程序，共有A9種放法.

則共有AMJ=36（種）放法.

（2）8人站成前后兩排，每排4人，其中甲、乙兩人必須在前排，丙在后排，則共有

種排法.

答案5760

解析先排甲、乙，有A1種排法，再排丙，有A1種排法，其余5人有Ag種排法，故不同的

排法共有乂AlAg=5760（種）.

題型二組合問題

第3頁共12頁

例2（1）（多選）從6名男生和4名女生中選出4人去參加一項創(chuàng)新大賽，則下列說法正確的

有（）

A.如果4人全部為男生，那么有30種不同的選法

B.如果4人中男生、女生各有2人，那么有30種不同的選法

C.如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，那么有28種不同的選法

D.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有140種不同的選法

答案CD

解析如果4人全部為男生，選法有C才=15（種），故A錯誤；

如果4人中男生、女生各有2人，男生的選法有C看=15（種），女生的選法有CZ=6（種），則4

人中男生、女生各有2人的選法有15X6=90（種），B錯誤；

如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，在剩下的8人中再選2人即可，有C9=28（種），故

C正確；

在10人中任選4人，有Cfo=21O（種），甲、乙都不在其中的選法有C?=70（種），

故男生中的甲和女生中的乙至少要有I人在內(nèi)的選法有210—70=140（種），故D正確.

（2）在某場新聞發(fā)布會上，主持人要從5名國內(nèi)記者與4名國外記者中依次選出3名來提問，

要求3人中既有國內(nèi)記者又有國外記者，且不能連續(xù)選國內(nèi)記者，則不同的選法有（）

A.80種B.180種C.260種D.420種

答案C

解析根據(jù)題意，分2種情況討論，

①選出的3人中有1名國外記者、2名國內(nèi)記者，

則有CgQA2=8O（種）選法,

②選出的3人中有2名國外記者、1名國內(nèi)記者，

則有C!C?A3=I8O（種）選法，

由分類加法計數(shù)原理可知，共有80+180=260（種）選法.

思維升華組合問題常有以下兩類題型

（1）“含有”或“不含有”問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，

則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.

（2）“至少”或“最多”問題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復(fù)雜時，

考慮逆向思維，用間接法處理.

跟蹤訓(xùn)練2（1）從4名男生和3名女生中選派4人去參加課外活動，要求至少有一名女生參

加，則不同的選派種數(shù)為（）

A.12B.24C.34D.60

答案C

解析由題可知，選派4人去的總的選派種數(shù)為?=35,選派4人全部是男生的選派種數(shù)為

第4頁共12頁

1,所以至少有一名女生參加的不同的選派種數(shù)為35—1=34.

（2）如圖，從上往下讀（不能跳讀，即念完標號為②的國字后只能念下一行標號為③或④的榮字,

又如標號為⑤的校字只能接在標號為④的榮字后念），構(gòu)成句子“愛國榮校做市西卓越學(xué)生”

的不同讀法總數(shù)為.

愛

國國.

榮榮?榮?

校校校校?

做做做做做

市市i|f市市市

西西西西西

卓卓卓卓

越越越

學(xué)學(xué)

生

答案252

解析構(gòu)成句子“愛國榮校做市西卓越學(xué)生”的不同讀法需10步完成（從上一個字到下一個

字為一步），其中5步是從上往左下角方向讀，余下5步是從上往右下角方向讀，故共有不同

讀法CM=252（種）.

題型三排列與組合的綜合問題

命題點1相鄰、相間問題

例3（多選）有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，正確的是（）

A.全體站成一排，女生必須站在一起有144種排法

B.全體站成一排，男生互不相鄰有1440種排法

C.任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種

D.全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種排法

答案BCD

解析對于A,將女生看成一個整體，考慮女生之間的順序，有Aj種排法，

再將女生的整體與3名男生在一起進行全排列，有N種排法，

故共有閡R=576（種）排法，故A錯誤；

對于B,先排女生，將4名女生全排列，有A才種排法，

再安排男生，由于男生互不相鄰，可以在女生之間及首尾空出的5個空位中任選3個空位排

男生，有Ag種排法，

故共有A3Ag=1440（種）排法，故B正確；

對于C,任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有C彳X2X1=

70（種），故C正確；

對于D,若甲站在排尾，則有AR種排法，若甲不站在排尾，則有AlAlAg種排法，

故共有Ag+AjAgAg=3720（種）排法，故D正確.

命題點2定序問題

例4有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，將7名學(xué)生排成一行，要求從左

第5頁共12頁

到右，女生從矮到高排列（不一定相鄰），不同的排法共有種.

答案840

解析7名學(xué)生的排列共有A彳種，其中女生的排列共有AJ種，按照從左到右，女生從矮到高

的排列只是其中的一種，故有W=A}=840（種）不同的排法.

命題點3分組、分配問題

例5（1）（2023?岳陽模擬）中國書法歷史悠久，源遠流長，書法作為一門藝術(shù)，以文字為載體,

不斷地反映著和豐富著華夏民族的自然觀、宇宙觀和人生觀，談到書法藝術(shù)，就離不開漢字,

漢字是書法藝術(shù)的精髓，漢字本身具有豐富的意象和可塑的規(guī)律性，使?jié)h字書寫成為一門獨

特的藝術(shù)，我國書法大體可分為篆、隸、楷、行、草五種書體，如圖，以“國”字為例，現(xiàn)

有5張分別寫有一種書體的臨摹紙，將其全部分給3名書法愛好者，每人至少1張，則不同

的分法種數(shù)為（）

幽國因閨

A.60B.90C.120D.150

答案D

解析滿足條件的分法可分為兩類，

第一類，一人三張，另兩人各一張，符合條件的分法有C$A$種，即60種，

第二類，其中一人一張，另兩人各兩張，符合條件的分法有瞽M種，即90種，

由分類加法計數(shù)原理可得，滿足條件的不同分法種數(shù)為150.

（2）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.假設(shè)中國空間站要安

排6名航天員開展實驗，其中每個艙安排2人.若甲、乙兩人不被安排在同一個艙內(nèi)做實驗,

則不同的安排方案共有（）

A.20種B.36種

C.72種D.84種

答案C

解析將6名航天員每個艙安排2人開展實驗的所有安排方法數(shù)為CiClCl

其中甲、乙兩人被安排在同一個艙內(nèi)做實驗的安排方法數(shù)為C9±探?AW,

所以滿足條件的不同的安排方案數(shù)為erZG-G?祟川=90-18=72.

思維升華求解排列、組合應(yīng)用問題的常用方法

捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列

插空法對于不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面

第6頁共12頁

元素排列的空檔中

定序問題對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列

跟蹤訓(xùn)練3（1）（多選）已知A,B,C,D,E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有（）

A.若A,8不相鄰，共有72種排法

B.若A不站在最左邊，B不站在最右邊，有72種排法

C.若A在B右邊有60種排法

D.若A,8兩人站在一起有48種排法

答案ACD

解析對于A,若A,B不相鄰，共有A3A+=72（種）排法，故A正確；

對于B,若A不站在最左邊，B不站在最右邊，利用間接法有A9-2Ai+A$=78（種）排法，故

B錯誤；

對于C,若A在B右邊有告=60（種）排法，故C正確；

對于D,若A,B兩人站在一起有A以￡=48（種）排法，故D正確.

（2）某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，同類

節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）

A.72B.120C.144D.168

答案B

解析先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空.安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順

序有三種：“小品，小品，相聲”、“小品，相聲，小品”和“相聲，小品，小品”.對于

第一種情況，形式為“□小品歌舞小品口相聲口”，有A紀!A§=36（種）安排方法；同理，第

三種情況也有36種安排方法；對于第二種情況，三個節(jié)目形成4個空，其形式為“口小品口

相聲□小品口”，有A3A2=48（種）安排方法，故共有36+36+48=120（種）安排方法.

（3）將9名大學(xué)生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天參加社區(qū)公益活動，每天分別安

排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有種.（用數(shù)字作答）

答案I680

解析先選出3人，有C8種選法，再從剩下的6人中選出3人，有C薪中選法，最后剩下的3

人為一組，有Cg種選法.

由分步乘法計數(shù)原理以及每AW中只能算一種不同的分組方法，可知不同的安排方案共有

CgCgCga心

—鬲-At=l680（種）.

第7頁共12頁

課時精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

I.若A/=6C*,則相等于（）

A.9B.8C.7D.6

答案C

._I、］二."八，m（m-1）（m—2）（機—3）

解析因為AW尸6c1,所以w（m-l）（w-2）=6X----.y_v-----,

即1=甘，解得相=7.

2.將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個宿舍，每個宿舍至少安排2名學(xué)生，那么互不相同的安排方

法的種數(shù)為（）

A.10B.20C.30D.40

答案B

解析將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個宿舍，每個宿舍至少安排2名學(xué)生，那么必然是一個宿

舍2名，而另一個宿舍3名，共有CgGA9=2O（種）.

3.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在

兩端，不同的排法共有（）

A.1440種B.960種

C.720種D.480種

答案B

解析先將5名志愿者排好，有Ag種排法，2位老人只能排在5名志愿者之間的4個空隙中，

先將2位老人排好，有A3種排法，再把它作為一個元素插入空隙中，有4種插法.所以共有

不同的排法4A3Ag=960（種）.

4.由0,1,2,…，9這十個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，個位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕

對值等于8的有（）

A.98個B.105個C.112個D.210個

答案D

解析當個位數(shù)字與百位數(shù)字為0,8時，有ARA3個；當個位數(shù)字與百位數(shù)字為1,9時，有A}

A}A3個，所以個位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕對值等于8的共有AaA3+A}A：A2=21O（個）.

5.將標號為1,2,3,4的四個籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個籃球，且標號為

1,2的兩個籃球不能分給同一個小朋友，則不同的分法種數(shù)為（）

A.15B.20C.30D.42

答案C

第8頁共12頁

解析四個籃球分成三組有C4種分法，三組籃球進行全排列有AW種分法，標號為1,2的兩個

籃球分給同一個小朋友有種分法，所以有C1M—Aj=36—6=30（種）分法.

6.（2023?濟寧模擬）2022年7月19日，亞奧理事會宣布將于2023年9月23日至10月8日

在杭州舉辦第19屆亞運會，為了辦好這屆體育文化盛會，杭州亞運會組委會決定進行賽前志

愿者招募，此舉得到在杭大學(xué)生的積極參與.某高校3位男同學(xué)和2位女同學(xué)通過篩選加入

志愿者服務(wù)，通過培訓(xùn)，擬安排在游泳、籃球、射擊、體操四個項目進行志愿者服務(wù)，這四

個項目都有人參加，要求2位女同學(xué)不安排在一起，且男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅由于專業(yè)需

要必須分開，則不同的安排方法種數(shù)為（）

A.144B.150C.168D.192

答案D

解析由題可得，參與志愿者服務(wù)的項目人數(shù)為2,1,1」，

若沒有限制則共有Cg-Al=240（種）安排方法；

當兩個女同學(xué)在一起時有A才=24（種）安排方法；

當男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅在一起時有A?=24（種）方法，

所以按題設(shè)要求不同的安排方法種數(shù)為240—24—24=192.

7.如圖是由6個正方形拼成的矩形圖案，從圖中的12個頂點中任取3個點作為一組.其中可

以構(gòu)成三角形的組數(shù)為（）

A.208B.204C.200D.196

答案C

解析任取的3個頂點不能構(gòu)成三角形的情形有3種：一是3條橫線上的4個點，其組數(shù)為

3d;二是4條豎線上的3個點，其組數(shù)為4CS；三是4條對角線上的3個點，其組數(shù)為4C3,

所以可以構(gòu)成三角形的組數(shù)為C%—3C1—8a=200.

8.（多選）現(xiàn)有4個編號為123,4的不同的球和4個編號為1,2,3,4的不同的盒子，把球全部

放入盒子內(nèi).則下列說法正確的是（）

A.恰有1個盒子不放球，共有72種放法

B.每個盒子內(nèi)只放一個球，且球的編號和盒子的編號不同的放法有9種

C.有2個盒子內(nèi)不放球，另外兩個盒子內(nèi)各放2個球的放法有36種

D.恰有2個盒子不放球，共有84種放法

答案BCD

解析對于A,恰有1個盒子不放球，先選1個空盒子，再選一個盒子放兩個球，

則ClCiAH144#:72,故A不正確；

第9頁共12頁

對于B,編號為1的球有c1種放法，把與編號為1的球所放盒子的編號相同的球放入1號盒

子或者其他兩個盒子，共有l(wèi)+cl=3（種），

即3X3=9（種），故B正確；

對于C,首先選出兩個空盒子，再取兩個球放剩下的兩個盒子中的一個，共有CZG=36（種）,

故C正確；

對于D,恰有2個盒子不放球，首先選出兩個空盒子，再將4個球分為3/或2,2兩種情況，

放入盒子，共有C2（C2C』+C2）=6X14=84（種）,故D正確.

9.（2022?大同模擬）在5G,AI,MR等技術(shù)的支持下，新聞媒體推出諸多創(chuàng)新觸媒產(chǎn)品，將

5G技術(shù)引入新聞生產(chǎn)，有效擴展了新聞的應(yīng)用場景，云采訪、云訪談、云直播等云端對話成

為報道的新常態(tài).現(xiàn)有4名新聞媒體記者采用云采訪、云訪談、云直播三種方式進行報道，

每種方式至少有一名記者采用，則不同的安排方法種數(shù)為.

答案36

解析依題意將4名新聞媒體記者分成三組，共有C1種方法，

再將其進行全排列共有AQ種方法，

由分步乘法計數(shù)原理得，共有C2Ag=36（種）安排方法.

10.某小區(qū)共有3個核酸檢測點同時進行檢測，有6名志愿者被分配到這3個檢測點參加服

務(wù)，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”進行檢測工

作的傳授，每個檢測點至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一個檢測點，

則不同的分配方案種數(shù)是.

答案216

解析根據(jù)題意，可先把4名“熟手”分為人數(shù)為2,1,1的三組，再分配到3個檢測點，共有

筆料種分法，

然后把2名“生手”分配到3個檢測點中的2個，有A專種分法，

所以共有《祟?A??Ag=216（種）不同的分配方案.

應(yīng)綜合提升練

11.（2023?蘇州模擬）陽春三月，草長鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉.三個家庭的3位媽媽帶著

3名女孩和2名男孩共8人踏春.在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進，三位

母親互不相鄰照顧孩子；3名女孩相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男孩打鬧，

2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面.則不同的排法共有（）

A.144種B.216種

C.288種D.432種

答案C

第10頁共12頁

解析第一步：先將3名母親全排列，共有AW種排法；

第二步：將3名女孩“捆綁”在一起，共有種排法；

第三步：將“捆綁”在一起的3名女孩作為一個元素，在第一步形成的2個空中選擇1個插

入，有A1種排法；

第四步：首先將2名男孩之中的一人，插入第三步后相鄰的兩個媽媽中間，然后將另一個男

孩插入由女孩與媽媽形成的2個空中的其中1個，共有QC1種排法.

所以不同的排法共有人認認g3&=288（種）.

12.把座位編號為1,2,345的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，

至多兩張，且分得的兩張票必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為（用數(shù)字作答）.

答案96

解析先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，

則三人每人一張，一人2張，且分得的票必須是連號，相當于將1,2,34,5這五個數(shù)用3個板

子隔開，分為四部分且