清單01 直線的傾斜角與斜率、直線方程問(wèn)題（7個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）（原卷版）

清單01直線的傾斜角與斜率、直線方程問(wèn)題（7個(gè)考點(diǎn)梳理+考點(diǎn)解讀+提升訓(xùn)練）【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)分布圖】【知識(shí)清單】1、傾斜角和斜率（1）直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．特別地，當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定．（2）傾斜角α的取值范圍：．當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，．（3）直線的斜率：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，也就是①當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，，；②當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，，k不存在．由此可知，一條直線l的傾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在．（4）直線的斜率公式：給定兩點(diǎn)，用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示直線的斜率：2、兩條直線的平行與垂直（1）兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即注意：上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不成立．即如果，那么一定有（2）兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即3、直線方程的不同形式間的關(guān)系直線方程的五種形式的比較如下表：名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式是直線上一定點(diǎn)，k是斜率不垂直于x軸斜截式k是斜率，b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸兩點(diǎn)式，是直線上兩定點(diǎn)不垂直于x軸和y軸截距式a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不垂直于x軸和y軸，且不過(guò)原點(diǎn)一般式A、B、C為系數(shù)任何位置的直線【考點(diǎn)精講】考點(diǎn)1：傾斜角與斜率例1．（2023·浙江臺(tái)州·高二統(tǒng)考期中）直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．例2．（2023·云南昆明·高二?？计谥校┤糁本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則直線l的斜率為（

）A．－4 B．4 C．－3 D．3例3．（2023·海南·高二統(tǒng)考期末）若過(guò)點(diǎn)，的直線的斜率等于1，則的值為（

）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4變式1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線經(jīng)過(guò)第二、四象限，則直線的傾斜角范圍是（）A． B．C． D．變式2．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）三條直線，，的位置如圖所示，它們的斜率分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（

）

A． B．C． D．考點(diǎn)2：直線與線段的相交問(wèn)題例4．（2023·江西贛州·高二階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)?，若直線l過(guò)點(diǎn)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．例5．（2023·福建福州·高二福建省連江尚德中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，，若點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)），則的取值范圍是（

）A． B．C． D．以上都不對(duì)例6．（2023·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，為的邊上一動(dòng)點(diǎn)，則直線斜率的變化范圍是（

）A． B．C． D．變式3．（2023·福建南平·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn).若直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式4．（2023·遼寧大連·高二統(tǒng)考期末）已知，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，那么直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C．， D．考點(diǎn)3：兩直線平行問(wèn)題例7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知四邊形的頂點(diǎn)，則四邊形的形狀為.例8．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則直線與的位置關(guān)系是．例9．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二雅禮中學(xué)?？计谀┮阎?，．若，則實(shí)數(shù)．變式5．（2023·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合、，若，則．變式6．（2023·陜西延安·高二?？计谀┮阎獌芍本€方程分別為，若，則．變式7．（2023·浙江臺(tái)州·高二溫嶺中學(xué)?？计谀┮阎本€和直線，若，則考點(diǎn)4：兩直線垂直問(wèn)題例10．（2023·高二單元測(cè)試）已知直線與互相垂直，垂足為，則的值是例11．（2023·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）若直線l1與l2的斜率k1、k2是關(guān)于k的方程的兩根，若l1⊥l2，則b=．例12．（2023·天津?yàn)I海新·高二?？奸_學(xué)考試）已知定點(diǎn)，點(diǎn)B在直線x+y=0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是.變式8．（2023·甘肅武威·高二統(tǒng)考期末）若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為.變式9．（2023·山東菏澤·高二山東省鄆城第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知三點(diǎn)，則△ABC為三角形.考點(diǎn)5：五種直線方程例13．（2023·安徽六安·高二校聯(lián)考期末）已知直線過(guò)點(diǎn)，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線l的方程為（

）A． B．C．或 D．或例14．（2023·安徽銅陵·高二銅陵一中開學(xué)考試）在等腰三角形中，，、，點(diǎn)在軸的正半軸上，則直線的點(diǎn)斜式方程為（）A． B．C． D．例15．（2023·黑龍江鶴崗·高二統(tǒng)考期中）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為為的垂直平分線，求：(1)邊所在直線的方程；(2)邊的垂直平分線的方程.變式10．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？计谀┮阎⒃谥本€上.(1)求直線的方程；(2)若直線傾斜角是直線傾斜角的2倍，且與的交點(diǎn)在軸上，求直線的方程.變式11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為、、．求：(1)邊所在直線的方程；(2)邊上的高所在直線的方程；(3)邊上的中線所在直線的方程．考點(diǎn)6：直線與坐標(biāo)軸圍成三角形問(wèn)題例16．（2023·湖北武漢·高二統(tǒng)考期末）已知直線方程為．(1)若直線的傾斜角為，求的值；(2)若直線分別與軸、軸的負(fù)半軸交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值及此時(shí)直線的方程．例17．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線．若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，的面積為為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值并求此時(shí)直線的方程．例18．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二統(tǒng)考期末）已知一條動(dòng)直線，(1)求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若直線l與、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在直線l同時(shí)滿足下列條件：①的周長(zhǎng)為；②的面積為.若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.變式12．（2023·江蘇南通·高二階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求：（1）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程；（2）直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形面積最小時(shí)的直線方程．變式13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線l：．（1）若直線不經(jīng)過(guò)第二象限，求k的取值范圍；（2）若直線l交x軸正半軸于A，交y軸負(fù)半軸于B，的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程．考點(diǎn)7：直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例19．（2023·安徽宿州·高二校聯(lián)考期中）不論取何值，直線恒過(guò)一定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為．例20．（2023·山東聊城·高二校考期中）直線恒過(guò)定點(diǎn)例21．（2023·上海虹口·高二上外附中?？茧A段練習(xí)）無(wú)論實(shí)數(shù)λ取何值，直線恒過(guò)定點(diǎn).變式14．（2023·浙江寧波·高二校聯(lián)考期中）已知，過(guò)定點(diǎn)M的動(dòng)直線與過(guò)定點(diǎn)N的動(dòng)直線相交于點(diǎn)P，則的最大值是．變式15．（2023·福建龍巖·高二福建省永定第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知?jiǎng)又本€和，是兩直線的交點(diǎn)，是兩直線和分別過(guò)的定點(diǎn)，則的最大值為.變式16．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）不論a為何實(shí)數(shù)，直線恒過(guò)一定點(diǎn)，則此定點(diǎn)的坐標(biāo)為．【提升練習(xí)】1．（2023·河南開封·高二統(tǒng)考期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線l，若直線l與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，滿足，則直線必過(guò)定點(diǎn)（

）A． B．C． D．3．（2023·河南·高二校聯(lián)考期中）“”是“直線和直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023·河北石家莊·高二石家莊一中?？计谥校┎徽搆為任何實(shí)數(shù)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，若直線過(guò)此定點(diǎn)其中m，n是正實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．5．（2023·河北石家莊·高二石家莊二中?？计谥校┲本€（為常數(shù)）的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2023·重慶·高二重慶十八中?？计谥校┮阎本€，.則下列說(shuō)法中正確的有（

）①存在實(shí)數(shù)，使，②存在實(shí)數(shù)，使；③對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，④存在點(diǎn)到四條直線距離相等A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點(diǎn)）、重心（三邊中線的交點(diǎn)）、垂心（三邊高的交點(diǎn)）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點(diǎn)為，，，則該三角形的歐拉線方程為（

）A． B． C． D．8．（多選題）（2023·貴州遵義·高二?？茧A段練習(xí)）下列結(jié)論中正確的有（

）A．過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為B．過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為C．若直線與直線平行，則的值為3D．過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為9．（多選題）（2023·安徽宿州·高二校聯(lián)考期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．直線的傾斜角越大，其斜率就越大B．若直線與直線垂直，則C．過(guò)點(diǎn)的直線的傾斜角為D．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為10．（多選題）（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為B．若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則C．若直線過(guò)第一、三象限，則D．若直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓，則11．（多選題）（2023·福建泉州·高二福建省德化第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B．直線的傾斜角的取值范圍是C．過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線的方程為D．己知，若直線與線段有公共點(diǎn)，則12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線與互相垂直，則這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.13．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值為．14．（2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線和以為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.15．（2023·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中校考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，邊上的中線所在的直線方程為，的角平分線所在的直線方程為，則直線的方程為．16．（2023·福建廈門·高二福建省廈門第六中學(xué)校考期中）如圖，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，.

(1)求平行四邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在中，求邊上的高線所在直線方程.17．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知直線的方程為，若直線過(guò)點(diǎn)，且.(1)求直線的方程；(2)已知直線經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)，且在軸上截距是在軸上截距的倍，求直線的方程.18．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線經(jīng)過(guò)直線和的交點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線l的方程.19．（2023·廣東廣州·高二校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行四邊形的三個(gè)頂