考研數(shù)學第七章+微分方程

第7章微分方程微分方程的基本概念一階微分方程全微分方程可降階的二階微分方程二階微分方程的性質與解的結構二階常系數(shù)線性微分方程微分方程的應用舉例差分方程微積分研究的對象是函數(shù)關系,但在實際問題中,往往很難直接得到所研究的變量之間的函數(shù)關系,卻比較容易建立起這些變量與它們的導數(shù)或微分之間的聯(lián)系,從而得到一個方程,即微分方程.通過求解這種方程,同樣可以找到指定未知量之間的函數(shù)關系.因此,微分方程是數(shù)學聯(lián)系實際,并應用于實際的重要途徑和橋梁,是各個學科關于未知函數(shù)的導數(shù)或微分的進行科學研究的強有力的工具.如果說“數(shù)學是一門理性思維的科學,是研究、了解和知曉現(xiàn)實世界的工具”,那么微分方程就是顯示數(shù)學的這種威力和價值的一種體現(xiàn).現(xiàn)實世界中的許多實際問題都可以抽象為微分方程問題.例如,物體的冷卻、琴弦的振動、電磁波的傳播等,都可以歸結為微分方程問題.這時微分方程也稱為所研究問題的數(shù)學模型.微分方程是一門獨立的數(shù)學學科,有完整的理論體系.本章我們主要介紹微分方程的一些基本概念,種常用的微分方程的求解方法,線性微分方程解的理論.幾完一、微分方程的基本概念一般地,含有未知函數(shù)及未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程稱為微分方程.微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階.我們把未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程.類似地,未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.常微分方程的一般形式是:其中為自變量,是未知函數(shù),在方程中,必須出現(xiàn),而其余變量可以不出現(xiàn),微分方程中,其余變量都沒有出現(xiàn).能從方程中就得到微分方程例如在階如果解出最高階導數(shù),以后我們討論的微分方程主要是形如的微分方程,并且假設式右端的函數(shù)在所討論的范圍內(nèi)連續(xù).如果方程可表示為如下形式:則稱方程為階線性微分方程.其中和知函數(shù).不能表示成形如的方程,統(tǒng)稱為非線性微分方程.均為自變量的已完代入微分方程能使微分方程成為恒等式的函數(shù)稱為該微分方程的解.微分方程的解可能含有也可能不含有任意常數(shù).一般地,微分方程的不含有任意常數(shù)的解稱為該方程的特解.含有相互獨立的任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相等的解稱為微分方程的通解(一般解).所謂通解的意思是指:當其中的任意常數(shù)取遍所有實數(shù)時,就可以得到微分方程的所有解(至多有個別例外).注:這里所說的相互獨立的任意常數(shù),是指它們不能通過合并而使得通解中的任意常數(shù)的個數(shù)減少.許多實際問題都要求尋找滿足某些附加條件的解,這類附加條件就可以用來確定通解中的任意常數(shù),這類附加條件稱為初始條件,也稱為定解條件.一般地,一階微分方程的初始條件為其中都是已知常數(shù).二階微分方程的初始條件為其中和都是已知常數(shù).帶有初始條件的微分方程稱為微分方程的初值問題.例如,一階微分方程的初值問題,記為微分方程的解的圖形是一條曲線,稱為微分方程的積分曲線.初值問題的幾何意義是:求微分方程的通過點的那條積分曲線.二階微分方程的初值問題,記為其幾何意義是:求微分方程的通過點且在該點處的切線斜率為的那條積分曲線.完二、可分離變量的微分方程設有一階微分方程如果其右端函數(shù)能分解成即有則稱方程為可分離變量的微分方程,其中都是連續(xù)函數(shù).根據(jù)這種方程的特點,我們可通過積分來求解.設用除方程的兩端,兩邊積分,得如果則易知也是方程的解.求解可分離變量的方程的方法稱為分離變量法.上述完用乘以方程的兩端,以使得未知函數(shù)與自變量置于等號的兩邊,得,三、齊次方程1.形如的微分方程2.作變量代換則代入,可分離變量方程兩邊積分求出積分后,再將回代,便得所給齊次方程的通解.稱為齊次方程.定義解法得注:如果有使得則顯然原方程的解,從而也是原方程的解;如果則原方程變成變量方程.也是這是一個可分離完可化為齊次方程的微分方程例如,有些方程本身雖然不是齊次的,但通過適當?shù)淖儞Q,可以化為齊次方程.對于形如的方程,先求出兩條直線的交點然后作平移變換即可化為齊次方程的微分方程這時,于是,原方程就化為齊次方程此外,對具體問題應具體分析,根據(jù)所給方程的特點,作變量代換將方程化為齊次方程或可分離變量方程.完四、一階線性微分方程及其解法一階線性微分方程的標準形式其中函數(shù)是某一區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).當時,方程化為這個方程稱為一階齊次線性方程.相應地,方程(1)稱為一階非齊次線性方程.分離變量,方程(2)是可分離變量的方程,得兩端積分得得方程的通解下面再來討論一階非齊次線性方程的通解.將方程變形為兩邊積分,若記則即得與相比較,只需將中的常數(shù)換為函數(shù)由此引入求解一階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法:將齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)從而設一階非齊次方程通解為求導得將和代入方程得積分得從而一階非齊次線性方程的通解為或注:這個結論對高階非齊次線性方程亦成立.完五、伯努利方程伯努利方程的標準形式解法利用變量代換化為線性微分方程.兩端除以得即令得求出通解后,將代入得所求通解:完型微分方程就是最簡單的二階微分方程,求解方法是逐次積分.在方程兩端積分,得再次積分,得注:這種類型的方程的解法,可推廣到階微分方程只要連續(xù)積分次,就可得這個方程的含有個任意常數(shù)的通解.型微分方程微分方程的右端不顯含未知函數(shù)引入?yún)?shù)法求解.設則而原方程化為這是一個關于變量、的一階微分方程.設其通解為代入?yún)?shù)又得到一個一階微分方程對它進行積分,便得原方程的通解型微分方程微分方程不明顯地含自變量引入?yún)?shù)法求解,設則由復合函數(shù)的求導法則有這樣,原方程就化為這是一個關于變量、的一階微分方程.設它的通解為分離變量并積分,使得原方程的通解二階線性微分方程的概念二階線性微分方程的一般形式是其中丶及是自變量的已知函數(shù),函數(shù)稱為方程(1)的自由項.當時,方程(1)成為這個方程稱為二階齊次線性微分方程.相應地,方程(1)稱為二階非齊次線性微分方程.二階線性微分方程解的定理定理1如果函數(shù)與是方程(1)的兩個解,則也是方程(1)的解,其中是任意常數(shù).齊次線性方程的這個性質表明它的解符合疊加原理.注:將齊次線性方程(1)的兩個解與按(2)式疊加起來雖然仍是該方程的解,并且形式上也含有兩個任意常數(shù)與這是因為定理的條件中并沒有保證與這兩個函數(shù)是相互獨立的.但它卻不一定是方程(1)的通解,函數(shù)的線性相關與線性無關定義1設是定義在區(qū)間內(nèi)數(shù).如果存在兩個不全為零的常數(shù)使得在區(qū)間內(nèi)恒有則稱這兩個函數(shù)在區(qū)間內(nèi)線性相關.否則稱線性無關.根據(jù)定義可知,在區(qū)間內(nèi)兩個函數(shù)是否線性相關,只要看它們的比是否為常數(shù).如果比為常數(shù),則它們就線性相關,否則就線性無關.的兩個函二階線性微分方程解的定理定理2若與是方程(1)的兩個線性無關的特解,則就是方程(1)的通解,其中是任意常數(shù).定理3設是方程(1)的一個特解,而是其對應的齊次方程(2)的通解,則就是二階非齊次線性微分方程(1)的通解.定理4設與分別是方程與的特解,則是方程的特解.這個定理通常稱為非齊次線性微分方程的解的疊加原理.定理5設是方程的解,其中為實值函數(shù),為純虛數(shù).則與分別是方程與的解.二階常系數(shù)齊次線性方程的解法是常數(shù))((1)為求方程(1)的通解,先求其任意兩個線性無關的特解嘗試令特解形式:為待定常數(shù)),(將其,因為故有(2)如果方程(2)的根,則就是方程(1)的特得代入(1),解.稱方程(2)為方程(1)的特征方程,其根稱為特征根.1.特征方程(2)有兩個不相等的實根.此時是(1)的兩個線性無關的特故(1)的通解為解,為任意常數(shù))(2.特征方程(2)有兩個相等的實根.此時得到(1)的一個特解為尋找另一特解與線性無關的特解,可設(為待定函數(shù))(為待定函數(shù))將其代入(1),整理得注意到是(1)的二重根,上式即成為取即得到(1)的另一個特解故(1)的通解為為任意常數(shù))(3.此時方程(1)有兩個特解特征方程(2)有一對共軛復根可利用歐拉公式對上述兩個特解重新組合得到實數(shù)形式的解:故方程(1)的通解為根據(jù)特征方程的根直接確定所求通解的方法方程法.稱為特征二階常系數(shù)非齊次線性方程的求解問題二階常系數(shù)非齊次線性方程的一般形式為(1)根據(jù)線性微分方程的解的結構定理可知,要求方程(1)只要求出它的一個特解和其對應的齊次方程兩個解相加就得到了方程(1)的通解.的通解,的通解,本節(jié)要解決的問題是如何求得方程(1)的一個特解方程(1)的特解形式與右端的自由項有關,如果要對的一般情形來求方程(1)的特解仍是非二階常系數(shù)非齊次線性方程的求解問題如果要對的一般情形來求方程(1)的特解仍是非常困難的,這里只是就的兩種常見情形進行討論.1.其中是常數(shù),是次多項式:2.或其中是常數(shù).完型(1)注意到多項式與指數(shù)函數(shù)乘積的導數(shù)仍是同類型的函可推測方程(1)具有如下形式的特解:為某個多項式)(將上式代入方程(1)中,數(shù);(2)對應特征方程為(1)(3)化簡整理,得型1.則可設若不是特征方程(3)的根,相應的特解形式2.則可設是特征方程(3)的單根,若相應的特解形式相應的特解形式若是特征方程(3)的重根,3.則可設型綜上所述,可見方程(1)具有特解形式:(4)注:而按是不是特征方程的根、1或2.上述結論可推廣到階常系數(shù)非齊次線性微分方程情形.單根或重根依次取0、完(1)由歐拉公式知道,或型和分別是的(2)實部和虛部.因此先考慮方程(3)這個方程的特解的求法在上一段中已經(jīng)討論過.假定已經(jīng)求出方程(3)的一個特解,則根據(jù)第六節(jié)的定或型假定已經(jīng)求出方程(3)的一個特解,則根據(jù)第六節(jié)的定方程(3)的特解的實部就是方程(1)的特解,