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文檔簡(jiǎn)介
2022-2023學(xué)年河南省商丘市名校聯(lián)考高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題(本大題共8小題,共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中,選出符合題目的一項(xiàng))
1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)W(其中i為虛數(shù)單位)的共軌復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
2.甲乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽,在前三局比賽中,甲勝2局,乙勝1局,規(guī)定先勝3局者取得最
終勝利,已知甲在每局比賽中獲勝的概率為|,乙在每局比賽中獲勝的概率為,且各局比賽
結(jié)果相互獨(dú)立,則甲取得最終勝利的概率為()
A.IB.IC.D.I
3.有10種不同的零食,每100克可食部分包含的能量(單位:?)如下:
110120123428174190318235165432
則這10種零食的80%分位數(shù)是()
A.235B.165C.373D.200
4.己知AABC利用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形,則△4BC的面積為()
A.√^^3B.2θC.√-6D.2√^6
5.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2/2的半圓,則此圓錐的體積為()
6.在一個(gè)文藝比賽中,8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個(gè)評(píng)委小組,給參賽選手打分,
根據(jù)打分情況,得到專業(yè)人士組對(duì)選手A打分的平均數(shù)為48,方差為14,觀眾代表組對(duì)選手4
打分的平均數(shù)為56,方差為140,則選手4得分的總方差為()
A.105.60B.85.24C.94.63D,104.96
7.如圖,為測(cè)量河對(duì)岸建筑物ZB的高度,選取與建筑物底部點(diǎn)4
在同一水平面上的C,D兩點(diǎn),測(cè)得CD=20,?ACB=30o,?ADB=
45o,N力DC=60。,則建筑物48的高度為()
A.20√3
B.10√^^3
C.20
D.10
8.已知m,n是兩條不同的直線,α,夕是兩個(gè)不重合的平面,則有下列命題
(T)τn∕∕a,n/∕β,a∕∕β=>m//n;
②al。,τnca,nuS=min;
(3)m∕∕n,mLa,nu0na“;
(4)a1β,TnIa=mu/?.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為()
A.OB.1C.2D.3
二、多選題(本大題共4小題,共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)
9.已知Z1,22為復(fù)數(shù),i是虛數(shù)單位,下列說法正確的是()
A.若Z[=1+2i,則Zl的虛部為2i
B.若Zl=I+2i,Z2滿足憶2-Zι∣=則氏|的最大值為
C.若∣Z]+Z2∣=區(qū)-Z2∣,則Zg=O
D.若Zl=(1+2i)(a+3i)(a∈R),且ZI=z1,則a=—1
10.在一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,連續(xù)拋擲
這個(gè)骰子兩次,并記錄每次骰子向上一面的點(diǎn)數(shù),記事件4為“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”,
事件B為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”,事件C為“兩次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”,則下列結(jié)
論正確的是()
A.事件4與事件B是相互獨(dú)立事件B.事件4與事件C是互斥事件
C.P(ABC)=AD.P(4)P(B)P(C)1
O
11.如圖,在棱長(zhǎng)為1正方體ABCD-ABICIDl中,點(diǎn)P,Q
分別是線段Bi。1,BDl上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E是棱BBl的中點(diǎn),下
列命題正確的有()
A.異面直線AC與BP所成的角為定值
B.PQ+QA的最小值為號(hào)
C.三棱錐4-PBC的體積隨P點(diǎn)的變化而變化
D.過點(diǎn)E作平面a,當(dāng)a〃平面4Bι5時(shí),平面a與正方體表面的交線構(gòu)成平面多邊形的周長(zhǎng)
為i3U
12.在直角梯形4BCO中,AD∕∕BC,AB1AD,AB=AD=2,BC=4,點(diǎn)P在力BCD所在
的平面內(nèi),滿足I91=1,若M是尸C的中點(diǎn),貝IJl麗|2的取值可能是()
A.7B.10C.13D.16
三、填空題(本大題共4小題,共20.0分)
13.己知點(diǎn)。是AABC的重心,而可以用荏和而表示為.
14.下列命題中:
①某校共有男生2700人,女生1800人,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取容量為90的樣本進(jìn)
行健康測(cè)試,則樣本中男生有54人;
②隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大,一個(gè)隨機(jī)事件4發(fā)生的頻率Λt(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率;
③數(shù)據(jù)4,8,10,14的方差是2,4,5,7的方差的2倍;
④從3個(gè)紅球和2個(gè)白球中任取兩個(gè)球,記事件4="取出的兩球均為紅球",事件B="取
出的兩個(gè)球顏色不同”,則事件4與B互斥而不對(duì)立;
其中正確命題的編號(hào)為.
15.在正三棱錐P-ABC中,點(diǎn)。在棱24上,且滿足PD=2Zλ4,CD1PB,若力B=3,1,
則三棱錐P-BCD外接球的表面積為.
16.在等腰△ABC中,底邊ZB=2,點(diǎn)D在直線BC上,滿足反f=2而,則當(dāng)tan/BAD-cos2B
取最大值時(shí),△?1BC的面積為.
四、解答題(本大題共6小題,共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)
17.(本小題10.0分)
某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊訓(xùn)練中共射擊10次,這10次命中的環(huán)數(shù)分別為8,7,9,9,10,6,
8,8,7,8.
(1)求這名運(yùn)動(dòng)員10次射擊成績(jī)的方差;
(2)若以這10次命中環(huán)數(shù)的頻率來估計(jì)這名運(yùn)動(dòng)員命中環(huán)數(shù)的概率,求該運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí):
(i)命中9環(huán)或者10環(huán)的概率;
(ii)至少命中7環(huán)的概率.
18.(本小題12.0分)
已知平面向量五=(2,1),b=(3,2)-
(1)當(dāng)實(shí)數(shù)Jn為何值時(shí),21一771方與3丘+23垂直;
(2)若蒼+k9與3方一B所成的角為銳角,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
19.(本小題12.0分)
學(xué)校從參加高一年級(jí)月考的學(xué)生中抽出100名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)了他們的生物成績(jī)(成績(jī)均為整數(shù)且
滿分為IOO分)作為樣本,已知成績(jī)均在[30,100]內(nèi),分組為[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),
[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求α的值,并根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生生物成績(jī)的80%分位數(shù)和平均數(shù)(同
一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表,結(jié)果均四舍五入為整數(shù));
(2)若這100名學(xué)生中成績(jī)?cè)赱30,40)的男生有2人,則從樣本中成績(jī)?cè)赱30,40)的學(xué)生答卷中隨
機(jī)選3份進(jìn)行分析,求至少有1份是男生答卷的概率.
20.(本小題12。分)
如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD為菱形,且4λ4B=60。,AC,BD交于點(diǎn)N,ΔPAD
為等腰直角三角形,Pa=PO,點(diǎn)M為棱PC的中點(diǎn).
(1)證明:MN〃平面PAD;
(2)若平面PAD,平面ABC。,求直線PC與平面PAC所成角的正弦值.
21.(本小題12.0分)
已知△ABC為銳角三角形,α,b,C分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,且α=2,5cos2A+6sinA-
5=0.
(1)若b=2,求△4BC的面積;
(2)求例的取值范圍.
22.(本小題12.0分)
如圖,在梯形力BCD中,BC〃AD,BC1CD,BC=2,AD=3,CD=√-2,點(diǎn)E滿足話=2前,
把△力BE沿BE折起到APBE,使得PC=「,其中F,M,N分別為DE,PD,PC的中點(diǎn).
(1)證明:BF1PC;
(2)求三棱錐P-BMN的體積.
答案和解析
1.【答案】B
,-,陋.3-4i(3-4i)(l-t)-l-7i17.
a7j+γ----L
【解析】解:因?yàn)槎?(ι+t)(ιT)="I-=22
所以守的共朝復(fù)數(shù)為-抖白,對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-另),位于第二象限.
故選:B.
由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn),然后根據(jù)共鈍復(fù)數(shù)概念和復(fù)數(shù)幾何意義可得.
本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
2.【答案】A
【解析】解:甲取得最后的勝利包含兩種情況,一是第4局勝,此時(shí)甲勝的概率為|;二是第4局負(fù),
第5局勝,
此時(shí)甲勝的概率為(1-∣)×∣=∣,
所以甲取得最終勝利的概率為I+∣=∣.
故選:A.
利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式可得.
本題主要考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式,屬于基礎(chǔ)題.
3.【答案】C
【解析】解:把這10個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排列為:110,120,123,165,174,190,235,318,
428,432,
由10X80%=8,得第80%分位數(shù)為第8個(gè)和第9個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù),即衛(wèi)竽竺=373.
故選:C.
把給定數(shù)據(jù)按由小到大排列,再根據(jù)第P百分位數(shù)的定義求解作答.
本題主要考查百分位數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.
4.【答案】D
【解析】解:???△ABC的直觀圖△4B(,的邊長(zhǎng)為2,
故正△A'B'C,的面積S,=1X22=√-3,
,√-2
Sc=RSc,
.??△力BC的面積S=2√-6.
故選:O
由已知中正A4'B'C'邊長(zhǎng)為2,可得正△ABC的面積,進(jìn)而根據(jù)△?!BC的直觀圖A4B'C'的面積
S,=《S,可得答案.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是斜二測(cè)法畫直觀圖,其中熟練掌握直觀圖面積S'與原圖面積S之間的關(guān)系S,=
=S,是解答的關(guān)鍵
4
5.【答案】C
【解析】解:根據(jù)題意,設(shè)圓錐底面半徑為r,高為九,母線長(zhǎng)為1=2√7,則D=r2+h2=8,
底面周長(zhǎng)2πτ=2X(2l∑∏?X2)=?r=IL所以%=J8-(√^^2)2-√-6>
所以圓錐的體積為V=?×πr2X√^6=亞產(chǎn).
故選:C.
根據(jù)題意,求得圓錐底面半徑和高,由此求得圓錐的體積,即可得答案.
本題考查圓錐的體積計(jì)算,注意圓錐的結(jié)構(gòu)特性,屬于基礎(chǔ)題.
6.【答案】D
【解析】解:選手4得分的平均數(shù)為9X48+∣^x56=52.8,
選手4得分的總方差為盤[14+(48-52.8)2]+算[140+(56-52.8)2]=104.96.
故選:D.
根據(jù)總體平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可求解.
本題主要考查了平均數(shù)和方差的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.
7.【答案】D
【解析】解:設(shè)48=九,因?yàn)镹ACB=30。,NAoB=45。,貝必C=Ch,AD=h,
在AZCC中,由余弦定理知AC22
=AD+CD2_2AD,CD.COSΛADC,
22
即3九2=h.+20-2Λ×20×cos600,整理得F+10∕ι-200=0,
解得h=10或九=一20(舍),所以建筑物48的高度為10.
故選:D.
設(shè)AB=h,根據(jù)直角三角形邊角關(guān)系可得ZC=Ch,AD=h,根據(jù)余弦定理列方程可得八的值,
從而可得建筑物4B的高度.
本題考查了解三角形問題,涉及到余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
8.【答案】B
【解析】解:①若n√∕α,∏∕∕β,a∕∕β,
則直線m,n沒有交點(diǎn),m,n異面或?n〃n,故①不正確;
②若a1夕,TnUα,TlU0,
當(dāng)m,n均與α,/7的交線平行時(shí),可得π√∕n,故②不正確;
③若m〃n,m1.a,則n1a,
又nu。,則aJ_£,故③正確;
④若al£,m1a,則TnUS或Jn〃0,故④不正確.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為1?
故選:B.
利用空間中直線、平面間的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.
本題考查空間中直線、平面間的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.
9.【答案】BD
【解析】解:對(duì)于4Z]=l+2i的虛部為2,故A錯(cuò)誤;
22
對(duì)于B,設(shè)Z2=α+bi,a,bER,?∣z2—z1∣=V-5>^?(α—l)+(e-2)=5,
22
其表示為圓心為(1,2),半徑為V~5的圓,∣z2∣=Va+b?其表示為圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,
設(shè)圓心到原點(diǎn)的距離為d,則d=V12+22=仁,則圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為d+r=
2ΛΓ5-則∣Z2∣的最大值為2小,故8正確;
對(duì)于C,當(dāng)ZI=1,z2=iB?,∣z1+z2∣=∣z1-z2∣=√-2-此時(shí)z3lZ2=i40,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于。,z1=(1+2i)(α+3i)=(α—6)+(3+2a)i,則3+2α=0,α=—|,故。正確.
故選:BD.
對(duì)4根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義即可判斷,對(duì)8,利用復(fù)數(shù)模的幾何意義即可判斷,對(duì)C,舉反例即可,
對(duì)D,根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算以及共桅復(fù)數(shù)的概念即可判斷.
本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
IO.【答案】AD
【解析】解:連續(xù)拋擲質(zhì)地均勻的骰子兩次,有:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),
(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),
(6,4),(6,5),(6,6),共36種等可能的不同結(jié)果,
記事件A為“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”,事件B為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”,事件C為“兩
次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”,
則事件4包含的基本事件個(gè)數(shù)為18,事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)為18,事件C包含的基本事件個(gè)數(shù)
為18,事件AB包含的基本事件個(gè)數(shù)為9,
A、Λ
所以r*/X芯181Pr?/(r?B)=18-=1-,c∕???181Pc(/ArB>?)=-9=-1,
P(A)=?o=5Z,?oLP(C)=—?o=-Z,?o4
則PaI)?P(B)=P(AB),故事件A,B相互獨(dú)立,A正確;
事件A與事件C可能同時(shí)發(fā)生,故8錯(cuò)誤:
P(ABC)=靠=;,故C錯(cuò)誤;
P(A)P(B)P(C)=J,故。正確.
O
故選:AD.
由列舉法求解所有基本事件,即可根據(jù)古典概型的概率公式求解概率,結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.
本題考查互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.
IL【答案】ABD
所以4C1BP,
則異面直線AC與BP所成的角為90。,故選項(xiàng)4正確;
對(duì)于選項(xiàng)B,把平面B/D1沿直線BDI翻折到平面MBDl,使得AMBDi與△4BDl共面且不重合,
點(diǎn)Bl翻折到點(diǎn)M的位置,過4作4R1DlM交DlM于點(diǎn)R,
由于△MBDI與AABDl為全等的直角三角形,且力Dl=D1M=y∏,D1B=√^3,
所以COSNHD1B=胃,sin乙4。IB=?,
故SinUOiM=sin2?AD1B=2XyX展=等,
故AR=AD1sin?AD1M=√^2×?=+
則PQ+QA的最小值為線段AR的長(zhǎng),故選項(xiàng)B正確;
對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)樨?PBC=%VBC,
由于S-BC為定值,且P到底面的距離為定值,
故體積為定值,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)。,分別取BIC1,D1C1,DD1,AD,AB的中點(diǎn)為F,H,K,I,L,連接構(gòu)成六邊形EFHK/L,
則平面EFHKN〃平面AB1劣,
故平面α即為六邊形EFHK/L所在的平面,
由于六邊形EFHK〃為正六邊形,且邊長(zhǎng)為=號(hào),
故其周長(zhǎng)為3,攵,故選項(xiàng)。正確.
故選:ABD.
根據(jù)線面垂直即可求解A,根據(jù)平面中兩點(diǎn)間距離最小即可求解B,根據(jù)等體積法即可求解C,根
據(jù)線面平行的性質(zhì)可得截面多邊形,即可求解。.
本題考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,重點(diǎn)考查了空間幾何體的體積問題,屬中檔題.
12.【答案】BC
【解析】解:以。為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,
則點(diǎn)P在以。為圓心,1為半徑的圓上,可設(shè)P(COSa,s譏α)(0≤
a<2τr),
由題意知B(-2,-2),C(2,-2),則M(經(jīng)歲,也I二),
所以的=(土,亞詈),
則I的|2=(產(chǎn))2+(2±≡£)2=41+12,4sEα=2+BSin(α+θ),其中tan。=3,
所以I而∣2e[y-√^O,y+λ∏0].
故選:BC.
根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,由I而I=1,可確定點(diǎn)P在以。為圓心,1為半徑的圓上,設(shè)
P(cosa,sina),由三角恒等變換與平面向量模長(zhǎng)坐標(biāo)運(yùn)算即可化簡(jiǎn)|詢產(chǎn)為正弦型三角函數(shù),結(jié)
合函數(shù)性質(zhì)可得其取值范圍,從而得答案.
本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,還考查了輔助角公式的應(yīng)用,屬于中檔題.
13.【答案】AO=1(AB+AC)
A
【解析】解:延長(zhǎng)4。交BC于點(diǎn)D,則。為BC的中點(diǎn),且而=W9而,
因?yàn)榻?南+前=通+g元=而+g(前-荏)=:(荏+/\
碼/r?
因此,而=I亞=gx"(而+刀)=;四+”前.Dc
故答案為:AO=^(AB+AC).
延長(zhǎng)Ao交BC于點(diǎn)。,則。為BC的中點(diǎn),且布=|同,將而用荏、而表示,由此可得出同關(guān)于
而、》的表達(dá)式.
本題考查了平面向量的線性運(yùn)算,重點(diǎn)考查了平面向量基本定理,屬基礎(chǔ)題.
14.【答案】①②④
【解析】解:總體容量為4500,樣本容量為90,所以抽樣比為篇=白,所以樣本中男生的人數(shù)
450050
為270OX表=54,①正確;
對(duì)于有限幾次隨機(jī)試驗(yàn),事件A發(fā)生的頻率是隨機(jī)的,而隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)n趨向無窮大,隨機(jī)事件A發(fā)
生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件4發(fā)生的概率,②正確;
數(shù)據(jù)4,8,10,14的平均數(shù)1=4+8+/+14=9,方差S2=(4-9)2+(8-9)2+(10-9)2+(14-9)2=]3,
44
數(shù)據(jù)2,4,5,7的平均數(shù)亍=2+4t5+7=4,5,方差為s"=(2-4.5)2+(4-4.5)2+(5-4.5)2+(7-4.5)2=325,
44
則S2=4S'2,故數(shù)據(jù)4,8,10,14的方差是2,4,5,7的方差的4倍,③錯(cuò)誤;
基本事件有“取出的兩球均為紅球”,“取出的兩球均為白球”,“取出的球?yàn)橐患t球和一白球”
等,因此事件A與B互斥而不對(duì)立,④正確;
故正確命題的編號(hào)為①②④.
故答案為:①②④.
根據(jù)總體與樣本之間的關(guān)系,結(jié)合分層隨機(jī)抽樣得概念計(jì)算即可判斷①;
根據(jù)頻率與概率得關(guān)系可判斷②;
根據(jù)方差的計(jì)算公式求解即可判斷③;
由基本事件與互斥事件與對(duì)立事件的概念,即可判斷④.
本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
15.【答案】27π
【解析】解:正三棱錐P-ABe中,點(diǎn)。在棱PA上,且滿足PD=2Zλ4,CD1PB,同時(shí)PBlAC,
可知PB_L平面P4C,
所以正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,AB=3√-2.所以PA=PB=PC=3,
三棱錐的外接球的半徑為:我9+9+9=亨,
三棱錐P-BCD外接球的表面積為:4兀(亨)2=27τr?
故答案為:27π.
利用已知條件說明三條側(cè)棱互相垂直,求解側(cè)棱長(zhǎng),然后求解外接球的半徑,即可推出結(jié)果.
本題考查幾何體的外接球的表面積的求法,考查空間想象能力,計(jì)算能力,是中檔題.
16.【答案】1
【解析】解:如圖,設(shè)BC=AC=X,D
則CD=≡
在AABC中,由正弦定理得.竽=業(yè),
SinZ.BADSinB
X
在△4CC中,由正弦定理得—2—=*_,
sin?CADsin2B
所以專SinB^sin2B^?2sinBcosB
s?n?BAD-Sin(NBAO-B)-sin?BADcosB-cos?BADsinB
整理可得tan∕84D?cosB=3sinBf
OO
所以tanz>B4D?cos2B=3sinBcosB=-sin2B<
當(dāng)且僅當(dāng)B=W時(shí)等號(hào)成立,
4
此時(shí)△ABC的面積為:×<^×√^2=1.
故答案為:L
設(shè)BC=AC=%,則CD=*結(jié)合正弦定理與同角三角函數(shù)關(guān)系可得tan4840?cosB=3sinB,
利用三角恒等變換可得tan∕B4D?cos?/的最大值,從而可求得此時(shí)^ABC的面積.
本題考查了正弦定理,重點(diǎn)考查了三角恒等變換,屬中檔題.
17.【答案】解:(1)平均數(shù)£==(8+7+9+9+10+6+8+8+7+8)=8,
方差S2=?[(6-8)2+2×(7-8)2+4×(8-8)2+2×(9-8)2+(10-8)2]=1.2;
(2)設(shè)該運(yùn)動(dòng)員射擊一次時(shí),4=“命中7環(huán)”,B=“命中8環(huán)”,C=“命中9環(huán)”,D="命中10
環(huán)”,用頻率估計(jì)概率,則P(4)=,P(B)=|,P(C)=NP(D)=2,
⑴若E="命中9環(huán)或者10環(huán)”,則P(E)=P(CUC)=P(C)+P(D)+2=磊;
(五)若F="至少命中7環(huán)”,貝IJ
12119
P(F)=PG4UBUCU。)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=^+∣+∣+?=?.
【解析】(1)由方差的計(jì)算公式即可求解,
(2)根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可求解,或者利用對(duì)立事件的概率求解.
本題主要考查了平均數(shù)和方差的計(jì)算,考查了互斥事件的概率加法公式,屬于中檔題.
18.【答案】解:(1)因?yàn)榉?(2,1),I=(3,2),
所以五?E=2X3+1X2=8,?a?=√22+I2=√r^5.∣K∣=√32+22=√^l3)
因?yàn)?方一Hi方與3五+2萬垂直,
所以(2/一m,)?(3方+21)=6/+(4—3771)萬萬一2小石2=0,
即30+8(4-3m)-26m=0,
解得m=∣ξ,
故實(shí)數(shù)他的值為
(2)由題意可得益+∕cE=(2,1)+fc(3,2)=(2+3fc,l+2fc).
即3萬一石=(6,3)-(3,2)=(3,1),
因?yàn)樯n+ZcB與3方一石所成的角為銳角,
所以G+%?(3五-萬)=3片+(3∕c-1)五不-*>0>且4+〃與3方-環(huán)共線,
即15+8(3k-1)-13k>0,解得k>-?
當(dāng)五+“與3五-族線時(shí),
由共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得2+3k=3(1+2k),
解得k=V,
故k≠-?,
綜上可知,實(shí)數(shù)k的取值范圍為(一£,一》U(-j,+∞).
【解析】(1)根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算可得模長(zhǎng)以及數(shù)量積,即可根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求解;
(2)根據(jù)數(shù)量積大于O且不共線,即可求解.
本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.
19.【答案】解:(1)由頻率分布直方圖知(0.006+0.008+2α+0.018+0.020+0.024)×10=1,
解得α=0.012,
因?yàn)?0.006+0.008+0.012+0.024+0.020)Xlo=0.7<0.8,
(0.006+0.008+0.012+0.024+0.020+0.018)×10=0.88>0.8,
80+10×^^≈86(^),
所以這IOO名學(xué)生生物成績(jī)的80%分位數(shù)約為86分,
35X0.06+45×0.08+55×0.12+65×0.24+75×0.20+85×0.18+95×0.12≈70分,
所以這100名學(xué)生生物成績(jī)的平均數(shù)約為70分,
(2)因?yàn)?.06×100=6,所以這100名學(xué)生中成績(jī)?cè)冢?0,40)的有6人,
因?yàn)槟猩?人,所以女生有4人,
記這2名男生為a,b,這4名女生為c,d,e,f,
從這6人的答卷中隨機(jī)抽取3份,樣本空間為:
Ω=
{abc,abd,abe,abf,acd,ace,acf,ade,adf,aef,bed,bee,bcf,bde,bdf,bef,cde,cdf,cef,def},共
20個(gè)樣本點(diǎn),事件4=“至少有1份為男生答卷”,
則4={αbc,αbd,αbe,αbf,αcd,αce,αcf,αde,αd∕',αe∕",bcd,bce,bc∕",bde,bd∕",be∕'},共16個(gè)樣本點(diǎn),
則P(A)=U
【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求解α的值,再根據(jù)百分位數(shù)與平均數(shù)的估計(jì)進(jìn)行運(yùn)算即
可得答案;
(2)根據(jù)古典概型運(yùn)算公式求解概率即可.
本題考查頻率分布直方圖相關(guān)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
20.【答案】解:(1)證明:在四棱錐P-ABCD中,菱形ABCD的對(duì)角線4C,BD交于點(diǎn)N,則N是4C
的中點(diǎn),
而M為棱PC的中點(diǎn),于是MN〃P4又MNc平面P40,P4u平面PAD,
所以MN〃平面P4D.
(2)取40的中點(diǎn)凡連接PF,BF,CF,如圖,
菱形ABCD中,由4λ4B=6(Γ,得AABD是正三角形,^BFIAD,
由PA=PD,得PFIAD,又平面PAD_L平面4BCD,平面PADn平面4BCD=4D,
而BFU平面ABCD,PFU平面PA。,因止匕BF_L平面PAD,PFl平面/BCD,
設(shè)PA=α,貝IJCO=40=√~∑α,BF=?ɑ.DF=PF=?ɑ-
22o
在ACDF中,由余弦定理得CF=Jla+2a-2×^γa×√7αcosl20=?ɑ)
則PC=√PF2+CF2=I^a2+^a2=2a>因?yàn)锽C〃4D,BCa平面PAD,ADU平面P4D,
722
于是Be〃平面P4D,則點(diǎn)C到平面PaD的距離d=BF=?a,
設(shè)直線PC與平面PAC所成角為。,貝%譏8?ɑ£6,
PCZa4
所以直線PC與平面PAD所成角的正弦值是華.
【解析】(1)根據(jù)給定條件,利用線面平行的判定推理作答.
(2)取40的中點(diǎn)凡利用面面垂直的性質(zhì)推理,結(jié)合余弦定理、直線與其平行平面間距離求解作答.
本題考查線面角相關(guān)知識(shí),屬于中檔題.
21.【答案】解:(1)因?yàn)?cos2A+6sinA-5=0,
所以5(1-2sin2A)+GsinA-5=0,
即SiTL4(5sE4-3)=0,
因?yàn)镾譏4≠0,所以sin4=|,
因?yàn)椤?BC為銳角三角形,所以cos4=*,
4
22
22
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