2023年新高考數學一輪復習講義第29講 解三角形應用舉例及綜合問題含解析

2023年新高考一輪復習講義第29講解三角形應用舉例及綜合問題

學校:姓名：班級：考號：

【基礎鞏固】

1.（2022?福建福建?模擬預測）某學生在“撿起樹葉樹枝，凈化校園環(huán)境”的志愿活動中拾到了三支小樹枝

（視為三條線段），想要用它們作為三角形的三條高線制作一個三角形.經測量，其長度分別為

3cm,4cm,6cm，貝?。荩ǎ?/p>

A.能作出二個銳角三角形B.能作出一個直角三角形

C.能作出一個鈍角三角形D.不能作出這樣的三角形

2.（2022?北京通州?一模）太陽高度角是太陽光線與地面所成的角（即太陽在當地的仰角）.設地球表面某

地正午太陽高度角為6為此時太陽直射點緯度，。為當地緯度值，那么這三個量滿足

，=90。-M-司.通州區(qū)某校學生科技社團嘗試估測通州區(qū)當地緯度值（夕取正值），選擇春分當日

（5=0°）測算正午太陽高度角.他們將長度為1米的木桿垂直立于地面，測量木桿的影長.分為甲、

乙、丙、丁四個小組在同一場地進行，測量結果如下：

組別甲組乙組丙組丁組

木桿影長度（米）0.820.800.830.85

則四組中對通州區(qū)當地緯度估測值最大的一組是（）

A.甲組B.乙組C.丙組D.丁組

3.（2022?北京?1（）1中學模擬預測）岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓“，是

“中國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.其地處岳陽古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞

庭，前望君山.始建于東漢建安二十年（215年），歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年（1880年）重建時

的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.自古有”洞庭

天下水，岳陽天下樓”之美譽.小李為測量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線AC,如圖，測得

/D4C=30°,Z￡>fiC=45°,AB=14米，則岳陽樓的高度8約為（無=1.414,6=1.732）（）

D

4.（2022?全國?高三專題練習）小李在某大學測繪專業(yè)學習，節(jié)日回家,來到村頭的一個池塘（如圖陰影部

分），為了測量該池塘兩側C,。兩點間的距離，除了觀測點C,。外，他又選了兩個觀測點片，P2,且

A吟,已經測得兩個角/々々。=夕，組P,D=B,由于條件不足，需要再觀測新的角，則利用已知觀

測數據和下面三組新觀測的角的其中一組，就可以求出C,。間距離的是（）

①NO6c和NOC4：②/[gc和鳥；③和

A.①和②B.①和③C.②和③D.①和②和③

5.（2022?湖南?長郡中學模擬預測）如圖所示，在某體育場上，寫有專用字體“一”、“起”、“向”、“未”、

“來”的五塊高度均為2米的標語牌正對看臺（8點為看臺底部）由近及遠沿直線依次豎直擺放，分別記五

塊標語牌為6。，M且BQ=16米.為使距地面6米高的看臺第一排A點處恰好能看到后

四塊標語牌的底部，則BQs=（）

A

BQ102。3。4。5

A.40.5米B.54米C.81米D.121.5米

6.（2022?山東師范大學附中模擬預測）魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作，其中第

一題是測量海島的高.一個數學學習興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，書中提供的測量方法甚是巧妙，可以回避現(xiàn)代測

量器械的應用.現(xiàn)該興趣小組沿用古法測量一山體高度，如圖點&H、G在水平線AC上，OE和FG是

兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，記為〃，EG為測量標桿間的距離，記為d,GC、E”分別記

為a、b,則該山體的高A8=（）

B

AEHGC

hd.hd.八hd]chd」

A.+hB.hC.+dD.-----d

a-ba-ba-ba-h

7.（2022?全國?高三專題練習）如圖所示，在四邊形A3CQ中，AC=AD=CD=lfZABC=120°,sinZBAC=

亞且8。為N4BC的平分線，則84=（）

14

A

A.6B.9C.7&D.8

8.（2022?浙江?海亮高級中學模擬預測）如圖，已知在二ABC中，A8=9,8C=12,點。在邊3c上，且滿

^2BD=DC,ZBAC=90,則sinNC4￡>=（）

A

A2713R3而「3an6743

13134343

9.（多選）（2022?全國?高三專題練習）為了測量8,C之間的距離,在河的南岸A,。處測量（測量工

具：量角器、卷尺），如圖所示.下面是四位同學所測得的數據記錄，你認為不合理的有（)

B

A.c與aB.c與bC.h,c與。D.h,a與y

10.（多選）（2022?全國?高三專題練習）某貨輪在A處看燈塔8在貨輪北偏東75。，距離為12幾nmile;在

A處看燈塔C在貨輪的北偏西30。，距離為86〃〃?詆.貨輪由A處向正北航行到。處時，再看燈塔8在南偏

東60。，則下列說法正確的是（）

A.A處與。處之間的距離是24nmileB.燈塔C與。處之間的距離是86nmile

C.燈塔C在。處的西偏南60。D.。在燈塔8的北偏西30。

11.（多選）（2022?河北?石家莊二中高三階段練習）《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著

作，全書十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題，《數書九章》中記錄了秦九昭的許多創(chuàng)造性

成就，其中在卷五“三斜求積''中提出了已知三角形三邊。，b,。求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完

成等價，其求法是廣以小斜基并大斜累減中斜暴，余半之，自乘于上，以小斜塞乘大斜累減上，余四約

之，為實，一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即S=Rc2a2-（—a"-b2-}.現(xiàn)有

AABC滿足sinA:sin3:sinC=2:3:近，且AABC的面積又近，=66，請運用上述公式判斷下列命題正確

的是

A.AABC周長為10+277

B.AABC三個內角A,C,B成等差數列

C.AABC外接圓直徑為生旦

D.A46C中線C￡>的長為3也

12.（多選）（2022?湖南?長沙一中高三階段練習）已知一ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,

c,ZBAC=60.BC=3,。是8c上的點，AD=2,以下結論中正確的有（)

A.若A￡>_L8C,則ABC的面積為3

B.當ABC為等邊三角形時，口ABC的面積最大

UUUUUI1

C.若。為8c中點，則48.AC=3

D.若AO平分ZB4C,貝（JA8C的面積為逆

2

13.（2022?浙江?高三專題練習）公元1231年，南宋著名思想家，教育家陸九淵的弟子將象山書院改建于

三峰山徐巖（徐巖舊址，現(xiàn)為貴溪市第一中學），在信江河畔便可望見由明正德皇帝御筆親題的“象山書院''

紅色題刻.為測量題刻C。的高度，在A處測得仰角分別為45。，30。，前進40米后，又在B處測得仰角分

別為60。，45°,則題刻CO的高度約為米.

14.（2022?全國?高三專題練習）汽車最小轉彎半徑是指當轉向盤轉到極限位置，汽車以最低穩(wěn)定車速轉向

行駛時，外側轉向輪的中心平面在支承平面上滾過的軌跡圓半徑.如圖中的BC即是.已知某車在低速前

進時，圖中A處的輪胎行進方向與AC垂直，8處的輪胎前進方向與BC垂直，軸距AB為2.92米，方向盤

轉到極限時，輪子方向偏了30。，則該車的最小轉彎半徑BC為米.

15.（2022?全國?高三專題練習）在如圖所示四邊形ABC。中，AD=DC,AC=56,BC=|夜，

ZADC=120°,ZfiCD=75°,則四邊形ABCD的面積為.

D

16.（2022?遼寧?沈陽二中模擬預測）沈陽二中北校區(qū)坐落于風景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內的一泓碧水蜿蜒

形成了一個“秀''字，故稱“秀湖”.湖畔有秀湖閣（A）和臨秀亭（B）兩個標志性景點，如圖.若為測量隔湖相

望的A、B兩地之間的距離，某同學任意選定了與A、8不共線的C處，構成:ABC,以下是測量數據的

不同方案:

①測量ZA、AC,BC；

②測量乙4、DB、BC；

③測量NC、AC.BC；

④測量NA、NC、OB.

其中一定能唯一確定A、8兩地之間的距離的所有方案的序號是

17.（2022?湖南?模擬預測）如圖，在銳角.ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

ccosA+csinA-a-b=0■

5

（1）求cosC的值；

TT

（2）在BC的延長線上有一點。，使得/D4C==,4。=10,求AC,8.

18.（2022?廣東?高三開學考試）如圖，測量河對岸的塔高A3時，可以選取與塔底B在同一水平面內的兩

個測量基點C與。.現(xiàn)測得NBCD=30。，NBDC=135。,CE>=50米，在點C測得塔頂A的仰角為45。，

求塔高AB.

A

D

19.（2022?山東泰安?高三期末）在某海域A處的巡邏船發(fā)現(xiàn)南偏東60方向，相距。海里的8處有一可疑船

只，此可疑船只正沿射線丫=日耳》20）（以8點為坐標原點，正東，正北方向分別為x軸，軸正方

向，1海里為單位長度，建立平面直角坐標系）方向勻速航行.巡邏船立即開始沿直線勻速追擊攔截，巡邏

船出發(fā)f小時后，可疑船只所在位置的橫坐標為從.若巡邏船以30海里〃卜時的速度向正東方向追擊，則恰

好1小時與可疑船只相遇.

（1）求。力的值;

（2）若巡邏船以50海里/小時的速度進行追擊攔截，能否擒截成功？若能，求出攜截時間，若不能，請說

明理由.

【素養(yǎng)提升】

1.（2022?全國?高三專題練習）第十屆中國花博會于2021年5月21日至7月2日在上海崇明舉辦，主題

是“花開中國夢”，其標志建筑世紀館以“蝶戀花”為設計理念，利用國際前沿的數字技術，突破物理空間局

限，打造了一個萬花競放的虛擬絢麗空間，擁有全國跨度最大的自由曲面混凝土殼體，屋頂跨度達280

米.圖1為世紀館真實圖，圖2是世紀館的簡化圖.

ffl1圖2

世紀館的簡化圖可近似看成是由兩個半圓及中間的陰影區(qū)域構成的一個軸對稱圖形，其中

AA/IPP'IIOffllBB'（O,。'分別為半圓的圓心），線段P戶與半圓分別交于C,C,若A4'=280米,

88'=128米，/PQB=105°,NCOB=15°,NOB8'=120°,1.732,則OP的長約為（）

A.27米B.28米C.29米D.30米

2.（2022?全國?高三專題練習）凸四邊形就是沒有角度數大于180的四邊形，把四邊形任何一邊向兩方延

長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形AB8中，

AB^\,BC=￡,ACLCD,AC=CD,當NA8C變化時，對角線8。的最大值為

A.3B.4C.>/6+1D.57+26

3.（2022?全國?高三專題練習）隨著生活水平的不斷提高，人們更加關注健康，重視鍛煉.通過“小步道”，

走出“大健康”，健康步道成為引領健康生活的一道亮麗風景線.如圖，A-3-C-O-E為某區(qū)的一條健康

步道，其中AB,C￡>,DE,AE為線段，B,C,D三點共線，BC是以為直徑的半圓，ABYBD,

33

AB=-CD=6km,cos/BAO=-,AE=DE,ZE=2/BAD.則該健康步道的長度為

25

D

4.（2022?廣東惠州一模）如圖，曲柄連桿機構中，曲柄C8繞C點旋轉時，通過連桿AB的傳遞，活塞做

直線往復運動.當曲柄在CB。位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點A在A。處.設連桿AB長200

mm,曲柄C8長70mm,則曲柄自C8°按順時針方向旋轉53.2。時，活塞移動的距離（即連桿的端點A移

動的距離AM）約為mm.（結果保留整數）（參考數據：sin53.2°~0.8）

5.（2022?全國?高三專題練習）如圖，游客從景點A下山至C有兩種路徑：一種是從A沿直線步行到C,

另一種是先從A乘纜車到8,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A下山，甲沿AC勻速步

行，速度為50米/分鐘.在甲出發(fā)2分鐘后，乙從A乘纜車到8,在8處停留1分鐘后，再從8勻速步行

到C.已知纜車從A到B要8分鐘，AC長為1260米，若cosA=”，sinB=笑.為使兩位游客在C處互

1365

相等待的時間不超過3分鐘，則乙步行的速度-（米/分鐘）的取值范圍是.

6.（2022?遼寧?一模）如圖所示，在平面五邊形ABCDE中，已知NA=120。，ZB=90°,ZC=120°,

ZE=90°,AB=AE=3.

B

A

(1)當BC=N叵時，求co；

2

(2)當五邊形ABCDE的面積Se，方9代］時，求BC的取值范圍.

第29講解三角形應用舉例及綜合問題

學校:姓名：班級：考號：

【基礎鞏固】

1.（2022?福建福建?模擬預測）某學生在“撿起樹葉樹枝，凈化校園環(huán)境”的志愿活動中拾到了三支小樹枝

（視為三條線段），想要用它們作為三角形的三條高線制作一個三角形.經測量，其長度分別為

3cm,4cm,6cm，貝?。荩ǎ?/p>

A.能作出二個銳角三角形B.能作出一個直角三角形

C.能作出一個鈍角三角形D.不能作出這樣的三角形

【答案】C

【解析】因為三條高線的長度為3cm,4cm,6cm,故三邊之比為4:3:2,

設最大邊所對的角為a,則cosa=^MT=-；＜0,

2x2x34

而a為三角形內角，故a為鈍角，故三角形為鈍角三角形，

故選：C.

2.（2022?北京通州?一模）太陽高度角是太陽光線與地面所成的角（即太陽在當地的仰角）.設地球表面某

地正午太陽高度角為凡6為此時太陽直射點緯度，。為當地緯度值，那么這三個量滿足

9=90。-通州區(qū)某校學生科技社團嘗試估測通州區(qū)當地緯度值（。取正值），選擇春分當日

（5=0。）測算正午太陽高度角.他們將長度為1米的木桿垂直立于地面，測量木桿的影長.分為甲、

乙、丙、丁四個小組在同一場地進行，測量結果如下：

組別甲組乙組丙組丁組

木桿影長度（米）0.820.800.830.85

則四組中對通州區(qū)當地緯度估測值最大的一組是（）

A.甲組B.乙組C.丙組D.丁組

【答案】D

【解析】如圖所示，地球表面某地正午太陽高度角為。，S為此時太陽直射點緯度，。為當地緯度值，那

么這三個量滿足夕=90°-|9-目，

當6=0。且。為正值，可得，=90。-9，即e=90°-9,

設木桿的影長為機，可得tane=L,

m

因為甲、乙、丙、丁四個小組在同一場地進行，得到影長分別為0.82,0.80,0.83,0.85,

所以當帆=0.85時，6取得最小值，此時。求得最大值，

所以四組中對通州區(qū)當地緯度估測值最大的一組是丁組.

影長，”

3.（2022?北京T01中學模擬預測）岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是

“中國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.其地處岳陽古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞

庭，前望君山.始建于東漢建安二十年（215年），歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年（1880年）重建時

的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.自古有”洞庭

天下水，岳陽天下樓”之美譽.小李為測量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線AC,如圖，測得

/D4C=30°，ZDfiC=45°,A8=14米,則岳陽樓的高度CD約為（無。1.414,6=1.732）（）

A.18米B.19米

【答案】B

【解析】R3AOC中，Z￡)AC=30°，則AC=6C￡)，RsBDC中,ZDBC=45\則8C=CE>,

14

由AC-BC=AB得6CD-CO=14=CO==7(6+1)=19.124CO約為19米.

6-1

故選：B

4.（2022?全國?高三專題練習）小李在某大學測繪專業(yè)學習，節(jié)日回家，來到村頭的一個池塘（如圖陰影部

分），為了測量該池塘兩側C,。兩點間的距離，除了觀測點C,。外，他又選了兩個觀測點A,p2,且

P、P?=a,己經測得兩個角/勺鳥。=。，組PQ=R,由于條件不足，需要再觀測新的角，則利用已知觀

測數據和下面三組新觀測的角的其中一組，就可以求出C,。間距離的是（）

①NORC和ZDC￡；②/[AC和N￡C^；③N《￡）C和NDC《.

A.①和②B.①和③C.②和③D.①和②和③

【答案】D

【解析】根據題意，△12。的三個角和三個邊，由正弦定理均可以求出，

_CDDP,…DP.sinZDP,C___

①中，./八：，故CC=-?/MD，故①可以求出CD;③與①條件等價?

sinZ.DPXCsinZ.DCPXsinZ.DCP}

pppcasinZPPC

②中，在4qgc中，.看D二.工",故"C=_.晨，在4[CO中，利用余弦定理求解

sinN6cgsinN^gCsinZPtCP2

CO即可；

故選：D.

5.（2022?湖南?長郡中學模擬預測）如圖所示，在某體育場上,寫有專用字體“一”、“起”、“向”、“未”、

“來”的五塊高度均為2米的標語牌正對看臺（8點為看臺底部）由近及遠沿直線依次豎直擺放，分別記五

塊標語牌為6。，至，…,42,且BQ=16米.為使距地面6米高的看臺第一排A點處恰好能看到后

四塊標語牌的底部，則8Qs=（）

A

二二二二二——,2二二二二二二=工1二二二三二二二二===-'+------------；5

B2102。304。5

A.40.5米B.54米C.81米D.121.5米

【答案】C

42

【解析】依題意7=萬7「。0=8,

16QQ

42

,003=12,

16+8

42

，2?4=18,

16+8+12

42

獲'QM=27,

16+8+12+18

所以8Q5=16+8+12+18+27=81米.

故選：C

6.（2022?山東師范大學附中模擬預測）魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作，其中第

一題是測量海島的高.一個數學學習興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，書中提供的測量方法甚是巧妙，可以回避現(xiàn)代測

量器械的應用.現(xiàn)該興趣小組沿用古法測量一山體高度，如圖點&H、G在水平線AC上，OE和FG是

兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，記為心EG為測量標桿間的距離，記為d,GC、EH分別記

為a,b,則該山體的高AB=（）

hd,

D.-----d

a-b

【答案】A

【解析】連接FD,并延長交AB于M點，如圖,

所以||=-=I%＞；又因為在R&BMF中tanZBFM=-,

tanZBDA/ha

所以"Ml」8MM,所以色一I'",

tan/BFMhhh

所以18MlapAB^BM\+h=-^-+h,

a-ha-b

故選:A.

7.（2022?全國?高三專題練習）如圖所示，在四邊形48。中，AC=AD=CD=7,ZABC=120°,sinZBAC=

亞且8D為N4BC的平分線，則）

14

B

----------C

A.6B.9C.7&D.8

【答案】D

BC一四=BCJ=BCT

【解析】由正弦定理得sin/BACsinZABC5G6，

"iTT

由AC=AZ)=CD=7,可得ZADC=60。，zS4BC=120°,

所以A,8,C,。四點共圓，ZDBC=ZZMC=60°,

由余弦定理cosNDBC=必+'02一*2n8。=8.

2BDBC

故選：D.

8.(2022?浙江?海亮高級中學模擬預測)如圖，己知在二ABC中，AB=9,8C=12,點。在邊BC上，且滿

足28￡)=￡)C,NBAC=90,則sinNC4〃=()

A

?C

D

A2后口3匹?3屆_6>/43

L?------LJ?-------

13134343

【答案】D

【解析】在，A5c中，ZBAC=90,AB=9,BC=12,則cos8=sinC=-----=二，

BC4

因28/)=￡>C,則8￡>=4,CQ=8,

3

在△ABO中，由余弦定理得：AD-=：AB-+BD2-2AB-BDcosB=92+42-2x9x4x-=43,即

4

AD=V43,

=也得..八8x；6月，

在八48中，由正弦定理.C二Dc

r1寸?sin/CAD==——'

所以sinZ.CAD=.

43

故選：D

9.（多選）（2022?全國?高三專題練習）為了測量B,C之間的距離，在河的南岸A,C處測量（測量工

具：量角器、卷尺），如圖所示.下面是四位同學所測得的數據記錄，你認為不合理的有（）

C.b,c與夕D.b,a與/

【答案】ABC

【解析】因為A,C在河的同一側，所以可以測量b,a與7,

故選：ABC

10.（多選）（2022?全國?高三專題練習）某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75。，距離為12#nmile；在

A處看燈塔C在貨輪的北偏西30。，距離為86〃疝歷.貨輪由A處向正北航行到。處時，再看燈塔B在南偏

東60。，則下列說法正確的是（）

A.A處與D處之間的距離是24nmileB.燈塔C與。處之間的距離是86nmile

C.燈塔C在。處的西偏南60。D.。在燈塔8的北偏西30。

【答案】ABC

【解析】在△ABO中，由已知得NA￡>B=60",NDAB=75°,

北

則N5=45,AB=12瓜.

I?日當

ABsinNB

由正弦定理得AD=

sinZADB~1T~

2

所以A處與。處之間的距離為24〃機淞，故A正確;

在一A￡?C中，由余弦定理得,

CD2=AD2+AC2-2AD-ACcos30,

又4c=8行,

解得CD=86

所以燈塔C與。處之間的距離為8行nmile，故B正確,

AC=C￡>=85

:.ZCDA=ZCAD=30°,

???燈塔C在。處的西偏南60。，故C正確；

燈塔B在。的南偏東60。，

在燈塔B的北偏西60。，故D錯誤；

故選：ABC.

11.（多選）（2022?河北?石家莊二中高三階段練習）《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著

作，全書十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題，《數書九章》中記錄了秦九昭的許多創(chuàng)造性

成就，其中在卷五“三斜求積''中提出了已知三角形三邊“，b,c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完

成等價，其求法是產以小斜暴并大斜累減中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜基乘大斜基減上，余四約

之，為實,一為從隅，開平方得積若把以上這段文字寫成公式，即S=,2"2_/+［現(xiàn)有

AABC滿足sinA:sin3:sinC=2:3:W,且AABC的面積5必；＜：=6。，請運用上述公式判斷下列命題正確

的是

A.AABC周長為10+2"

B.AABC三個內角A,C,8成等差數列

C.A4BC外接圓直徑為生旦

3

D.AABC中線CO的長為30

【答案】ABC

【解析】由正弦定理可得：a:b;c=23.不

設a=2，”,b=3m,c=y/lm(/n>0)

2

I_2,2(Inr+4/M—9m~3-^2,k*

—Itrrx4m~-----------------------=-----nv=6V3,解得：m=2

J4I2J2

.?.AA8C的周長為a+b+c=4+6+2/=10+2",A正確;

由余弦定理得：8SC=$116+36-281

2x4x6~2

A+3+C=;r:.A+B=—,即2C=A+3二?AC,8成等差數列B正確;

3

CD—c_2V7_4721

由正弦定理知外接圓直徑為,“一碇一。一二C正確；

sin—

由中線定理得：a2+b2=^c2+2CD2,即CD。=gx116+36-gx28)=19

：.CD=y/]9,￡>錯誤.

故選：ABC

12.（多選）（2022?湖南?長沙一中高三階段練習）已知ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,

c,ZBAC=60,BC=3,。是8c上的點，4）=2,以下結論中正確的有（）

A.若4O_LBC,則ABC的面積為3

B.當A8C為等邊三角形時，A8C的面積最大

UL1UUUI1

C.若。為8c中點，則48AC=3

D.若AO平分ZB4C,則ABC的面積為鋌

2

【答案】AD

【解析】解：設A8=c,AC=6,BC=a,

對于A選項，因為3c=3,。是8c上的點，AD=2,AD1BC,所以ABC的面積為;*3x3=3,故A

正確；

對于B選項，當ADL8C時，ABC的面積最大，故錯誤;

對于C選項，b2+c2=bc+9?,ABAC=bcco^a=\hc,由于。為BC中點，則AO=1(A8+AC),故

22

\AD\=^\AB+AC\=^-J\AB+AC\2=gy]\AB\2+2AB-AC+\AC^=2,所以|AB『+2AB-AC+1AC|2=16,

^c2+bc+b2=l6@,所以義押得從■=(,所以AB-AC=：〃c=(,故錯誤；

對于D選項，因為AO平分N8AC,N8AC=6(),所以N8A￡>=NCAO=30°,

5%蛆=%必。+&8，)=：43/1。$出30+：4。4。?1130=；02'；+：力2*;=：(。+0)由于

乙乙乙乙乙/乙

=^-bc,b2+c2-be=9,A^-(ft+c)=—fee,HP/?+c=—fee,

口"4242

所以/+c2-he=(h+c)2-3hc=he)2—3hc=9,即(be)2—4hc—l2=0,解得be=6,

所以SAABC=^^加=6=*叵，故D正確.

ZMBC442

故選：AD

13.(2022?浙江?高三專題練習)公元1231年，南宋著名思想家，教育家陸九淵的弟子將象山書院改建于

三峰山徐巖(徐巖舊址，現(xiàn)為貴溪市第一中學)，在信江河畔便可望見由明正德皇帝御筆親題的“象山書院”

紅色題刻.為測量題刻C。的高度，在A處測得仰角分別為45。，30。，前進40米后，又在8處測得仰角分

別為60。，45°,則題刻CD的高度約為米.

【答案】40

【解析】因為在A處看C的仰角分別為45。，在8處看。的仰角分別為45。，

:.AC//BD,且-OAC,08。均為等腰直角三角形，

故CD=AB=40.

故答案為：40.

14.(2022?全國?高三專題練習)汽車最小轉彎半徑是指當轉向盤轉到極限位置，汽車以最低穩(wěn)定車速轉向

行駛時，外側轉向輪的中心平面在支承平面上滾過的軌跡圓半徑.如圖中的BC即是.已知某車在低速前

進時，圖中A處的輪胎行進方向與AC垂直，8處的輪胎前進方向與BC垂直，軸距AB為2.92米，方向盤

轉到極限時，輪子方向偏了30。，則該車的最小轉彎半徑8c為米.

【答案】5.84

【解析】由題意可知，只需求BC的長度即可.

由NBC4=3O,sinZBCA=—,

國產二遇ET聆5.84米,

2

故答案為：5.84

3

15.（2022?全國?高三專題練習）在如圖所示四邊形ABCO中，ADDC,AC—5>/3>=—>/2,

ZADC=nQP,ZBCD=75°,則四邊形ABC。的面積為

A

【答案】10x/3

sr

AD=DC=5yr

【解析】由題意，知：.Z4DC=-,HZDCA=-ZACB=-,

02sm--------64

2

??八”二一

SMtzL2DC-ACsinZDCA,S.ZAiCDR=—2AC-BC-sinZACB,

11/0

一

四邊形ABCD的面積S2-2-22

故答案為：ioG

16.（2022?遼寧?沈陽二中模擬預測）沈陽二中北校區(qū)坐落于風景優(yōu)美的輝山景區(qū)，景區(qū)內的一泓碧水蜿蜒

形成了一個“秀''字，故稱“秀湖”.湖畔有秀湖閣（A）和臨秀亭（B）兩個標志性景點，如圖.若為測量隔湖相

望的A、5兩地之間的距離，某同學任意選定了與A、8不共線的C處，構成45C,以下是測量數據的

不同方案:

①測量NA、AC、BC；

②測量NA、E>B、BC；

③測量“、AC、BC；

④測量44、NC、DB.

其中一定能唯一確定A、B兩地之間的距離的所有方案的序號是

【答案】②③

ACRC公「sinA

【解析】對于①，由正弦定理可得多=竿；，則sinB=%臀，

smBsmABC

Aqjn4

若AC〉BC且NA為銳角，則sin8=->sinA,此時DA有兩解，

AB

則NC也有兩解，此時A8也有兩解；

對于②，若已知NA、DB,則NC確定，由正弦定理匹=」與可知A8唯一確定；

smAsmC

對于③，若已知NC、AC、BC,由余弦定理可得AB=\lAC2+BC2-2AC-BCcosC，

則A8唯一確定：

對于④，若已知ZA、NC、DB,則AB不確定.

故答案為：②③.

17.（2022?湖南?模擬預測）如圖，在銳角中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

(1)求cosC的值:

-JT

⑵在回的延長線上有一點?！沟谩ˋC二,也=1。,求ACO.

［解】⑴在《ABC中,由正弦定理得sinCcosA+sinCsinA-K^sinA-sin3=0,

5

又在ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cos/AsinC,

所以上式可化為sinCsinA--sinA-cosCsinA=0.

5

因為sinA>0,所以sinC-cosC=—,

5

又因為sirc+co/CuLABC是銳角三角形，cosC>0.解得cosC=^

5

⑵由（1）得：cos/AC8=且，又二ABC是銳角三角形，所以sin/ACB=述,

55

在人!。。中，

………CDAC10T

CDADACt—=>—=—產=5CJ/5

由正弦定理得：?//）”=「―777^:=.即3W，

sinZ.DACsin（乃一NACB）sinZ.ADC

2105

解得CD=￡區(qū),AC=逑.

22

18.（2022?廣東?高三開學考試）如圖，測量河對岸的塔高A8時，可以選取與塔底B在同一水平面內的兩

個測量基點C與。.現(xiàn)測得NBC￡>=30。，NBDC=135。,C￡>=50米，在點C測得塔頂A的仰角為45。，

求塔高AB.

A

D

【解】在△BCD中，ZCeZ）=180o-ZBCD-ZBDC=180o-30o-135o=15o,

VsinZCBD=sinl5°=sin（45o-30°）=sin450cos300-cos450sin30°=瓜

c八CD-sinZBDC

BCCDznBC=--------------------

由正弦定理.一大得sinZCB￡>

sinZ.BDCsinZ.CBD

4

在RtAABC中ZACS=45。.AB=BC=50（b+1）.

所以塔高AB為50(6+1)米.

19.(2022?山東泰安?高三期末)在某海域A處的巡邏船發(fā)現(xiàn)南偏東60方向，相距。海里的8處有一可疑船

只，此可疑船只正沿射線y=#x(xW0)(以B點為坐標原點，正東，正北方向分別為x軸，y軸正方

向，1海里為單位長度，建立平面直角坐標系)方向勻速航行.巡邏船立即開始沿直線勻速追擊攔截，巡邏

船出發(fā)，小時后，可疑船只所在位置的橫坐標為次.若巡邏船以30海里〃J、時的速度向正東方向追擊，則恰

好1小時與可疑船只相遇.

(1)求。力的值;

(2)若巡邏船以50T海里〃卜時的速度進行追擊攔截，能否掠截成功？若能，求出盤截時間，若不能，請說

明理由.

【解】(1)解：由題意，直線y=的傾斜角為3伊，

若巡邏船以30海里/小時的速度向正東方向追擊，設1小時后兩船相遇于點C,

如圖所示，則AC〃x軸，AC=30,且.ABC關于y軸對稱，

所以A3=BC=a,NABC=120°,所以a=—^—=10G/=10Gcos30°=15.

cos30°

y

0(B)bx

(2)解：若巡邏船以5&T海里/小時進行追擊，設f小時后兩船相遇于點。，如圖所示,

則ZA8￡)=120。，BD=15f=10\/3r,AD=5727/.4B=loG，

cos30°

因為AD?=6+BD--2AB-BDcosZABD

可得(5同)2=(10揚2+(106)2-2xl0x/3xl0而x

2

整理得3戶一4r-4=0,解得r=2或f=(舍去)，

所以能夠攔截成功攔截時間為2小時.

【素養(yǎng)提升】

1.（2022?全國?高三專題練習）第十屆中國花博會于2021年5月21日至7月2日在上海崇明舉辦，主題

是“花開中國夢”，其標志建筑世紀館以“蝶戀花”為設計理念，利用國際前沿的數字技術，突破物理空間局

限，打造了一個萬花競放的虛擬絢麗空間，擁有全國跨度最大的自由曲面混凝土殼體，屋頂跨度達280

米.圖1為世紀館真實圖，圖2是世紀館的簡化圖.

ffl1圖2

世紀館的簡化圖可近似看成是由兩個半圓及中間的陰影區(qū)域構成的一個軸對稱圖形，其中

AA//PP'//O（y//BB'（O,。'分別為半圓的圓心），線段P戶與半圓分別交于C,C,若A4'=280米,

88'=128米，/尸。3=