集合中元素的個數(shù)

關(guān)于集合中元素的個數(shù)例1

學(xué)校先舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學(xué)參賽，又舉辦了一次球類運動會。這個班有12名同學(xué)參賽，兩次運動會都參賽的有3人。兩次運動會中，這個班共有多少名同學(xué)參賽？分析：設(shè)A為田徑運動會參賽的學(xué)生的集合，B為球類運動會參賽的學(xué)生的集合。那么A∩B就是兩次運動會都參賽的學(xué)生的集合。試分析

A∪B、A、B、A∩B中元素個數(shù)的關(guān)系.第2頁,共26頁，2024年2月25日，星期天解：設(shè)A={田徑運動會參賽的學(xué)生}，

B={球類運動會參賽的學(xué)生}，那么，

A∩B={兩次運動會都參賽的學(xué)生}，

A∪B={參賽的學(xué)生}。∴ card（A∪B）=card（A）+card（B）－card（A∩B）=8+12－3=17。答：兩次運動會中，這個班共有17名同學(xué)參賽。用圖來求解：第3頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例2.某班學(xué)生參加數(shù)學(xué)課外小組的人數(shù)是參加物理課外小組的人數(shù)的2倍，同時參加兩個課外小組的人數(shù)是5人，至少參加一個課外活動小組的人數(shù)為25人.試求參加數(shù)學(xué)小組、物理小組的人數(shù)各是多少？參加數(shù)學(xué)小組20人，參加物理小組10人. card（A∪B）=card（A）+card（B）－card（A∩B）即25=2x+x-5x=10第4頁,共26頁，2024年2月25日，星期天 card（A∪B）=card（A）+card（B）－card（A∩B）能否推廣？試寫出三個集合類似公式.第5頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例3.某校高三學(xué)生共249人，畢業(yè)考試成績優(yōu)秀的人數(shù)及科目如下表;表中，兩科優(yōu)秀者包括里包括三科全優(yōu)者，單科優(yōu)秀者里也包括兩科以上的優(yōu)秀者。有人說上面的統(tǒng)計表有誤，你認(rèn)為呢？由統(tǒng)計表計算高三年級共有131+117+152-61-79-62+53=251(人)，所以統(tǒng)計表有誤.第6頁,共26頁，2024年2月25日，星期天例4.在100個學(xué)生中，有美術(shù)愛好者63人，音樂愛好者75人（并非每個學(xué)生都有愛好），對美術(shù)和音樂都愛好的學(xué)生最多有多少人？最少有多少人？最多63人，最少38人.第7頁,共26頁，2024年2月25日，星期天問題的提出：無限集中元素的個數(shù)？！是不是所有的無限集都有相同的個數(shù)呢？第8頁,共26頁，2024年2月25日，星期天1.無限（1）初識無限（2）在有限集中，如何比較元素個數(shù)的多少？

理解無限的關(guān)鍵——一一對應(yīng)（3）無限集中元素的個數(shù)——基數(shù)與此相關(guān)的一個定義：若在一個集合與全體正整數(shù)集合之間存在一一對應(yīng)，則稱這個集合是可數(shù)的。第9頁,共26頁，2024年2月25日，星期天（4）幾個令人吃驚的例子全體正整數(shù)和全體有理數(shù)一樣多嗎？全體正整數(shù)和全體整數(shù)一樣多嗎？部分＝整體？！第10頁,共26頁，2024年2月25日，星期天（5）問題的提出是不是所有的無限集都有相同的基數(shù)呢？康托在1973年11月29日給戴德金的信中提出：11月29日－12月7日，康托給無限的理論奠定了基礎(chǔ)。他創(chuàng)造了一種適用于無限集的新數(shù)體系——超限數(shù)，以解決無限集的基數(shù)比較問題。第11頁,共26頁，2024年2月25日，星期天實數(shù)集（0，1）是不可數(shù)的。無理數(shù)集是不可數(shù)的（有理數(shù)集可數(shù)）。是不是還存在數(shù)量上多于實數(shù)集的集合呢？實數(shù)集是不可數(shù)的。—實數(shù)、一直線上的點、平面上的點及高維空間的任一部分的點的基數(shù)。若在一個集合與全體正整數(shù)集合之間存在一一對應(yīng)，則稱這個集合是可數(shù)的。第12頁,共26頁，2024年2月25日，星期天“數(shù)學(xué)中的無窮無盡，其誘人之處在于它的最棘手的悖論能夠盛開出美麗的理論之花?！薄狤.KasnerandJ.Newman集合論危機(jī)重重：第13頁,共26頁，2024年2月25日，星期天2.羅素悖論

大多數(shù)集合不包含它自身為元素，這樣的集我們稱之為“普通的”。有許多集可能包含它自身為元素，例如集S定義如下：“凡是可以用不超過三十個字來定義的集合是S的元素?！笨梢钥吹?，S是包含它自身為一元素的。這樣的集我們稱之為“非普通集”。我們考查“所有普通集組成的集”，稱它為C。那么C本身是普通集還是非普通集？如果C是普通集，由于C定義為包含所有普通集，它包含了它本身作為一個元素。這樣的話，C必須是非普通集。這是一個矛盾。因此C必須是非普通集，但這時C包含了一個非普通集（即C本身）為其元素，這與C只包含普通集的定義相矛盾。因此，無論那一種情形，僅僅是C的存在，就已經(jīng)使我們陷入矛盾。第14頁,共26頁，2024年2月25日，星期天羅素的理發(fā)師悖論第15頁,共26頁，2024年2月25日，星期天其他一些悖論（1）芝諾悖論

1）二分法悖論

2）阿基里斯和烏龜?shù)?6頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第17頁,共26頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共26頁，2024年2月25日，星期天代數(shù)悖論：第19頁,共26頁，2024年2月25日，星期天數(shù)理邏輯誕生第20頁,共26頁，2024年2月25日，星期天

數(shù)理邏輯這門學(xué)科在第三次數(shù)學(xué)危機(jī)運動的過程中誕生，在十七世紀(jì)，算術(shù)因符號化促使了代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，代數(shù)使計算變得精確和方便，也使計算方法系統(tǒng)化。費爾馬和笛卡兒的解析幾何把幾何學(xué)代數(shù)化，大大擴(kuò)展了幾何的領(lǐng)域，而且使得少數(shù)天才的推理變成機(jī)械化的步驟。這反映了代數(shù)學(xué)作為普遍科學(xué)方法的效力，于是笛卡兒嘗試也把邏輯代數(shù)化。與笛卡兒同時代的英國哲學(xué)家霍布斯也認(rèn)為推理帶有計算性質(zhì)，不過他并沒有系統(tǒng)地發(fā)展這種思想。

現(xiàn)在公認(rèn)的數(shù)理邏輯創(chuàng)始人是萊布尼茲。他的目的是選出一種“通用代數(shù)”，其中把一切推理都化歸為計算。實際上這正是數(shù)理邏輯的總綱領(lǐng)。他希望建立一套普遍的符號語言，這樣就可以象數(shù)字一樣進(jìn)行演算，他的確將某些命題形式表達(dá)為符號形式，但他的工作只是一個開頭，大部分沒有發(fā)表，因此影響不大。

第21頁,共26頁，2024年2月25日，星期天

真正使邏輯代數(shù)化的是英國數(shù)學(xué)家布爾，他在1847年出版了《邏輯的數(shù)學(xué)分析》，給出了現(xiàn)代所謂的“布爾代數(shù)”的原型。布爾確信符號化會使邏輯變得嚴(yán)密。他的對象是事物的類，1表示全類，0表示空類；xy表示x和y的共同分子所組成的類，運算是邏輯乘法；x＋y表示x和y兩類所合成的類，運算是邏輯加法。

布爾看出類的演算也可解釋為命題的演算。當(dāng)x、y不是類而是命題，則x＝1表示的是命題x為真，x＝0表示命題x為假，1－x表示x的否定等等。顯然布爾的演算構(gòu)成一個代數(shù)系統(tǒng)，遵守著某些規(guī)律，這就是布爾代數(shù)。第22頁,共26頁，2024年2月25日，星期天非數(shù)值運算的推廣

——集合運算

——語句運算第23頁,共26頁，2024年2月25日，星期天康托的最大基數(shù)悖論、布拉里.福蒂悖論、羅素悖論，動搖了整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。給數(shù)學(xué)提供一個可靠的基礎(chǔ)：1）羅素的類型論2）策梅羅的公理集合論（ZFS系統(tǒng)）

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