河北省高二年級上冊11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

一、單選題

1.直線3x+4y-5=0的斜率為()

3434

A-4B.§C.--0,--

【答案】C

【分析】將直線方程化為斜截式，即可求出直線的斜率.

【詳解】解：直線3x+4y-5=0即y=-：3x+5=,所以直線的斜率為3

444

故選：C

2.橢圓=+二=1上的一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和為()

48

A.2B.4C.4百D.472

【答案】D

【分析】由橢圓定義可直接求得結(jié)果.

【詳解】由橢圓方程知：a=2拒;

根據(jù)橢圓定義可知：橢圓上一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離和為2a=4&.

故選：D.

3.傾斜角為135。的直線經(jīng)過點(diǎn)(。+1,5)和(2a-2,3〃)，貝()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【分析】由傾斜角和兩點(diǎn)坐標(biāo)分別表示出斜率，由此可構(gòu)造方程求得。的值.

【詳解】???直線斜率k=tan135'=:=T,，“=2.

乙(X—I6Z+1I

故選：c.

4.圓/+/-4丫=0與圓(x-3)2+(y+3)2=9的公切線共有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】B

【分析】判斷出兩圓的位置關(guān)系即可得結(jié)果.

【詳解】圓/+y2-4x=0即(＞2)?+/=4的圓心為(2,0),半徑為4=2；

圓(x-3)2+(y+3)2=9的圓心為(3,-3),半徑為々=3；

圓心距為43-2)2+(-3-0)2=而,滿足卜_引=1＜府＜4+4=5,

即兩圓相交，所以公切線共有2條,

故選：B.

5.雙曲線C:工-己=1上的點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為9,則P到右焦點(diǎn)的距離為（）

1612

A.5B.1C.1或17D.17

【答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求P到右焦點(diǎn)的距離，要注意雙曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為

【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為耳，右焦點(diǎn)為瑪，

則歸用-歸用|=2"=8,故|9_|尸周=8,故|「圖=1或|P居|=17.

由雙曲線性質(zhì)知，尸到焦點(diǎn)距離的最小值為,-。=必壽-4=2萬-4>1，

所以歸閭=1舍去.

故選：D.

6.如圖，四棱鏈的底面是邊長為4的正方形，PD=8,且尸/=PC=4不，"為8c的中

點(diǎn)，則異面直線尸5與4/所成角的余弦值為（）

306510

【答案】A

【分析】先證明出DCLPD.以。為原點(diǎn)，方，皮，而分別為X、八z軸正方向建立空

間直角坐標(biāo)系.用向量法求解.

【詳解】由題意：D4=4,PD=8,P4=有，所以DA?+PD?=PA2，所以D4J_P。.同理：DC1PD.

所以可以以。為原點(diǎn)，萬4比，而分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

則J（4,0,0）,8（4,4,0）,四（2,4,0）,尸（0,0,8）,

所以方=（4,4,-8）,而=（-2,4,0）.

設(shè)異面直線尸8與所成角為0,則

PB-MA|-8+16+0|而

cos6

卡,網(wǎng)砌卜網(wǎng)畫二716+16+64x^4+16+0

故選：A

7.方程y+l=J-2+4X表示的曲線為()

A.圓(x-2>+(y+l)2=4B.圓(x-2『+(y+1『=4的右半部分

C.0(X+2)2+(^-1)2=4D.圓(x-2『+(y+l)2=4的上半部分

【答案】D

【分析】平方后可判斷曲線的形狀.

【詳解】因?yàn)閥+1=J—/+4x20,所以(y+1)=—x2+>—1),

即(x-2)+(y+l)=4(yN-1),

故方程y+l=J-+2+4x表示的曲線為圓(x-21+(y+l)2=4的上半部分.

故選：D.

8.臺風(fēng)中心從M地以20km/h的速度向西北方向移動，離臺風(fēng)中心10akm內(nèi)的地區(qū)為危險地

區(qū)，城市N在M地正西方向的80km處，則城市N處于危險地區(qū)內(nèi)的時長為()

A.瓜B.2hC.V5hD.V?h

【答案】D

【分析】作出平面圖形后，可求得N到"5的距離NC,結(jié)合勾股定理可求得的長度，由此可得

所求時長.

【詳解】以N為圓心，10面為半徑作圓，與"運(yùn)動方向交于48兩點(diǎn),

作NCLA/B,垂足為C,則C為48中點(diǎn)，

?.,NC=MV-sin：=40應(yīng)，AC=>JAN2-NC2=1077>:.AB=2AC=20行，

■■■城市N處于危險地區(qū)內(nèi)的時長為20774-20=77(h).

故選：D.

二、多選題

22

9.已知雙曲線C:二-工=1,則（）

96

A.C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為僅,±@B.C的漸近線方程為y=±?

C.C的虛軸長為2nD.C的離心率為嫗

3

【答案】CD

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出”,b,c,然后對選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)殡p曲線則a=3,6=#,c==

則焦點(diǎn)坐標(biāo)為僅，土店），故A錯誤：

焦點(diǎn)在歹軸的雙曲線的漸近線方程為y=±fx,即卜=土池x,故B錯誤；

b2

雙曲線虛軸長為26=2〃，故C正確;

離心率為e=￡=巫，故D正確.

a3

故選:CD.

10.如圖，正四面體P/8C的棱長為4,E是/C的中點(diǎn)，麗=2而，AG=2GB＞設(shè)

PA=a,7B=h,PC=c,則()

【答案】BC

【分析】利用向量的運(yùn)算對四個選項(xiàng)一一計(jì)算后，即可得到答案.

【詳解】因?yàn)镋是4C的中點(diǎn)，所以抬=彳尸"+彳=+

2222

—1—1-———1-11

又BF=2FP，所以PF=gPB=^b,所以EF=PF-PE=不-那一寸.

所以|而|=如『+扣向岑

32

[16-88」2M

=J—+4+4-------+4=-------.

V9383

故A錯誤，B正確；

因?yàn)槎?2而，所以麗-方=2（方-麗），

一1一2―?12-

所以尸G=—4+—P8=—d+—b,

3333

所以的=所_而=_/+與一＞故c正確;

632

而=而一定=；1+|3—/.故口錯誤.

故選：BC

11.將兩圓方程G:一+＞~—2x+4y+4=0,。2:廠+V~+2x+（l-加力+（2—加）=0作差得至lj直線/的

方程，則（）

A.m￡（-e,-3）u（l,+8）

B.直線/一定過點(diǎn)卜;，-1）

3

C.存在實(shí)數(shù)加，使兩圓圓心所在直線的斜率為-二

4

D.若。>1,則過直線/上任意一點(diǎn)一定可作兩圓的切線，且切線長相等

【答案】ABD

【分析】由圓c?方程得（》+1）2+,+號，=貯子匚口，可知/+2加_3>0,即可判斷A；求

出直線恒過的定點(diǎn)即可判斷B；利用兩圓圓心坐標(biāo)求斜率進(jìn)而判斷C；設(shè)直線/上一點(diǎn)

2（加〃土31+〃心2,4,利用點(diǎn)到直線的距離公式和勾股定理化簡計(jì)算即可判斷口.

【詳解】圓G：x2+y2-2x+4y+4=0,即（x-爐+（y+2『=1,則6（1,-2）/=1,

11

0C2-.x+y+2x+(\-m)y+(2-m)=Q,即(x+17+,

則應(yīng)嚴(yán)，

其中〃7?+2"?-3>0,解得“<-3或/??>1,故A正確；

將兩圓方程6：/+/—2》+4〉+4=0,。2：/+/+2X+(1一機(jī))>+(2—機(jī))=0作差得至1」直線/的方

程：-4x+(m+3)y+加+2=0,

由一4x+(m+3)y+m+2=0,得(-4x+3y+2)+(y+1)〃？=0,

由工;3；+2=。,解得x=4,y-，所以直線/恒過定點(diǎn)借，一）故B正確;

/\m-\

vC,(l,-2),C2-1,^,.?_3+2=〃i+3=3,解得〃?=0,與機(jī)?-8,-3)。(1,+司矛

()c<c2-1-]44

盾，不合題意，故C錯誤；

=也+；〃L3,/：_4工+(m+3)y+m+2=0,m>1,

|一4一2（加+3）+加+2|加+8

則圓心G到直線/的距離為4=Ji6+（/?；3）2

716+(W+3)2

4/八，加一1\r

4+（加+3）----+加+2.

圓心G到直線I的距離為d,=I2人=1+4”+9,

"16+（加+3>2jl6+（,"+3>

又（機(jī)+8f-[16+（機(jī)+3）。=10機(jī)+39>0,得4>4，即直線/與圓G相離,

m2+4m+9[tn2+2/n-310帆+39

而訴>°'得出土,即直線,與圓a相離,

2，16+（加+3>2J

所以過直線/上任一點(diǎn)可作兩圓的切線.

在直線/:-4x+（m+3）y+/n+2=0上任取一點(diǎn)p^mn+3n+m+2”

設(shè)過點(diǎn)P作圓G的切線的長為L，作圓G的切線的長為4，

貝U4二1Pc/fJ(皿+3：+〃,+27j+(“+2)27

=-^(m2n2+6mn2+2m2n+2mn+25n2+nr+52n-4m+52),

r，1r八P2(mn+3n+m+2,Y,w—L,m2+2m-3

0=|「l勾f=[-------------+1J+(〃---)---------

--^(m2n2+6mn2+2m2n+2mn+25n2+m2+52〃—4,"+52),

所以*=￡」，即乙=4,故D正確.

故選：ABD.

12.如圖，平行六面體/BCD-/￡GA的體積為48近，jB=4/D,AAt=6,底面邊長均

為4,且=分別為/8,CG，CQ的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中不正確的有（）

A.MNHAPB.4c，平面

C.APVA.CD./P〃平面MNC

【答案】ABC

【分析】首先求出底面積，再根據(jù)棱柱的體積求出棱柱的高，依題意可得4在底面的投影在ZC

上，設(shè)4在底面的投影為o,即可說明。為ZC的中點(diǎn)，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角

坐標(biāo)系，利用空間向量法一一計(jì)算可得.

7T

【詳解】解：因?yàn)榈酌鏋檫呴L為4的菱形，且=所以四邊形力BCD的面積為

4x4xsin—=8>/3,

3

又平行六面體的體積為48五，所以平行六面體48。-44GA的高為

需=23

因?yàn)?所以4在底面的投影在/c上，設(shè)4在底面的投影為。,

則4。=2后，又［4=6,所以CM=心；一oA：=26,又AC=4百=20A,

所以。為AC的中點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則川26,0,0),C(-2y/3,0,0),8(0,2,0),0(0,-2,0),M(技1,0),

4(0,0,276),N「3百,0,伺,^(-373,-1,25/6),

所以麗=卜46Ip=(-573,-1,276),4C=(-2>/3,0,-2A/6),

CM=(3y/3,1,0),麗=(-36,-2,卡)，

因?yàn)辂怰/lN，所以A/N、/P不平行，故A錯誤：

又麗?近=卜26卜卜36)+(-2)x0+卜2灰卜遙片0,所以8N與4c不垂直，故B錯誤;

因?yàn)槿f.丞=卜26卜卜56)+卜26)x2指HO,所以/P與4c不垂直，故C錯誤;

n-MN^O-4\/3x-y+>/6z=0

設(shè)平面MVC的法向量為〃=(x,y,z),貝1卜即<

n-CM=03月x+y=0

不妨取1=(友,-3后,1),

所以17i=&乂卜56)+卜3指卜(-1)+以26=0,所以萬,幾

又/尸(2平面必VC,所以ZP〃平面AWC,故D正確；

故選：ABC

三、填空題

13.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的

長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓H+=eZ)的面積為6兀，則該橢圓離心率的一個可能

mn

值為.

【答案】叵，述，―,正(任選一個即可)

6323

【分析】根據(jù)“逼近法”可得〃皿=36,由此可確定機(jī)，”所有可能的取值，由橢圓離心率的求法可求

得所有可能的取值.

【詳解】由題意知：洲〉0,；?>0,ni^n,

6兀___

由“逼近法”原理可知一二4rn?G=\[fnn,加〃=36,

兀

[w=1[m=2f/n=3[/n=4=9f/w=12[/n=18[/w=36

又叫〃wZ,則或或或或或或或；

[n=36[〃=18[n=12[〃=9[n=4[〃=3[n=2[n=1

m=1f/w=36

{〃=36或〃=1時‘橢圓離心率，=

[AH=2\tn=18

當(dāng)〃=18或〃=2時'橢圓離心率,H呼

[m=3[???=12-I3-Ji

當(dāng)，。或2時，橢圓離心率e=Jl-±=^；

["=12[〃=3V122

4、氏

當(dāng)(m=。4或(m=，9時，橢圓離心率6=1I1-3=里.

綜上所述：橢圓離心率e所有可能的取值為運(yùn)，逑，蟲，蟲.

6323

故答案為：叵，巫,且，（任選一個即可）.

6323

14.過點(diǎn)力。,3）作圓M:（x-2）2+（y+l）2=4的一條切線，切點(diǎn)為8,則|明=.

【答案】屈

【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，根據(jù)切線長|/邳=五『二3可求得結(jié)果.

【詳解】由圓的方程知：圓心河（2,-1）,半徑r=2,

■：\AM\=J（l_2『+（3+1）2=V17,:.\AB\=y/\AM\2-r2=713.

故答案為：\/13.

15.i|C:x2+/-2x+4y+l=0,關(guān)于直線/：x-y+1=0對稱的圓C'的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】（x+iy+y2=4

【分析】由圓的一般方程可確定圓心C和半徑/，設(shè)對稱圓的圓心C'（db）,利用cc」/和CC'中

點(diǎn)在/上可構(gòu)造方程組求得C'坐標(biāo)，由此可得結(jié)果.

【詳解】由圓C方程可得：圓心C（l,-2）,半徑帽=；j4+16—4=2,

b+2?

----=7［a-—1

設(shè)圓心c關(guān)于/的對稱點(diǎn)c'SM，則、:I，解得：u=o，即C'（T°），

------+1=01一

2---2

..?圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x+l『+y2=4.

故答案為：（X+1）2+/=4.

四、雙空題

16.若空間中有三點(diǎn)4（1,0,-1）,5（0/，I），。。，2,0）,則A到直線8c的距離為；點(diǎn)

P（l,2,3）到平面ABC的距離為.

［答案］叵皿

37

【分析】利用空間向量瓦I前的夾角去求A到直線8c的距離；利用公式去求P到平面N8C的距

離

【詳解】由2。,0,-1）,8（0,1,1）,41,2,0）可得加=（1,—1,一2）,而=（1,1,—1）

BABC1-1+2_V2

則cos（8/,8C）=

網(wǎng)函一限6-3

又何，就)e[0,7t],則sin(瓦i,前?,

則A到直線BC的距離為|朗?sin(而,前)=逐x(=斗^

設(shè)平面Z8C的一個法向量為〃=(x,y,z)

n-BA=Ox-y-2z=0

則即

n-BC=Ox+y-z=O

令x=3,則1=（3,-1,2）,又蘇=（0,-2,-4）

PAn2-83V14

則點(diǎn)P(l,2,3)到平面ABC的距離為

J9+1+47

3V14

故答案為：—

37

五、解答題

17.(1)求兩條平行直線4：12x一5歹+加=0與/2：12工一5^+"?+13=0間的距離；

(2)若直線ax+y=0與直線4亦+。5+“-2=0平行，求。的值.

【答案】(1)1;(2)a=-2

【分析】(1)利用兩平行直線間的距離公式直接求解；(2)根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)即可.

、.|C,-Cd\m-m-\2\

【詳解】根據(jù)平行線間的距離公式d=」十]，得d=』/:一=1.

>JA2+B2V122+52

若a=0,4a=0,/=0不滿足直線方程一般式的定義，所以“片0,

4

因?yàn)閮芍本€平行，所以-a=—-，解得。=2或。=-2,

a

經(jīng)檢驗(yàn)a=2時，兩直線重合，不滿足題意，。=-2時，兩直線平行，滿足題意.

18.已知圓M經(jīng)過點(diǎn)Z(-3,-l),8(-6,8),C(l,l).

⑴求圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)P(2,3)向圓〃作切線，求切線方程.

【答案】⑴(x+3『+(y-4)z=25

(2)x=2ngl2x-5y-9=0

【分析】(1)利用待定系數(shù)法去求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)利用幾何法去求過點(diǎn)P(2,3)的圓M的切線方程即可解決.

【詳解】(1)設(shè)圓M的方程為/+/+6+砌+尸=0

9+1-3O-E+尸=0。=6

則<36+64—6D+8E+尸=0,解之得,E=-8

l+l+Q+E+F=0[F=0

貝!I圓A/的方程為/+y2+6x-8y=0

則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3f+(y-4)2=25

(2)圓M的圓心也(-3,4),半徑r=5

當(dāng)過點(diǎn)尸(2,3)的直線斜率不存在時直線方程為x=2,與圓A/相切，符合題意；

當(dāng)過點(diǎn)尸(2,3)的直線斜率存在時直線方程可設(shè)為沙=耳》-2)+3

則卜5：+3；4|=5,解之得

41+二5

則y=?(x-2)+3,整理得12x-5y-9=0

故過點(diǎn)尸(2,3)的圓”的切線方程為、=2或您-5>-9=0

19.在長方體/BCD-44GA中，底面/8CD是邊長為2的正方形，的=3,%N分別是/。,8鼻

的中點(diǎn).

⑴證明：MN0平面CCQQ.

(2)求BD,與平面CMN所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵皿

119

【分析】以。為原點(diǎn)，而，反，西分別為X、八Z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.（1）利用向量法

證明平面CG。。；

（2）利用向量法求8"與平面C"N所成角的正弦值.

【詳解】（1）由題意可知，以。為原點(diǎn)，刀，反，西分別為X、門z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

則。（0,0,0）,4（2,0,0）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,R（0,0,3）,4（2,0,3）,5,（2,2,3）,C,（0,2,3）.

因?yàn)镸,N分別是AD,BD］的中點(diǎn)，所以M（1,0,0）,入（1,14）.所以礪=（0,1,|）

在長方體力88-44GA中，房=（2,0,0）為平面CCQ。的一個法向量.

因?yàn)辂惗?0+0+0=0,且MVZ平面CCQ。，

所以腦VZ7平面CCQQ.

(2)西=(-2,-2,3),由=(1,-2,0).

n-MN=0+y+^z=0

設(shè)萬=（x,%z）為平面CWN的一個法向量，則，

nCM=x-2y+0=0

2』,[

不妨設(shè)y=i,則〃=

設(shè)3"與平面C”N所成角為。，則sin0=|cos（8R,〃|=瑞京|-4-2-2|24>/17

J4+4+9xJ4+1TJ1*9

即BD、與平面CMN所成角的正弦值為生亙.

119

20.如圖所示，在直三棱柱18C-中，GC=C8=。=2,/C，8C,D,E分別為棱GC,B￡

的中點(diǎn).

(1)證明：平面ZC￡_L平面48。；

(2)求二面角A-A,D-B的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵畫

6

【分析】(1)(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【詳解】(1)證明：如圖以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA.CB、CG分為X、＞、z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，

則C(0,0,0),42,0,0),8(0,2,0),4(2,0,2),￡(0,1,2),D(0,0,l),

所以畫=(2,0,0),3=(0,2,0),1￡=(-2,1,2),西=(2,0,1),麗=(0,2,7),

—..[in-DA,=0f2x+z=0一/.

設(shè)平面4瓦)的法向量為"7=x,y,z,貝IJ,即.八，令x=7則機(jī)=一1,1,2,

in-DB=0[2y-z=0

-,、iiCA=0[2a=0-,、

設(shè)平面NCE的法向量為"=a,瓦c,貝I_，即.八.c，令6=2則〃=0,2,-1,

元.4E=0(~2a+b+2c=0

因?yàn)???”=-1x0+1x2+2x(—1)=0,所以"?_L”,

所以平面/以工平面/田。.

(2)解：由(I)知平面/田。的法向量為加=(-1,1,2),

顯然平面力4。的法向量可以為=(0,2,0),

m-CB2_N/6

所以cos（〃?,屈）=

2

所以sin(m,C8)=^1-cos(rn,CB^=,所以二面角A-AtD-B的正弦值為.

21.已知橢圓的離心率為左、右焦點(diǎn)分別為耳，瑪，過耳且垂直于％軸的

直線被橢圓C所截得的弦長為6.

(1)求橢圓。的方程；

(2)P為第一象限內(nèi)橢圓C上一點(diǎn)，直線尸6,P巴與直線x=8分別交于48兩點(diǎn)，記口己48和

△尸耳鳥的面積分別為E，Sz,若去=5,求P的坐標(biāo).

22

【答案】(咤+$1

⑵(3,孚)

【分析】(1)利用離心率和弦長公式即可聯(lián)立求解；(2)利用尸(%,%)的坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)共線求出48

兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)面積公式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】(1)因?yàn)殡x心率為］1，所以￡c=；1,即/=公2,

又因?yàn)樗詾?3/,

x2y2一

--+--=1A-

聯(lián)立/〃，解得y=土匕，

x=-c

2bl

所以過￡且垂直于x軸的直線被橢圓C所截得的弦長為=6,

a=4

所以由忖=4。2解得"=2技所以橢圓C的方程為反■+片=1.

1612

b2=3c2c=2

(2)設(shè)P(x°,%),/(8,yJ,8(8,%),

由⑴可知，6(-2,0),瑪(2,0),

因?yàn)橛肞,4共線，所以與「=腦，即/=肝，解得必=色，

又因?yàn)楝?P,8共線，所以、=心，即士=春，解得力=華，

X。Z。玉）Z

所以￡=：X（%_必）X（8-X。）=2￡（8-：。）一,

2V-4

s?=~x^i^2xy（）=2%,

2

2y0（8-x0）

所以E二/2一4（8一3）2二5,

S?2%/2一4

整理得x：+4%—21=0,解得%=3或%=-7（舍），

將X。=3代入橢圓方程得％=孚，或％=_?。ㄉ幔?，

所以P的坐標(biāo)為（3,亭）.

22.已知雙曲線C:0-/=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為6（-。，0）,￡（c,0）,且與桶圓

1+有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)匕到直線反+叩=0的距離為2啦.

2516

（1）求C的標(biāo)