2022-2023學年河南省商丘市名校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年河南省商丘市名校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.在復平面內(nèi)，復數(shù)W（其中i為虛數(shù)單位）的共軌復數(shù)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.甲乙兩人進行羽毛球比賽，在前三局比賽中，甲勝2局，乙勝1局，規(guī)定先勝3局者取得最

終勝利，已知甲在每局比賽中獲勝的概率為|,乙在每局比賽中獲勝的概率為，且各局比賽

結(jié)果相互獨立，則甲取得最終勝利的概率為（）

A.IB.IC.D.I

3.有10種不同的零食，每100克可食部分包含的能量（單位：?）如下：

110120123428174190318235165432

則這10種零食的80%分位數(shù)是（）

A.235B.165C.373D.200

4.己知AABC利用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為2的正三角形，則△4BC的面積為（）

A.√^^3B.2θC.√-6D.2√^6

5.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2/2的半圓，則此圓錐的體積為（）

6.在一個文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打分,

根據(jù)打分情況，得到專業(yè)人士組對選手A打分的平均數(shù)為48,方差為14,觀眾代表組對選手4

打分的平均數(shù)為56,方差為140,則選手4得分的總方差為（）

A.105.60B.85.24C.94.63D,104.96

7.如圖，為測量河對岸建筑物ZB的高度，選取與建筑物底部點4

在同一水平面上的C,D兩點，測得CD=20,?ACB=30o,?ADB=

45o,N力DC=60。，則建筑物48的高度為（）

A.20√3

B.10√^^3

C.20

D.10

8.已知m,n是兩條不同的直線，α,夕是兩個不重合的平面，則有下列命題

(T)τn∕∕a,n/∕β,a∕∕β=>m//n；

②al。，τnca,nuS=min;

(3)m∕∕n,mLa,nu0na“；

(4)a1β,TnIa=mu/?.

其中正確命題的個數(shù)為()

A.OB.1C.2D.3

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知Z1，22為復數(shù)，i是虛數(shù)單位，下列說法正確的是()

A.若Z[=1+2i,則Zl的虛部為2i

B.若Zl=I+2i,Z2滿足憶2-Zι∣=則氏|的最大值為

C.若∣Z]+Z2∣=區(qū)-Z2∣,則Zg=O

D.若Zl=(1+2i)(a+3i)(a∈R),且ZI=z1，則a=—1

10.在一個質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,連續(xù)拋擲

這個骰子兩次，并記錄每次骰子向上一面的點數(shù)，記事件4為“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，

事件B為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，事件C為“兩次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則下列結(jié)

論正確的是()

A.事件4與事件B是相互獨立事件B.事件4與事件C是互斥事件

C.P(ABC)=AD.P(4)P(B)P(C)1

O

11.如圖，在棱長為1正方體ABCD-ABICIDl中，點P,Q

分別是線段Bi。1，BDl上的動點，點E是棱BBl的中點，下

列命題正確的有()

A.異面直線AC與BP所成的角為定值

B.PQ+QA的最小值為號

C.三棱錐4-PBC的體積隨P點的變化而變化

D.過點E作平面a,當a〃平面4Bι5時，平面a與正方體表面的交線構(gòu)成平面多邊形的周長

為i3U

12.在直角梯形4BCO中，AD∕∕BC,AB1AD,AB=AD=2,BC=4,點P在力BCD所在

的平面內(nèi)，滿足I91=1，若M是尸C的中點，貝IJl麗|2的取值可能是()

A.7B.10C.13D.16

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.己知點。是AABC的重心，而可以用荏和而表示為.

14.下列命題中：

①某校共有男生2700人，女生1800人，用比例分配的分層隨機抽樣抽取容量為90的樣本進

行健康測試，則樣本中男生有54人；

②隨著試驗次數(shù)n的增大，一個隨機事件4發(fā)生的頻率Λt(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率;

③數(shù)據(jù)4,8,10,14的方差是2,4,5,7的方差的2倍；

④從3個紅球和2個白球中任取兩個球，記事件4="取出的兩球均為紅球"，事件B="取

出的兩個球顏色不同”，則事件4與B互斥而不對立；

其中正確命題的編號為.

15.在正三棱錐P-ABC中，點。在棱24上，且滿足PD=2Zλ4,CD1PB,若力B=3，1，

則三棱錐P-BCD外接球的表面積為.

16.在等腰△ABC中，底邊ZB=2,點D在直線BC上，滿足反f=2而,則當tan/BAD-cos2B

取最大值時，△?1BC的面積為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

某射擊運動員在一次射擊訓練中共射擊10次，這10次命中的環(huán)數(shù)分別為8,7,9,9,10,6,

8,8,7,8.

(1)求這名運動員10次射擊成績的方差；

(2)若以這10次命中環(huán)數(shù)的頻率來估計這名運動員命中環(huán)數(shù)的概率，求該運動員射擊一次時:

(i)命中9環(huán)或者10環(huán)的概率；

(ii)至少命中7環(huán)的概率.

18.(本小題12.0分)

已知平面向量五=(2,1),b=(3,2)-

(1)當實數(shù)Jn為何值時，21一771方與3丘+23垂直；

(2)若蒼+k9與3方一B所成的角為銳角，求實數(shù)k的取值范圍.

19.(本小題12.0分)

學校從參加高一年級月考的學生中抽出100名學生，統(tǒng)計了他們的生物成績(成績均為整數(shù)且

滿分為IOO分)作為樣本,已知成績均在[30,100]內(nèi)，分組為[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求α的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生生物成績的80%分位數(shù)和平均數(shù)(同

一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表，結(jié)果均四舍五入為整數(shù))；

(2)若這100名學生中成績在[30,40)的男生有2人，則從樣本中成績在[30,40)的學生答卷中隨

機選3份進行分析，求至少有1份是男生答卷的概率.

20.(本小題12。分)

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，且4λ4B=60。，AC,BD交于點N,ΔPAD

為等腰直角三角形，Pa=PO,點M為棱PC的中點.

(1)證明：MN〃平面PAD；

(2)若平面PAD，平面ABC。，求直線PC與平面PAC所成角的正弦值.

21.(本小題12.0分)

已知△ABC為銳角三角形，α,b,C分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊，且α=2,5cos2A+6sinA-

5=0.

(1)若b=2,求△4BC的面積；

(2)求例的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

如圖，在梯形力BCD中，BC〃AD,BC1CD,BC=2,AD=3,CD=√-2,點E滿足話=2前,

把△力BE沿BE折起到APBE,使得PC=「，其中F,M,N分別為DE,PD,PC的中點.

(1)證明：BF1PC；

(2)求三棱錐P-BMN的體積.

答案和解析

1.【答案】B

,-,陋.3-4i(3-4i)(l-t)-l-7i17.

a7j+γ----L

【解析】解：因為而=(ι+t)(ιT)="I-=22

所以守的共朝復數(shù)為-抖白，對應點的坐標為(-另)，位于第二象限.

故選：B.

由復數(shù)除法運算化簡，然后根據(jù)共鈍復數(shù)概念和復數(shù)幾何意義可得.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：甲取得最后的勝利包含兩種情況，一是第4局勝，此時甲勝的概率為|；二是第4局負，

第5局勝，

此時甲勝的概率為(1-∣)×∣=∣,

所以甲取得最終勝利的概率為I+∣=∣.

故選:A.

利用相互獨立事件概率乘法公式可得.

本題主要考查相互獨立事件概率乘法公式，屬于基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：把這10個數(shù)據(jù)按從小到大排列為：110,120,123,165,174,190,235,318,

428,432,

由10X80%=8,得第80%分位數(shù)為第8個和第9個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即衛(wèi)竽竺=373.

故選：C.

把給定數(shù)據(jù)按由小到大排列，再根據(jù)第P百分位數(shù)的定義求解作答.

本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：???△ABC的直觀圖△4B(，的邊長為2,

故正△A'B'C，的面積S，=1X22=√-3,

,√-2

Sc=RSc,

.??△力BC的面積S=2√-6.

故選：O

由已知中正A4'B'C'邊長為2,可得正△ABC的面積，進而根據(jù)△?!BC的直觀圖A4B'C'的面積

S，=《S，可得答案.

本題考查的知識點是斜二測法畫直觀圖，其中熟練掌握直觀圖面積S'與原圖面積S之間的關系S，=

=S,是解答的關鍵

4

5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，設圓錐底面半徑為r,高為九，母線長為1=2√7,則D=r2+h2=8,

底面周長2πτ=2X(2l∑∏?X2)=?r=IL所以％=J8-(√^^2)2-√-6>

所以圓錐的體積為V=?×πr2X√^6=亞產(chǎn).

故選：C.

根據(jù)題意，求得圓錐底面半徑和高，由此求得圓錐的體積，即可得答案.

本題考查圓錐的體積計算，注意圓錐的結(jié)構(gòu)特性，屬于基礎題.

6.【答案】D

【解析】解：選手4得分的平均數(shù)為9X48+∣^x56=52.8,

選手4得分的總方差為盤[14+(48-52.8)2]+算[140+(56-52.8)2]=104.96.

故選：D.

根據(jù)總體平均數(shù)和方差的計算公式即可求解.

本題主要考查了平均數(shù)和方差的計算，屬于基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：設48=九，因為NACB=30。，NAoB=45。，貝必C=Ch，AD=h,

在AZCC中，由余弦定理知AC22

=AD+CD2_2AD,CD.COSΛADC,

22

即3九2=h.+20-2Λ×20×cos600,整理得F+10∕ι-200=0,

解得h=10或九=一20(舍)，所以建筑物48的高度為10.

故選：D.

設AB=h,根據(jù)直角三角形邊角關系可得ZC=Ch，AD=h,根據(jù)余弦定理列方程可得八的值，

從而可得建筑物4B的高度.

本題考查了解三角形問題，涉及到余弦定理的應用，屬于基礎題.

8.【答案】B

【解析】解：①若n√∕α,∏∕∕β,a∕∕β,

則直線m,n沒有交點，m,n異面或?n〃n,故①不正確；

②若a1夕，TnUα,TlU0,

當m,n均與α,/7的交線平行時，可得π√∕n,故②不正確；

③若m〃n,m1.a,則n1a,

又nu。，則aJ_￡,故③正確；

④若al￡,m1a,則TnUS或Jn〃0,故④不正確.

其中正確命題的個數(shù)為1?

故選:B.

利用空間中直線、平面間的位置關系逐項判斷即可.

本題考查空間中直線、平面間的位置關系，屬于基礎題.

9.【答案】BD

【解析】解：對于4Z]=l+2i的虛部為2,故A錯誤；

22

對于B,設Z2=α+bi,a,bER,?∣z2—z1∣=V-5>^?(α—l)+(e-2)=5,

22

其表示為圓心為(1,2),半徑為V~5的圓，∣z2∣=Va+b?其表示為圓上的點到原點的距離，

設圓心到原點的距離為d,則d=V12+22=仁,則圓上的點到原點的距離的最大值為d+r=

2ΛΓ5-則∣Z2∣的最大值為2小，故8正確；

對于C,當ZI=1,z2=iB?,∣z1+z2∣=∣z1-z2∣=√-2-此時z3lZ2=i40,故C錯誤；

對于。，z1=(1+2i)(α+3i)=(α—6)+(3+2a)i,則3+2α=0,α=—|,故。正確.

故選：BD.

對4根據(jù)復數(shù)虛部的定義即可判斷，對8,利用復數(shù)模的幾何意義即可判斷，對C,舉反例即可,

對D，根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算以及共桅復數(shù)的概念即可判斷.

本題主要考查復數(shù)的運算，屬于基礎題.

IO.【答案】AD

【解析】解：連續(xù)拋擲質(zhì)地均勻的骰子兩次，有:

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1)，(6,2),(6,3),

(6,4)，(6,5),(6,6),共36種等可能的不同結(jié)果,

記事件A為“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，事件B為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，事件C為“兩

次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”，

則事件4包含的基本事件個數(shù)為18,事件B包含的基本事件個數(shù)為18,事件C包含的基本事件個數(shù)

為18,事件AB包含的基本事件個數(shù)為9,

A、Λ

所以r*/X芯181Pr?/(r?B)=18-=1-,c∕???181Pc(/ArB>?)=-9=-1,

P(A)=?o=5Z,?oLP(C)=—?o=-Z,?o4

則PaI)?P(B)=P(AB),故事件A,B相互獨立，A正確；

事件A與事件C可能同時發(fā)生，故8錯誤：

P(ABC)=靠=；,故C錯誤；

P(A)P(B)P(C)=J,故。正確.

O

故選：AD.

由列舉法求解所有基本事件，即可根據(jù)古典概型的概率公式求解概率，結(jié)合選項即可逐一求解.

本題考查互斥事件、對立事件、相互獨立事件等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

IL【答案】ABD

所以4C1BP,

則異面直線AC與BP所成的角為90。，故選項4正確；

對于選項B,把平面B/D1沿直線BDI翻折到平面MBDl,使得AMBDi與△4BDl共面且不重合，

點Bl翻折到點M的位置，過4作4R1DlM交DlM于點R,

由于△MBDI與AABDl為全等的直角三角形，且力Dl=D1M=y∏,D1B=√^3,

所以COSNHD1B=胃，sin乙4。IB=?,

故SinUOiM=sin2?AD1B=2XyX展=等，

故AR=AD1sin?AD1M=√^2×?=+

則PQ+QA的最小值為線段AR的長，故選項B正確；

對于選項C,因為匕-PBC=%VBC，

由于S-BC為定值，且P到底面的距離為定值，

故體積為定值，故選項C錯誤；

對于選項。,分別取BIC1，D1C1,DD1,AD,AB的中點為F,H,K,I,L,連接構(gòu)成六邊形EFHK/L,

則平面EFHKN〃平面AB1劣，

故平面α即為六邊形EFHK/L所在的平面，

由于六邊形EFHK〃為正六邊形，且邊長為=號，

故其周長為3，攵，故選項。正確.

故選:ABD.

根據(jù)線面垂直即可求解A，根據(jù)平面中兩點間距離最小即可求解B,根據(jù)等體積法即可求解C,根

據(jù)線面平行的性質(zhì)可得截面多邊形，即可求解。.

本題考查了空間點、線、面的位置關系，重點考查了空間幾何體的體積問題，屬中檔題.

12.【答案】BC

【解析】解：以。為坐標原點，建立平面直角坐標系如圖所示，

則點P在以。為圓心，1為半徑的圓上，可設P(COSa,s譏α)(0≤

a<2τr),

由題意知B(-2,-2),C(2,-2),則M(經(jīng)歲,也I二)，

所以的=(土,亞詈)，

則I的|2=(產(chǎn))2+(2±≡￡)2=41+12,4sEα=2+BSin(α+θ),其中tan。=3,

所以I而∣2e[y-√^O,y+λ∏0].

故選：BC.

根據(jù)題意建立空間直角坐標系，由I而I=1，可確定點P在以。為圓心，1為半徑的圓上，設

P(cosa,sina),由三角恒等變換與平面向量模長坐標運算即可化簡|詢產(chǎn)為正弦型三角函數(shù)，結(jié)

合函數(shù)性質(zhì)可得其取值范圍，從而得答案.

本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標表示，還考查了輔助角公式的應用，屬于中檔題.

13.【答案】AO=1(AB+AC)

A

【解析】解：延長4。交BC于點D,則。為BC的中點，且而=W9而，

因為近=南+前=通+g元=而+g(前-荏)=：(荏+/\

碼/r?

因此，而=I亞=gx"(而+刀)=；四+”前.Dc

故答案為：AO=^(AB+AC).

延長Ao交BC于點。，則。為BC的中點，且布=|同，將而用荏、而表示，由此可得出同關于

而、》的表達式.

本題考查了平面向量的線性運算，重點考查了平面向量基本定理，屬基礎題.

14.【答案】①②④

【解析】解：總體容量為4500,樣本容量為90,所以抽樣比為篇=白，所以樣本中男生的人數(shù)

450050

為270OX表=54,①正確；

對于有限幾次隨機試驗，事件A發(fā)生的頻率是隨機的，而隨機試驗次數(shù)n趨向無窮大，隨機事件A發(fā)

生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件4發(fā)生的概率，②正確；

數(shù)據(jù)4,8,10,14的平均數(shù)1=4+8+/+14=9,方差S2=(4-9)2+(8-9)2+(10-9)2+(14-9)2=]3,

44

數(shù)據(jù)2,4,5,7的平均數(shù)亍=2+4t5+7=4,5,方差為s"=(2-4.5)2+(4-4.5)2+(5-4.5)2+(7-4.5)2=325,

44

則S2=4S'2,故數(shù)據(jù)4,8,10,14的方差是2,4,5,7的方差的4倍，③錯誤；

基本事件有“取出的兩球均為紅球”，“取出的兩球均為白球”，“取出的球為一紅球和一白球”

等，因此事件A與B互斥而不對立，④正確；

故正確命題的編號為①②④.

故答案為：①②④.

根據(jù)總體與樣本之間的關系，結(jié)合分層隨機抽樣得概念計算即可判斷①；

根據(jù)頻率與概率得關系可判斷②；

根據(jù)方差的計算公式求解即可判斷③；

由基本事件與互斥事件與對立事件的概念，即可判斷④.

本題主要考查概率與統(tǒng)計的知識，屬于基礎題.

15.【答案】27π

【解析】解：正三棱錐P-ABe中，點。在棱PA上，且滿足PD=2Zλ4,CD1PB,同時PBlAC,

可知PB_L平面P4C,

所以正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，AB=3√-2.所以PA=PB=PC=3,

三棱錐的外接球的半徑為：我9+9+9=亨,

三棱錐P-BCD外接球的表面積為：4兀(亨)2=27τr?

故答案為：27π.

利用已知條件說明三條側(cè)棱互相垂直，求解側(cè)棱長，然后求解外接球的半徑，即可推出結(jié)果.

本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，考查空間想象能力，計算能力，是中檔題.

16.【答案】1

【解析】解：如圖，設BC=AC=X,D

則CD=≡

在AABC中，由正弦定理得.竽=業(yè),

SinZ.BADSinB

X

在△4CC中，由正弦定理得—2—=*_,

sin?CADsin2B

所以專SinB^sin2B^?2sinBcosB

s?n?BAD-Sin(NBAO-B)-sin?BADcosB-cos?BADsinB

整理可得tan∕84D?cosB=3sinBf

OO

所以tanz>B4D?cos2B=3sinBcosB=-sin2B<

當且僅當B=W時等號成立，

4

此時△ABC的面積為:×<^×√^2=1.

故答案為：L

設BC=AC=%,則CD=*結(jié)合正弦定理與同角三角函數(shù)關系可得tan4840?cosB=3sinB,

利用三角恒等變換可得tan∕B4D?cos?/的最大值，從而可求得此時^ABC的面積.

本題考查了正弦定理，重點考查了三角恒等變換，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)平均數(shù)￡==(8+7+9+9+10+6+8+8+7+8)=8,

方差S2=?[(6-8)2+2×(7-8)2+4×(8-8)2+2×(9-8)2+(10-8)2]=1.2；

(2)設該運動員射擊一次時，4=“命中7環(huán)”，B=“命中8環(huán)”，C=“命中9環(huán)”,D="命中10

環(huán)”，用頻率估計概率，則P(4)=,P(B)=|,P(C)=NP(D)=2，

⑴若E="命中9環(huán)或者10環(huán)”，則P(E)=P(CUC)=P(C)+P(D)+2=磊；

(五)若F="至少命中7環(huán)”，貝IJ

12119

P(F)=PG4UBUCU。)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=^+∣+∣+?=?.

【解析】(1)由方差的計算公式即可求解，

(2)根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可求解，或者利用對立事件的概率求解.

本題主要考查了平均數(shù)和方差的計算，考查了互斥事件的概率加法公式，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)因為方=(2,1),I=(3,2)，

所以五?E=2X3+1X2=8,?a?=√22+I2=√r^5.∣K∣=√32+22=√^l3)

因為2方一Hi方與3五+2萬垂直，

所以(2/一m,)?(3方+21)=6/+(4—3771)萬萬一2小石2=0,

即30+8(4-3m)-26m=0,

解得m=∣ξ,

故實數(shù)他的值為

(2)由題意可得益+∕cE=(2,1)+fc(3,2)=(2+3fc,l+2fc).

即3萬一石=(6,3)-(3,2)=(3,1)，

因為蒼+ZcB與3方一石所成的角為銳角，

所以G+%?(3五-萬)=3片+(3∕c-1)五不-*>0>且4+〃與3方-環(huán)共線，

即15+8(3k-1)-13k>0,解得k>-?

當五+“與3五-族線時，

由共線向量的坐標運算可得2+3k=3(1+2k),

解得k=V，

故k≠-?,

綜上可知，實數(shù)k的取值范圍為(一￡,一》U(-j,+∞).

【解析】(1)根據(jù)坐標運算可得模長以及數(shù)量積，即可根據(jù)數(shù)量積的運算律求解；

(2)根據(jù)數(shù)量積大于O且不共線，即可求解.

本題考查了平面向量的坐標運算重點考查了平面向量數(shù)量積的運算，屬基礎題.

19.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖知(0.006+0.008+2α+0.018+0.020+0.024)×10=1,

解得α=0.012,

因為(0.006+0.008+0.012+0.024+0.020)Xlo=0.7<0.8,

(0.006+0.008+0.012+0.024+0.020+0.018)×10=0.88>0.8,

80+10×^^≈86(^),

所以這IOO名學生生物成績的80%分位數(shù)約為86分，

35X0.06+45×0.08+55×0.12+65×0.24+75×0.20+85×0.18+95×0.12≈70分，

所以這100名學生生物成績的平均數(shù)約為70分，

(2)因為0.06×100=6,所以這100名學生中成績在［30,40)的有6人，

因為男生有2人，所以女生有4人，

記這2名男生為a,b,這4名女生為c,d,e,f,

從這6人的答卷中隨機抽取3份，樣本空間為：

Ω=

{abc,abd,abe,abf,acd,ace,acf,ade,adf,aef,bed,bee,bcf,bde,bdf,bef,cde,cdf,cef,def},共

20個樣本點，事件4=“至少有1份為男生答卷”，

則4={αbc,αbd,αbe,αbf,αcd,αce,αcf,αde,αd∕',αe∕",bcd,bce,bc∕",bde,bd∕",be∕'},共16個樣本點,

則P(A)=U

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求解α的值，再根據(jù)百分位數(shù)與平均數(shù)的估計進行運算即

可得答案；

(2)根據(jù)古典概型運算公式求解概率即可.

本題考查頻率分布直方圖相關知識，屬于基礎題.

20.【答案】解：(1)證明：在四棱錐P-ABCD中，菱形ABCD的對角線4C,BD交于點N,則N是4C

的中點，

而M為棱PC的中點，于是MN〃P4又MNc平面P40,P4u平面PAD,

所以MN〃平面P4D.

(2)取40的中點凡連接PF,BF,CF,如圖，

菱形ABCD中，由4λ4B=6(Γ,得AABD是正三角形，^BFIAD,

由PA=PD,得PFIAD,又平面PAD_L平面4BCD,平面PADn平面4BCD=4D,

而BFU平面ABCD,PFU平面PA。，因止匕BF_L平面PAD,PFl平面/BCD,

設PA=α,貝IJCO=40=√~∑α,BF=?ɑ.DF=PF=?ɑ-

22o

在ACDF中，由余弦定理得CF=Jla+2a-2×^γa×√7αcosl20=?ɑ）

則PC=√PF2+CF2=I^a2+^a2=2a>因為BC〃4D,BCa平面PAD,ADU平面P4D,

722

于是Be〃平面P4D,則點C到平面PaD的距離d=BF=?a，

設直線PC與平面PAC所成角為。，貝％譏8?ɑ￡6,

PCZa4

所以直線PC與平面PAD所成角的正弦值是華.

【解析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面平行的判定推理作答.

（2）取40的中點凡利用面面垂直的性質(zhì)推理,結(jié)合余弦定理、直線與其平行平面間距離求解作答.

本題考查線面角相關知識，屬于中檔題.

21.【答案】解:(1)因為5cos2A+6sinA-5=0,

所以5(1-2sin2A)+GsinA-5=0,

即SiTL4(5sE4-3)=0,

因為S譏4≠0,所以sin4=|,

因為△4BC為銳角三角形，所以cos4=*,

4

22

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